Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp một hình cầu bán kính r cho trước.. Viết phương trình đường thẳng BC.[r]
(1)www.DeThiThuDaiHoc.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỂ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG Mơn thi: TỐN, khối A
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số
( ) 8x 9x
y= f x = − +
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
2 Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình
4
8 osc x−9 osc x+ =m với x∈[0; ]π Câu II (2 điểm)
1 Giải phương trình: ( )
3 log
2
2
x
x− x− = x−
2 Giải hệ phương trình:
2 2
12 12
x y x y
y x y
+ + − =
− =
Câu III (1 điểm) Tính diện tích miền phẳng giới hạn đường
| |
y= x − x y=2x
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp cụt tam giác ngoại tiếp hình cầu bán kính r cho trước Tính thể tích hình chóp cụt biết cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ
Câu V (1 điểm) Định m để phương trình sau có nghiệm
2
4sin3xsinx + 4cos 3x - os x + os 2x +
4 c c m
π π π
− + =
PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần (Phần phần 2) 1 Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1 Cho∆ABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: 2x+ + =y phân giác CD:
x+ − =y Viết phương trình đường thẳng BC
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (D) có phương trình tham số
2 2
x t
y t
z t
= − +
= −
= +
.Gọi ∆ đường thẳng qua điểm A(4;0;-1) song song với (D) I(-2;0;2) hình chiếu vng góc A (D) Trong mặt phẳng qua ∆, viết phương trình mặt phẳng có khoảng cách đến (D) lớn
Câu VII.a (1 điểm) Cho x, y, z số thực thuộc (0;1] Chứng minh
1 1
1 1
xy+ + yz+ + zx+ ≤ x+ +y z 2 Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1 Cho hình bình hành ABCD có diện tích Biết A(1;0), B(0;2) giao điểm I hai đường chéo nằm đường thẳng y = x Tìm tọa độ đỉnh C D
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) đường thẳng ∆ có phương trình tham số
1 2
x t
y t
z t
= − +
= −
=
(2)www.DeThiThuDaiHoc.com Câu VII.b (1 điểm) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh
1
2
3 3
b c
a
a b a c a b c a c a b
+ + + + <
+ + + + + +
-Hết -
Đáp án
Câu Ý Nội dung Điểm
I 2,00
1 1,00
+ Tập xác định: D=ℝ 0,25
+ Sự biến thiên:
• Giới hạn: lim ; lim
x→−∞y= +∞ x→+∞y= +∞
• ( )
' 32x 18x = 2x 16x
y = − −
0
' 3
4 x y
x = = ⇔
= ±
0,25
• Bảng biến thiên
( )
3 49 49
; ;
4 32 32
CT CT
y = y− = − y = y = − y =y =
C§
0,25
• Đồ thị
0,25
2 1,00
Xét phương trình osc 4x−9 osc 2x+ =m với x∈[0; ]π (1) Đặt t=cosx, phương trình (1) trở thành: 8t4−9t2+ =m (2)
Vì x∈[0; ]π nên t∈ −[ 1;1], x t có tương ứng đối một, số nghiệm phương trình (1) (2)
(3)www.DeThiThuDaiHoc.com Ta có: (2)⇔8t4−9t2+ = −1 m(3)
Gọi (C1): y=8t4−9t2+1 với t∈ −[ 1;1]và (D): y = – m
Phương trình (3) phương trình hồnh độ giao điểm (C1) (D)
Chú ý (C1) giống nhưđồ thị (C) miền 1− ≤ ≤t
0,25
Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau:
• 81
32
m> : Phương trình cho vơ nghiệm
• 81
32
m= : Phương trình cho có nghiệm
• 81
32 m
≤ < : Phương trình cho có nghiệm • 0< <m : Phương trình cho có nghiệm • m=0 : Phương trình cho có nghiệm • m < : Phương trình cho vơ nghiệm
0,50
II 2,00
1 1,00
Phương trình cho tương đương:
3 log
log
3
2
2
1
1 log ln 0
ln 2 2 2 x x x x x x x x x x x x − = − = = − = ⇔ − = ⇔ − = > >
− >
0,50
3
2 2 2
log 1 1
2
1
ln
2 2
2
2
x x x
x x x
x
x x x
x x x = = = = = = ⇔ − = ⇔ ⇔ ⇔ = − = =
> > >
0,50
2 1,00
Điều kiện: | |x ≥|y| Đặt
2
;
u x y u
v x y
= − ≥
= +
; x= −y không thỏa hệ nên xét x≠ −y ta có
2 u y v v = −
Hệ phương trình cho có dạng: 12 12 u v u u v v + = − = 0,25 u v = ⇔ =
u v = = + 2 4 8
u x y
v x y
= − = ⇔ = + =
(I)
+
2
3 3
9 9
u x y
v x y
= − = ⇔ = + =
(II)
0,25
(4)www.DeThiThuDaiHoc.com
Sau hợp kết lại, ta tập nghiệm hệ phương trình ban đầu
( ) ( )
{ 5;3 , 5; } S=
0,25
III 1,00
Diện tích miền phẳng giới hạn bởi: y=|x2−4 | ( )x C ( )d :y=2x
Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d):
2 2
2
0 0
| |
6
4 2
x x x
x x x x x x x x x
x
x x x x x
≥ ≥
=
− = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =
− = − − = =
Suy diện tích cần tính:
( ) ( )
2
2
0
4
S= ∫ x − x − x dx + ∫ x − x − x dx
0,25
Tính: ( )
2
| |
I =∫ x − x − x dx
Vì ∀ ∈x [ ]0; ,x2−4x≤0 nên |x2−4 |x = − +x2 4x ⇒ ( )
2
4
4
3 I = − +∫ x x− x dx=
0,25
Tính ( )
6 2
| |
K =∫ x − x − x dx
Vì ∀ ∈x [ ]2; ,x2−4x≤0 ∀ ∈x [ ]4; ,x2−4x≥0 nên
( ) ( )
4
2
2
4 16
K =∫ x− −x x dx+∫ x − x− x dx= −
0,25
Vậy 16 52
3
S = + = 0,25
IV 1,00
Gọi H, H’ tâm tam giác ABC, A’B’C’ Gọi I, I’ trung điểm AB,
A’B’ Ta có: ( ') ( ' ') ( ' ')
' AB IC
AB CHH ABB A CII C
AB HH ⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥
Suy hình cầu nội tiếp hình chóp cụt tiếp xúc với hai đáy H, H’ tiếp xúc với mặt bên (ABB’A’) điểm K∈II'
(5)www.DeThiThuDaiHoc.com
Gọi x cạnh đáy nhỏ, theo giả thiết 2x cạnh đáy lớn Ta có:
1 3
' ' ' ' ' ;
3 3
x x
I K =I H = I C = IK =IH = IC=
Tam giác IOI’ vuông O nên: ' 3 2 6r2
6
x x
I K IK =OK ⇒ =r ⇒x =
0,25
Thể tích hình chóp cụt tính bởi: ( ' ')
h
V = B+ +B B B Trong đó:
2 2 2
4x 3 3r
3 6r 3; ' ; 2r
4
x
B= =x = B = = h=
0,25
Từđó, ta có:
2
2
2r 3r 3r 21r
6r 6r
3 2
V
= + + =
0,25
V 1,00
Ta có:
+/ 4sin3xsinx = cos2x - cos4x( );
+/ os 3x - os x + os 2x - os4x sin 2x + cos4x( )
4
c πc π = c π +c =
+/ os2 2x + 1 os 4x + 1(1 sin 4x)
4 2
c π= +c π = −
Do phương trình cho tương đương:
( ) 1
2 os2x + sin2x sin 4x + m - (1)
2
c + =
Đặt os2x + sin2x = os 2x -
t=c c π
(điều kiện: − 2≤ ≤t 2)
0,25
Khi sin 4x = 2sin2xcos2x = t2−1 Phương trình (1) trở thành:
4 2
t + +t m− = (2) với − 2≤ ≤t
2
(2)⇔ + = −t 4t 2m
Đây phuơng trình hồnh độ giao điểm đường ( ) :D y= −2 2m (là đường song song với Ox cắt trục tung điểm có tung độ – 2m) (P): y= +t2 4t với
2 t
− ≤ ≤
0,25
Trong đoạn − 2; 2, hàm số
y= +t t đạt giá trị nhỏ 2−
t= − đạt giá trị lớn 2+ t= 0,25 Do u cầu tốn thỏa mãn 2− ≤ −2 2m≤ +2
2 m 2
⇔ − ≤ ≤ 0,25
VIa 2,00
1 1,00
Điểm C∈CD x: + − =y 0⇒C t( ;1−t) Suy trung điểm M AC 3;
2
t t
M + −
(6)www.DeThiThuDaiHoc.com
Điểm : 2 ( 7;8)
2
t t
M∈BM x+ + =y ⇒ + + − + = ⇔ = −t ⇒C −
0,25
Từ A(1;2), kẻ AK ⊥CD x: + − =y I (điểm K∈BC) Suy AK:(x− − − = ⇔ − + =1) (y 2) x y
Tọa độ điểm I thỏa hệ: ( )0;1
x y
I x y
+ − =
⇒
− + =
Tam giác ACK cân C nên I trung điểm AK ⇒ tọa độ K(−1; 0)
0,25
Đường thẳng BC qua C, K nên có phương trình: 4
7
x y
x y + = ⇔ + + =
− +
0,25
2 1,00
Gọi (P) mặt phẳng qua đường thẳng ∆, ( ) //( )P D ( )P ⊃( )D Gọi H hình chiếu vng góc I (P) Ta ln có IH ≤IA IH ⊥AH
0,25
Mặt khác (( ) ( )) ( ( ))
( )
, ,
d D P d I P IH
H P
= =
∈
Trong mặt phẳng ( )P , IH ≤IA; axIH = IAm ⇔ ≡H A Lúc (P) vị trí (P0) vng góc với IA A
0,25
Vectơ pháp tuyến (P0) n=IA=(6; 0; 3− )
, phương với v=(2; 0; 1− )
Phương trình mặt phẳng (P0) là: 2(x− −4) (1 z+ =1) 2x - z - =
0,50
VIIa 1,00
Để ý (xy+ − +1) (x y) (= −1 x)(1−y)≥0; tương tự ta có
1
yz y z
zx z x + ≥ +
+ ≥ +
0,50 Vì ta có:
(7)www.DeThiThuDaiHoc.com
( ) 1
1 1
1 1 1
3 zx+y
1
5
1
5
x y z
x y z
xy yz zx yz zx xy
x y z
yz xy z
z y
x
yz zx y xy z
z y
x
z y y z
+ + + + + + + ≤ + + + + + + + +
≤ + + +
+ +
= + − + − + +
≤ − + − + +
=
VIb 2,00
1 1,00
Ta có: AB= −( 1; 2)⇒AB=
Phương trình AB là:
2x+ − =y
( ): ( );
I∈ d y=x⇒I t t I trung điểm AC BD nên ta có:
(2 1; ,) (2 ; 2)
C t− t D t t−
0,25
Mặt khác: SABCD = AB CH =4 (CH: chiều cao)
4 CH
⇒ = 0,25
Ngoài ra: ( )
( ) ( )
4 8
; , ;
| |
3 3 3
;
5
0 1; , 0;
t C D
t
d C AB CH
t C D
= ⇒
−
= ⇔ = ⇔
= ⇒ − −
Vậy tọa độ C D 8; , 2;
3 3
C D
C(−1; ,) (D 0; 2− )
0,50
2 1,00
Gọi P chu vi tam giác MAB P = AB + AM + BM
Vì AB không đổi nên P nhỏ AM + BM nhỏ Đường thẳng ∆ có phương trình tham số:
1 2
x t
y t
z t
= − +
= −
=
Điểm M∈∆ nên M(− +1 ;1t −t; 2t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2
2 2 2
2
2
2 20
4 2 36 56
3
AM t t t t t
BM t t t t t t
AM BM t t
= − + + − − + = + = +
= − + + − − + − + = − + = − +
+ = + + − +
0,25
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ u=(3 ; 5t )
v= − +( 3t 6; 5)
(8)
www.DeThiThuDaiHoc.com
Ta có ( ) ( )
( ) ( )
2
2
| |
| |
u t
v t
= +
= − +
Suy AM+BM =| |u +| |v
u+ =v (6; 5)⇒|u+ =v| 29
Mặt khác, với hai vectơ ,u v ta ln có | |u +| | |v ≥ +u v|
Như AM +BM ≥2 29
Đẳng thức xảy ,u v hướng
3
1
3
t
t t
⇔ = ⇔ =
− +
(1; 0; 2)
M
⇒ min(AM +BM)=2 29
0,25
Vậy M(1;0;2) minP = 2( 11+ 29) 0,25
VIIb 1,00
Vì a, b, c ba cạnh tam giác nên:
a b c
b c a
c a b
+ >
+ >
+ >
Đặt , , ( , , 0) , ,
2
a b c a
x y a z x y z x y z y z x z x y
+ = + = = > ⇒ + > + > + > Vế trái viết lại:
2
3
a b a c a
VT
a c a b a b c
x y z
y z z x x y
+ +
= + +
+ + + +
= + +
+ + +
0,50
Ta có: x y z z x( y z) 2z x( y) 2z z x y z x y + > ⇔ + + < + ⇔ >
+ + + Tương tự: x 2x ; y 2y
y+z < x+ +y z z+x< x+ +y z
Do đó: x y z 2(x y z)
y z z x x y x y z
+ +
+ + < =
+ + + + +
Tức là: 1 2
3 3
b c
a
a b a c a b c a c a b
+ + + + <
+ + + + + +