Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Trêng THPT chÝ linh
-*** -Đề Thi học sinh giỏi lớp 12 năm học 2009 - 2010
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: ( 3,0 điểm)
1) Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số
3
1 x y
x
giao điểm đồ thị
hµm sè víi trơc tung.
2) Cho hµm sè y mx 3 3mx2m1.
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ x1,x2, x3 thoả mãn : x1<1<x2<x3.
C©u 2: (1,5 điểm)
Tìm điểm cực trị hàm số
2 sin
cos x
y x
Câu 3: (1,5 điểm)
Giải phơng trình : 4sin os2x c x 3.cosx sinx C©u 4: ( 3,0 ®iĨm)
Trong mặt phẳng (P) cho đờng trịn tâm O đờng kính AC=2R B điểm di động trên đờng tròn (O) ( B khác A,C) đờng thẳng d vng góc với (P) A lấy điểm S cố định Mặt phẳng (Q) qua A vng góc với SC cắt SC, SB lần lợt M,N.
1) Cho CAB , SA=a TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.ABC theo a,R, .
2) Khi B di động đờng tròn (O) Đờng thẳng MN cắt đờng thẳng BC D. Chứng minh rằng:
a) D nằm đờng thẳng cố định. b)
2 2
SCD SAC SAD ACD
S S S S
SSCD,SSAC,SSAD,SACD diện tích SCD, SAC, SAD, ACD.
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho 0 x y
Chøng minh r»ng sin
sinx x
y y.
-HÕt -Híng dÉn chÊm to¸n 12
Câu Nội dung Điểm
Câu1 (3,0đ)
1,5
(2)1)1,5đ
Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số
3
1 x y
x
giao điểm đồ thị hàm số với trục tung
x=0=> y=-1=> đồ thị hàm số cắt oy A(0;-1) 0,25
với
0 x x
1
3 ( 1)
1
x x
y
x x
2
3
2
1
' ( ) ( ) ' ( )
1 ( 1)
x x x
y
x x x x
0,5
y’(0)=2 0,25
Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số A(0;-1) y=y’(0)(x-0)-1<=> y=2x-1
0,5 2)(1,5đ)
Cho hµm sè
3 3 1
y mx mx m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x1,x2, x3 thoả mãn : x1<1<x2<x3
Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số truc hồnh nghiệm phương trình
3 3 1 0 ( 3 1) 1(1)
mx mx m m x x
0,25
m=0 => (1) vô nghiệm
3
0 (1)
m x x
m
0,25
Xét f(x)=x3-3x2+1 , f’(x)=3x2-6x, f’(x)=0
0 x x
bảng biến thiên
x -∞ +∞ f’(x) + - - +
f(x) +∞ -1
-∞
0,25
Đồ thị hàm số cắt ox điểm phân biệt có hồnh độ x1,x2,x3 thoả mãn : x1<1<x2<x3 <=> (1) có nghiệm phân biệt x1,x2,x3 thoả mãn : x1<1<x2<x3 <=> Đường thẳng (d):
1 y
m
cắt đồ thị (C): f(x)=x3-3x2+1 điểm phân biệt có hồnh độ độ x
1,x2,x3 thoả mãn : x1<1<x2<x3 (d)
cùng phương với ox cắt oy điểm có tung độ m
0,25
Từ bảng biến thiên =>
0
1
1 0
1
3 ( ;1)
1 1
3 0
3 m m
m
m m m
m m
m
m m
KL: ( ;1)
3
m
0,5
Cõu 2 (1,5)
Tìm điểm cực trị cđa hµm sè
2 sin
cos x
y x
TXĐ: D=R
y’=-sin2x+cosx 0,25
(3)y’=0 <=>cosx(1-2sinx)=0
cos
2 ( )
1
6 sinx
2 5
2
x k
x
x k k
x k
0,25
y’’=-2cos2x-sinx 0,25
2 x k
=>y’’=2-sin(2 k
)>0=> x k
điểm cực tiểu hàm số
0,25
6
x k
=>y’’=-3/2 <0=>x k2
điểm cực đại hàm số
2
x k
=>y’’=-3/2=>
2
x k
là điểm cực đại hàm số
0,25
vậy- điểm cực tiểu hàm số x k
(k )
-điểm cực tiểu hàm số x k2
;
2
x k
(k )
0,25
Câu 3
(1,5) Giải phơng trình : 4sin os2x c x 3.cosx sinx (1)
(1)<=>2sin 5x2s inx 3.cosx sinx 0,5
2sin 5x 3.cosx sinx
0,25
3
sin cos sinx sin sin( )
2
x x x x
0,25
5
3 18 3 ( )
2
5
3
x x k x k
k
x x k x k
0,5
Câu 4 (3,0đ) 1) 1,0đ
N
A C
D S
B M
O
0,25
(4)Trong tam giac vng ABC có BC=AC.sinα=2Rsinα ; AB=AC.cosα
2
1
sin os
2
ABC
S AB AC R c 0,25
2
1 sin
.2 sin os
3 3
S ABC ABC
aR
V SA S a R c 0,5
2)(2,0đ)
2a)(1,0đ) ( )
( )
( )
SC AMN SC AD
AD SAC
SA ABC SA AD
0,5 Do A cố định, (SAC) cố định nên D nằm đường thẳng cố định qua A vng góc với (SAC)
0,5 2b)(1,0đ)
( ) ( )
AB BC BC AN
BC SAB BC SB AN SBC
SA BC AN SC
AN SB
0,25
Trong tam giác vng SAB có 2 2 2
1 1 1
(1)
AN SA AB SA AD AC
0,25 Nhân vế (1) với 9VS ACD2
2 2
2 2
2 2
9 S ACD S ACD S ACD S ACD
SCD SAC SAD ACD
V V V V
AN SA AD AC
S S S S
0,5
Câu 5 (1,0đ)
Cho
0
2
x y
Chøng minh r»ng sin
sinx x
y y.
Xét
sinx cos s inx
( ) (0; ] '( )
2
x x
f x x f x
x x
0,25
( ) cos sinx
g'(x)= cos sinx cos sinx [0; ]
2
g x x x
x x x x x
=> g(x) nghịch biến [0; ]2
0,25
2
( )
(0; ] ( ) (0) '( ) (0; ]
2
g x
x g x g f x x
x
=>f(x) nghịch biến (0; ]2
0,25
nên0 x y
=>f(x)≥f(y)<=>
sin
sin
sinx y sinx x
x y y y
0,25
Người soạn
Vũ Chí Cương- THPT Chí Linh