DE19 LUYEN THI HS GIOITOAN 12

thì PT vô nghiệm.[r]

ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

ĐỀ 19 MƠN THI: TỐN

(Thời gian làm 180’- Không kể thời gian phát đề)

Bài ( điểm)

Cho hàm số f(x) =

Chứng minh x sinxdx

4

4

2



  



= f’(0)

Bài ( điểm)

Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh miền quay quanh trục oy

Bài ( điểm)

Tìm m để bất phương trình: mx2 + mx + m -2  có nghiệm x(1;2).

Bài ( điểm)

Giải biện luận phương trình: 4x+1+2(m-1)x-1=(m+1) 

 x

x

theo tham số m

Bài ( điểm)

Giải phương trình: cosx + cos2x + cos3x + cos4x =

-2

Bài ( điểm)

Chứng minh tam giác ABC có:

2 sin

1 sin

1 sin

1 cos

cos

cos       

C B

A C

B

A

Bài ( điểm)

Tìm giới hạn:

x x x sin

1 lim 2

0

2

 

Bài ( điểm)

Giải biện luận theo m bất phương trình:

( 1) ( )log ( 3)

 

  

 m x m x m x

x

Bài ( điểm)

Trong mặt phẳng oxy cho hypebol (H):

2

  y

x

đường tròn (C): x2+y2=9. Viết phương trình tiếp tuyến (H) kẻ qua điểm M(3;1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến chung (H) (C)

Bài 10 ( điểm)

Cho elip (E):

2

 y

x

hai đường thẳng (d1): x-ky=0, (d2): kx+y=0 (d1) cắt elip (E) A C, (d2) cắt elip (E) B D

Tìm giá trị lớn nhỏ diện tích tứ giác ABCD

ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT MƠN THI : TỐN

x2sin

x x0

0 x=0

Bài điểm f’(0)=

2

2

0

1 sin lim

sin lim

x x x

x x

x

x    

 

  



vì -∆x ∆x sin 12

x

 ∆x lim



x (-∆x)=limx0(∆x)=0  lim sin 12

0  



x x x  f’(0)=0 (1)

Mặt khác:   



4

2 sin





xdx

x   



4

2 sin



xdx x

 

4

0

2 sin



xdx x

Đặt x=-t dx=-dt , với x=-/4 t=/4, với x=0 t=0

   



4

2 sin





xdx

x -    

0

4

2 sin



dt t

t +

 



4

0

2 sin



xdx x

= 4  

0

2 sin



tdt

t   

4

0

2 sin



xdx

x    

4

0

2 sin



xdx

x sin

4

0

2

 





xdx

x (2)

Từ (1) (2) suy diều phải chứng minh

0,25 0,25 0,50

0,25

0,25

0,25 0,25

Bài 2 điểm

Vẽ đồ thị hàm số y=x2-6x+5

Cung AB có phương trình x = y4 

Cung BC có phương trình x = y4 3

   

 

  

  

0

4

2

4

2

) (

4 dy y dy

y

Voy  

3

4

) (

12   

 



y dy

y 

 



4 = 64

0,5

0,5 0,5 0,5

Bài điểm

Gián tiếp loại bỏ f(x) = mx2 + mx + m -2 <0, x(1;2)  m(x2+x+1)<2  m<

1 2

 x

x x(1;2)

Xét g(x) =

1 2

 x

x x(1;2), g’(x) =    

 

0 ) (

) (

2 x

x x

hàm số nghịch biến khoảng (1 ;2)

 m  Min

 

2 ) (

2 ;

 x g

Vậy m >

7

bất phương trình có nghiệm x(1;2)

0,5 0,5

0,5

0,5

Bài điểm

Điều kiện 4x2-3x-10  x1 0,25

x

4 

-4

5

C B A O

y

Phương trình  1   x x - (m+1) 1   x x

+2(m-1) = Đặt t =

1   x x điều kiện Phương trình trở thành Giải ta

Nghiệm t2 thỏa mãn 

Theo cách đặt ta tính x =

3 2 2     m m m m

Kết luận: PT vơ nghiệm

1m3 PT có nghiệm x =

3 2 2     m m m m 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

Bài điểm

Nhận thấy sin

2

x

=0  x=k2 (kZ) nghiệm PT PT  2cosxsin

2 x +2cos2xsin x +2cos3xsin x +2cos4xsin x =-sin x  sin 9x

=0 

2 9x

=t  x=

9 2t

(tZ) KL: x=

9 2t

(tZ)

0,25 0,50

0,50

Bài điểm

Ta có cosA+cosB+cosC+   

C B A sin sin sin =                             C B A C B A C B A sin sin sin sin sin sin sin sin sin 

 1+ 

                         C B A C B A C B A sin sin sin sin sin sin sin sin sin 4 4                           cos cos cos cos cos cos 16 3

4 A B C A B C

 2

3 cos cos cos

3  

           C B A

Dấu ‘=’ xảy

1,0

0,5 t0

t2

t2-(m-1)+2(m-1)=0 0t2

t1=2 t2=m-1

 A=B=C  ∆ABC

0,5

Bài điểm

Ta có : 

  

 

 

 



 x x

x x

e x

x x x

x 2

2

3 ln

0 sin 4cos

3 ln

3 ln

1 lim

2 sin

1 lim

2

ln3



1,5

0,5

Bài điểm

Điều kiện x>-3

Bất PT  (x-m)x-1+log3(x+3) 

Đặt f(x)= x-1+log3(x+3) f(x) đồng biến (-3;+) f(0)=0, nên x0  f(x)  f(0)=0 hay f(x) dấu với x Do BPT 

Từ suy

Nếu m0 nghiệm BPT là:

Nếu -3<m<0 nghiệm BPT là:

Nếu m=-3 nghiệm x0 Nếu m<-3 nghiệm x0

0,25 0,25 0,25 0,25

0,25

0,25 0,25 0,25

Bài điểm

1 Phương trình đường thẳng qua M có dạng : a(x-3)+b(y-1)=0 (a2+b20).

 ax+by-3a-b=0 đường thẳng tiếp xúc với (H) 

  b=0 chọn a=1,b=0 PT tiếp tuyến : x-3=0 Xét tiếp tuyến phương với oy có PT : x-a=0

Để đường thẳng tiếp xúc với (H) (C)  a=3 Có hai tiếp tuyến chung thỏa mãn tốn x-3=0 x+3=0

Xét tiếp tuyến không phương với oy có PT y=kx+b  kx-y+b=0 Để đường thẳng tiếp xúc với (H) (C)  hệ sau có nghiệm: 9k2-1=b2

b=3 

k  Hệ vô nghiệm

b0

KL: có tiếp tuyến chung là: x-3=0 x+3=0

0,25 0,25 0,5 0,25

0,25 0,25

0,25

Bài 10 điểm

Tọa độ giao điểm (d1) (E) nghiệm hệ :

ky x

y x

  

2



2

4

k y

ky x

   

 AC2 =

2

) ( 16

k k

  Tọa độ giao điểm (d2) (E) nghiệm hệ :

0,50

0,50 (x-m)x0

x>-3

-3<x0 xm

-3<xm x0

9a2-b2=(3a+b)2 3a+b0 2b(b+3a)=0

3a+b0

9=a2 a=3 a0

kx y

y x

 

 

2



2

4

2

k x

kx y

  

 

 BD2 =

2

) ( 16

k k 



Vì (d1)  (d2) nên AC  BD  4S2 = AC2.BD2 =

) )( (

) ( 16

2

2 2

k k

k

 



Đặt x=k20, xét f(x)=

) )( (

) (

162

x x

x

 



, f’(x)=(1 4 )2( 4)2

) 9 )( (

 

 

x x

x x

f’(0)=0  x=1 Chú ý rằng:

4 ) (

lim 



 f x

x

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên  Max

 

1 ) (

;





x

f x=0  k=0

Min

  25

4 ) (

;





x

f x=1  k=1

Vậy Max SABCD=4 k=0, Min SABCD= 16

k=1

0,25

0,25

0,50

25

4 14

4 1

+

-+

0

f(x) f’(x)