chuyªn ®ò2 gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn tëp sè phøc chuyªn ®ò2 gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn tëp sè phøc a §ò bµi h y t×m c¸c c¨n bëc 2 cña c¸c sè phøc 34i 1 i 2 3i z1i z7 24i 3gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh s

[r]

Chuyên đề2: Giải phơng trình tập s phc

A Đề : HÃy tìm bậc số phức : 3+4i ; - i ; -2 + 3i ;z=1+i; z=7-24i 3;Gi¶i phơng trình sau :

a) z2=z+1;b) z2+(1-3i).z-2(1+i) = 0;c) z2+4 = 0;d) z2+2z+5 = 0 Bài2: HÃy giải phơng trình sau tập C

1/ 3x2 x 2 ;2, x2 3x 1 ;3,3 2x2  3x 0 ix2 2ix 0 ;5 ;3ix2 2x 4 i

6;3x3 24 0 2x416

4;Giải phơng trình : z+

1

z = k víi k thø tù 1; 2; 2i

5;Giải phơng tr×nh :

a) z3+1 = 0; b) z3+i = 0;c) z4-1 = 0; d) z4+4 = 0 6,Tìm số thực b, c để phơng trình ( ẩn z):

z2+bz+c = nhËn sè phøc z

0= 1+i làm nghiệm 7;Tìm giá trị thực a, b, c để phơng trình :

z3+az2+bz+c = 0NhËn z

1=1+i z2=2 làm nghiệm 8;Tìm số thực a, b để có phân tích :

2z3-9z2+14z-5 = (2z-1)(z2-az+b)Rồi giải phơng trình :2z3-9z2+14z-5 = 9;Tìm số thực a, b để có phân tích:

z4-4z2-16z-16 =( z2-2z-4) (z2+az+b)Rồi giải phơng trình:z4-4z2-16z-16 = 0 10 Giải phơng trình : z4-z3+

2

2

z

+z+1 = cách đặt ẩn phụ 

=z-1

z 11 Giải phơng trình sau : (z2+3z+6)2+2z(z2+3z+6)-3z2 = 0

12 Tìm số thực a, b để có phân tích :

f(z) =z4-4z3+7z2-16z+12 =(z2+4)(z2+az+b)Từ giải phơng trình : f(z) = 0 13 Giải phơng trình :z4-5z3+8z2-10z+12 = 0

14 Giải phơng trình : z -iz = 1-2i 15 Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời :

1

z z i

= vµ

1

z i

z i

-= +

16 T×m sè phøc z tháa m·n :

4

z i z i

ổ+ ữử

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ

-ố ø =

17,Giai pt

a/

12

1 z z i z z

      



 

 

 b/

1

1 z

z i z i

z i

      



 

 



d/

2

1

5

5

z z i

z z i

  



  

 e/

1

2

1

4

z z i

z z i

  

 

  

B.H ớng dẫn giải đáp số ; a) đs : z= 1+2i ;b) z=

1 10

-(1-3i);c) C¸ch : Gäi z=x+yi víi x.y  R. z =x-y

(2-i) (x-yi) -4=0 Û (2x-y-4)+(-x-2y)i = Û

2

2

x y

x y

ìï - = ïí

ï + =

ïỵ Û

8

4

x y

ìïï = ïïï íï ï = -ïïïỵ

VËy z =

8 5- 5i

Cách : sử dụng kết : z1=z2Ûz1=z2 vµ z z1 =z z1 , ta cã : (2-i) z-4=0 Û (2- i z) =4 Û (2- i z) =4 Û (2+i).z=4Ûz=

4 8

2 5

i i

i

-= =

-+

1d) z-2+3i=0Û z= 3- i Û z =2+3i 2a)

( (2-i) z+3+i).(iz+

1

2i ) = Û

(2 ) 0

2

i z i

iz i

é - + + = ê

ê

ê + = ê

ë

Để giải phơng trình : (2-i) z+3+i =0 ta sử dơng kÕt qđa : z1+z2=z1+z2

(2-i) z+3+i =0 Û (2+i).z+3-i = Û z =

3

i i

- +

+ Û z =-1+i

Phơng trình : iz+

1

2i =0 -z+

1

2=0 Û z =

®s : z1 =2+3i , z2 =

1

2b) ®s: z= 2i a) ®s : z =

1 2

5

b) D=(1-3i)2+8(1+i)=2i =(1+i)2 một bậc hai D 1+i phơng trình có hai nghiệm lµ z=

1 (1 )

i i

- + ± +

hay

1

1

z i

z i

é = - + ê

ê = ê ë

c) z2+4 = 0Û z4-4i2 = Û(z2-2i)(z2+2i) = 0Û

2

2

z i

z i

é = ê ê = -ê ë

vËy z1=1+i, z2=-1-i, z3= 1-i, z4=-1+i

d) z2+2z+5 = 0Û z2+2z+1=-4Û(z+1)2=4i2Û z

1 =- 1+2i, z2 =- 1-2i Cã thÓ tÝnh : D’=1-5 =-4  =z+yi bậc hai D 2=-4

2 4

2

x y

xy

ìï - = -ïïí

ï =

ïïỵ Û

2

2

4 ( 4)

y x

x x

ìï = + ïïí

ï + =

ïïỵ Û

0

x y

ìï = ïí

ï = ±

ïỵ  =2i

VËy z1=-1+2i, z2 = -1-2i

4 z+

1

z = k Û z2-kx +1=0 Û (z-2 k

)2=

2 4

4

k

-Ûz=2 k

2

¶

 Víi k=1 th× 2=-3=3i2=i 3 VËy z=

1 2

3 i

 Víi k= th× 2 =-2 =2i2=i 2 VËy z =

2

2 (1i)

 Víi k=2i th× 2 =-8=8i2 =2 2i VËy z = i 2i hay z = (1 2)i

5 a) z3+1 = Û (x+1)(z2-z+1) = Û (z+1)[

(z-1 2)2+

3 4] = 0

1

1

2

z

z i

é = -ê ê

ê = ± ê

ë

b) ®s : z1 =i , z2=

3

-1

2i , z3 =-3

-1 2i

c) ®s : z = , z = i

d) ®s : z1,2 =1i , z3,4 =-1i

6 Gi¶i : z0 =1+i nghiệm phơng trình , nªn ta cã : (1+i)2+b(1+i) +c = Û (b+c)+(2+b)i = Û

0

2

b c b

ìï + = ïí

ï + =

ïỵ Ûb=-2; c=2

7 Xác định a, b , c từ hệ phơng trình:(1 )3 (1 )2 (1 ) 0

8

i a i b i c

a b c

ìï + + + + + + = ïïí

ï + + + =

ïïỵ

Trừ vế hai phơng trình, ta đợc: (1+i)[2i+(1+i)a+b]=8+4a+2b (-3a-b-8)+(2a+b+2)i=0

Û

3

2

a b a b

ìï + = -ïí

ï + =

-ïỵ Û

6 10

a b

ìï = -ïí ï = ïỵ

Thay kết a, b vào phơng trình , ta đợc : c=-4 đs : a=-6 ; b=10 ; c= -4

8 a) đs : a=-4; b=5

b) phơng trình :(2z-1)(z2-4z+5) = cã ba nghiƯm lµ z=2i vµ z=

1

9 a) ®s : a=2; b=4

b) z4-4z2-16z-16=0 Û(z2-2z-4)(z2+2z+4)=0 Û

2

( 1) 5

( 1) 1 3

z z

z z i

é

é - = ê = ±

ê Û ê

ê + = - ê = - ± ê

ë ë

10 z4-z3+

2

2 z

+z+1 = Û (z4+1)-(z3-z)+

2

2

z

=0 Chia hai vế cho z2, ta đợc :

(z2+

1

z )

–(z-1

z) +

1

2=0 Û

2

1

0

z z w

w w

ìïï = -ïïï

íï

ï - + =

ïïïỵ Û

1

2

1 2 2

i i w

w

ìïï = + ïïï

íï

ï = -ùùùợ

Phơng trình :

z-1

z=

1 2+

3

2i cho nghiÖm z1=1+i ; z2 =- 2(1-i)

Phơng trình :

z-1

z =

1 2

-3

2i cho nghiªm z3 =-1

2(1+i) ; z4= 1-i

11 (z2+3z+6)2+2z(z2+3z+6)-3z2 = 0

Ta thấy z0 ( ?) Chia hai vế cho z2 đặt

2

3

z z

t

z

+ + =

DÉn tíi phơng trình : t2+2t-3 = t=1 t=-3.

 Víi t=1 , ta cã : z2+3z+6 = z Û z2+2z+6 = Û z = -1 5i  Víi t=-3 , ta cã : z2+3z+6 = -3z Û z2+6z+6 = 0Û z = -3  12 ®s : a = -4 ; b =

Phơng trình : (z2-4z+3)(z2+4) = 0

2

1

2

3

4 1;

2 ;

z z z z

z i z i

z

é - + = é = =

ê Û ê

ê + = ê = =

-ê êë

ë

13 z4-5z3+8z2-10z+12 = Û (z4-5z3+6z2)+(2z2-10z+12) = 0 Û z 2(z2-5z+6) +2(z2-5z+6) = (z2-5z+6)(z2+2) = 0

Phơng trình có bốn nghiƯm lµ : z1=2 ; z2=3; z3=1+i ; z4=-1-i 14 z -iz = 1-2i Û z = 1+(z-2)i

Z=x+yi , víi x, y Ỵ R z = 1+(z-2)i

2

2

1 ( 2)

(1 ) ( 2)

x y x yi i

x y y x i

+ = + + -+ = - +

-V×

2

x +y số thực dơng , nên (1-y)+(x-2)i sè thùc d¬ng Suy :

Û

2 2

2 2

2

(1 )

2

2

x

x y y

x

y y y

x y

ìï - = ïïí

ï + = -ïïỵ

ìï = ïïí

ï + = - +

ïïỵ ìï = ïïï íï

=-ïïïỵ VËy : z =2-32i

15 a) 

1

z z i

= Û

1 ( 1) ( 1)

z- = -z i Û x- +yi = +x y- i Û (x-1)2+y2 = x2+(y-1)2 Û x=y (a)



3

1

( 3) ( 1)

z i

z i z i

z i

x y i x y i

-= Û - = +

+

Û + - = + +

Û x2+(y-3)2 = x2+(y+1)2 Ûy = (b) Tõ (a) vµ (b) : z = 1+i

16

4

z i z i

ổ+ ữử

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ

-ố ứ = Û(z+i)4 = (z-i)4 Û (z+i)4-(z-i)4=0

Û [(z+i)2+(z-i)2].[(z+i)2-(z-i)2=0 Û (2z2-2)(4zi) = Û 8z3i-8zi = 0 Û 8i(z3-z) = Û z(z2-1) = Û z = 0; z =  1