Đang tải... (xem toàn văn)
Trừ hai phương trình cho nhau, đưa về phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) rồi thế vào một trong hai phương trình của hệ.. Ví dụ 1..[r]
(1)HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I Hệ phương trình gồm phương trình bậc phương trình bậc hai
Bài Giải hệ phương trình sau:
1 2
2
19
x y x xy y
2 2
3
2 18
x y x xy y
3
2
2 2
3 32
x y x y
x y
4 2
2
2
x y
y x x y
5
4
3
x y
x xy x y
6
2
2
2
12 10
x x y
x x y
7. 22 1 2
3
x y x y
xy y y
8
164 y
x
y x
2
2 9
y 2x
7 y 5xy
x2
Bài 2. Cho hÖ PT :
2
x 4y x 2y m
a) Gi¶i HPT với m = 4
b) Giải biện luận HPT theo tham sè m Bài 3. Gi¶i HPT :
2
9x 4y 36 2x y
Bài Tìm m để HPT :
2
x y mx my m x y
cã cỈp nghiƯm phân biệt (x1; y1) ( x2; y2) thoả mÃn (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 4
Bài Tìm m để HPT sau có nghiệm :
2
9x 16y 144 x y m
Bài Cho HPT :
2
x y
x y m
xác định giá trị a để HPT có nghiệm Bài Cho HPT :
2
x y x
x ay a
a) Gi¶i hƯ a =
b) Tìm a để hệ PT cho có nghiệm phân biệt
c) Gọi (x1; y1) , (x2 ; y2) nghiệm hệ cho CMR (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 ≤ 1
Bài Cho HPT :
2
x 2y 2x y m
a) Gi¶i HPT với m =
b) Giải biÖn luËn HPT theo tham sè m Bài Cho HPT :
2
x 3y m
3x 5y 13
a) Gi¶i HPT với m = 13
b) Giải biện luËn HPT theo tham sè m Bài 10 Gäi ( x; y) lµ nghiƯm cđa hƯ :
2 2
x y a 2a
x y 2a
(2)Bài 11 Gäi ( x; y) lµ nghiƯm cđa hÖ :
2 2
x y 2a
x y a
Tìm a để P = xy đạt giá trị lớn nhất Bài 12 Gọi ( x; y) nghiệm hệ :
2 2
x y a 4a
x y 2a
Tìm a để P = xy đạt giá trị nhỏ GTLN
Bài 13.Tìm k để hệ phơng trình:
k y x
y x2 2 1
cã nghiÖm nhất.
Bi 14 Cho hệ phơng trình: 1 2
x y m
x y xy m y
1) Gi¶i hƯ m = 4
2) Tìm tất giá trị tham số m để hệ có nhiều hai nghiệm Bài 15 Cho hệ phơng trình: xx ay a2 y2 x 00
1) Giải hệ phơng trình a = 1.
2) Tìm a để hệ phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt.
3) Gọi (x1; y1), (x2; y2) nghiệm hệ cho Chứng minh rằng:
x2 x12y2 y12 1
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I
TĨM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN I Hệ đối xứng loại I có dạng tổng quát:
f(x, y) = 0 g(x, y) = 0
ìïï íï
ïỵ ,
f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x)
ìïï íï ïỵ Phương pháp giải chung:
1 Bước 1: Đặt điều kiện (nếu cú) Biến đổi phơng trình hệ xuất biểu thức:
n m
(x y) (xy)
2 Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S, P S2 ³ 4P.
3 Bước 3: Thay x, y S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P dùng Vi–et đảo tìm x, y. Chú ý:
(3)1 Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP.
2 Đôi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) S = u + v, P = uv. 3 Có hệ phương trình trở thành đối xứng loại I sau đặt ẩn phụ.
Ví dụ Giải hệ phương trình
2
3
x y xy 30
x y 35
ìï + =
ïí
ï + =
ïỵ .
BÀI TẬP HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I
DẠNG 1: Sử dụng phương pháp giải thông thường
Bài Giải hệ phương trình sau: 1
2 2
x + xy + y = 4
x + xy + y = 2 2
2 2
xy = 5
x + y + x + y = 42 3
2 2
x + y + xy = 5 x + y = 5
4
2 2
x + x + y + y + = 3
1- x 1- y = 6 5
3 3
x + y = 19
xy + x + y = 2 6
3 3
x + y = 2 x + y = 26
7
7 x + y + xy =
2 5 xy x + y =
2
8
2 2
x + xy + y = 7 x + xy + y = 5
9
2 2
x + xy + y = 4 x + xy + y = 2
10 2 2
x + y = - 2xy x + y = 1
11 2 2
xy + x + y = 11 x y + xy = 30
12
2 2
x + y = 208 xy = 96
13
2 2
x + y + x + y = 8 xy + x + y = 5
14
2
2 2
2(x + y) - xy = 1 x y + xy = 0
15
2 2
2 2
x + y + xy = 7 x + y - xy = 3
16 2 2
3(x + y) = xy x + y = 160
17
2 2
x + y - x - y = 102 xy + x + y = 69
18
x y 13 + =
y x 6
x + y = 5
19
1 1 7
+ + xy =
x y 2
2(x + y) = 3xy
20 2 2
x + y + xy = 11 x + y + 3(x + y) = 28
21
2 2
x + y = 13
3(x + y) + 2xy + = 0
22
2 2
x + y = 6
+y = 2(xy + 2)
x 23
2 2
(x -1)(y -1) = 18 +y = 65
x 23
2
2 2
2(x + y) - xy = 1 x y + xy = 0
25 2 2
3(x + y) = xy
x + y = 160 26
2 2
xy = 4 +y = 28
x 27
2 2
x + y = 5 x - xy + y = 7
28
2 2
x + xy + y = 3 2x + xy + 2y = -3
DẠNG 2: Hệ phương trình bậc cao
(4)1 2 2 3 3
x + y = 4
(x + y )(x + y ) = 280
2
2 2
3 3
x y + xy = 30 x + y = 35
3
2 2
3 3
x + y = 1 x + y = 1
4
3 3
x + y = 8 x + y + 2xy = 2
5
2 2
4 4 2 2
x + y + xy = 7 x + y + x y = 21
6
2 2
4 2 2 4
x + y = 5
x - x y + y = 13
7 3 3 2 2
x + y = 1 x + y = x + y
8
5 5
9 9 4 4
x + y = 1 x + y = x + y
9
4 4 6 6
x + y = 1 x + y = 1
10
3 3
x + y = 1 +y = 61
x 11
3 3
xy(x + y) = 2 +y = 2
x 12
2 2 4 2 2 4
x + y = 5
x - x y + y = 13
DẠNG 3: Phương pháp đặt ẩn phụ
1 2 2
x - y = 2 +y = 164
x 2
2 2
x + xy + y = 1 x - y - xy = 3
3
2 2
x + x - y + y = 4 x(x - y + 1) + y(y - 1) = 2
4
2 2
x + y - x + y = 2 xy + x - y = -1
5
2 2
xy - x + y = -3
+y - x + y + xy = 6
x 6 2 2
x - y - xy = 1 x y - xy = 6
7
2 2
xy - x + y = -3
x + y - x + y + xy = 6 8
2 2
x + y - x - y = 12
x(x -1)y(y -1) = 36 9
2 2
x + y + x + y = 8 xy(x + 1)(y + 1) = 12
10
3
x - y = 7
xy(x - y) = 2 10 2 (AN 01)
x(x + 2)(2x + y) = x + 4x + y = 6
11 2 2 4
2 2
1 1 x + y + + = 4
x y
1 1
x + y + +
x y
12
49
2 2
2 2
1 (x + y)(1 + ) = 5
xy 1 (x + y )(1 + )
x y
13.
x y + y x = 30
x x + y y = 35 14
2 2 2 2
x - y x - y = 3 x + y x + y = 15
15
1 + 1 = 4 3
x y
xy = 9
16 2
x(3x + 2y)(x + 1) = 12
(BCVT - 97)
x + 2y + 4x - = 0
DẠNG 4: Hệ phơng trình đặc biệt
1 x y + y x = 30 x x + y y = 35 ìïïï
íï
ïïỵ 2
( 3 2 3 2)
3 3
2(x + y) = 3 x y + xy x + y = 6
ìïïï íï ïïỵ 3
x + y = 7 + 1
y x xy
x xy + y xy = 78 ìïï
ïï íï ïï ïỵ
4
x - + y -1 = 4
x + y = 21 5
2 2
x + y + 2xy = 2 x + y = 4
DẠNG 5: Hệ phương trình chứa tham số
(5)Bài 1 Cho hệ phương trình:
2 2
x + xy + y = m + 1 x y + xy = m
1 Giải hệ với m = 2.
2 Tìm m để hệ có nghiệm x y; thỏa mãn x 0và y 0.
Bài Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
2 2 2
x + y = m
x + y = -m + 6
Hãy tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: F xy2x y .
Bài Tìm giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất:
2 2
x y + xy = m + 1 2xy + x + y = m + 2
Bài Tìm m để hệ
2 2
x + xy + y = m
x y + xy = 3m - 8 có nghiệm.
Bài Gọi x y; nghiệm hệ phương trình:
2 2 2
x + y = 2a -1 x + y = a + 2a - 3
Xác định a để xy nhỏ nhất.
Bài Cho hệ phương trình
2 2 2
x + y = a + 1 x + y = 4
1 Giải hệ phương trình với a = 2.
2 Tìm giá trị a để hệ có nghiệm nhất.
Bài Cho HPT:
2 2
x + y = m x + y = 6
a) Giải HPT với m = 26 b) m = ? Hệ vô nghiệm
c) m = ? Hệ có nghiệm d) m = ? Hệ có nghiệm nhất e) m = ? Hệ có nghiệm phân biệt
Bài Cho HPT:
2 2
x + y + xy = m +1 x y + xy = 3m - 5
a) Giải HPT với m = 26 b) m = ? Hệ vô nghiệm
c) m = ? Hệ có nghiệm d) m = ? Hệ có nghiệm nhất e) m = ? Hệ có nghiệm phân biệt
Bài Tìm m để HPT sau có nghiệm:
a) 2 2 2
x + y = 4 x + y = m
b)
5(x + y) - 4xy = 4 x + y - xy = - m
Bài 10 Cho HPT:
2 2
x + y + x + y = 8 xy(x + 1)(y + 1) = m
(6)Bài 11 Tìm m để hệ phơng trình:
2 2
xy(x + 2)(y + 2) = 5m - 6
x + y + 2(x + y) = 2m có nghiệm. Bài 12 Tìm m để hệ phơng trình: x +1 + y -1 = m2
x + y = m - 4m + 6
Bài 13 Giải biện luận HPT sau:
1
x y + = a y x x + y = 8
2
x - + y - = 4 x + y = 3a
3
m x
y
m y
x
1 2
1 2
Bµi 14: Tìm m để hệ phương trình x + y = m
x + y - xy = m
ìïïï íï
ïïỵ có nghiệm thực.
III HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI II
I DẠNG I:
(Đổi vị trí x y cho phương trình trở thành phương trình kia)
Ph ơng pháp giải chung
Cỏch gii 1
Tr hai phương trình cho nhau, đưa phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) thế vào hai phương trình hệ.
Ví dụ Giải hệ phương trình
3
x 2x y (1) y 2y x (2)
ìï + =
ïïí
ï + =
ïïỵ .
Giải
Trừ (1) (2) vế theo vế ta được:
3 2
x - y +3x- 3y= Û0 (x- y)(x +y +xy+3) =0
2 2
y 3y
(x y) x y x
2
ộổ ử ự
ờỗ ữ ỳ
- ờờỗốỗ + ữữữứ + + ỳỳ= =
ë û
Thế y = x vào (1) (2) ta được:
3
x + = Ûx x=0
Vậy hệ phương trình có nghiệm ìïïíï =xy=00
ïỵ .
Ví dụ Giải hệ phương trình 2x y (1)
2y x (2)
ìï + + - =
ïïí
ï + + - =
ïïỵ
Giải
6
f(x, y) = 0 f(y, x) = 0 ìïï
(7)Điều kiện:
3 x 4
2
3 x 4
2
ìïï - £ £ ïï
íï
ï - £ £ ïïỵ
. Trừ (1) (2) ta được:
( 2x+ -3 2y+3) (+ y- - x- ) =0 (2x 3) (2y 3) (4 y) (4 x)
2x 2y y x
+ - + - -
-Û + =
+ + + - +
(x y) x y
2x 2y y x
ỉ ư÷
ỗ ữ
- ỗỗ + ữữ= =
ỗố + + + - + - ứ .
Thay x = y vào (1), ta được:
2x+ +3 x- =4Û x+ +7 (2x+3)(4 x)- =16
2x2 5x 12 x x2 x x 11
9x 38x 33
ì - ³ ïï
Û - + + = - Û íï Û = Ú =
- + =
ïỵ (nhận).
Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt
11 x
x 9
y y 11
9 ìïï =
ì = ï
ï ï
ï Ú
í í
ï = ï
ï ï
ỵ ïïỵ = .
Cách giải (Nên dùng cách không giải được)
Cộng trừ hai phương trình đưa hệ phương trình tương đương gồm hai phương trình tích (thơng thường tương đương với hệ phương trình mới).
Ví dụ Giải hệ phương trình
3
x 2x y (1) y 2y x (2)
ìï = +
ïïí
ï = +
ïïỵ
Giải
Trừ cộng (1) với (2), ta được:
3 2
3 2
x 2x y (x y)(x xy y 1)
y 2y x (x y)(x xy y 3)
ì ì
ï = + ï - + + - =
ï ï
ï Û ï
í í
ï = + ï + - + - =
ï ï
ï ï
ỵ î
2
2 2 2
x y x y
x y x xy y
x y x xy y x xy y x xy y
ì
ì ì
ì - = ï - = ï + = ï + + =
ï ï ï ï
ï ï
Û í Úí Úí Úí
ï + = ï - + = ï + + = ï - + =
ï ï ï ï
ỵ ỵ ỵ ïỵ
* ïíïì xx- yy=00Û ïïíì xx=00
ï + = ï =
ï ï
ỵ ỵ
* 2
x y y x x x
x xy y x y y
ì ì
ì - = ì = ï ï
ï ï ï = ï =
-ï Û ï Û ï Úï
í í í í
ï - + = ï = ï = ï =
-ï ï ï ï
ỵ ỵ ïỵ ïỵ
* ìïïïí xx2+ =yxy 0y2 1Û ïïíìïyx2= -1x Û íïìïï yx== -11Úíïìïï yx== -11
+ + = =
ï ï ïỵ ïỵ
ỵ ỵ
*
2
2
2
xy
x xy y xy x x
x y y y
x y
x xy y
ì ì ì ì ì
ï + + = ï = - ï = - ï = ï =
-ï ï
ï Û Û ï Û ï Úï
í í í í í
ï - + = ï + = ï + = ï = - ï =
ï ïỵ ïỵ ïỵ ïỵ
(8)Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt:
x x x x x
x y y y 3 y 3
ì ì
ì = ì = - ì = ï = ï =
-ï ï ï ï ï
ï Úï Úï Úï Úï
í í í í í
ï = ï = ï = - ï = ï =
-ï ï ï ï ï
ỵ ỵ î ïî ïî .
Cách giải Sử dụng hàm số đơn điệu để suy x = y
Ví dụ Giải hệ phương trình 2x y (1)
2y x (2)
ìï + + - =
ïïí
ï + + - =
ïïỵ
Giải
Điều kiện:
3
x
2
3 x 4
2
ìïï - £ £ ïï
íï
ï - £ £ ïïỵ
. Trừ (1) (2) ta được:
2x+ -3 x- = 2y+ -3 y- (3) Xét hàm số f(t) 2t t, t 3;
2
é ù
ê ú
= + - - Ỵ -ê ú
ë û, ta có:
f (t)/ 1 0, t 3; 2t t
ổ ửữ
ỗ
= + > " ẻ -ỗỗố ữữữ ứ
+ - ị (3) Û f(x)=f(y)Û x= y.
Thay x = y vào (1), ta được:
2x+ +3 x- =4Û x+ +7 (2x+3)(4 x)- =16
2 2x2 5x 12 9 x x 3 x 11
9
Û - + + = - Û = Ú = (nhận).
Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt
11 x
x 9
y 11
y ìïï =
ì = ï
ï ï
ï Ú
í í
ï = ï
ï ï
ỵ ïïỵ = .
Ví dụ Giải hệ phương trình
3
x 2x y
y 2y x
ìï + =
ïïí
ï + =
ïïỵ .
Giải
Xét hàm số f(t) =t3+2t Þ f (t)/ =3t2+ >2 0, t" Ỵ ¡ .
Hệ phương trình trở thành ìïïíï f(x)f(y)== y (1)x (2)
ùợ .
+ Nu x> yị f(x)>f(y)ị y>x(do (1) (2) dẫn đến mâu thuẩn).
+ Nếu x< Þy f(x)<f(y)Þ y<x(mâu thuẩn).
Suy x = y, vào hệ ta x3+ = Ûx 0 x=0.
Vậy hệ có nghiệm ìïïíï =xy=00
ïỵ .
Chú ý:
(9)Khi gặp hệ phương trình đối xứng loại II dạng 1, ta nên giải cách Nếu giải không mới nghĩ đến cách 3, khơng giải quay trở đề tìm điều kiện chính xác giải lại cách 1!
Ví dụ (Trích đề thi ĐH khối B – 2003) Giải hệ phương trình:
2 2
2
x
3x
y
y
3y
x
ìï +
ï =
ïï ïí
ï +
ïï = ïïỵ
Giải
Nhận xét từ hệ phương trình ta có ìïïíï >xy>00
ïỵ Biến đổi:
2
2
2
2
2
x
3x 3xy x 2 (1)
y
3yx y (2)
y
3y
x
ìï +
ï =
ï ìï = +
ï ï
ï Û ï
í í
ï + ï = +
ï ïïỵ
ï =
ïïỵ
Trừ (1) (2) ta được:
(x- y)(3xy+ +x y)= Û0 x=y (3xy+ + >x y 0)
Với x=y : (1) Û 3x3- x2- 2=0Û (x 1)(3x- 2+2x+2)= Û0 x=1.
Vậy hệ có nghiệm ìïïíï =xy=11
ïỵ .
II DẠNG II:
trong có phương trỡnh i xng
Ph ơng pháp giải chung
Cách giải 1
Đưa phương trình đối xứng dạng tích, giải y theo x vào phương trình cịn lại.
Ví dụ Giải hệ phương trình
2
1
x y (1)
x y
2x xy (2) ìïï =
-ïïí
ïï - - =
ùùợ
.
Gii
iu kin: xạ 0, y¹ 0 Ta có:
(1) (x y) 1 y x y
xy x
ổ ửữ
ỗ
- ỗ + ữữữ= = =
-ỗố ứ
+ Với y = x: (2)Û x2- 1= Û0 x= ±1.
+ Với y x
= - : (2) vơ nghiệm.
Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt ïíìïï yx==11Úïìïïí yx= -= - 11
ï ï
ỵ ỵ .
f(x, y) = 0 g(x, y) = 0
(10)Cách giải (Nên dùng cách không giải được)
Đưa phương trình đối xứng dạng f(x)=f(y) Û x=y với hàm f đơn điệu.
Ví dụ Giải hệ phương trình
x y cosx cosy (1) x y 3y 18 (2)
ì - =
-ïï
íï - - =
ïỵ .
Giải
Tách biến phương trình (1), ta được:
(1)Û x- cosx = -y cosy (3).
Xét hàm số f(t)= -t costÞ f (t)/ = +1 sint>0, t" Ỵ ¡ .
Suy (3) Û f(x)=f(y) Û x =y.
Thay x = y vào (2), ta được:
3
x - 3x 18- = Û0 (x- 3)(x +3x+6) =0Û x=
Vậy hệ phương trình có nghiệm ìïïíï =xy=33
ïỵ .
Chú ý: Cách giải sau sai:
2
1
x y (1)
x y
2x xy (2) ìïï =
-ïïí
ïï - - =
ïïỵ
.
Giải
Điều kiện: x¹ 0, y¹ 0.
Xét hàm số /
2
1
f(t) t , t \ {0} f (t) 0, t \ {0}
t t
= - ẻ Ă ị = + > " Ỵ ¡ .
Suy (1) Û f(x)=f(y)Û x =y!
Sai hàm số f(t) đơn điệu khoảng rời (cụ thể f(–1) = f(1) = 0).
BÀI TẬP Giải hệ phương trình sau
1)
2
x 3y
y 3x
ìï - + =
ïïí
ï - + =
ïïỵ Đáp số:
x x
y y
ì = ì =
ï ï
ï Úï
í í
ï = ï =
ï ï
ỵ ỵ . 2)
2
x xy x 2y
y xy y 2x
ìï + = +
ïïí
ï + = +
ïïỵ Đáp số:
3 x
x 2
y
y ìïï =
ì = ï
ï ï
ï Ú
í í
ï = ï
ï ï
ỵ ïïỵ = .
3) x y
y x
ìï + + - =
ïïí
ï + + - =
ïïỵ Đáp số:
x
y
ì = ïï íï =
ïỵ . 4)
x y
y x
ìï + + - =
ïïí
ï + + - =
ïïỵ Đáp số:
x
y
ì = ïï íï =
ïỵ .
5) x y
y x
ìï + + - =
ïïí
ï + + - =
ïïỵ Đáp số:
x x
y y
ì = ì =
-ï ï
ï Úï
í í
ï = ï =
-ï ï
ỵ ỵ .
6)
3
x x 2y
y y 2x
ìï = + ïïí
ï = +
ïïỵ Đáp số:
x x x
y y y
ì ì
ì = ï = ï =
-ï ï ï
ï Úï Úï
í í í
ï = ï = ï =
-ï ï ï
ỵ ïỵ ïỵ
.
(11)7)
2
3 2x y
x 2y x
y ìïï + = ïïï
íï
ï + =
ïïïỵ
Đáp số: ìïïíï =xy=11
ïỵ . 8)
2
1
2x y
y
2y x
x ìïï = + ïïï
íï
ï = +
ïïïỵ
Đáp số: ìïïíï =xy=11
ïỵ .
9)
2
2
x y y
xy x
ìï - =
ïïí
ï - =
ïïỵ Đáp số:
x
y
ì = ïï íï =
ïỵ . 10)
3
3
x x x 2y
y y y 2x
ìï - + + =
ïïí
ï - + + =
ïïỵ
Đáp số: ïíìïïyx==11Úïìïïí yx= -= - 11
ï ï
ỵ ỵ .
11) (Trích đề thi ĐH khối A – 2003)
3
1
x y (1)
x y
2y x (2) ìïï =
-ïïí
ïï = +
ïïỵ
.
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x¹ 0, y¹
(1) x y x y (x y) 1 x y y
xy xy x
ổ
- ỗ ữ
- + = - ỗ + ữữữ= = =
-ỗố ứ
+ Với x=y: (2) x x
2 - ±
Û = Ú =
+ Với y 1: (2) x4 x 2 0.
x
= - Û + + =
Xét hàm số /
3
1
f(x) x x f (x) 4x x
4
-= + + Þ = + = Û =
3 x
1
f 0, lim f(x) 0, x
4 4 đƠ
ổ ử- ữ
ỗ ữ= - > = +Ơ ị > " ẻ ỗ ữữ
ỗố ứ Ă ị x4+ + =x 0 vô nghiệm.
Cách khác:
+ Với x < Þ1 x+ > Þ2 0 x4+ + >x 2 0.
+ Với x ³ 1Þ x4 ³ x ³ - xÞ x4+ + >x 2 0.
Suy (2) vơ nghiệm.
Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt
1 5
x x
x 2 2
y 1 5
y y
2
ì ì
ï - + ï
-ï = ï =
ï ï
ì =
ï ï ï
ï Úï Úï
í í í
ï = ï - + ï
-ï ï ï
ỵ ï = ï =
ï ï
ï ï
ỵ ỵ
.
12) ìïïíï =xy=siny (1)sinx (2)
ïỵ
Hướng dẫn giải
Trừ (1) (2) ta được:
x- y= siny- sinx Û x+sinx= +y siny (3)
Xét hàm số f(t)= +t sint Þ f (t)/ = +1 cost³ 0, t" Ỵ ¡ .
(3) Û f(x)= f(y)Û x= yÞ (1)Û x- sinx=0 (4)
(12)Do g(0) = Þ0 (4)Û x=0. Vậy hệ có nghiệm x y ì = ïï íï = ïỵ .
Bài Giải hệ phương trình sau: 1
2
2
2
2
x y y
y x x
2 2 13 13
y x y
x y x
3 2 2 x y y x 4 3 5
x x y
y y x
5 4 20 20 x y x y 6 2
2x +xy= 3x 2y + xy= 3y
7
2
x -2x=y
y -2y=x 8
2 2
x -2y = 2x + y y -2x =2y + x
9
2
x = 3x+2y y =3y+2y 10 2 2
2
2
x y y
y x x
11 2 3 x y x y x y 12
2
2
3
3
y x x x
x y y y
13 2 2 2 3 2 3 y x x x y y 14 3
x 2x 2x 2y y 2y 2y 2x
15
3 x
3 y
log x 2x 3x 5y log y 2y 3y 5x
16 y x x y x y y x 4 3 4 3 17 4 3 2 4 3 2 2 2 2 2 y x y x y x 18 2 2 2 2 3 3 y x y x y x
17 2 ( 98)
x x y
MTCN
y y x 18
2 2
2
( 2000)
2
x x y
QG
y y x 19
3 ( 98)
x x y
QG
y y x
20 2 ( 2001) x y x TL y x y 21 2 2 ( 2003) y y x KhèiB x x y
19
3 14 11 3 14 11 x y log y x log y x
20
2 2 3 2 2 3 x y log y x log y x
Bài Tìm m để hệ
2
2
2
2
x y m
y x m
có nghiệm.
Bài Tìm giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất:
(13)1.
2
2
4
y x x mx
x y y my
2.
x y xy
y m x m y m
3.
2
xy x m y xy y m x
Bài Cho hệ phơng trình:
2
2
3 4
3 4
x y m m
y x m m
1) Giải hệ phơng tr×nh víi m = 1.
2) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm.
3) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm IV HỆ ĐẲNG CẤP Bài Giải cỏc hệ phương trỡnh sau:
1
2
2
x 3xy y
3x xy 3y 13
2 2 2
3
9 11
x xy y
y xy x
3
2 2 3 0
2
x xy y x x y y
4 2 2
2
x xy y x xy y
5 2 2
3 11
2 17
x xy y x xy y
6 2 2
3 38
5 15
x xy y x xy y
7 2 2
3
5
x xy y x xy y
8 2
3 160
3
x xy x xy y
9 3 10 x xy y x y
10 2 2 xy y x xy y x 11 2 2
3 11
2 25
x xy y x xy y
12 49 5 56 2 6 2 2 y xy x y xy x 13 3
2
6
x x y y xy 14 2 2
2
2 13 15
x xy y
x xy y
15
2
2
2
2
x y xy
x y 16 2 2
2
2 2
x xy y x xy y
Bài Gi¶i vµ biƯn ln HPT : a)
2
2
x 4y 17
x xy 4y m
b) 2
x xy
2x 4xy 2y m
Bi Chứng tỏ hệ dới có nghiệm víi mäi m :
2
2
x 4xy y m
y 3xy
Bài Tìm m để hệ sau có nghiệm phân biệt :
2
2
x m xy m y m x m xy 2m y m
(14)Bài Cho HPT :
2 2
2
x 4xy y k y 3xy
a) Gi¶i hƯ víi k = 1
b) CMR hƯ cã nghiƯm víi mäi giá trị k
Bi Chng t rng với m , phương trình sau lng có nghiệm:
2
2
3
2
x xy y m xy y V HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC: Bài Giải hệ phương trình sau:
1 2x y 4x 2y 3
2
x y 2 x 2y 3 2
x 2xy 3y x x y y
4 6 3
2 y x y xy
x y x xy 5 36 )1 ( )1 ( 12 2 y y x x y x y x 6 2
3 2
5
x y x y x x y xy y
7 2
x y(y x) 4y (x 1)(y x 2) y
8 2 2
x y 10x
x y 4x 2y 20
9 ) (3 2 2 y x y x y y x x 10 2 7 7 2 3 y x y x y y x x 11 1 2 1 1 x y y y x x 12
x y x y x y x y
13
2
4 2 x x x x y y y
14
0
x y x y
x y x y
15
1
xy xy x y 16
2
9
1
3log log
x y x y
17 14 2
1 log y x log
y
x y 25
18 0 log log 0 3 4 2 4x y
y x 19 3 2 2x y
x
y xy log y
log
20
2 7 2 2 3 3 y x y x y x y x 21 5 1152 2 3 2 2 x y log
(15)24
3 2
1 2
0 2
6 4
5
2 2 2 2 2
y x y x
y x y
x y
x
25
1 1
3
2 3 2 2
2
3 2
1 3
x xy x
. y x
y x
26
1 1 1
2 3 9
2 2
3
2 2
y x
xy log
xy log
27
2
4
5 x y x y xy xy
4 x y xy 2x
4
28
4 2
x 2x y x y 2x x 2xy 6x
29
2
xy x y x 2y x 2y y x 2x 2y
30
y x y x
y y x x
3
2 2
2 2
31
2
1 13 13
6
97 36
y x y y
x y
x y
32
0 9 5
18 3
2
2 2
y x x
y x x x
Bài 2: Tìm m để hệ phơng trình sau: 1
x y
x x y y m
cã nghiÖm.
Bài 3: Chøng minh r»ng: với a > 0, hệ phơng trình sau có nghiÖm nhÊt:
ln 1 ln 1
x y
e e x y
y x a
Bài 4: Tìm giá trị tham số m để hệ phơng trình sau có nghiệm thực:
3
3
1 1
5
1 1
15 10
x y
x y
x y m
x y
Bài 5: Xác định a để hệ phơng trình sau có nghiệm nhất:
2
2
2
1
x x y x a
x y
Bài 5: Cho hệ phơng trình:
2
2
1 sin
1
ax a y x
tg x y