Định lý bezout và chiều ngược lại

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Phạm Kế Quang ĐỊNH LÝ BÉZOUT VÀ CHIỀU NGƯỢC LẠI Chun ngành: Hình học tơpơ Mã số: 60460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn: TS.Phó Đức Tài Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Phó Đức Tài người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Hà Nội, ngày 23 tháng 12 năm 2015 Học viên Phạm Kế Quang Mục lục Chương Đường cong đại số 1.1.Đường cong phức C2 1.2.Đường cong xạ ảnh phức P2 10 1.2.1 Không gian xạ ảnh phức 1.2.2 Đường cong xạ ảnh phức P2 11 13 Chương Định lý Bézout 15 2.1.Kết thức 15 2.2.Bội giao 22 2.3.Định lý Bézout 26 Chương Chiều ngược lại định lý Bézout 30 3.1.Bội giao hai đường cong điểm 30 3.2.Một số trường hợp riêng toán ngược lại 32 3.3.Chiều ngược lại cho số trường hợp cụ thể 35 3.3.1 Hai đường cong bậc hai 3.3.2 Một đường cong bậc hai đường cong bậc ba 3.3.3 Hai đường cong bậc bốn 35 40 45 LỜI MỞ ĐẦU Hình học đại số chuyên ngành tốn học sử dụng cơng cụ đại số để nghiên cứu tốn hình học Đối tượng đường cong, mặt cong, hay tổng quát siêu mặt đại số, chúng định nghĩa đa thức Trong hình học đại số, lý thuyết giao nghiên cứu phần giao hai hay nhiều siêu mặt đại số Tìm phần giao hai siêu mặt đại số tương đương với việc giải hệ phương trình gồm hai phương trình đa thức Khởi đầu định lý cổ điển, định lý Bézout (1779) phát biểu tổng số giao điểm (đếm bội) hai đường cong xạ ảnh phức tích hai bậc Số bội sau cụ thể hóa khái niệm số bội giao (hay nói gọn hơn, bội giao) Trường hợp riêng định lý Bézout hai đường cong y = f (x) (với f (x) đa thức bậc m) y = (đa thức bậc 1) Định lý Đại số học Mục đích luận văn nhằm tìm hiểu vấn đề giao điểm hai đường cong mặt phẳng xạ ảnh phức, cụ thể số giao điểm, số bội giao Trọng tâm luận văn Định lý Bezout chiều ngược lại: Cho trước hai số nguyên dương m n Với k số nguyên dương [s1 , s2 , , sk ] cho s1 +s2 +· · ·+sk = m·n., liệu có tồn hay khơng hai đường cong xạ ảnh bậc m n P2 cho chúng giao k điểm với số bội giao tương ứng s1 , s2 , , sk Bố cục luận văn bao gồm chương: • Chương khóa luận trình bày tóm tắt lý thuyết đường cong đại số C2 không gian xạ ảnh phức P2 • Chương tìm hiểu kết thức, bội giao, tính chất kết thức sử dụng tính chất để chứng minh định lý Bézout • Chương tìm hiểu chiều ngược lại định lý Bézout Chứng minh số trường hợp riêng cho chiều ngược lại (mục 3.2), đưa số ví dụ minh họa (cụ thể trường hợp hai đường cong bậc hai đường cong bậc hai với đường cong bậc ba trình bày chi tiết mục 3.3) Luận văn nghiên cứu tiếp nối khóa luận đại học học viên So với khóa luận đại học, chúng tơi có số kết mới, bao gồm mệnh đề 3.1.1, 3.2.2, 3.2.3 3.2.4 Do thời gian thực luận văn khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên làm luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Chúng tơi mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 23 tháng 12 năm 2015 Học viên Phạm Kế Quang Chương Đường cong đại số Cho f(x,y) đa thức hai biến hệ số thực Khi tập {(x,y)∈ R2 |f (x, y) = 0} gọi đường cong đại số thực Bậc đa thức f bậc đường cong đại số Bài tốn đặt tìm số giao điểm hai đường cong đại số Do R trường đóng đại số nên lời giải tốn tìm giao điểm khơng đủ Do khóa luận ta xét đường cong đại số trường số phức C 1.1 Đường cong phức C2 Giả sử f (x, y) đa thức hai biến, khác số, với hệ số phức Ta nói f (x, y) khơng có thành phần bội không tồn khai triển: f (x, y) = g (x, y)h(x, y), g(x, y),h(x, y) đa thức g(x, y) khác số Định nghĩa 1.1.1 Giả sử f (x, y) đa thức hai biến, khác số, với hệ số phức khơng có thành phần bội Khi đường cong đại số phức C C2 (hay gọi đường cong affine) định nghĩa f (x, y) C = {(x, y) ∈ C2 |f (x, y) = 0} Nhận xét 1.1.1 Trong Định nghĩa có giả thiết f (x, y) khơng có thành phần bội theo định lý Hilbert khơng điểm: Nếu f (x, y) g(x, y) đa thức với hệ số phức {(x, y) ∈ C2 |f (x, y) = 0} = {(x, y) ∈ C2 |g(x, y) = 0} tồn số nguyên dương n m cho f chia hết g n g chia hết f m Nhận xét 1.1.2 Một cách tổng quát để định nghĩa đường cong đại số phức C2 lớp tương đương đa thức hai biến khác số, hai đa thức tương đương với đa thức tích đa thức với vơ hướng Một đa thức có thành phần bội đường cong h�i I(1,0) (C1 , C2 ) = I(1,0) y a (y − xn−a ), y m + y.xm−n+a − y.xm−n+a−1 − xm + xm−1 = I(1,0) y a , y m + y.xm−n+a − y.xm−n+a−1 − xm + xm−1 = a.I(1,0) (y, −xm + xm−1 ) = a.I(1,0) (y, xm−1 (1 − x)) = a.I(1,0) (y, − x) =a I(0,0) (C1 , C2 ) = I(0,0) y a (y − xn−a ), y m + xm−n+a (y − xn−a ) + xm−n+a−1 (y − xn−a ) = I(0,0) y a , y m +y.xm−n+a −y.xm−n+a−1 −xm +xm−1 +I(0,0) y−xn−a , y m + + xm−n+a (y − xn−a ) + xm−n+a−1 (y − xn−a ) = a.I(0,0) (y, xm−1 (1 − x)) + I(0,0) (y − xn−a , y m ) = a.I(0,0) (y, xm−1 ) + m.I(0,0) (y − xn−a , y) 34 = a.(m − 1).I(0,0) (y, x) + m.I(0,0) (−xn−a , y) = a(m − 1) + m.(n − a) = mn − a Mệnh đề 3.2.4 Luôn tồn hai đường cong bậc n m (n ≤ m) cho chúng giao k điểm với bội giao tương ứng m.i1 , m.i2 , , m.ik với i1 + i2 + · · · + ik = n Chứng minh Lấy C1 định nghĩa g(x, y) = y − (x − x1 )i1 (x − x2 )i2 (x − xk )ik Lấy C2 định nghĩa h(x, y) = y m − g(x, y) Khi C1 , C2 giao k điểm (x1 , 0), (x2 , 0) , (xk , 0) với bội giao tương ứng i1 , i2 , , ik với I( xt , 0)(C1 , C2 ) = I(xt ,0) (g(x, y), h(x, y)) = I(xt ,0) (g(x, y), y m ) = m.I(xt ,0) (g(x, y), y) = m.I(xt ,0) ((x − x1 )i1 (x − x2 )i2 (x − xk )ik , y) = m.I(xt ,0) ((x − xt )it , y) = m.it I(xt ,0) (x − xt , y) = m.it 3.3 Chiều ngược lại cho số trường hợp cụ thể Ta kí hiệu [s1 , s2 , , sk ] số bội giao hai đường cong k điểm 3.3.1 Hai đường cong bậc hai Hai đường cong bậc hai C D giao bốn điểm tính bội với trường hợp [1, 1, 1, 1], [1, 1, 2], [1, 3], [2, 2], [4] Chọn C đường cong định nghĩa f (x, y) = y − x2 Ta phải tìm đường cong D định nghĩa g(x, y) = a20 x2 + a02 y + a11 xy + a10 x + a01 y + a00 • Trường hợp 1: [1,1,1,1] Chọn bốn điểm (0, 0), (1, 1), (−1, 1), (2, 4) thuộc C Để D giao C bốn điểm với bội [1,1,1,1]   a00    a + a + a + a + a + a 20 02 11 10 01 00 a20 + a02 − a11 − a10 + a01 + a00      4a20 + 16a02 + 8a11 + 2a10 + 4a01 + a00 =0 =0 =0 =0 Chọn nghiệm hệ (a20 , a02 , a11 , a10 , a01 , a00 ) = (1, −1, 2, −2, 0, 0) Khi D định nghĩa g(x, y) = x2 − y + 2xy − 2x 35 Hình 3.1: Trường hợp [1,1,1,1] • Trường hợp 2: [1,1,2] Chọn ba điểm (1, 1), (−1, 1), (0, 0) thuộc C Với f (x, y) có phương trình tham số  x = t y = t2 Khi g(t, t2 ) = a02 t4 + a11 t3 + (a20 + a01 )t2 + a10 t + a00 Do để D giao C ba điểm (1,1), (-1,1), (0,0) với số bội [1,1,2]   a20 + a02 + a11 + a10 + a01 + a00 =     a + a − a − a + a + a = 20 02 11 10 01 00   a00 =     a10 = Chọn nghiệm hệ (a20 , a02 , a11 , a10 , a01 , a00 ) = (1, 1, 0, 0, −2, 0) Khi D định nghĩa g(x, y) = x2 + y − 2y • Trường hợp 3: [1,3] Chọn hai điểm (1, 1), (0, 0) thuộc C Với f (x, y) có phương trình tham số  x = t y = t2 Khi g(t, t2 ) = a02 t4 + a11 t3 + (a20 + a01 )t2 + a10 t + a00 36 Hình 3.2: Trường hợp [1,1,2] Do để D giao C hai điểm (1,1), (0,0) với số bội [1,3]   a20 + a02 + a11 + a10 + a01 + a00 =    a = 00   a10 =     a20 + a01 = Chọn nghiệm hệ (a20 , a02 , a11 , a10 , a01 , a00 ) = (1, 1, −1, 0, −1, 0) Khi D định nghĩa g(x, y) = x2 + y − xy − y Hình 3.3: Trường hợp [1,3] • Trường hợp 4: [2,2] Chọn hai điểm (1, 1), (0, 0) thuộc C Tại điểm (0,0), f (x, y) có phương trình tham số  x = t y = t2 37 ...g tồn tồn trường hợp tốn ngược định lý Bézout 46 KẾT LUẬN Đóng góp luận văn bao gồm: Đọc hiểu trình bày lại kết kết thức, định lý Bézout Chứng minh chiều ngược lại định lý Bézout cho số trườn... 22 2.3 .Định lý Bézout 26 Chương Chiều ngược lại định lý Bézout 30 3.1.Bội giao... chất để chứng minh định lý Bézout • Chương tìm hiểu chiều ngược lại định lý Bézout Chứng minh số trường hợp riêng cho chiều ngược lại (mục 3.2), đưa số ví dụ minh họa (cụ thể trường hợp hai đường