De kiem tra Hoc ki 2 mon Toanco dap an

Lưu ý: Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.[r]

Sở Giáo dục Đào tạo

TP Hồ Chí Minh ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ ( 2008-2009) MƠN TỐN LỚP 12

Thời gian làm : 120 phút

A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( điểm) Câu (3,5 điểm)

Cho hàm số : y=− x +2

2 x+1(C)

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) với trục Ox

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) , trục Ox

và trục Oy

d) Xác định m để đường thẳng (d ): y =x+2 m cắt đồ thị (C)

tại hai điểm phân biệt Câu (1,5 điểm)

Tính tích phân : a) I= ∫

0

π

2

cos2x sin xdx b) J= x x3+1¿

2

dx ¿ ∫

0

¿ Câu (2 điểm)

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1 ; ; 0) , B(0 ; ; 0) , C(0 ; ; 3)

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm B, C song song với đường thẳng OA

b) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc gốc tọa độ O mặt phẳng(ABC)

B.PHẦN RIÊNG : ( điểm)

Học sinh học chương trình làm phần dành riêng cho chương trình đó.( phần I phần II)

I)Theo chương trình chuẩn.

1) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số : y=− x3−3 x2+4 đoạn [-3;2]

2) Xác định m để hàm số y=x3

+(m+2)x2−2 mx+m+1 có điểm cực đại

và điểm cực tiểu

3) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) qua hai điểm A(-2 ; ; 1), B(2 ; ; ) có tâm I thuộc đường thẳng (d):

¿ x=2-t

y =3t z=1+6t

¿{ { ¿

II)Theo chương trình nâng cao.

1) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số : y=√x2+2 x +5 đoạn [-3;2]

2) Xác định m để hàm số y=x3+(m+2)x2−2 mx+m+1 đồng biến

3) Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) qua ba điểm A(-2 ; ; 1), B(2 ; ; ), C(0 ; ; -1) có tâm I thuộc mp(P) có phương trình: x + y – z + =

HẾT Đáp án :

A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( điểm) Câu (3,5 điểm)

Cho hàm số : y=− x +2

2 x+1(C)

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

Tập xác định : ¿ R {−1

2 ¿

0,25 đ Sự biến thiên

chiều biến thiên :

2 x +1¿2 ¿ ¿ y '=−5

¿

0,25 đ

Hàm số nghịch biến khoảng (− ∞;−1 )và (

−1

2 ;+∞) 0,25 đ

Hàm số khơng có cực trị Tiệm cận : Lim

x → ±∞ y= Limx→ ±∞ − x +2

2 x+1=

− 1

2

x →−1

2

+¿

y =+ ∞

Lim x → − 1

2

−y=− ∞ Lim¿

0,25 đ Đường thẳng y=−1

2 tiệm cận ngang

Đường thẳng x=−1

2 tiệm cận đứng 0,25 đ

Bảng biến thiên

0,25 đ Đồ thị cắt trục Oy điểm ( ; ), cắt trục Ox điểm ( ; )

Vẽ đồ thị

Lưu ý: Giao điểm hai tiệm cận tâm đối xứng đồ thị 0,5 đ

y

’y  

x

-1/

- +

+

-1 /

 

b)Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) với trục Ox

Giao điểm với trục Ox : ( ; ) y’(2) = − 15

Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm ( ; ) : y − 0=−1

5 (x −2)⇔ y=

−1

5 x +

5 0,5 đ

c)Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) , trục Ox

trục Oy

Giao điểm với trục Ox : ( ; ) Giao điểm với trục Oy : ( ; ) Vì y=− x +2

2 x+1≥ 0 với x∈[0 ;2] nên diện tích hình phẳng cần

tìm : − x+ 2

2 x +1dx=¿∫0

2

(−1

2 +

5/2

2 x +1)dx=( −1

2 x +

4Ln|2 x +1|)¿02

S=∫

0

¿ S = −1+5

4Ln ( đvdt) 0,5 đ

d)Xác định m để đường thẳng (d ): y =x+2 m cắt đồ thị (C)

tại hai điểm phân biệt

Hoành độ giao điểm (d ) đồ thị ( C ) thỏa phương

trình :

− x +2

2 x+1=x+2m(x ≠

−1

2 )

⇔

2 x2+4 mx+2 x+2m −2=0

− 1

2 ¿

2−2 m− 1+2m −2 ≠0

¿ ¿ ¿ ⇔

¿ ¿

¿x2+(2 m+1)x +m −1=0 ¿

2¿

Vậy với m đường thẳng ( d ) cắt (C ) hai điểm phân biệt

0,5 đ Câu (1,5 điểm)

Tính tích phân : a) I= ∫

0

π

2

cos2x sin xdx

Đặt u=cos x du=−sin xdx 0,25 đ Ta có : x = u=1

Vậy I = u2

(− du)=(−u

3

3)∨¿10=

1 ∫

1

¿

0,5 đ

b) J= x x3+1¿

2

dx ¿ x3+1¿2

¿ ¿ x2

¿ ¿ ∫

0

¿

Đặt u=x3+1 du=3 x2dx 0,25 đ

Ta có : x = u=1 x = u=2 Vậy J=

du 3 u2=−

1

3 u∨¿12=

− 1

6 + 3=

1 ∫

1

¿

0,5 đ Câu (2 điểm)

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1 ; ; 0) , B(0 ; ; 0) , C(0 ; ; 3)

a)Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm B, C song song với đường thẳng OA

Ta có ⃗BC=(0 ; −2 ; 3) ⃗OA=(1 ;0 ;0)

Mp(P) qua BC song song với OA nên có vectơ pháp tuyến :

⃗

n=(0 ;3 ;2) 0,5

đ

Mp(P) qua điểm B(0 ; ; 0), có vectơ pháp tuyến

⃗

n=(0 ;3 ;2) nên có phương trình :

(y – 2)3 + 2z = ⇔ 3y + 2z – = 0,5đ b)Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc gốc tọa độ O mặt phẳng(ABC)

Phương trình mp(ABC) : x1+y 2+

z

3=1⇔ x+3 y +2 z− 6=0 0,25 đ

Đường thẳng OH vng góc với mp(ABC) nên có vecto phương vecto pháp tuyến mp(ABC) : ( ; ; )

Phương trình tham số đường thẳng OH: ¿ x=6t

y=3t z=2t ¿{{

¿ 0,5 đ

¿ x=6t y=3t z =2t

6x+3y +2z-6=0 ¿{ { {

¿

Giải hệ ta H ( 3649 ;18

49 ; 12

49¿ 0,25 đ

B.PHẦN RIÊNG : ( điểm)

I)Theo chương trình chuẩn.

1) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số : y=− x3−3 x2+4

y=− x3−3 x2+4 xác định liên tục R

y '=0y '=− x⇔ x=0 ; x=−22−6 x

( thuộc đoạn [ - ; ] )

0,5 đ Xét trên đoạn [-3;2]:

Ta có y(-3) = ; y(-2) = ; y(0) = ; y(2) = - 16

Vậy giá trị lớn hàm số , đạt x = -3 x = giá trị nhỏ hàm số -16 đạt x =2

0,5 đ 2) Xác định m để hàm số y=x3

+(m+2)x2−2 mx+m+1 có điểm cực đại

và điểm cực tiểu

Hàm số xác định có tập xác định R y=x3+(m+2)x2−2 mx+m+1

y '=3 x2+2(m+2)x −2 m ¿

y '=0⇔ x2+2(m+2)x −2 m=0

m+2¿2+6 m=m2+10 m+4

Δ'=¿

(1)

0,5 đ

Để hàm số có cực đại cực tiểu (1) phải có hai nghiệm phân biệt : Δ'>0⇔m<−5 −√21 v m>−5+√21 0,5 đ

3) Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) qua hai điểm A(-2 ; ; 1), B(2 ; ; ) có tâm I thuộc đường thẳng (d):

¿ x=2-t

y =3t z=1+6t

¿{ { ¿

Vì mặt cầu (S) qua hai điểm A, B nên tâm I mặt cầu thuộc mặt trung trực AB

Trung điểm AB : K (0 ; ; ) Vecto AB→ =(4 ;− ;2)

Phương trình mp trung trực AB : (x-0)4 +(y-2)(-4)+(z-2)2 = ⇔2 x − y+z+2=0

¿ x=2− t

y=3t z=1+6t

2x −2y +z +2=0 ¿{ { {

¿

Giải hệ ta I ( −3

2; 21

2 ;22¿ 0,5 đ

Bán kính mặt cầu (S) : IB =

21 ¿

2

+192 ¿ −3

2− 2¿

2

+¿ ¿ √¿

Phương trình mặt cầu ( S )

z − 22¿2=967

y −21

2 ¿

2

+¿ x+3

2¿

2

+¿ ¿

0,5 đ

II)Theo chương trình nâng cao. 1) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số : y=√x2

+2 x +5 đoạn [-3;2]

Ta có tập xác định hàm sơ R Hàm số liên tục R

y '=

x+1

√x2+2 x +5

y '=0⇔ x=−1 ∈[− ;2]

0,5 đ Ta có y(-3) = √8 ; y(-1) =2 ; y(2) = √13

Vậy giá trị lớn hàm số √13 , đạt x =

và giá trị nhỏ hàm số đạt x = -1 0,5 đ

2) Xác định m để hàm số y=x3

+(m+2)x2−2 mx+m+1 đồng biến

tập xác định

Hàm số xác định có tập xác định R y=x3+(m+2)x2−2 mx+m+1

y '=3 x2+2(m+2)x −2 m ¿

y '=0⇔ x2

+2(m+2)x −2 m=0

m+2¿2+6 m=m2+10 m+4

Δ'=¿

(1)

0,5 đ Để hàm số đồng biến tập xác định (1) phải có nghiệm kép vơ nghiệm ( hệ số a y’ số dương)

3) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) qua ba điểm A(-2 ; ; 1), B(2 ; ; ), C(0 ; ; -1) có tâm I thuộc mp(P) có phương trình: x + y – z + =

Vì mặt cầu (S) qua hai điểm A, B nên tâm I mặt cầu thuộc mặt trung trực AB

Trung điểm AB : K (0 ; ; ) Vecto AB→ =(4 ;− ;2)

Phương trình mp trung trực AB : (x-0)4 +(y-2)(-4)+(z-2)2 = ⇔2 x − y+z+2=0 ( )

Vì mặt cầu (S) qua hai điểm B,C nên tâm I mặt cầu thuộc mặt trung trực BC

Trung điểm BC : J (1 ; ; ) Vecto BC→ =(− 2;2 ;− 4)

Phương trình mp trung trực BC : (x-1)(-2) +(y-1)(2)+(z-1)(-4) = ⇔− x+ y −2 z+2=0 (2) Theo giả thiết tâm I thuộc mp(P):x + y – z + = (3)

Vậy tọa độ I thỏa hệ phương trình ( ) , ( ) , ( ) Giải hệ ta

I( -1 ; ; 2) 0,5 đ

Bán kính mặt cầu ( S ) : IA = √11

Vậy phương trình mặt cầu ( S ):

z − 2¿2=11 y −1¿2+¿ x +1¿2+¿

¿