Cơ học lượng tử 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM CƠ HỌC LƯỢNG TỬ DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH SƯ PHẠM VẬT LÝ ThS NGUYỄN VĂN MỆN AN GIANG, THÁNG NĂM 2016 Tài liệu giảng dạy “Cơ học lƣợng tử 1”, tác giả Nguyễn Văn Mện, công tác Khoa Sƣ phạm thực Tác giả báo cáo nội dung đƣợc Hội đồng Khoa học Đào tạo Khoa thông qua ngày………., đƣợc Hội đồng Khoa học Đào tạo Trƣờng Đại học An Giang thông qua ngày…… Tác giả biên soạn ThS NGUYỄN VĂN MỆN Trưởng Khoa Sư phạm Phó Trưởng Bộ mơn TRẦN THỂ TRƯƠNG TÍN THÀNH Hiệu trưởng AN GIANG, THÁNG NĂM 2016 LỜI NÓI ĐẦU Học phần Cơ học lƣợng tử (mã học phần PHY510) học phần bắt buộc với khối lƣợng lớn (chiếm tín chỉ) thuộc Chƣơng trình đào tạo đại học ngành Sƣ phạm Vật lý Đây học phần thuộc nhóm kiến thức vật lý lý thuyết, tiếp sau học phần Phƣơng pháp tốn lý Cơ học lƣợng tử trình bày kiến thức sở, mở đầu Cơ học lƣợng tử, làm tiền đề cho học phần vật lý lý thuyết sau Đã có số sách Cơ học lƣợng tử đƣợc tác giả nhà xuất tên tuổi nƣớc xuất Tuy nhiên, tài liệu không thật phù hợp với nội dung nhƣ thực tế giảng dạy học tập giảng viên sinh viên ngành Sƣ phạm Vật lý trƣờng Đại học An Giang Vì thế, việc biên soạn tài liệu giảng dạy học phần Cơ học lƣợng tử phục vụ cho chƣơng trình đào tạo ngành Sƣ phạm Vật lý Trƣờng điều cần thiết Việc làm đồng thời góp phần nhỏ vào mục tiêu chung nhà Trƣờng xây dựng hệ thống giáo trình, tài liệu giảng dạy đạt chuẩn thời gian tới Căn thực tế giảng dạy học tập học phần năm qua, tác giả biên soạn tài liệu gồm bảy chƣơng nội dung chính: Chƣơng Mở đầu Chƣơng Toán tử Chƣơng Các tiên đề học lƣợng tử Chƣơng Phƣơng trình Schrodinger Chƣơng Biến đổi trạng thái theo thời gian Chƣơng Moment động lƣợng Chƣơng Thế xuyên tâm Nguyên tử hidro Nội dung Cơ học lƣợng tử nhiều, nhiên thời lƣợng chƣơng trình có hạn nên tác giả biên soạn nội dung nhất, trang bị cho sinh viên chuyên ngành Sƣ phạm Vật lý Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Đảng ủy, Ban Giám hiệu Trƣờng Đại học An Giang tạo điều kiện thuận lợi cho tôi; cảm ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Sƣ phạm, Hội đồng Khoa học Khoa quan tâm, giúp đỡ, góp ý cho tơi việc hoàn thành tài liệu nhƣ thủ tục hành Đặc biệt tơi xin gửi lời cảm ơn đến Tập thể đồng nghiệp Bộ môn Vật lý, Khoa Sƣ phạm giúp đỡ, đóng góp nhiều ý kiến q báu để tơi hồn thành tài liệu Tuy có nhiều cố gắng nhƣng hẳn tài liệu cịn nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận đƣợc đóng góp ý kiến quý báu nhà khoa học, quý đồng nghiệp nhƣ bạn sinh viên, để tài liệu ngày hoàn thiện An Giang, ngày … tháng năm 2016 Người thực Nguyễn Văn Mện i ii LỜI CAM KẾT Tôi xin cam đoan nội dung khoa học tài liệu giảng dạy đƣợc nghiên cứu, biên soạn; nguồn gốc nội dung đƣợc trích dẫn rõ ràng An Giang, ngày … tháng năm 2016 Người thực Nguyễn Văn Mện iii MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU I LỜI CAM KẾT III MỤC LỤC IV DANH SÁCH HÌNH VI DANH SÁCH BẢNG VII CHƢƠNG MỞ ĐẦU 1.1 VẬT LÝ HỌC CỔ ĐIỂN 1.2 TÍNH CHẤT HẠT CỦA BỨC XẠ 1.3 TÍNH CHẤT SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT GIẢ THUYẾT DE BROGLIE 1.4 LÝ THUYẾT VỀ NGUYÊN TỬ CỦA BOHR 1.5 HÀM SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT 1.6 SỰ CHUẨN HOÁ HÀM SÓNG 1.7 BÀI TẬP CHƢƠNG CHƢƠNG TOÁN TỬ 11 2.1 ĐỊNH NGHĨA TỐN TỬ TỐN TỬ TUYẾN TÍNH 11 2.2 CÁC PHÉP TÍNH TRÊN TỐN TỬ 12 2.3 HÀM RIÊNG, TRỊ RIÊNG VÀ PHƢƠNG TRÌNH TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ 15 2.4.TOÁN TỬ TỰ LIÊN HỢP TUYẾN TÍNH (HAY TỐN TỬ HERMIT)16 2.5 CHÚ THÍCH VỀ TRƢỜNG HỢP TỐN TỬ CĨ PHỔ LIÊN TỤC 18 2.6 BÀI TẬP CHƢƠNG 19 CHƢƠNG CÁC TIÊN ÐỀ CỦA CƠ HỌC LƢỢNG TỬ 22 3.1 SỰ KHÁC BIỆT CỦA CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ VÀ CƠ HỌC CỔ ĐIỂN 22 3.2 CÁC TIÊN ĐỀ TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ 22 3.3 GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC 23 3.4 TÍNH HỆ SỐ PHÂN TÍCH 25 3.5 GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ HỆ SỐ PHÂN TÍCH ĐỐI VỚI TỐN TỬ CÓ PHỔ LIÊN TỤC 25 3.6 TOÁN TỬ TỌA ĐỘ VÀ TOÁN TỬ XUNG LƢỢNG 28 3.7 NGUYÊN LÝ TƢƠNG ỨNG VÀ CÁC DẠNG TOÁN TỬ KHÁC 29 3.8 SỰ ĐO ĐỒNG THỜI HAI BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC 30 3.9 HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG 32 3.10 BÀI TẬP CHƢƠNG 35 CHƢƠNG PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER 38 4.1 PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGGER KHƠNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN 38 4.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER MỘT CHIỀU 39 4.3 HỐ THẾ CĨ CHIỀU SÂU VƠ HẠN 40 4.4 HỐ THẾ CÓ BỀ SÂU HỮU HẠN 45 4.5 THẾ BẬC THANG 52 4.6 HÀNG RÀO THẾ VÀ HIỆU ỨNG ĐƢỜNG NGẦM 57 4.7 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 62 4.8 BÀI TẬP CHƢƠNG 68 CHƢƠNG SỰ BIẾN ÐỔI TRẠNG THÁI THEO THỜI GIAN 71 iv 5.1 PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER PHỤ THUỘC THỜI GIAN 71 5.2 MẬT ĐỘ XÁC SUẤT VÀ MẬT ĐỘ DÒNG XÁC SUẤT 72 5.3 TRẠNG THÁI DỪNG 74 5.4 ĐẠO HÀM TOÁN TỬ THEO THỜI GIAN 76 5.5 PHƢƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ 78 5.6 TÍCH PHÂN CHUYỂN ĐỘNG 80 5.7 BÀI TẬP CHƢƠNG 81 CHƢƠNG MOMENT ĐỘNG LƢỢNG 83 6.1 TOÁN TỬ MOMENT ĐỘNG LƢỢNG 83 6.2 TRỊ RIÊNG CỦA MOMENT ĐỘNG LƢỢNG 85 6.3 HÀM RIÊNG CỦA TOÁN TỬ MOMENT ĐỘNG LƢỢNG 87 6.4 MẪU VECTOR VÀ PHÉP CỘNG MOMENT ĐỘNG LƢỢNG 88 6.5 TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM CẦU ĐỐI VỚI PHÉP NGHỊCH ĐẢO KHÔNG GIAN 90 6.6.BÀI TẬP CHƢƠNG 92 CHƢƠNG THẾ XUYÊN TÂM – NGUYÊN TỬ HIDRO 94 7.1 CHUYỂN ĐỘNG TRONG TRƢỜNG THẾ XUYÊN TÂM 94 7.2 PHẦN PHỤ THUỘC r CỦA HÀM SÓNG 95 7.3 CHUYỂN ĐỘNG TRONG TRƢỜNG COULOMB NGUYÊN TỬ HIDRO 96 7.4 CHUYỂN ĐỘNG TRONG TRƢỜNG COULOMB BIỂU THỨC NĂNG LƢỢNG 97 7.5 CÁC LƢỢNG TỬ SỐ 99 7.6 CÁC HÀM RIÊNG 100 7.7 QUANG PHỔ CỦA NGUYÊN TỬ HIDRO 100 7.8 SỰ PHÂN BỐ ELECTRON QUANH HẠT NHÂN NGUYÊN TỬ HIDRO 102 7.9 BÀI TẬP CHƢƠNG 105 PHỤ LỤC TOÁN HỌC 107 P.1 HÀM DELTA DIRAC 107 P.2 SỰ CHUYỂN TỪ TỌA ĐỘ DESCARTES SANG HỆ TỌA ĐỘ CẦU109 P.3 PHƢƠNG TRÌNH VÀ ĐA THỨC LEGENDRE 111 TÀI LIỆU THAM KHẢO 113 v DANH SÁCH HÌNH Hình Gián đoạn hữu hạn hàm 40 Hình Hố chữ nhật chiều sâu vô hạn 41 Hình Đồ thị hàm sóng hạt giếng chiều sâu vô hạn 44 Hình 4 Đồ thị mật độ xác suất tìm thấy hạt giếnh chiều sâu vô hạn 45 Hình Hố chiều sâu hữu hạn 46 Hình Nghiệm ứng với lớp nghiệm chẵn 48 Hình Nghiệm ứng với lớp nghiệm lẻ 49 Hình Nghiệm ứng với   49 Hình Đồ thị hàm sóng ứng với   51 Hình 10 Đồ thị mật độ xác suất tìm thấy hạt giếng chiều sâu vô hạn ứng với   52 Hình 11 Thế bậc thang 53 k Hình 12 Sự phụ thuộc hệ số phản xạ hệ số truyền qua vào 55 k0 Hình 13 Hàng rào chữ nhật 57 Hình 14 Hiệu ứng đƣờng ngầm với hàng rào 61 Hình 15 Năng lƣợng dao động tử điều hịa cổ điển 63 Hình 16 Thang lƣợng dao động tử điều hịa 66 Hình 17 Hàm sóng mật độ xác suất trạng thái dao động tử điều hòa 68 Hình Sự định hƣớng moment động lƣợng khơng gian 89 Hình Phép nghịch đảo không gian 92 Hình Ba dải quang phổ quang phổ hidro 102 Hình Mật độ xác suất theo bán kính 103 Hình Phân bố mật độ xác suất theo góc   104 Hình P Hàm delta Dirac 107 Hình P Chuyển từ tọa độ vng góc sang tọa độ cầu 109 vi m0 Z 2e4 En   En   2n (7.39) Trong n số nguyên dƣơng: n  1,2,3, Đó cơng thức lƣợng electron nguyên tử hidro Theo công thức này, lƣợng gián đoạn tỷ lệ nghịch với bình phƣơng số ngun liên tiếp Tính gián đoạn lƣợng hệ yêu cầu hàm sóng phải hữu hạn vơ cực 7.5 CÁC LƯỢNG TỬ SỐ Ba số nguyên n, , m xác định hàm sóng un m gọi lƣợng tử số n gọi lƣợng tử số chính, nhận giá trị ngun dƣơng đặc trƣng cho lƣợng Giá trị lƣợng phụ thuộc vào n theo công thức (7.39) đƣợc gọi lƣợng tử số quỹ đạo Ứng với giá trị n, nhận n giá trị từ không đến n  Lƣợng tử số quỹ đạo xác định độ lớn moment xung lƣợng quỹ đạo: L   1 (7.40) m lƣợng tử số từ Ứng với giá trị xác định, m có  giá trị có thể, từ  đến  Lƣợng tử số từ xác định độ lớn hình chiếu moment xung lƣợng trục z Lz  m (7.41) Ta nhận thấy ứng với mức lƣợng (cùng lƣợng tử số n) có nhiều ba số n, , m khác (do m có nhiều giá trị khác nhau) có nhiều hàm sóng (nên có nhiều trạng thái) khác Ta nói mức lƣợng En bị suy biến Bây ta tìm xem ứng với mức lƣợng (mỗi giá trị n) có ba n, , m nghĩa tìm bội suy biến En Với giá trị có  giá trị m tức có  trạng thái khác Với giá trị khác từ đến n  số trạng thái là: n 1 2  1  n 0 (7.42) Vậy số trạng thái có lƣợng En n Ta nói mức lƣợng En có bội suy biến n Ba lƣợng tử số xác định trạng thái, thƣờng ngƣời ta dùng cách ký hiệu đặc biệt để lƣợng tử số lƣợng tử số quỹ đạo Theo cách ký hiệu này, lƣợng tử số n đƣợc viết chữ số, lƣợng tử số  0,1,2,3, đƣợc thay chữ s, p, d, f,… 99 7.6 CÁC HÀM RIÊNG Tóm tắt kết hàm sóng lƣợng ngun tử hidro ta trình bày nhƣ sau: Trạng thái đƣợc đặc trƣng ba lƣợng tử số n, , m biểu diễn hàm sóng: un m  r,  ,    N n Rn  r  Y m  ,  (7.43) Trong N n hệ số chuẩn hố Thành phần xuyên tâm R viết tƣờng minh là:  q Rn  q e  q  (7.44)  q  nghiệm phƣơng trình (7.27) Sau số hàm riêng nói trên: u100  Z   Zra    e  a (7.45) u200  Z 2  Z   2Zra    1  e   2a   2a  (7.46) 7.7 QUANG PHỔ CỦA NGUYÊN TỬ HIDRO Biểu thức lƣợng electron bên nguyên tử có dạng: m0 Z 2e4 En   2 n2 (7.47) Thay Z  nguyên tử hidro: En   R n2 (7.48) Trong R m0e4  13,55eV 2 (7.49) Khi n  1, lƣợng có giá trị thấp nhất, n tăng lƣợng tăng mức lƣợng liên tiếp gần Khi n   En  Ở miền lƣợng dƣơng, lƣợng nhận giá trị liên tục, giá trị lƣợng ứng với electron nguyên tử (xa hạt nhân đến mức lƣợng trƣờng lực tĩnh điện không đáng kể, electron xem nhƣ chuyển động tự do) 100 Giá trị tuyệt đối mức lƣợng thấp cho ta giá trị lƣợng ion hoá nguyên tử hidro Năng lƣợng công cần thiết để đƣa electron từ trạng thái liên kết có lƣợng thấp ngồi ngun tử (nghĩa đến trạng thái có lƣợng khơng) Khi nguyên tử chuyển từ trạng thái có lƣợng En sang trạng thái có mức lƣợng En thấp phát xạ có tần số góc  thoả mãn hệ thức:   En  En  : (7.50) Dựa vào biểu thức lƣợng ta tính đƣợc giá trị tần số góc R 1  2   , (n  n) n  n  (7.51) Nếu tính tần số  xạ ta có:   R  1   2   2 2  n n  (7.52) Đại lƣợng R  R 2  3,288.1015 s 1 (7.53) gọi số Ridberg  Dãy Lyman ứng với chuyển từ mức lƣợng có n  mức có n  R 1       , (n  2,3, ) 1 n  (7.54) Dãy Lyman bao gồm vạch phổ thuộc vùng tử ngoại  Dãy Balmer ứng với chuyển từ mức lƣợng có n  mức có n  R 1      , (n  3, 4, ) 2 n  (7.55) Công thức Balmer xác lập năm 1885 thực nghiệm trƣớc có lý thuyết Bohr học lƣợng tử Các vạch phổ thuộc dãy Balmer gồm có bốn vạch (có bƣớc sóng dài nhất) thuộc vùng nhìn thấy Đó vạch H  (đỏ), H  (lam), H (chàm) H  (tím) Các vạch lại dãy thuộc vùng ánh sáng tử ngoại  Dãy Paschen ứng với chuyển từ mức lƣợng có n  mức có n  R 1       , (n  4,5, ) 3 n  (7.56) 101 Các vạch phổ dãy Paschen thuộc vùng hồng ngoại  Dãy Bracket ứng với chuyển từ mức lƣợng có n  mức có n  R 1       , (n  5,6, ) 4 n  (7.57)  Dãy Pfund ứng với chuyển từ mức lƣợng có n  mức có n  R 1       , (n  6,7, ) 5 n  (7.57) Hình 7.1 cho ta sơ đồ hình thành vạch quang phổ ba dãy nguyên tử hidro E O N M E4 L E2 E3 K E1 Layman Balmer Paschen Hình Ba dải quang phổ quang phổ hidro 7.8 SỰ PHÂN BỐ ELECTRON QUANH HẠT NHÂN NGUYÊN TỬ HIDRO Ta biết, mật độ xác suất tìm thấy electron vị trí có tọa độ r, , bình phƣơng module hàm sóng:   r, ,   un m  r, ,  102 (7.58) Từ suy xác suất tìm thấy electron vi phân thể tích có tọa độ khoảng r  r  dr ,     d ,     d , tức vi phân thể tích dV  r 2dr sin  d d (7.59) là: dw  r,  ,      r, ,  dV    r, ,  r sin  drd d dw  r, ,   N n2 R  r  r 2dr Y m  ,  sin  d d (7.60) Bây ta xét phân bố hạt quanh hạt nhân theo tọa độ r Xác suất tìm thấy electron lớp cầu có bán kính r  r  dr là:  r a O r Hình Mật độ xác suất theo bán kính dw  r   N n2 R  r  r 2dr  Y m  ,  sin  d d  , (7.61) Ở trạng thái ứng với mức lƣợng thấp có n  1,  0, m  , thay biểu thức thành phần phụ thuộc r hàm cầu vào (7.61) ta có: Z  dw    e a Zr a r dr (7.62) Gọi   r  mật độ xác suất ta có: Zr dw  r  Z  a  r   4  e r dr a Trong a  (7.63) m0e2 (7.64) Để tìm vị trí cực đại mật độ xác suất ta lấy đạo hàm (7.63) theo tọa độ r cho đạo hàm triệt tiêu: d  r 0 dr 103 2e  Zr a 2Z  2aZr r re 0 a (7.65) Với nguyên tử hidro Z  nên (7.65) có nghiệm là: ra (7.66) Hình 7.2 vẽ đƣờng biểu diễn mật độ xác suất tìm thấy hạt theo r Mật độ có giá trị cực đại r  a  0,529.108 cm bán kính Bohr thứ Ta dừng lại so sánh kết học lƣợng tử với kết lý thuyết lƣợng tử chƣa đầy đủ Bohr Lý thuyết thừa nhận electron chuyển động quanh hạt nhân với quỹ đạo tròn (hoặc elip), trạng thái dừng ứng với quỹ đạo electron có moment động lƣợng số nguyên lần Trạng thái có lƣợng thấp có bán kính r  a gọi bán kinh quỹ đạo Bohr thứ Theo học lƣợng tử electron khơng có quỹ đạo xác định, chuyển động xung quanh hạt nhân phân bố nhƣ đám mây bao quanh hạt nhân, có chỗ xác suất tìm thấy electron lớn, có chỗ xác suất tìm thấy electron bé, hình dung nhƣ có chỗ dày đặc, chỗ thƣa mỏng đám mây Trong trạng thái ( n  ) xác suất cực đại khoảng cách tới tâm a, nghĩa mặt cầu bán kính a Nhƣ quỹ đạo trịn bán kính a thuyết Bohr tƣơng ứng với mặt cầu bán kính a mà xác suất tìm thấy electron cực đại z  z        m  1 m0 1 Hình Phân bố mật độ xác suất theo góc  Bây ta xét phân bố electron theo góc Xác suất tìm thấy eletron vi phân góc khối d là: dw  ,   N n2 Y m  ,  sin  d d Trong Y m  ,   hàm cầu Theo (6.43) Yl m  ,   (7.67) khơng phụ thuộc góc  Nhƣ xác suất tìm thấy electron góc khối d không phụ thuộc vào  , phụ thuộc vào góc  độ lớn d Điều chứng tỏ 104 phân bố electron chung quanh hạt nhân có tính đối xứng vật tròn xoay quanh trục Oz (trục mà ta chiếu moment động lƣợng lên đó) từ suy xác suất 4 dw  ,  không phụ thuộc vào  lẫn  , tức có tính đối xứng cầu Ở trạng thái có lƣợng lớn n  có xuất trƣờng hợp  Trong trƣờng hợp đối xứng cầu Ở trạng thái n  1,  , ta có Y00  Thí dụ  có trạng thái lần lƣợt ứng với m  0,  Sự phân bố electron theo góc  trƣờng hợp đƣợc mơ tả hình 7.3 7.9 BÀI TẬP CHƯƠNG 7.9.1 Electron nguyên tử hidro trạng thái đƣợc mơ tả hàm sóng: u200  2    2ra    1  e   2a   2a  a Xác định mật độ xác suất tìm thấy electron theo r b Ở khoảng cách đến hạt nhân mật độ xác suất tìm thấy electron lớn nhất? 7.9.2 Tính bƣớc sóng vạch phổ sau quang phổ nguyên tử hidro: a Các vạch nhìn thấy b Các vạch có bƣớc sóng ngắn dài dải: Lymann, Balmer, Paschen 7.9.3 Electron nguyên tử hidro trạng thái hấp thụ photon chuyển lên trạng thái kích thích có bán kính quỹ đạo tăng thêm 48 lần a Năng lƣợng electron quỹ đạo theo quan điểm cổ điển theo quan điểm học lƣợng tử So sánh kết thu đƣợc b Khi chuyển trạng thái có lƣợng thấp ngun tử phát nhiều vạch phổ? Bao nhiêu vạch nhìn thấy? Bao nhiêu vạch tử ngoại? Bao nhiêu vạch hồng ngoại? 7.9.4 Electron nguyên tử hidro trạng thái có lƣợng Em hấp thụ photon có lƣợng 2,55 eV chuyển lên trạng thái có lƣợng En Nguyên tử phát đƣợc photon có tần số lớn bao nhiêu? 7.9.5 Electron nguyên tử hidro trạng thái hấp thụ photon có lƣợng 15 eV bật ngồi ngun tử Tìm vận tốc electron sau bật khỏi nguyên tử Bỏ qua thay đổi vận tốc hạt nhân nguyên tử hấp thụ photon 7.9.6 Electron nguyên tử hidro trạng thái đƣợc mơ tả hàm sóng: 105   r ,  ,    Ce  r 2a cos  a Chuẩn hóa hàm sóng b Tìm phân bố xác suất tìm thấy electron quanh hạt nhân theo r c Ở khoảng cách đến hạt nhân mật độ xác suất tìm thấy electron lớn 106 PHỤ LỤC TOÁN HỌC P.1 HÀM DELTA DIRAC Để mô tả khái niệm vật lý trừu tƣợng (nhƣ mật độ điện tích điện tích điểm chẳng hạn) ngƣời ta dùng mơ hình tốn học đặc biệt gọi hàm Delta (  ) Hàm delta hàm suy rộng đƣợc định nghĩa từ quy tắc tích phân: b  f  x    x  dx  f  0 (P1.1) a Trong hàm f  x  hàm liên tục khả tích khoảng  a, b  có chứa điểm x  Nếu lấy đối số hàm delta  x  c  ta có: b  f  x    x  c  dx  f  c  (P1.2) a Với điều kiện hàm f  x  liên tục khả tích khoảng  a, b  có chứa điểm x  c y  y    x O x Hình P Hàm delta Dirac Với định nghĩa hàm delta đƣợc viết cách hình thức là: 0, x  , x    x   (P1.3) Và     x  dx   (P1.4) 107 Từ biểu thức định nghĩa hình thức (P1.3), ta xem hàm delta nhƣ ký hiệu Kronecker suy rộng Đồ thị hàm delta đƣợc biểu diễn hình P.1 Ngồi ra, hàm delta biểu diễn dƣới dạng tích phân sau:   x  2  e ikx dx  (P1.5) Hàm delta có tính chất sau:  x    x (P1.6) x  x   (P1.7)   ax     x a (P1.8) Trong không gian ba chiều, biểu thức hàm delta là:   r     x    y    z  (P1.9) Và  r   e  2   ikr dk (P1.10) Bây ta ứng dụng hàm delta để chuẩn hóa hàm sóng hạt chuyển động tự trục Ox (là hàm riêng toán tử xung lƣợng) Hàm sóng có dạng:  p  x    0e i px x (P1.11) x Điều kiện chuẩn hóa là:   x   x  dx    p * px px  px  x (P1.12) Thay dạng hàm sóng từ (P1.11) vào tích phân (P1.12) ta đƣợc: *  p  x  p  x dx   x x   x  * px (với y  x px  x  dx   e i  px  px  x e dx i  px  px  y dy (P1.13) ) So sánh (P1.13) với (P1.5) ta đƣợc: 0  1   2 2 Vậy hàm sóng hạt chuẩn hóa là: 108 (P1.14)  i px x e 2 (P1.15) Hoàn toàn tƣơng tự, hạt chuyển động khơng gian ta có: i   pr  r     e  2  (P1.16) P.2 SỰ CHUYỂN TỪ TỌA ĐỘ DESCARTES SANG HỆ TỌA ĐỘ CẦU Hệ tọa độ Descartes biểu diễn tọa độ điểm không gian ba tọa độ:  x  OH   y  HM xy   z  M xy M (P2.1) Khi chuyển sang tọa độ cầu (hình P.2), điểm M đƣợc xác định ba tọa độ:   r  OM    Ox, OA    Oz, OM      (P2.2) z z  O H M r y y  x M xy x Hình P Chuyển từ tọa độ vng góc sang tọa độ cầu Công thức chuyển tọa độ là: 109  x  r sin  cos    y  r sin  sin   z  r cos   (P2.3) Và  r  x  y  z    z   arccos  2   x y z    arctan  y  x      (P2.4) Bây ta thiết lập biểu thức tính đạo hàm hàm chuyển đổi hai hệ tọa độ Khi chuyển sang tọa độ cầu, hàm số có ba biến  r,  ,   nên biểu thức đạo hàm là:  f r f  f  f  r,  ,      x r x  x  x (P2.5) Để có đƣợc dạng tƣờng minh (P2.5) cần tính đạo hàm riêng phần vế phải Từ (P2.4) ta có:  r x x   cos  cos    2 r x y z  x   xz   cos  cos   x2  y2  x2  y2  z2  r  x  y sin      2  x x  y r sin  (P2.6) Thay biểu thức (P2.6) vào (P2.5) ta đƣợc biểu thức đạo hàm hàm f theo biến x là: f f f sin  f  sin  cos  cos cos  x r r  r sin   Hoàn toàn tƣơng tự ta tính đƣợc đạo hàm: 110 (P2.7)  r r  y  sin  sin  ; z  cos       cos  sin  ;  sin    y r  z r    cos    ; 0   y r sin  z (P2.8) Từ suy ra: f f f cos  f  sin  sin   cos  sin   y r r  r sin   f f f  cos   sin  z r r  (P2.9) (P2.10) Từ công thức chuyển đạo hàm (P2.6) – (P2.10) ta suy cơng thức chuyển đổi dạng toán tử Laplace Trong tọa độ Descartes, tốn tử Laplace có dạng:  2 2 2  f      f z   x y (P2.11) Còn tọa độ cầu, dạng toán tử là:   f    f  2 f f  r   sin   r r  r  r sin      r sin   (P2.12) Nghĩa tốn tử laplace có dạng:  r , ,     r2   r r  r  r      2   sin    sin     sin        (P2.13) Lƣợng dấu ngoặc vuông phụ thuộc vào tọa độ góc, gọi thành phần phụ thuộc góc tốn tử Laplace:  ,      2 sin     sin      sin   (P2.14) P.3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ ĐA THỨC LEGENDRE Phƣơng trình vi phân sau đây: 1  x2  Với d2y dy  2x  dx dx   1 y  (P3.1) số nguyên không âm đƣợc gọi phƣơng trình Legendre Nghiệm phƣơng trình Legendre thỏa điều kiện hữu hạn x  1 đƣợc gọi da thức Legendre bậc có dạng: 111 d P  ! x  1 dx (P3.2) Ứng với vài giá trị , đa thức có dạng:  P0  x     P1  x   x   P2  x    3x  1    P3  x    x  3x   Dễ thấy thức hàm lẻ x (P3.3) chẵn đa thức hàm chẵn x, cịn lẻ đa Phƣơng trình vi phân sau đây:  d2y  1  x  dx2  x dy dx   m2   1  y0  x  (P3.4) Trong đó, m số nguyên không âm, m nhận giá trị từ  đến  đƣợc gọi phƣơng trình Legendre liên kết, nghiệm phƣơng trình đa thức Legendre liên kết có dạng: m Pm  x   1  x  d mP  x dx m (P3.5) Trong đó, P  x  đa thức Legendre bậc có dạng đƣợc cho (P3.2) 112 TÀI LIỆU THAM KHẢO David J Griffths (1995) Introduction to Quantum Mechanics Upper Saddle River United States of America Hoàng Dũng (2002) Bài tập học lượng tử NXB ĐHQG TP Hồ Chí Minh Hồng Dũng (1999) Nhập mơn học lượng tử NXB GD Nguyễn Xuân Hãn (1998) Cơ học lượng tử NXB ĐHQG Hà Nội Nguyễn Hữu Mình (2007) Bài tập vật lý lý thuyết, tập NXB GD Nguyễn Xuân Tƣ (2003) Tài liệu giảng dạy học lượng tử Đại học Cần Thơ Phạm Quý Tƣ & Đỗ Đình Thanh (2003) Cơ học lượng tử NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Yung Kuo Lim (2010) Bài tập lời giải học lượng tử (sách dịch) NXB GD 113 ... CHẤT 1. 6 SỰ CHUẨN HỐ HÀM SĨNG 1. 7 BÀI TẬP CHƢƠNG CHƢƠNG TOÁN TỬ 11 2 .1 ĐỊNH NGHĨA TỐN TỬ TỐN TỬ TUYẾN TÍNH 11 2.2 CÁC PHÉP TÍNH TRÊN TỐN TỬ 12 2.3 HÀM... So với photon, có hệ thức tƣơng tự sau: Photon   pc k  2  (1. 14)   c (1. 15) 1. 4 LÝ THUYẾT VỀ NGUYÊN TỬ CỦA BOHR Năm 19 11, Rutherford chứng tỏ nguyên tử gồm có hạt nhân tích điện dƣơng,... thu đƣợc hai giá trị: 2 9 2 E1  E  2ma 2ma Xác suất tƣơng ứng là: w1  w3  C1  Trị trung bình lƣợng là: 5 2 E  C1E1  C3E3  2ma 3 .10 BÀI TẬP CHƯƠNG 3 .10 .1 Cho hạt chuyển động tự đƣờng