Chứng minh rằng luôn có thể phân công mỗi nhân viên đảm nhiệm một nhiệm vụ thích hợp với trình độ của người đó.. Theo giả thiết của bài toán thì mỗi đỉnh kề với đúng k cạnh.[r]
(1)BÀI 09
Giả sử G đồ thị hai phần có n đỉnh Ký hiệu k số phần tử tập đỉnh tựa bé Khi thì:
Định lý 5.2:
1 Số ổn định đồ thị hai phần G n-k 2 Số phần tử cặp ghép lớn G k
Chứng minh:
1 Suy từ nhận xét trên: C tập đỉnh tựa nhỏ ⇔ V \ C tập ổn định lớn
2 Giả sử W cặp ghép lớn C tập tựa nhỏ Lập ánh xạ t : W → C sau:
∀e ∈ W, t(e) đỉnh e thuộc C
Đỉnh tồn C tập tựa, hai đỉnh e thuộc C ta lấy hai đỉnh
Nếu u, v ∈ W u ≠ v t(u) ≠ t(v) hai cạnh u v khơng có đỉnh chung Vậy thì: | W | ≤ | C | = k
Hình 5.6 Cách xây dựng ánh xạ t
Để chứng minh chiều ngược lại ta xây dựng tập đỉnh tựa C từ cặp ghép lớn W mà hai tập có lực lượng
Ký hiệu B tập đỉnh W V1 Lập ánh xạ h : B → V2 sau:
∀a ∈ B , ∃ b ∈ V2 : (a, b) ∈ W ta đặt h(a) = b
Vậy h(B) tập đỉnh W V2
Nếu a, c ∈ B a ≠ c h(a) ≠ h(c) cạnh W chứa a c không kề
(2)Hình 5.7 Cách xây dựng tập đỉnh tựa
Một đường đồ thị G gọi đường đan có dạng < w1 u1 w2 u2 wq uq >
trong đó: w1, w2, , wq thuộc W u1, u2, , uq không thuộc W Ký hiệu: B1 = {a ∈ B ⎢∃ đường đan từ a đến đỉnh nằm ngồi B}
và B2 = B \ B1 Đặt: C = B2 ∪ h(B1)
Chúng ta chứng minh rằng, tập C tập đỉnh tựa đồ thị G Ta chứng minh điều phản chứng
Giả sử tập C tập đỉnh tựa đồ thị hai phần G, nghĩa có cạnh (a, b) khơng tựa vào tập C Vậy a ∉ B2 b ∉ h(B1)
Nhưng tập cạnh W cặp ghép lớn nhất, nên cạnh (a, b) phải kề với cạnh W, nghĩa là: a ∈ B b ∈ h(B)
Xét trường hợp sau đây: 1) Trường hợp: a ∈ B Suy ra: a ∈ B1
Khi có đường đan (X) = < w1 u1 w2 u2 wq uq > dẫn đỉnh a tới một đỉnh d nằm ngồi tập B
- Nếu b ∉ h(B) cạnh (a, b) ∉ W Ta loại cạnh w1 , w2 , , wq khỏi W thay cạnh (a, b) , u1 , u2 , , uq vào W Khi đó, W cặp ghép số cạnh tăng thêm Vậy trái với giả thiết W cặp ghép lớn
- Nếu b ∈ h(B) b ∈ h(B2) Ký hiệu đỉnh d’ = h-1(b) ∈ B2
Đường đan: < (d’,b) + (b, a) + (X) > dẫn đỉnh d’ B2 tới đỉnh d nằm ngồi
B Vậy thì: d’ ∈ B1 Đó điều mâu thuẫn
2) Trường hợp: a ∉ B Khi b ∈ h(B2) (a, b) không tựa vào tập C
Ký hiệu: d’= h-1(b) ∈ B2 Đường đan < (d’,b) + (b,a) > dẫn đỉnh d’ tới đỉnh a
(3)Vậy C tập tựa đồ thị Tập tựa có số phần tử số phần tử cặp ghép lớn W
Theo ký hiệu định lý: k ≤ số phần tử C = số phần tử cặp ghép lớn W Định lý chứng minh
Với đồ thị hai phần G = (V1,V2, F) ta ký hiệu:
d0 = max { | B | - | F(B) | ⏐ B ⊆ V1 }
Vì ∅ ⊂ V1 | ∅ | - | F (∅) | = - = nên d0 số không âm
Định lý 5.3: Số phần tử tập tựa bé đồ thị hai phần G = (V1,V2, F)
bằng | V1| - d0
Chứng minh: Giả sử C tập tựa
Có thể viết C = C1 ∪ C2 C1 ⊆ V1 C2 ⊆ V2
Ký hiệu: C1’ = V1\ C1 Khi đó, F(C1’) ⊆ C2 , ngược lại có đỉnh a ∈
C1’ mà đỉnh kề y ∉ C2 cạnh (a, y) không tựa vào tập C, dẫn tới mâu
thuẫn
Hình 5.8 Cách tìm tập tựa bé
Mặt khác, C1 ∪ F(C1’) lại tập tựa C1 ∪ F(C1’) ⊆ C Do đó, với tập
tựa C ta thay tập tựa dạng C1 ∪ F(C1’) với số phần tử không lớn
hơn
Vậy để xét tập tựa bé ta cần xét:
{ | C1 ∪ F(C1’) | ⏐ C1 ⊆ V1 } =
{ | C1 | + | F(C1’) | ⏐ C1⊆ V1} =
| V1| - max { | C1’| - | F(C1’) | ⏐ C1’ ⊆ V1} = | V1 | - d0 Từ định lý ta gọi d0 số hụt đồ thị
Hệ 5.4:
(4)b) Số phần tử cặp ghép lớn G | V1 | - d0
Ví dụ 5.6 (Bài tốn phân cơng nhiệm vụ):
Một quan có n nhân viên x1, x2, …, xn m nhiệm vụ y1, y2, …, ym Do quá trình đào tạo, nhân viên đảm nhiệm k nhiệm vụ nhiệm vụ có k nhân viên đảm nhiệm Chứng minh ln phân công nhân viên đảm nhiệm nhiệm vụ thích hợp với trình độ người
Thật vậy, ký hiệu V1 tập nhân viên V2 tập nhiệm vụ Thế thì:
|V1| = n |V2| = m
Ta xây dựng đồ thị hai phần G = (V1,V2, F) mà:
xi∈ F(yj) ⇔ nhân viên xi đảm nhiệm nhiệm vụ yj Theo giả thiết tốn đỉnh kề với k cạnh
Với B ⊆ V1 số cạnh kề B k.| B | số cạnh kề F(B) k.| F(B) |
Số cạnh kề F(B) ≥ số cạnh kề B cạnh kề B kề F(B)
Cho nên, |B| ≤ |F(B)| Suy d0 = Theo Hệ 5.4, lực lượng cặp ghép lớn |V1| - d0 = |V1| Do vậy, phân cơng cho n nhân viên đảm nhiệm n
nhiệm vụ Bằng cách thay đổi vai trò V1 V2 suy lực lượng cặp ghép
lớn |V2| Vậy |V1| = |V2|, nghĩa số nhân viên số nhiệm vụ Bài
tốn phân cơng giải xong
Đồ thị hai phần cặp ghép có nhiều ứng dụng thực tế Vậy tách từ đồ thị vô hướng đồ thị riêng hai phần với tập cạnh cặp ghép Ta có kết sau
Định lý 5.5: Đồ thị vô hướng G = (V, E) với | V| = 2n bậc đỉnh
đồ thị khơng n, ln có đồ thị riêng hai phần G” = (V1, V2, E”) với | V1
| = |V2 | = | E”| = n tập cạnh E’’ cặp ghép lớn đồ thị
G
Chứng minh:
Ta xây dựng đồ thị riêng hai phần G” = (V1, V2, E”) sau:
Lấy dần vào tập E” cạnh G cho đỉnh cạnh khác từng cạnh cịn lại kề với cạnh thuộc E” Giả sử | E” | = k
- Nếu k = n định lý chứng minh - Nếu k < n | V | ≥ 2k +2
(5)Theo cách chọn tập cạnh E” hai đỉnh a2k+1, a2k+2 kề với đỉnh E”, vì chúng kề với đỉnh không nằm E” bổ sung cho E” một cạnh Vậy theo giả thiết, đỉnh a2k+1 , a2k+2 kề với n đỉnh trên E”
Ta đánh dấu đỉnh E” kề với a2k+1 Số đỉnh đánh dấu ≥ n Ta lại đánh dấu đỉnh E” mà đỉnh cạnh với E” kề với a2k+2 Số đỉnh đánh dấu ≥ n Như số lần đánh dấu đỉnh thuộc E” ≥ 2n Nhưng số đỉnh E” 2k < 2n nên có đỉnh đánh dấu hai lần
Giả sử đỉnh đỉnh cạnh với E” aj Đỉnh ai kề với a2k+1 aj kề với a2k+2 Như vậy, ta loại cạnh (ai, aj) khỏi E” thêm vào hai cạnh (ai, a2k+1) (aj, a 2k+2) Số cạnh E” tăng thêm Cứ tiếp tục sau số bước ta có | E”| = n xây dựng đồ thị hai phần G”
Ví dụ 5.7: a)
Hình 5.9 Đồ thị đồ thị riêng hai phần b)