Giai de Toan TS 10 7 9

b) Chứng minh rắng tứ giác FCBM nội tiếp được trong đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó.. Hai đường kính AB và CD vuông góc nhau. Gọi E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Dây AE cắt CO t[r]

GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ 7

(Thời gian : 120 phút) Bài 1.

Cho biểu thức P =

2

2

1 2

x x x

x x x

      



   

      

 

a) Rút gọn biểu thức

b) Chứng minh < x < P > c) Tìm giá trị lớn biểu thức P Bài 2.

Giải hệ phương trình : y x xy

x y xy

 

 

 



Bài 3.

a) Chứng minh với số thực dương a, b ta có :

1

a b a b

b) Tìm nghiệm nguyên x, y phương trình : 6x2 + 5y2 = 74 Bài 4.

Cho đường tròn (O ; R) Hai đường kính AB CD vng góc Gọi E điểm cung nhỏ BC Dây AE cắt CO F, dây DE cắt AB M

a) Tam giác CEF EMB tam giác ?

b) Chứng minh rắng tứ giác FCBM nội tiếp đường trịn Tìm tâm đường trịn c) Chứng minh đường thẳng OE, BF, CM đồng quy

Bài 5.

Chứng minh a + b + c = abc ≠ : a b b c c a c a b

c a b a b b c c a

  

   

    

      

   

GIẢI Bài 1

a) Ta có P =

2

2

1 2

x x x

x x x

      



   

      

  =  

2

2

( 1)( 1) 1

x x x

x x x

 

    

  

 

     

  

 

=  

2

2

( 2)( 1) ( 1)( 2)

.( 1) ( 1)

2( 1)

x x x x

x x

x x

    

 

 

=

.( 1)

x x





=  x.( x 1) = x.(1 x)

b) Nếu < x <  < x <  – x > suy P = x.(1 x) >

* Đặt t = x >  P = t – t2 =

2

1 1

2

4 t 2t

 

    

  =

2

1

4 t

 

   

  ≤

Vậy P đạt giá trị lớn 

1 t



1 x



1 x

* Có thể dùng Bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số

Bài 2.

Giải hệ phương trình : y x xy

x y xy

 

 

 



+ Dễ thấy x = , y = nghiệm hệ + Nếu x ≠ y ≠

Thì chia pt hệ cho xy , ta : 1

1

5 x y y x



 

  

  

 

Đặt u = x ; v =

1 y

Hệ 

1

4

u v v u

 

 

 

 

9 7 u v

       

 

7 x y

        

Vậy hệ có nghiệm (0 ; 0) ( 9;

7 2) * Cách khác :

Nhân pt (1) cho trừ vế , ta 2y – 9x =  y =

9 2x

Thế vào (1) , ta : 9x2 – 7x =  x(9x – 7) =  x x

     

Tứ suy nghiệm hệ : (0 ; 0) ( 9;

7 2) Bài 3.

a) Chứng minh với số thực dương a, b ta có :

1

a b a b (1)

(1) 

4 a b

ab a b

 

   

2

a b  ab (a, b dương)

 (a2 – 2ab + b2) ≥ : Đúng

Vậy (1)

b) Tìm nghiệm nguyên x, y phương trình : 6x2 + 5y2 = 74 Đặt u = x2 ≥ , v = y2 ≥

Ta có 6u + 5x = 74  6u = 74 – 5x 

74

v u 

= 12 +

6 v

Đặt t =

6 v



 6t = – 5v  5v = – 6t 

2

t v 

=

5 t

t

 

Đặt k =

5 t



 5k = – t  t = – 5k

Vậy ta có :

u = 12 + – 5k = 14 – 5k v = k – + 5k = 6k – Do :

14

6

u k

v k

 

 

 

 với k, t, u, v số nguyên

Vì u = x2 , x nguyên nên u số phương 14 – 5k > 0, k nguyên nên k { 1; } Nên : chọn k =  u =  x = 3 ; v =  y = 

Nhưng k = v = 10 khơng số phương, nên loại k =

Vậy nghiệm nguyên phương trình cần tìm (3 ; 2) ; (3 ; -2) ; (-3 ; 2) ; (-3 ; -2) Cách khác :

6x2 + 5y2 = 74  6(x2 – 4) = 5(10 – y2)

Suy : x2 – = 5u 10 – y2 = 6v u = v Vì x2 = + 5u ≥  u ≥

4



y2 = 10 – 6v ≥  v ≤

+ Hoặc u = v = y2 = 10 , y nguyên : không xảy ra + Hoặc u = v = x2 = ; y2 = 4

Vậy nghiệm nguyên phương trình cần tìm (3 ; 2) ; (3 ; -2) ; (-3 ; 2) ; (-3 ; -2) Bài

Cho đường trịn (O ; R) Hai đường kính AB CD vng góc Gọi E điểm cung nhỏ BC Dây AE cắt CO F, dây DE cắt AB M

a) Tam giác CEF EMB tam giác ?

b) Chứng minh rắng tứ giác FCBM nội tiếp đường trịn Tìm tâm đường trịn c) Chứng minh đường thẳng OE, BF, CM đồng quy

a) Ta có

 1(  )

2

FCE EB BD

(góc nội tiếp chắn cung EBD)

 1(  )

2

CFE EB BD

(góc có đỉnh bên đường tròn)

mà CE EB  (E điểm cung BC)

Suy : CFE = FCEECF cân E

Chứng minh tương tự : EMC cân E

Mà hai cạnh CE = EB

Nên Tam giác CEF EMB tam giác cân

b) Ta có : góc BCF chắn cung BD = 90o góc BCM chắn cung AC = 90o

suy : hai góc BCF BCM nhìn FM đưới

K

M F

E

D C

B O

một góc nhau, tứ giác BCFM nội tiếp đường tròn

EC = EF = EM = EB suy E tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCFM

c) Ta có OE trung trực BC FM

Gọi K giao điểm CM BF , ta chứng minh OE qua K.Thật :

FKC = MBK (g – c – g) :

+ FCKMBK (góc nội tiếp chắn cung FM)

+ FC = BM (cmt)

+ CFK BMK (góc nội tiếp chắn cung BC)

Từ suy : FK = KM KB = KC nên K thuộc trung trực OE Bài 5.

Chứng minh a + b + c = abc ≠ : a b b c c a c a b

c a b a b b c c a

  

   

    

   

  

   

Đặt a b x

c

 



1 c

xa b ;

b c y

a

 



1 a

y b c ;

c a z

b

 



1 b

z c a

Và : M =

a b b c c a c a b c a b a b b c c a

  

   

   

      

   

Ta có :

M =  

1 1

a b b c c a c a b

x y z

c a b a b b c c a x y z

 

  

   

          

      

     

= +

y z z x x y x y z

  

 

(1) Do a + b + c = nên :

a + b = – c  a3 + 3ab(a + b) + b3 = – c3 a3 + b3 + c3 = 3abc (2)

Ta có :

2 ( )( )

b c c a b bc ac a a b a b c y z

a b ab ab

       

    

Suy :

2

( )( )

( )

a b a b c

y z ab a b c c c a b

x ab ab

c

  



  

  



Tương tự cách hốn vị vịng quanh, ta :

2 z x a

y bc

 

;

2 x y b

z ca

 

Thay vào (1), áp dụng (2) , ta : M = +

2 2c

ab + 2b

ca + 2a

bc = +

3 3

2(a b c ) abc

 

= + 2.3abc