a) Chöùng minh raèng Q laø trung ñieåm cuûa CM, N laø trung ñieåm cuûa CQ. b) Tìm quó tích cuûa M vaø N khi ñöôøng kính PQ thay ñoåi... HD: a) Söû duïng tính chaát ñöôøng trung bình.[r]
(1)PHÉP VỊ TỰ 1 Định nghĩa:
Phép vị tự tâm O (cố định) tỉ số k ( k 0, không đổi), KH: V(O,k) +) V(O,k)(M) = M’ OM ' kOM
2 Tính chất:
+) V(O,k)(M) = M, V(O,k)(N) = N M N' 'k MN.
và M’N’ = k MN
+) V(O,k) biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, không làm thay đổi thứ tự +) V(O,k)(d) = d’ d//d’ d d’
+) V(O,k) biến tia thành tia
+) V(O,k)(M) = M, V(O,k)(N) = N M’N’ = k MN
+) V(O,k)(ABC) = A’B’C’ thìABC A’B’C’ với tỉ số k
+) V(O,k) biến góc thành góc 3.Ảnh đường tròn quaV (O,k)
V(O,k)[(I;R)] = (I’;R’) R’ = k R 4 Tâm vị tự hai đường tròn: (I;R) (I’;R’) phân biệt a) I không trùng I’ R ≠ R’:
IM//I’M’
Có hai phép vị tự:
' ( ,OR)
R
V
;
' ( ',O R)
R
V
Biến (I;R) thành (I’;R’) b) I không trùng I’ R = R’:
Phép vị tự tỉ sô k = -1 Vậy V( , 1)O ĐO c) I I’ R ≠ R’
O I I’, k = '
R R
*) Biểu thức toạ độ phép vị tự: Trong mpOxy: I(a;b) , M(x;y), M’(x’;y’) V(I,k): M(x; y) M(x; y) Khi đó:
' (1 )
' (1 )
x kx k a
y ky k b
CÁC DẠNG BÀI TẬP:
DẠNG 1: Xác định ảnh hình qua phép vị tự.
1. Tìm ảnh điểm sau qua phép vị tự tâm I(2; 3), tỉ số k = –2: A(2; 3), B(–3; 4), C(0; 5), D(3; 0), O(0; 0)
2. Phép vi tự tâm I tỉ số
1 2
k=
biến điểm M thành M’ Tìm toạ độ điểm I trường hợp sau: a) M(4; 6) M’(–3; 5) b) M(2; 3) M(6; 1) c) M(–1; 4) M(–3; –6)
3. Phép vị tự tâm I tỉ số k biến điểm M thành M’ Tìm k trường hợp sau:
a) I(–2; 1), M(1; 1), M’(–1; 1) b) I(1; 2), M(0; 4) vaø M(2; 0)
4. Tìm ảnh đường thẳng sau qua phép vị tự tâm O(0; 0) tỉ số k = 2:
a) x + 2y – = b) x – 2y + = c) y – = d) x + =
5. Tìm ảnh đường thẳng d: x – 2y + = qua phép vị tự tâm I(2; 1) tỉ số k trường hợp sau:
a) k = b) k = 2c) k = – d) k = – e) k =
1
2 f) k =
1 2
6. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng 1: x – 2y + = 2: x – 2y + = điểm I(2; 1) Tìm tỉ số k
để phép vị tự V(I,k) biến 1 thành 2
7. Tìm ảnh đường trịn (C): (x + 1)2 + (y – 3)2 = qua phép vị tự tâm I(2; 1) tỉ số k trường hợp sau:
a) k = b) k = 2c) k = – d) k = – e) k =
1
2 f) k =
1 2
(2)8. Xét phép vị tự tâm I(1; 0) tỉ số k = biến đường trịn (C) thành (C) Tìm phương trình đường trịn (C)
biết phương trình đường tròn (C) là:
a) (x- 1)2 + -(y 5)2 =4 b) (x+2)2 + +(y 1)2 =9 c) x2 +y2 =1
11 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm I(1,2) đường trịn tâm I, bán kính 2. Viết phương trình đường trịn ảnh đường trịn qua phép đồng dạng có cách thực liên tiếp :
a/Phép quay tâm O, góc 450và phép vị tự tâm O, tỉ số 2 b/ Phép đối xứng trục Oy phép vị tự tâm O tỉ số c/ Phép đối xứng tâm O phép vị tự tâm O tỉ số -2
D
ẠNG 2: Tìm quỹ tích
Tìm quỹ tích ( hay tập hợp) điểm M Cg: - Tìm V(O,k) điểm N cho V(O,k)(N) = M
- Tìm đường (C) cố định N chạy [Thơng thường (C) đường trịn đường thẳng] - Thì quỹ tích M đường (C’) ảnh (C) qua V(O,k) ( giới hạn quỹ tích – có)
-9. Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định, đỉnh A chạy đường trịn (O) Tìm quĩ tích trọng tâm G
ABC
HD: Gọi I trung điểm BC Xét phép vị tự ( , )
3
I
V
(A) = G
10. Cho đường trịn (O) có đường kính AB Gọi C điểm đối xứng A qua B, PQ đường kính thay đổi
(O) Đường thẳng CQ cắt PA PB M N
a) Chứng minh Q trung điểm CM, N trung điểm CQ b) Tìm quĩ tích M N đường kính PQ thay đổi
HD: a) Sử dụng tính chất đường trung bình. b) Xét phép vị tự V(C,2)(Q) = M;
1 ( , )
2
C
V
(Q) = N.
11. Cho đường tròn (O, R) đường thẳng d khơng có điểm chung với đường trịn Từ điểm M d, kẻ tiếp tuyến MP, MQ với đường tròn (O)
a) Chứng minh PQ ln qua điểm cố định
b) Tìm tập hợp trung điểm K PQ, tâm O đường tròn ngoại tiếp MPQ, trực tâm H MPQ
HD: a) Kẻ OI d, OI cắt PQ taïi N OI ON r.
N coá ñònh.
b) Tập hợp điểm K đường trịn (O1) đường kính NO.
Tập hợp điểm O đường trung trực đoạn OI.
Tập hợp điểm H đường tròn (O2) = V(O,2)
12. Trong mp Oxy cho điểm A(-2;2) đường thănngr d qua A có hệ số góc – Gọi B điểm di động d Gọi C điểm cho tứ giác OABC hình bình hành Tìm phương trình tập hợp
a) Các tâm đối xứng I hình bình hành b) Các trọng tâm G tam giác ABC
13. Trong mặt phẳng cho bốn điểm A, B, C, D. Biết điểm A,B,C cố định , BC = a ( không đổi) Gọi M, N trung điểm AC BD Tìm tập hợp trung điểm P MN
DẠNG 3: Toán chứng minh
14. Cho ABC với trọng tâm G, trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp O Chứng minh ba điểm G, H, O thẳng
haøng vaø GH 2GO
HD: Xét phép vị tự V(G,–2)(O) = H
15. Cho điểm A ngồi đường trịn (O, R) đường kính MN quay xung quanh tâm O AM AN cắt đường trịn
(O) B C
a) Chứng minh đường trịn (AMN) ln qua điểm cố định khác A b) Chứng minh BC qua điểm cố định
HD: a) AO cắt (AMN) D OA OD OM ON. . R2
D cố định.
b) AO cắt BC E AE AD AO. 2 R2
E cố định.
16. .Cho đường trịn (O, R), đường kính AB Một đường thẳng d vng góc với AB điểm C đường
(3)a) Chứng minh AM.AD khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M b) Tứ giác CDNE hình gì?
HD: a) AM.AD = AB.AC (không đổi) b) NE // CD CDNE hình thang.
D
ẠNG 4: Tốn dựng hình
Để dựng điểm M ta tìm cách xác định ảnh điểm biết qua phép V(O,k) xem M
như giao đường cố định với ảnh đường biết qua phép V(O,k).
19 Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B dựng qua A đường thẳng d cắt (O) M cắt (O’) N choM trung điểm OM
20 Cho tam giác ABC Dựng hình vng có hai đỉnh nằm hai cạnh AB, AC hai đỉnh lại nằm cạnh BC tam giác
21. Cho nửa đường trịn đường kính AB Hãy dựng hình vng có hai đỉnh nằm nửa đường tròn, hai đỉnh lại nằm
trên đường kính AB nửa đường trịn