PHUONG PHAP TINH NGUOC TU CUOI

Trong các bài toán ở Tiểu học, có một dạng toán trong đó đề cập đến hai đối tượng (là người, vật hay sự việc) có những đặc điểm được biểu thị bằng hai số lượng chênh lệch nhau, chẳng h[r]

PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI

Có số tốn cho biết kết sau thực liên tiếp số phép tính số phải tìm Khi giải tốn dạng này, ta thường dùng phương pháp tính ngược từ cuối (đơi cịn gọi phương pháp suy ngược từ cuối)

Khi giải tốn phương pháp tính ngược từ cuối, ta thực liên tiếp phép tính ngược với phép tính cho đề Kết tìm bước trước thành phần biết phép tính liền sau Sau thực hết dãy phép tính ngược với phép tính cho đề bài, ta nhận kết cần tìm

Những tốn giải phương pháp tính ngược từ cuối thường giải phương pháp đại số phương pháp ứng dụng đồ thị (xem số tiếp theo)

Ví dụ 1: Tìm số, biết tăng số gấp đơi, sau cộng với 16 bớt cuối chia cho ta kết 12

Phân tích: Trong ta thực liên tiếp dãy số cần tìm dãy phép tính đây:

x 2, + 16, - 4, : cho kết cuối 12

- Ta xác định số trước chia cho kết 12 (Tìm số bị chia biết số chia thương số)

- Dựa vào kết tìm bước 1, ta tìm số trước bớt (Tìm số bị trừ biết số trừ hiệu số)

- Dựa vào kết tìm bước 2, ta tìm số trước cộng với 16 (Tìm số hạng chưa biết biết số hạng tổng số)

- Dựa vào kết tìm bước 3, ta tìm số trước nhân với 2, số cần tìm (Tìm thừa số chưa biết biết tích thừa số kia)

Từ phân tích ta đến lời giải sau: Số trước chia cho là:

12 x = 36

Số trước bớt là: 36 + = 40

Số trước cộng với 16 là: 40 - 16 = 24

Số cần tìm là: 24 : = 12

Trả lời: Số cần tìm 12

Ví dụ 2: Tìm ba số, biết sau chuyển 14 đơn vị từ số thứ sang số thứ hai, chuyển 28 đơn vị từ số thứ hai sang số thứ ba chuyển đơn vị từ số thứ ba sang số thứ ta ba số 45

Phân tích: Ta minh họa thao tác đề sơ đồ sau:

Số thứ nhất: - 14; + cho kết 45 Số thứ hai: + 14; - 28 cho kết 45 Số thứ ba: + 28; - cho kết 45

Từ phân tích ta đến lời giải toán sau: Số thứ là: 45 - + 14 = 52

Số thứ hai là: 45 + 28 - 14 = 49 Số thứ ba là: 45 + - 28 = 24

Trả lời: Ba số cần tìm là: 52; 49 24

Lời giải tốn thể bảng sau:

Trả lời: Ba số cần tìm là: 52; 49 24

Các bạn thử giải tốn sau phương pháp tính ngược từ cuối:

Bài 1: Tìm số, biết giảm số lần, sau cộng với 5, nhân với cuối chia cho kết

Bài 2: Tổng số ba số 96 Nếu chuyển từ số thứ hai sang số thứ đơn vị sang số thứ ba 17 đơn vị, cuối chuyển từ số thứ ba sang số thứ đơn vị số thứ gấp đơi số thứ hai 2/5 số thứ ba Tìm ba số

Trần Diên Hiển (Trường Đại học Sư phạm Hà Nội)

THẾ NÀO LÀ GIẢ THIẾT TẠM

Trong toán Tiểu học, có dạng tốn đề cập đến hai đối tượng (là người, vật hay việc) có đặc điểm biểu thị hai số lượng chênh lệch nhau, chẳng hạn hai chuyển động có vận tốc khác nhau, hai công cụ lao động có suất khác nhau, hai loại vé có giá tiền khác Ta thử đặt trường hợp cụ thể khơng xảy ra, khơng phù hợp với điều kiện tốn, khả khơng có thật , chí tình vơ lí Tất nhiên giả thiết tạm thời để lập luận nhằm đưa toán tình quen thuộc biết cách giải lập luận để suy phải tìm Chính mà phương pháp giải tốn phải địi hỏi có dức tưởng tượng phong phú, óc suy luận linh hoạt

Những toán giải phương pháp giả thiết tạm giải phương pháp khác Tuy nhiên, nhiều trường hợp, cách giải giả thiết tạm thường gọn gàng mang tính "độc đáo"

Vưa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mươi sáu Một trăm chân chẵn Hỏi gà, chó? Cách 1:

(Cách giải quen thuộc)

Rõ ràng 36 gà (vì có x 36 = 72 chân!), khơng thể chó (vì có x 36 = 144 chân!)

Bây ta giả sử 36 chó (đây giả thiết tạm), số chân là: x 36 = 144 (chân)

Số chân dôi là: 144 - 100 = 44 (chân)

Sở dĩ số chân chó số chân gà là: - = (chân)

Vậy số gà là: 44:2 = 22 (con) Số chó là: 36 - 22 = 14 (con) Cách 2:

Ta thử tìm giả thiết tạm khác

Giả thiết, vật "mọc" thêm đầu ! đó, có hai đầu tổng số đầu là:

2 x 36 = 72 (đầu)

Lúc này, gà coá hai đầu hai chân , Mỗi chó có hai đầu bốn chân Vởy số chân nhiều số đầu là:

100 - 72 = 28 (cái)

Đối với gà số chân số đầu, cịn chó có số chân nhiều số đầu là:

4 - = (cái) Suy số chó là: 28:2 = 14 (chó)

Số gà là: 36 - 14 = 22 (gà) Cách 2:

Bây ta giả thiết tường họp thật vô lí nhé! Ta giả thiết vật bị "chặt đi" nửa số chân Như vậy, chó cịn có hai chân gà chân tổng số chân nửa, tức là:

100 : = 50 (chân

Bây giờ, ta lại giả thiết chó phải "co" chân lên để vật có chân, 36 vật có 36 chân Như vậy, số chân chó phải "co" lên là: 50 - 36 = 14 (chân) Vì chó có chân "co" nên suy có 14 chó Vậy số gà là: 36 - 14 = 22 9con)

Cách 4:

Gợi ý : Giả sử gà "mọc thêm" chân, 36 có chân tổng số chân là:

4 x 36 = 144 (chân)

Mời bạn tiếp tục đọc lập luận, đồng thời xét xem điều giả thiết tạm thời dựa vào cách giải biết)

Gợi ý : Giả sử chó "bị chặt đi" chân, 36 có chân tổng số chân là:

2 x 36 = 72 (chân)

(Mời bạn đọc tiếp tục lập luận, sau xét xem giả thiết tạm thời dựa vào cách giải quen thuộc nhé.)

Sau số vận dụng: Bài tập 1:

Rạp Kim Đồng buổi chiếu phim bán 500 vé gồm hai loại 2000đ 3000đ Số tiền thu 1120000đ Hỏi số vé bán laọi bao nhiêu? (Trả lời: 380 vé 120 vé)

bài tập 2:(bài toán cổ) Quýt ngon chia ba

Cam ngon chia làm mười Mỗi người miếng, trăm người Có mười bẩy quả, chia cịn đâu! Hỏi có cam, quýt? (Trả lời: cam, 10 quýt!)

Vũ Dương Thuỵ

RÚT GỌN PHÂN SỐ

Rút gọn phân số cho tìm phân số mà tử số mẫu số nhỏ tủ số mẫu số phân số cho Thông thường, rút gọn phân số là phải phân số tối giản Cách rút gọn phân số : Cùng chia tử số mẫu số cho số tự nhiên lớn Điều quan trọng phải tìm số tự nhiên để thực việc rút gọn phân số Việc thực lần hoặc vài lần tìm phân số tối giản số ví dụ minh hoạ về cách tìm "số để rút gọn được"

1 Dựa dấu hiệu chia hết

Ví dụ Rút gọn phân số :6/8 (cùng chia 2); 27/36 (cùng chia 9); 15/40 (cùng chia 5)

2 Chia dần bước gộp bước (theo quy tắc chia số cho tích)

Ví dụ Rút gọn phân số 132 / 204 132 / 204 = 132:2 / 204:2 = 66 / 102; 66:2 / 102:2 = 33/51; 33:3 / 51:3 = 11/17 vật 132 / 204 = 11/17

Vì x x = 12 nên 132:12 / 204:12 = 11/17

3 Dùng cách thử chọn theo bước Ví dụ Rút gọn phân số 26/65

Bước 3: Cùng chia 13 26:13 / 65:13 = 2/5

4 Phân số có dạng đặc biệt

Ví dụ Rút gọn phân số 1133 / 1442 Bước 1: 1133 : 11 = 103

Bước 2: 1442 :14 = 103 Bước 3: Cùng chia 103

1133 / 1442 = 1133:103 / 1442:103 = 11/14

Vạn dụng hiểu biét mình, em tự giải tập sau: Rút gọn phân số: 35 / 91; 37 / 111; 119 / 153; 322 / 345; 1111 / 1313

Đỗ Trung Hiệu

BÀI TOÁN CHIA GIA TÀI

Các bạn vừa giải tốn “Ơtơna làm nào?” Đây toán tương tự toán dân gian:

“Một người nông dân nuôi 17 trâu Trước qua đời, ông di chúc lại cho ba người con:

- Con 1/2 đàn trâu - Con thứ chia 1/3 đàn trâu - Con út chia 1/9 đàn trâu

Ba người loay hoay làm để chia gia tài mà xẻ thịt trâu Em tìm cách giúp họ”

Có thể giải toán sau:

Em đem trâu (nếu khơng có trâu thật dùng trâu gỗ chẳng hạn) đến nhập thêm vào 17 trâu thành đàn 18 trâu Sau đó:

- Chia cho người 1/2 đàn, tức là: 18 : = (con trâu) - Chia cho người thứ 1/3 đàn, tức là: 18 : = (con trâu) - Chia cho người út 1/9 đàn, tức là: 18 : = (con trâu) Vậy ba người vừa đúng:

9 + + = 17 (con trâu)

Còn em lại mang trâu

Cách giải lạ dễ hiểu: Vì 17 khơng chia hết cho 2, cho cho 9; có thêm trâu 18 liền chia hết cho 2, Nhờ mà chia

Song độc đáo cách giải lại chỗ khác Nếu ta để ý thấy

Do cách chia người hưởng lợi mà em lại không thêm trâu (con trâu đem đến lại dắt về) Sao kì vậy? Chỗ bí hiểm tổng ba phân số biểu thị phần

chia theo di chúc chưa (tức chưa đàn trâu), vì: (1/2)+(1/3) +(1/9)=(9+6+2):18=17/18 (đàn trâu)

Như vậy, thật người cha di chúc chia cho có 17/18 đàn trâu mà thơi, cịn thiếu 1/18 đủ 18/18, tức đàn trâu

Thế nhờ em đem thêm trâu tới nên chia cho ba người đàn trâu (hay đàn trâu, gồm 17 con) Do ba người chia nhiều phần nêu di chúc em lại không tốn thêm trâu nào!

Thật tốn độc đáo!

Phạm Đình Thực (TP Hồ Chí Minh) MỘT DẠNG TỐN

DÙNG DẤU HIỆU CHIA HẾT

Trong tháng em lớp học dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, Các em làm quen với dạng toán điền chữ số thích hợp vào dấu (*) thỏa mãn điều kiện chia hết cho số Chẳng hạn :

Bài toán1 : (bài trang16 SGK tốn 5)

Viết chữ số thích hợp vào dấu (*) để số chia hết cho : a) 4*95 ; b) 89*1; c) 891*; d) *891

ở toán ta cần dựa vào dấu hiệu chia hết cho để tìm chữ số điền vào dấu * Khi học hết dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9, em giải tốn phối hợp điều kiện chia hết để điền chữ số thích hợp :

Bài toán : Thay a, b số 2003ab chữ số thích hợp để số đồng thời chia hết cho 2,

Phân tích : Tìm chữ số trước, muốn tìm chữ số dựa vào dấu hiệu ?

b chữ số tận nên tìm b dựa vào dấu hiệu chia hết cho Vậy tìm a dựa vào dấu hiệu chia hết cho Một số chia hết cho số có tận Từ ta có cách giải sau

Giải : Số 2003ab đồng thời chia hết cho nên b = Thay b = vào số 2003ab ta 200a0 Số chia hết tổng chữ số chia hết cho Vậy (2 +0 +0 +3 +0) chia hết cho hay (5 +a) chia hết cho Vì chia cho dư nên a

Ta biết rằng: A chia cho B dư r tức : - A - r chia hết cho B (1)

- A + (B - r) chia hết cho B (2)

Từ bạn giải tốn :

Bài tốn : Cho A = x459y Hãy thay x, y chữ số thích hợp để A chia cho ; dư

Nhận xét : A chia cho ; dư nên A - đồng thời chia hết cho ; Vậy ta giải tốn dựa vào điều kiện (1) A - r chia hết cho B để giải

0 chia hết cho hay x + 18 chia hết cho Do 18 chia hết x chia hết cho 9, x chữ số hàng cao nên x khác Từ x Thay x = ; y = vào A ta số 94591

ở toán A chia cho số có số dư Bây ta xét :

Bài tốn : Tìm số tự nhiên bé chia cho dư 1, chia cho dư ; chia cho dư chia cho dư

Tuy số dư khác : - = ; - = ; - = ; - = Như ta sử dụng điều kiện (2) A + (B - r) chia hết cho B để giải toán

Giải : Gọi số cần tìm A Vì A chia cho dư A chia cho dư nên A + đồng thời chia hết cho Vậy chữ số tận A + Hiển nhiên A +1 khơng thể có chữ số Nếu A + có chữ số có dạng x0 Vì x0 chia hết x ; ; ta có số 30 ; 60 ; 90 Trong số có 60 chia hết cho Vậy A +1 = 60

A = 60 - A = 59

Do số cần tìm 59

Bài viết đề cập tới phương pháp để vận dụng tiêu chuẩn chia hết cho số Giải toán xác định chữ số chưa biết số bạn tìm thêm phương pháp khác luyện tập qua tập sau :

Bài : Tìm số tự nhiên nhỏ khác cho chia cho ; ; ; dư 1. Bài : Cho số a765b ; tìm a ; b để thay vào số cho ta số có chữ số chia cho dư ; chia cho dư chia cho dư

Bài : Hãy viết thêm chữ số vào bên phải số 567 để số lẻ có chữ số khác nhau, chia số cho dư

Bài : Tìm số có chữ số chia hết cho ; 5, biết đổi chõ chữ số hàng đơn vị với hàng trăm hàng chục với hàng nghìn số khơng thay đổi

Chúc bạn thành công!

Phương Hoa (Ngõ 201, Cầu giấy, Hà Nôi

QUY ĐỒNG TỬ SỐ CÁC PHÂN SỐ

Trong sách giáo khoa khơng có học "quy dồng tử số phân số" Thực việc quy đồng tử số phân số đưa việc quy đồng mẫu số phân số "đảo ngược" (đúng số nghịch đảo phân số cho) Tuy nhiên, nhiều trường hợp việc làm dễ gây phiền phức, dễ bị nhầm lẫn

+ Ví dụ Ba khối lớp có 792 học sinh tham gia đồng diễn thể dục Tìm số học sinh khối lớp, biết 2/3 số học sinh khối ba 1/2 số học sinh khối bốn 40% số học sinh khối năm

Quy đồng tử số phân số 2/3; 1/2; 40/100 Ta có: 1/2 = 2/4; 40/100 = 2/5

như 2/3 số học sinh khối ba 2/4 số học sinh khối bốn 2/5 số học sinh khối năm Nhờ mẫu số mà vẽ sơ đồ minh hoạ

Dựa sơ đồ dễ dàng tìm số học sinh khối (khối ba có 198 HS; khối bốn có 264 HS; khối năm có 330 HS)

Cần lưu ý phân số 2/3; 2/4; 2/5 giảm lần để đưa 1/3 số HS khối ba 1/4 số HS khối bốn 1/5 số HS khối năm (trở thành tốn bản)

+ Ví dụ Tìm hai số, biết 3/4 số thứ 6/11 số thứ hai; số thứ hai lớn số thứ 1935 dơn vị

Quy đồng tử số phân số 3/4 6/11 Ta có 3/4 = 6/8

Như 6/8 số thứ 6/11 số thứ hai; hay 1/8 số thứ 1/11 số thứ hai

Dựa sơ đồ tìm số (số thứ 5160; số thứ hai 7095)

Từ ví dụ cho thấy việc quy đồng tử số làm việc xác định tỉ số hai số dễ dàng, thuận tiện

PGS.TS Đỗ Trung Hiệu SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG VỚI CÁC PHẦN BẰNG NHAU

Trong dạng tốn : "Tìm hai số biết tổng tỉ số" phương pháp giải sơ đồ đoạn thẳng phương pháp phù hợp với tư mang tính trực quan học sinh tiểu học Khi vẽ sơ đồ, số biểu thị số phần để thể tỉ số, chẳng hạn :

Bài tốn : Hai số có tổng 360, biết 1/4 số thứ 1/6 số thứ hai Tìm hai số

Phân tích : Bài toán cho biết phần tư số thứ phần sáu số thứ hai, số thứ chia làm phần nhau, số thứ hai phần

Số thứ : 360 : (4 + 6) x = 144 Số thứ hai : 360 - 144 = 216

Đáp số : Số thứ : 144 ; Số thứ hai : 216

Nhận xét : Bài toán 1, phân số 1/4 1/6 hai phân số có tử số Nếu ta thay hai phân số hai phân số có tử số nhau, chẳng hạn 3/4 3/6 đưa bàI toán Vậy tử số hai phân số khác ta cần quy đồng tử số Bài toán : Hai số có tổng 230 Biết 3/4 số thứ 2/5 số thứ hai Tìm hai số

Phân tích : Bài tốn khơng vẽ sơ đồ tốn khơng tử số Vậy để đưa toán dạng toán ta phải chuyển 3/4 2/5 hai phân số tử số (quy đồng tử số)

Ta có : 3/4 = 6/8; 2/5 = 6/15 Vậy 3/4 số thứ 2/5 số thứ hai hay 6/8 số thứ 6/15 số thứ hai Do 1/8 số thứ 1/15 số thứ hai Đến tốn hồn tồn tương tự toán

Giải : 3/4 số thứ 2/5 số thứ hai hay 6/8 số thứ 6/15 số thứ hai Do 1/8 số thứ 1/15 số thứ hai nên số thứ chia làm phần số thứ hai gồm 15 phần Ta có sơ đồ :

Số thứ : 230 : (8 + 15) x = 80 Số thứ hai : 230 - 80 = 150

Đáp số : Số thứ : 80 ; Số thứ hai : 150

Ta thay đổi gi thiết để tốn có thêm bước tính trở dạng toán Ta xét toán sau :

Bài tốn : Hai số có tổng 230 Nếu bớt số thứ 1/4 bớt số thứ hai 3/5 hai số Tìm hai số ban đầu

Phân tích : Từ giả thiết ta thấy 1- 1/4 = 3/4 (số thứ nhất) 1- 3/5 = 2/5 (số thứ hai) Do bàI toán trở bàI toán

Bây ta xét tình phức tạp

Bài tốn : Tổng hai số 104 Tìm hai số biết 1/4 số thứ 1/6 số thứ hai đơn vị

Giải: 1/4 số thứ cộng thêm đơn vị 1/6 số thứ hai nên số thứ hai chia làm phần phần 1/4 số thứ cộng thêm đơn vị Ta có sơ đồ :

Các em tự giải toán !

Nguyễn Thị Thiện (GV trường TH Hạp Lĩnh, Tiên Du, Bắc Ninh)

MỘT DẠNG TOÁN VỀ PHÂN SỐ

Khi học phân số em làm quen với nhiều tốn có lời văn mà giải phải chuyển chúng dạng tốn điển hình Trong viết tơi xin trao đổi dạng tốn thơng qua số ví dụ sau :

Ví dụ : Tìm phân số biết nhân tử số phân số với 2, giữ nguyên mẫu số ta phân số phân số ban đầu 7/36 Phân tích : Ta biết nhân phân số với số tự nhiên ta việc nhân tử phân số với số tự nhiên giữ nguyên mẫu số Vậy nhân tử số phân số với 2, giữ nguyên mẫu số tức ta gấp phân số lên lần Bài toán chuyển toán tìm hai số biết hiệu tỉ

Bài giải : Nếu nhân tử số phân số với 2, giữ nguyên mẫu số ta phân số Vậy phân số gấp lần phân số ban đầu, ta có sơ đồ :

Phân số ban đầu :

Ví dụ : Tìm phân số biết ta chia mẫu số phân số cho 3, giữ nguyên tử số giá trị phân số tăng lên 14/9

Phân tích : Phân số phép chia mà tử số số bị chia, mẫu số số chia Khi chia mẫu số cho 3, giữ nguyên tử số tức ta giảm số chia lần nên thương gấp lên lần hay giá trị phân số gấp lên lần Do phân số gấp lần phân số ban đầu Bài tốn chuyển dạng tìm hai số biết hiệu tỉ Bài giải : Khi chia mẫu phân số cho 3, giữ nguyên tử số ta phân số nên phân số gấp lần phân số ban đầu, ta có sơ đồ :

Ví dụ : An nghĩ phân số An nhân tử số phân số với 2, đồng thời chia mẫu số phân số cho An phân số Biết tổng phân số phân số ban đầu 35/9 Tìm phân số An nghĩ

Phân tích : Khi nhân tử số phân số với 2, giữ nguyên mẫu số phân số gấp lên lần Khi chia mẫu số phân số cho 3, giữ nguyên tử số phân số gấp lên lần Vậy nhân tử số phân số với đồng thời chia mẫu số phân số cho phân số gấp lên x = (lần) Bài tốn chuyển dạng tốn điển hình tìm số biết tổng tỉ

Bài giải : Khi nhân tử số phân số An nghĩ với đồng thời chia mẫu số phân số cho phân số Vậy phân số gấp phân số ban đầu số lần : x = (lần), ta có sơ đồ :

Phân số ban đầu :

Từ ví dụ ta rút nhận xét sau : Một phân số :

- Nếu ta tăng (hoặc giảm) tử số lần giữ ngun mẫu số phân số tăng (hoặc giảm) nhiêu lần

- Nếu ta giảm (hoặc tăng) mẫu số lần giữ nguyên tử số phân số tăng (hoặc giảm) nhiêu lần

Các bạn thử sức số toán sau :

Bài : Tìm phân số biết tăng tử số lên lần, đồng thời tăng mẫu số lên lần giá trị phân số tăng 12/11

Bài : Toán nghĩ phân số sau Tốn chia tử số phân số cho nhân mẫu số phân số với Tốn thấy giá trị phân số giảm 15/8 Tìm phân số mà Tốn nghĩ

Bài : Từ phân số ban đầu, Học nhân tử số với phân số thứ nhất, chia mẫu số cho phân số thứ hai, chia tử số cho đồng thời nhân mẫu số với phân số thứ ba Học thấy tổng ba phân số 25/8 Đố bạn tìm phân số ban đầu Học

Ngô Văn Nghi (Giáo viên trường TH Nam Đào, thị trấn Nam Giang, Nam Trực, Nam Định)

BÀI TỐN TÍNH TUỔI

Trong nhiều loại tốn, người ta thường để ý đến đại lượng không thay đổi Đối với tốn tính tuổi đại lượng hiệu số tuổi hai người Dựa vào đại lượng ta giải nhiều tốn tính tuổi

Bài tốn : Hiện nay, tuổi bố gấp lần tuổi Sau 10 năm nữa, tuổi bố gấp lần tuổi Tính tuổi người

- Khoảng cách thời gian hai thời điểm

Nhưng ta dễ dàng phát điều kiện tốn, "hiệu số tuổi hai bố không đổi" Từ ta giải tốn sau

Giải : Hiện nay, tuổi phần tuổi bố phần Ta có sơ đồ thứ :

Hiệu số tuổi hai bố : - = (phần)

Hiện tỉ số tuổi hiệu số tuổi hai bố : = 1/6

Sau 10 năm nữa, tuổi phần tuổi bố phần (mỗi phần có giá trị khác phần trên) Ta có sơ đồ thứ hai :

Sau 10 năm hiệu số tuổi hai bố : - = (phần)

Sau 10 năm tỉ số tuổi hiệu số tuổi hai bố : = 1/2

Vì hiệu số tuổi hai bố không thay đổi nên ta so sánh tỉ số tuổi tuổi sau 10 năm

- Tuổi 1/6 hiệu số tuổi hai bố

- Tuổi sau 10 năm 1/2 hay 3/6 hiệu số tuổi hai bố

Vậy tuổi sau 10 năm gấp lần tuổi Ta có sơ đồ tuổi hai thời điểm :

Tuổi : 10 : = (tuổi) Tuổi bố : x = 35 (tuổi) Đáp số : Con : tuổi ; Bố : 35 tuổi

Bài toán : Trước năm tuổi mẹ gấp lần tuổi Sau năm nữa, tỉ số tuổi tuổi mẹ 3/8 Tính tuổi người

Phân tích : Bài toán đặt ba thời điểm khác (Trước năm, sau năm) Nhưng cần khai thác toán hai thời điểm : Trước năm sau năm Ta phải tính khoảng cách thời gian hai thời điểm Bài tốn giải tương tự toán

Giải : Trước năm tuổi phần tuổi mẹ phần thế. Hiệu số tuổi hai mẹ : - = (phần)

Vậy tỉ số tuổi hiệu số tuổi hai mẹ : = 1/5

Sau năm nữa, tuổi chia thành phần tuổi mẹ có phần

Hiệu số tuổi hai mẹ : - = (phần)

Vậy sau năm tỉ số tuổi hiệu số tuổi hai mẹ : = 3/5 Vì hiệu số tuổi hai mẹ khơng thay đổi nên ta so sánh tuổi trước năm tuổi sau năm Ta có tuổi sau năm gấp lần tuổi trước năm tuổi sau năm tuổi trước năm : + = (tuổi)

Tuổi trước năm : : (3 - 1) = (tuổi) Tuổi mẹ trước năm : x = 24 (tuổi) Tuổi : + = (tuổi)

Tuổi mẹ : 24 + = 28 (tuổi) Đáp số : Con : tuổi ; Mẹ : 28 tuổi

Chú ý : Để vận dụng tốt thủ thuật giải toán này, em cần nắm vững kiến thức tỉ số đại lượng khơng đổi tốn tính tuổi Các em giải nhiều tốn khó dạng tốn tính tuổi thủ thuật Hãy thử sức với tốn sau

Bài : Hiện tuổi anh gấp lần tuổi em Sau 14 năm nữa, tỉ số tuổi anh tuổi em 5/4 Tính tuổi người

Bài : Trước năm, tỉ số tuổi An tuổi bố 1/4 Sau 10 năm nữa, tỉ số tuổi bố tuổi An 11/5 Tính tuổi người

Bài : Trước năm, tuổi bố gấp lần tuổi tuổi ông gấp lần tuổi bố Sau 4 năm nữa, tỉ số tuổi cháu tuổi ơng 3/16 Tính tuổi người

BÀI TOÁN VỀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Ở LỚP 3

Ở lớp học sinh học phép chia có dư, cách thực phép chia có dư, mối quan hệ số dư số chia Trong trình luyện tập, thực phép chia có dư học sinh làm quen với phép chia có dư Việc giải tốn khơng có khác biệt so với “giải toán phép chia hết” Do đặc điểm cách diễn đạt phép chia nên cách trình giải có khác

Ví dụ : Có 31 mét vải, may quần áo hết mét vải Hỏi may được nhiều quần áo thừa mét vải ?

Bài giải : Thực phép chia ta có : 31 : = 10 (dư1) Vậy may nhiều 10 quần áo thừa mét vải

Đáp số : 10 bộ, thừa mét vải Trong giải có hai điểm khác với việc trình bày giải tốn đơn : Kết phép tính khơng ghi tên đơn vị, câu trả lời đặt sau phép tính

Ví dụ : Một lớp học có 33 học sinh Phịng học lớp có loại bàn chỗ ngồi Hỏi cần có bàn học ?

Bài giải :

Thực phép chia ta có : 33 : = 16 (dư 1) Số bàn có học sinh ngồi 16 bàn, cịn học sinh chưa có chỗ ngồi nên cần có thêm bàn

Vậy cần số bàn : 16 + = 17 (cái bàn) Đáp số: 17 bàn

Trong giải ngồi phép tính chia có dư, cịn có phép cộng kết phép chia với (cần lưu ý học sinh : số số dư)

Bài giải :

Thực phép chia ta có : 50 : = 12 (dư 2) Có 12 xe xe chở người khách, cịn người khách chưa có chỗ nên cần có thêm xe

Vậy số xe cần : 12 + = 13 (xe)

Đáp số : 13 xe tơ

Ví dụ : Cần có thuyền để chở hết 78 người đồn văn cơng qua sơng, biết thuyền ngồi nhiều người, kể người lái thuyền ?

Bài giải :

Mỗi thuyền chở số khách nhiều : - = (người)

Thực phép chia ta có : 78 : = 15 (dư 3) Có 15 thuyền, thuyền chở người khách, người khách chưa có chỗ ngồi nên cần có thêm thuyền Vậy số thuyền cần có :

15 + = 16 (thuyền) Đáp số : 16 thuyền

Trong ví dụ câu hỏi tốn phép chia có dư có thuật ngữ “nhiều nhất” “ít nhất” Tuy nhiên có tốn phép chia có dư mà khơng cần có thuật ngữ

Ví dụ : Năm nhuận có 366 ngày Hỏi năm gồm tuần lễ ngày ?

Bài giải :

Một tuần lễ có ngày

Thực phép chia ta có : 366 : = 52 (dư 2) Vậy năm nhuận gồm 52 tuần lễ ngày

Đáp số : 52 tuần lễ ngày

Ví dụ : Hôm chủ nhật Hỏi 100 ngày sau thứ tuần lễ ? Bài giải :

Một tuần lễ có ngày

Thực phép chia ta có : 100 : = 14 (dư 2) Sau 14 tuần lại đến ngày chủ nhật hai ngày sau ngày thứ ba Vậy 100 ngày sau ngày thứ ba tuần lễ

Đáp số : ngày thứ ba

Xin giới thiệu bạn đọc tham khảo tốn hay Kì thi Olympic Đơng Nam năm 2003 (Toán Tuổi thơ số 40) :

Bài toán : Một xe buýt cỡ vừa chở 30 hành khách, xe buýt cỡ nhỏ có thể chở hành khách, xe buýt cỡ lớn chở 52 hành khách Hỏi cần xe buýt cỡ lớn để chở tất hành khách xe buýt cỡ vừa đầy hành khách 13 xe buýt cỡ nhỏ đầy hành khách ?

Đỗ Trung Hiệu (Hà Nội)

Trong thực tế ta gặp nhiều tốn cơng việc chung Khi giải tốn dạng ta hiểu cơng việc đơn vị biểu thị thành nhiều phần cho phù hợp với điều kiện tốn, để thuận tiện cho việc tính tốn giải tốn Ta xét vài ví dụ sau :

Ví dụ : Ba người làm cơng việc Người thứ hồn thành cơng việc ngày Người thứ hai hồn thành cơng việc nhiều gấp lần cơng việc ngày Người thứ ba hồn thành cơng việc nhiều gấp lần cơng việc trong12 ngày Hỏi ba người làm cơng việc ban đầu hồn thành giờ, ngày làm ? Phân tích : Muốn tính xem ba người làm công việc ban đầu bao lâu ta phải biết số phần công việc ba người làm ngày Muốn tìm số phần công việc ba người làm ngày phải tìm số phần cơng việc người làm ngày Số phần công việc làm ngày người số phần cơng việc chung chia cho số ngày Do số phần công việc chung phải chia hết cho số ngày Số nhỏ chia hết cho 3, 12 24 Vậy ta coi công việc chung giao 24 phần để tìm số phần cơng việc người ngày

Bài giải : Coi công việc chung giao 24 phần số phần cơng việc người thứ làm ngày : 24 : = (phần)

Số phần công việc người thứ hai làm ngày : 24 : = (phần) Số phần công việc người thứ ba làm ngày : 24 : 12 = 10 (phần) Số phần công việc ba người làm ngày : + + 10 = 27 (phần) Thời gian cần để ba người làm xong công việc ban đầu :

Số cần để ba người hồn thành cơng việc ban đầu :

Ví dụ : Để cày xong cánh đồng, máy cày thứ cần giờ, máy cày thứ hai cần 15 Người ta cho máy cày thứ làm việc nghỉ để máy cày thứ hai làm tiếp cày xong diện tích cánh đồng Hỏi máy cày thứ hai làm ?

Phân tích : Ở “cơng việc chung” diện tích cánh đồng

Theo cách phân tích tốn 1, diện tích cánh đồng biểu thị số phần số nhỏ chia hết cho 15 Nếu coi diện tích cánh đồng 45 phần tìm số phần diện tích máy cày Từ ta tìm thời gian máy cày thứ hai làm

Bài giải : Coi diện tích cánh đồng 45 phần ngày thứ cày số phần diện tích : 45 : = (phần)

Trong máy cày thứ cày số phần diện tích : x = 30 (phần) Số phần diện tích lại : 45 - 30 = 15 (phần)

Mỗi máy thứ hai cày số phần diện tích : 45 : 15 = (phần)

Thời gian để máy thứ hai cày nốt số phần diện tích cịn lại : 15 : = (giờ) Ví dụ : Ba vịi chảy vào bể nước sau 20 phút đầy bể Nếu riêng vịi thứ sau đầy bể, riêng vòi thứ hai chảy sau đầy bể Hỏi riêng vịi thứ ba chảy sau đầy bể ?

chảy phần bể Để tính số phần bể vịi thứ ba chảy phút ta phải tính số phần bể vòi thứ nhất, vòi thứ hai chảy phút Như số phần công việc chung phải chia hết cho thời gian vòi, tức chia hết cho 80 ; 360 ; 240 Số nhỏ chia hết cho 80 ; 240 360 720 tốn “cơng việc chung” lượng nước đầy bể, nên biểu thị lượng nước đầy bể 720 phần, ta giải ví dụ sau :

Bài giải : Coi lượng nước đầy bể 720 phần phút ba vịi chảy số phần bể : 720 : 80 = (phần)

Mỗi phút vòi thứ chảy số phần bể : 720 : 360 = (phần)

Mỗi phút vịi thứ hai chảy số phần bể : 720 : 240 = (phần)

Do phút vịi thứ ba chảy số phần bể : - (2 + 3) = (phần)

Thời gian để vòi thứ ba chảy đầy bể : 720 : = 180 (phút) Đổi 180 phút =

Vậy sau vòi thứ ba chảy đầy bể

Ba ví dụ cịn có cách giải khác, tơi muốn đưa cách giải để em học sinh lớp làm quen giải tốt toán dạng Bây bạn đọc thử sức với toán sau

Bài : Sơn Hải nhận làm chung công việc Nếu Sơn làm sau xong việc, cịn Hải làm sau xong cơng việc Hỏi hai người làm sau xong cơng việc

Bài : Hai vịi nước chảy vào bể nước sau 12 phút đầy bể Nếu vịi thứ chảy sau đầy bể Hỏi vịi thứ hai chảy đầy bể ?

Bài : Ba người dự định đắp xong đường Người thứ đắp xong đường tuần Người thứ hai đắp xong đường dài gấp lần đường tuần Người thứ ba đắp xong đường dài gấp lần đường 12 tuần Hỏi ba người đắp đường dự định ban đầu hồn thành giờ, tuần làm việc 45 ?

Phan Duy Nghĩa (Xóm 9, Đức Lâm, Đức Thọ, Hà Tĩnh)

SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA

1 Các dạng số dư phép chia chương trình Toán lớp trở xuống

Chia số tự nhiên cho số tự nhiên

Dạng đơn giản, bạn nhìn nên tơi khơng phân tích nhiều! 2 Các dạng số dư phép chia chương trình Tốn

- Nếu không ghi số dư bảng nhiều bạn cho số dư phép chia 0,9 (Rất nhiều học sinh nhầm số dư 9)

Sau cách xác định xác số dư phép chia trên:

- Đến bạn hiểu ý chưa?

- Có học sinh kiểm tra phép chia này: VD c) Lấy x 27 + = 90

VD h) Lấy 3,333 x 27 + 0,009 = 90

Bạn nghĩ sao? Thực chất số dư hai phép chia phải 900 0,00009! * Nói tóm lại: Tơi nói dài bạn cần nhớ hai điều sau: 1) Khi số chia, thương phép chia số thập phân số dư số thập phân 2) Số lượng chữ số phần thập phân số dư tổng số lượng chữ số phần thập phân số chia thương

Rất mong bạn trao đổi tiếp Xin cảm ơn bạn!

Nguyễn Thị Minh Hiếu (GV trường TH Vạn Ninh, Gia Bình, Bắc Ninh) TOÁN VỀ CÁC ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN

Chương trình tốn giới thiệu tốn đại lượng tỉ lệ nghịch sau em làm quen với toán đại lượng tỉ lệ thuận Trong viết “Toán đại lượng tỉ lệ thuận” tác giả Đỗ Văn Thản đăng TTT số 43 giúp bạn nắm phương pháp giải tốn có tới đại lượng mà hai đại lượng tỉ lệ thuận Để bạn nhận biết nhanh giải thành thạo toán đại lượng tỉ lệ nghịch tìm hiểu ví dụ sau :

Ví dụ : 14 người đắp xong đoạn đường ngày Hỏi 28 người đắp xong đoạn đường ngày ? (Năng suất lao động người nhau)

Tóm tắt : 14 người đắp xong đoạn đường : ngày 28 người đắp xong đoạn đường : ? ngày

Tương tự toán đại lượng tỉ lệ thuận, toán đại lượng tỉ lệ nghịch có cách giải

*Cách : Rút đơn vị

Một người đắp xong đoạn đường số ngày : x 14 = 84 (ngày) 28 người đắp xong đoạn đường số ngày : 84 : 28 = (ngày) *Cách : Dùng tỉ số

28 người so với 14 người gấp : 28 : 14 = (lần)

28 người đắp xong đoạn đường số ngày : : = (ngày)

Ví dụ toán đại lượng tỉ lệ nghịch Nắm vững

phương pháp giải tốn giải tốn có tới đại lượng mà hai đại lượng tỉ lệ nghịch Các bạn theo dõi ví dụ sau :

Ví dụ : Nếu có người ngày làm việc đắp xong đoạn đường 12 ngày Hỏi có người ngày làm việc 10 đắp xong đoạn đường ngày (năng suất lao động người nhau) Tóm tắt : người ngày làm : 12 ngày

6 người ngày làm 10 : ? ngày

Việc giải toán ta đưa giải liên tiếp hai toán đơn mà hai đại lượng tỉ lệ nghịch

Bài toán 1a : Nếu người ngày làm việc đắp xong đoạn đường 12 ngày Hỏi : Nếu người ngày làm việc đắp xong đoạn đường ngày ? (năng suất lao động người nhau) Bài toán cố định số làm việc ngày công việc phải làm (đắp xong đoạn đường định) nên số người số ngày hai đại lượng tỉ lệ nghịch Ta dễ dàng giải tốn tìm đáp số ngày

Bài toán 2a : Nếu người ngày làm việc đắp xong đoạn đường ngày Hỏi người ngày làm việc 10 đắp xong đoạn đường ngày ? (năng suất lao động người nhau)

Vẫn công việc ấy, toán cố định số người (đều có người) nên số làm việc ngày số ngày hai đại lượng tỉ lệ nghịch Giải tốn ta tìm đáp số ngày Đáp số đáp số ví dụ Ta bày lời giải ví dụ sau :

Một người ngày làm việc đắp xong đoạn đường số ngày : 12 x = 48 (ngày)

6 người ngày làm việc đắp xong đoạn đường số ngày : 48 : = (ngày)

10 so với gấp : 10 : = (lần)

6 người ngày làm việc 10 đắp xong đoạn đường đõ số ngày : : = (ngày)

*Cách : Giải liên tiếp hai toán sau :

Bài toán 1b : Nếu người ngày làm việc đắp xong đoạn đường 12 ngày Hỏi người ấy, ngày làm việc 10 đắp xong đoạn đường ngày ? (sức lao động người nhau)

Bài toán cố định công việc (đắp xong đoạn đường) số người (đều có người) nên số làm việc ngày số ngày hai đại lượng tỉ lệ nghịch Giải tốn ta tìm đáp số ngày

Bài toán 2b : Nếu người, ngày làm việc 10 đắp xong đoạn đường ngày Hỏi người, ngày làm việc 10 đắp xong đoạn đường ngày ? (sức lao động người nhau)

Vẫn công việc ấy, toán cố định số làm việc ngày nên số người số ngày hai đại lượng tỉ lệ nghịch Ta dễ dàng giải tốn tìm đáp số ngày Đáp số đáp số ví dụ Trình bày lời giải sau :

10 so với gấp : 10 : = (lần)

4 người ngày làm việc 10 đắp xong đoạn đường số ngày : 12 : = (ngày)

Một người ngày làm việc 10 đắp xong đoạn đường số ngày : x = 24 (ngày)

6 người ngày làm việc 10 đắp xong đoạn đường số ngày : 24 : = (ngày)

Ví dụ : Nếu ca có 24 cơng nhân, cơng nhân đứng máy dệt 720 mét vải Nếu ca có 12 cơng nhân phải dệt 1440 mét vải cơng nhân phải đứng máy ? (năng suất máy nhau)

lệ nghịch Cũng đưa giải liên tiếp toán tỉ lệ thuận Các bạn giải tất cách nhớ nhận biết thuộc dạng để tránh nhầm lẫn đáng tiếc TTT khuyến khích việc sáng tác toán tương tự có quà cho bạn có đề hay gửi sớm Hãy nhanh lên bạn !

Kim Chi (Từ Liêm, Hà Nội) TRỒNG CÂY TRONG TỐN

Trồng có ý nghĩa thực tiễn quan trọng: để lọc khơng khí, điều tiết khí hậu, làm đẹp thành phố, trì sinh thái,

Như vậy, trồng có liên quan đến tốn học? Đương nhiên có Tốn trồng gây nhiều hứng thú cho người giải lẽ kết hợp hình học lẫn số học lẽ có nhiều cách giải Tìm cách giải khó tìm thêm cách giải khác lại khó Thế điều luôn hấp dẫn Các bạn chưa tin ư? Vậy trước hết bạn giải toán sau thử xem

Bài toán: Bạn trồng 10 thành hàng, hàng gồm

Bình thường muốn trồng hàng, hàng có phải cần x = 20 Nhưng lại có 10 cây, nên phải sử dụng lần Từ ta tìm cách trồng sau: Lấy compa vẽ đường tròn, đường tròn lấy điểm số hàng cần trồng Nối điểm với điểm khác, cho ta đánh số thứ tự điểm theo chiều đó, số hai điểm đuôi nối với nhau nửa số trồng hàng Các đoạn thẳng hàng cắt nhau, điểm cần trồng (xem hình vẽ 1)

Khi có đáp án (một hình vẽ), để có đáp án khác tốn làm sau:

- Kéo dài đoạn thẳng hai phía để thành đường thẳng

- Lần lượt dịch chuyển số đường thẳng đến vị trí mới, để chúng cắt đường thẳng lại số điểm cắt trước

Dịch chuyển đường thẳng số đường thẳng Số ghi đường thẳng số lần dịch chuyển ứng với lần dịch chuyển cho ta đáp án toán

Từ đó, ta có cách trồng thỏa mãn yêu cầu toán

Các bạn tìm thêm cách trồng khác nhé!

Quả thật, với cách học tốn đơi thú vị chứ, phải không bạn?

Phan Duy Nghĩa (40A2, khoa GDTH Đại Học Vinh)

SỬ DỤNG CHẶN TRÊN, CHẶN DƯỚI TRONG GIẢI TỐN

Có thể nói giải toán tiểu học, sử dụng chặn trên, chặn giúp cho việc giải nhiều toán trở nên sáng sủa, mạch lạc có tác dụng khơng nhỏ việc rèn tư toán học cho học sinh tiểu học Tuy nhiên thủ thuật bước dãy bước giải toán lưu ý với học sinh Để giúp bạn học sinh làm quen với phép suy luận trên, giải số tốn sau :

Bài : Tìm abc , biết: abc + ab + c = 263 Bài giải :

Cách : (Sử dụng chặn trên)

Có : abc nhỏ 262 Vậy a = ; *a = : 1bc + 1b + c = 263

100 + b x 10 + c + 10 + b + c = 263

110 + b x 11 + c x = 263 (cấu tạo thập phân số) b x 11 + c x = 263 - 110 (tìm số hạng chưa biết) b x 11 + c x = 153

Vì 153 lẻ, c x chẵn nên b x 11 lẻ Vậy b = ; ; ;

Kiểm tra b = ; ; ; loại *a = : 2bc + 2b + c =263

200 + b x 10 + c + 20 + b + c = 263

220 + b x 11 + c x = 263 (cấu tạo thập phân số) b x 11 + c x = 263 - 220 (tìm số hạng chưa biết) b x 11 + c x = 43

Vì 43 lẻ, c x chẵn nên b x 11 lẻ b x 11 < 44 Vậy b = ;

Nếu b = : 11 + c x = 43 c x = 43 - 11

c x = 22 (loại)

Nếu b = : 33 + c x = 43 c x = 43 - 33

c x = 10 c = 10 : c =

Vậy abc = 235

Thử lại : 235 + 23 + = 263 (đúng)

Cách : (Sử dụng chặn chặn dưới)

Vậy suy a >

Vậy a = trở trường hợp cách

Bài : Một hình chữ nhật có chiều dài 50 m Giữ nguyên chiều dài tăng chiều rộng thêm 10 m, ta hình chữ nhật mới, hình chữ nhật có diện tích diện tích hình vng có cạnh lớn 53 m Biết số đo cạnh hình vng số tự nhiên, tìm chiều rộng hình chữ nhật cho ?

(Đề thi học sinh giỏi Hà Nội, 1984 - 1985)

Bài giải : Gọi ABCD hình chữ nhật ban đầu (AB = 50 m) ; ABMN hình chữ nhật

Diện tích hình chữ nhật DCMN : 50 x 10 = 500 (m2)

Diện tích hình chữ nhật ABCD khơng vượt q : 50 x 50 = 2500 (m2) Vậy diện tích hình chữ nhật không vượt : 2500 + 500 = 3000 (m2)

Biết số đo cạnh hình vng số tự nhiên lớn 53 m Vậy cạnh hình vng 54 m diện tích hình chữ nhật :

54 x 54 = 2916 (m2) < 3000 m2

Nếu cạnh hình vng 55 m diện tích hình chữ nhật : 55 x 55 = 3025 (m2) > 3000 m2

Vậy diện tích hình chữ nhật 2916 m2 Chiều rộng hình chữ nhật cũ :

2916 : 50 - 10 = 48,32 (m) Đáp số : 48,32 m

Bài : Một quan tổ chức trồng Một phần ba số nhân viên mang theo con, mang theo Nhân viên nam trồng 13 cây, nhân viên nữ trồng 10 cây, trẻ em trồng

Hỏi quan có nhân viên nam ? Bao nhiêu nhân viên nữ ? Biết họ trồng tất 216

(Đề thi học sinh giỏi liên tỉnh Hồng Công) Bài giải :(Dùng chặn trên, chặn dướ)i.

Theo đề bài, nhân viên nam trồng nhiều nhân viên nữ nên phép thử, ta biết :

Số nhân viên 18 người số nhân viên 18 người số trồng (khi nhân viên tồn nữ) là: Gi sử số nhân viên 18 số trẻ em : 10 x 18 + x (18 : 3) = 216 (cây) số đầu

- Số nhân viên phải nhiều 14 người số nhân viên băng 14 người số câu trồng nhiều (khi nhân viên toàn nam) là: 13 x 14 + x (14 : 3) =210 (cây) (nhỏ 216 cây)

Theo đề lại có: 1/3 số nhân viên có mang theo Vậy số nhân viên phải chia hết cho 3, số nhân viên phải 15

Số mang theo là: 15 : = (con)

Số mà nhân viên trồng là: 216 - x = 186 (cây)

Số nhân viên nữ : (195 - 186) : (13 - 10) = (nhân viên) Số nhân viên nam : 15 - = 12 (nhân viên)

Thử lại : 12 x 13 + x 10 + x = 216 (đúng) Đáp số : nhân viên nữ : ; nhân viên nam : 12

Như qua toán dạng khác nhau, việc sử dụng chặn trên, chặn giúp giải toán hạn chế số trường hợp cần thử chọn

Sau số toán để em vận dụng

1 a) Điền chữ số vào dấu (?) trường hợp sau : ?? + ?? = ?97 b) Tìm số nguyên nhỏ cho tổng chữ số 22

2 Giả sử A số có hai chữ số, B tổng chữ số A ; C tổng chữ số B Tìm A biết A = B + C + 51

3 Tìm a, b, c biết : abc x (a + b + c) = 1000

4 Tìm số tự nhiên, biết tổng số tổng chữ số 1987

Nguyễn Hùng Quang (Khoa Tiểu học, Trường CĐSP Hà Nội) NHIỀU HƠN MỘT CÁCH GIẢI !

Sau viết đăng chuyên mục “Giải tốn ?” tạp chí TTT1 số 46, nhận nhiều thư bạn đọc tòa soạn chuyển tới Một bạn tâm : “Nhờ có viết tác giả Đỗ Văn Thản nên em biết giải nhiều cách toán mà lâu em lúng túng” Nhiều bạn giải ví dụ nhờ kiểm tra kết Ngược lại, bạn Tạ Hồng Sơn, 9A3, THCS Lâm Thao, Phú Thọ khẳng định : “Khơng thể giải tốn cách thơng qua việc giải liên tiếp hai toán tỉ lệ thuận” Bài viết xin trình bày rõ số hướng đưa toán việc giải liên tiếp tốn đơn Ta trở lại ví dụ (TTT1 số 46) :

“Nếu ca có 24 cơng nhân, cơng nhân đứng máy dệt 720 mét vải Nếu ca có 12 cơng nhân phải dệt 1440 mét vải cơng nhân phải đứng máy ?”

Tóm tắt :

24 công nhân, công nhân đứng máy dệt 720 m 12 công nhân, công nhân đứng ? máy dệt 1440 m

Đưa toán giải liên tiếp toán đơn cách cố định đại lượng ba đại lượng, ta có hướng sau :

1a) Nếu ca có 24 cơng nhân, cơng nhân đứng máy dệt 720 mét vải Hỏi ca có 12 cơng nhân, cơng nhân đứng máy dệt mét vải ?

Bài toán tỉ lệ thuận này, giải ta tìm đáp số 360 m

1b) Nếu ca có 12 cơng nhân, cơng nhân đứng máy dệt 360 mét vải Hỏi ca phải dệt 1440 mét vải cơng nhân phải đứng máy ?

2a) Nếu ca có 24 cơng nhân, cơng nhân đứng máy dệt 720 mét vải Hỏi ca có 12 cơng nhân muốn dệt số vải cơng nhân phải đứng máy ?

Bài toán tỉ lệ nghịch này, giải ta đáp số máy

2b) Nếu ca có 12 cơng nhân cơng nhân đứng máy dệt 720 mét vải Hỏi có 12 cơng nhân ca phải dệt 1440 mét vải công nhân phải đứng máy ?

Bài toán tỉ lệ thuận này, giải ta đáp số máy, đáp số ví dụ

3a) Nếu ca có 24 cơng nhân, cơng nhân đứng máy dệt 720 mét vải Hỏi muốn dệt 1440 mét vải cơng nhân phải đứng máy ? Bài toán tỉ lệ thuận này, giải ta đáp số máy

3b) Nếu ca có 24 cơng nhân, cơng nhân đứng máy dệt 1440 mét vải Hỏi ca có 12 cơng nhân, muốn dệt số vải người phải đứng máy ?

Bài toán tỉ lệ nghịch này, giải ta đáp số máy, đáp số ví dụ

4a) Nếu ca có 24 cơng nhân, cơng nhân đứng máy dệt 720 mét vải Hỏi muốn dệt 1440 mét vải mà cơng nhân đứng máy ca cần cơng nhân ?

Bài tốn tỉ lệ thuận này, giải ta đáp số 48 cơng nhân

4b) Nếu ca có 48 cơng nhân, cơng nhân đứng máy dệt 1440 mét vải Hỏi ca có 12 cơng nhân muốn dệt số vải công nhân phải đứng máy ?

Bài toán tỉ lệ nghịch này, giải ta đáp số máy, đáp số ví dụ

5a) Nếu ca có 24 cơng nhân, cơng nhân đứng máy dệt 720 mét vải Hỏi muốn dệt số vải mà cơng nhân đứng máy cần cơng nhân ?

Bài tốn tỉ lệ nghịch này, giải ta đáp số 48 cơng nhân

5b) Nếu ca có 48 cơng nhân, cơng nhân đứng máy dệt 720 mét vải Hỏi muốn dệt 1440 mét vải mà cơng nhân đứng máy cần cơng nhân ?

Bài tốn tỉ lệ thuận này, giải ta đáp số 96 cơng nhân

5c) Nếu ca có 96 cơng nhân, cơng nhân đứng máy dệt 1440 mét vải Hỏi ca có 12 cơng nhân muốn dệt số vải cơng nhân phải đứng máy ?

Bài toán tỉ lệ nghich giải ta đáp số máy, đáp số ví dụ

6a) Nếu ca có 24 cơng nhân, cơng nhân đứng máy dệt 720 mét vải Nếu ca có cơng nhân, muốn dệt số vải cơng nhân phải đứng máy ?

Bài toán tỉ lệ nghịch này, giải ta đáp số 48 máy

6b) Nếu ca có cơng nhân, cơng nhân đứng 48 máy dệt 720 mét vải Hỏi ca có 12 cơng nhân muốn dệt số vải cơng nhân phải đứng máy ?

6c) Nếu ca có 12 cơng nhân, cơng nhân đứng máy dệt 720 mét vải Hỏi muốn dệt 1440 mét vải cơng nhân phải đứng máy ? Bài toán tỉ lệ thuận này, giải ta đáp số máy, đáp số ví dụ

7a) Nếu ca có 24 cơng nhân, cơng nhân đứng máy dệt 720 mét vải Nếu ca có cơng nhân, muốn dệt số vải cơng nhân phải đứng máy ?

Bài toán tỉ lệ nghịch này, giải ta đáp số 48 máy

7b) Nếu ca có cơng nhân, cơng nhân đứng 48 máy dệt 720 mét vải Muốn dệt 1440 mét vải cơng nhân phải đứng máy ? Bài toán tỉ lệ thuận này, giải ta đáp số 96 máy

7c) Nếu ca có cơng nhân, cơng nhân đứng 96 máy dệt 1440 mét vải Hỏi ca có 12 cơng nhân dệt số vải cơng nhân đứng máy ?

Bài toán tỉ lệ nghịch này, giải ta đáp số máy, đáp số ví dụ

Trên hướng đưa ví dụ việc giải liên tiếp toán đơn toán ta giả sử suất máy Tất nhiên tốn đơn có nhiều cách để tìm đáp số Việc đưa giải toán đơn nhằm “gỡ rối” gặp tốn có tới đại lượng Tuy nhiên có tốn đơn khơng phù hợp với thực tế mà có ý nghĩa “giả thiết tạm” (hướng 6, 7)

Hi vọng viết giúp cho Tạ Hồng Sơn nhiều bạn khác khơng cịn băn khoăn cách giải tốn ví dụ khơng ngại gặp dạng tốn có ba đại lượng

KIM CHI (Hà Nội)

CÁC PHÂN SỐ NẰM GIỮA HAI SỐ

Một dạng toán thú vị yêu cầu tìm phân số nằm hai số cho trước Một lưu ý với bạn : hai số cho trước có nhiều phân số Nếu khơng có u cầu thêm phân số khơng viết hết phân số nằm hai số cho trước

Thí dụ : Hãy thử tìm phân số nằm 3/7 5/7.

Nhiều bạn cho “Làm có phân số hai phân số ?” Ta thử nhân tử mẫu hai phân số với 8/14 10/14 Đến bạn “ kiếm” 9/14 Nếu nhân tiếp tử mẫu hai phân số với 16/28 20/28 Thế bạn kể phân số thỏa mãn toán 17/28, 18/28, 19/28 Cứ tiếp tục bạn viết phân số

Thí dụ : Hãy viết tất phân số nằm 1/3 16/27 mà mẫu số 9.

Thí dụ : Có phân số nằm 5/6 6/7 mà tử số nhỏ 2004 ? Ta có 2004 : = 334 nên viết 6/7 = (6 x 334)/(7 x 334) = 2004/2338

Mặt khác : 5/6 = (5 x 2338/6 )/2338 = (1948 1/3)/2338

Do phân số thỏa mãn tốn có mẫu 2338 tử số tự nhiên từ 1949 đến 2003 Vậy số phân số thỏa mãn toán :

2003 - 1949 + = 55 (số)

Các bạn giải tốn cách khác Sau vài toán để bạn thử giải :

Bài : Hãy viết phân số nằm phân số 2002/2003 2003/2004. Bài : Viết phân số nằm mà tử số 5.

Bài : Có phân số nằm 2003 2004 có mẫu lớn 50?

Lê Hồng Gấm (Giáo viên trường TH Tây Tựu, Từ Liêm, Hà Nội)

CẮT GHÉP HÌNH TRÊN GIẤY KẺ Ơ VNG

Việc giải tốn cắt, ghép hình địi hỏi phải quan sát, phân tích tổng hợp yếu tố: đỉnh, góc, cạnh hình ban đầu để tìm mối quan hệ mảnh hình cắt phải ghép lại theo yêu cầu toán Nghĩa phải tưởng tượng phép cắt thử, ghép thử so sánh hình ban đầu hình phải ghép Vì giải tốn cắt, ghép hình khó phức tạp, mà sức hấp dẫn lôi kéo tập lớn

Việc vẽ hình giấy kẻ vng giúp ta dễ hình dung phần để nguyên, phần phải cắt, ghép phải cắt ghép nào?

Việc giải toán cắt ghép hình tiến hành theo qui trình:

1 Vẽ hình cho giấy kẻ vng cho đếm số vng hình vẽ Quan sát đặc điểm yếu tố hình cho: đỉnh, cạnh, góc; vị trí; hình dạng độ lớn Tưởng tượng hình cần ghép (có thể vẽ thử giấy kẻ vng)

2 Phân tích, đối chiếu, so sánh yếu tố hình cho cần tìm xác định yếu tố thỏa mãn; xác định phận cần cắt ghép Thực cắt ghép thử

3 Cắt ghép theo phân tích bước

4 Kiểm tra yêu cầu tốn, tìm cách ghép khác chọn cách tốt

Ví dụ 1: Có tờ bìa hình vng cắt 1/4 hình vng góc Hãy chia hình thành phần

Bước 2: Hình cắt thành mảnh nhau, mảnh có vng nhỏ

Nếu ô vuông lớn bỏ ô vuông nhỏ vng lớn cịn lại vng mảnh cần cắt Các ô vuông nhỏ cắt từ ô vuông lớn ghép lại phải mảnh cịn lại Vì mảnh cịn lại có dạng ô vuông lớn cắt ô vuông nhỏ, nên mảnh cịn lại phần liên thơng gồm vng ô vuông lớn

Bước 3: Cắt theo đường ABDEFGH ta mảnh Cắt mảnh lại theo đường: FI CD ta mảnh lại

Bước 4: Bốn mảnh cắt là: MHGFIN; HGEBA; FIKCD; CDAQP ô vng lớn bỏ vng nhỏ cịn vng có hình dạng độ lớn

Ví dụ 2: Chia hình vng thành hình tam giác có diện tích

Bước 1: Vẽ hình vng giấy kẻ ô vuông Hình vuông chia thành 16 ô vuông nhỏ

Bước 2: Mảnh cắt tam giác có diện tích nhau, tam giác có diện tích vng Khi cạnh đáy chiều cao tương ứng tam giác có độ dài độ dài cạnh ô vng

Bước 3: Cắt hình vng theo hai đường chéo AC BD tạo bốn tam giác OAD; ODC; OCB OBA diện tích vng nhỏ Bước 4: Các tam giác OAD; ODC; OCB; OBA nhau: Gấp hình vng theo hai đường chéo ta tam giác trùng khít lên nhau, diện tích

Cách khác: Mỗi mảnh cắt tam giác có diện tích vng, nên tam giác có cạnh độ dài đường cao tương ứng độ dài cạnh ô vuông Nếu lấy AB làm cạnh tam giác cắt đỉnh lại tam giác thuộc đường thẳng MN, vị trí đỉnh M, F, O Vì ta cịn có cách giải sau:

Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật có độ dài cạnh cm 16 cm Hãy cắt hình chữ nhật thành mảnh để ghép lại hình vng

Bước 1: Vẽ hình chữ nhật giấy kẻ vng Số ô vuông là: x 16 = 144 (ô vng) Hình ghép từ hai mảnh cắt hình vng diện tích 144 nên cạnh hình vng độ dài cạnh 12 vng

Bước 2: Hình vng ghép lại từ hai mảnh có dạng hình AEFG Khi AD kéo dài DG có độ dài vng AB bị rút ngắn bớt BE có độ dài cạnh vng Hình chữ nhật DHFG có độ dài cạnh tương ứng 12 ơ; hình ghép với hình chữ nhật AEHD để có hình vng AEFG Nếu cắt theo đường XY hình chữ nhật tương ứng để ghép hình chữ nhật DHFG hình chữ nhật YTCX Khi B chuyển tới vị trí N; E chuyển tới vị trí M M chuyển tới vị trí Y

Bước 3: Cắt hình chữ nhật theo đường XYZMNE; DX = 4; YZ = 4; MN = ta hai mảnh ADXYZMNE CXYZMNEB

Bước 4: Ghép mảnh CXYZMNEB trùng với FGDXYZMN ta hình vng AGFE

Bài tập tự giải:

Bài 1: Cắt hình chữ thập thành mảnh ghép lại hình vng Bài 2: Hãy cắt hình vng thành mảnh để ghép lại hình vng

Lê Duy Ninh ĐHSP Hà Nội

DÙNG SƠ ĐỒ DIỆN TÍCH ĐỂ GIẢI TỐN BA ĐẠI LƯỢNG

Sơ đồ diện tích dùng để giải tốn có nội dung đề cập đến ba đại lượng Giá trị ba đại lượng tích giá trị hai đại lượng Dùng sơ đồ diện tích giải nhanh tốn đưa toán trực quan toán diện tích hình chữ nhật Sau số thí dụ: Ví dụ 1:

Một tơ từ A đến B với vận tốc 30km/giờ, sau từ B quay A với vận tốc 40km/giờ Thời gian từ B A thời gian từ A đến B 40 phút Tính độ dài qng đường AB

Phân tích: Vì qng đường AB (s = v x t) không đổi, nên ta xem vận tốc (v) chiều dài hình chữ nhật thời gian (t) chiều rộng hình chữ nhật Vẽ sơ đồ:

Giải: Ta có 40 phút = 2/3

Nếu ô tô từ B A với vận tốc 30 km/giờ sau khoảng thời gian dự định từ B A, tơ cịn cách A quãng đường là:

30 x 2/3 = 20 (km)

Sở dĩ có khoảng cách vận tốc xe giảm đi: 40 - 30 = 10 (km/h)

20 : 10 = (giờ)

Quãng đường AB dài là: 40 x = 80 (km)

Đáp số: 80 km Chú ý s1 = s2

Ví dụ 2: Bạn Toán đưa tiền dự định mua số loại 2500 đồng/ Nhưng đến cửa hàng cịn loại 3000 đồng/quyển Tốn băn khoăn có nên mua loại khơng? Vì mua số dự định bị hụt hai Tính số tiền bạn Tốn mang đi?

Phân tích: Vì số tiền bạn Tốn mang khơng đổi, nên ta xem giá tiền loại chiều dài hình chữ nhật số chiều rộng hình chữ nhật Vẽ sơ đồ:

Giải: Nếu bạn Toán mua số loại 2500 đồng/quyển số định mua loại 3000 đồng/quyển số tiền cịn thừa là:

2 x 2500 = 5000 (đồng)

Sở dĩ có số tiền thừa giá giảm: 3000 - 2500 = 500 (đồng/quyển)

Vậy số bạn Toán định mua loại 3000 đồng/quyển là: 5000 : 500 = 10 (quyển vở)

Số tiền bạn Toán mang là: 3000 x 10 = 30000(đồng) Đáp số: 30000 đồng

Các bạn thử dùng sơ đồ diện tích giải tốn sau:

Bài 1: Một ơtơ từ Vinh đến Hà Nội dự định với vận tốc 30 km/h Nhưng trời mưa nên 25 km/h, nên đến Hà Nội muộn so với thời gian dự định Tính quãng đường Vinh - Hà Nội?

Bài 2: Bố bạn An năm 30 tuổi Nếu lấy số tuổi bố bạn An cách năm và số tuổi An cộng với nhân hai số với số tuổi bố bạn An nhân với số tuổi bạn An Tính tuổi bạn An bây giờ?

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO QUA CÁC BÀI TỐN CẮT - GHÉP HÌNH

Rèn luyện tư sáng tạo toán học cho học sinh tiểu học việc cần thiết trình dạy học lứa tuổi này, tư học sinh "trực quan" "cụ thể", dạy em, giáo viên cần nghiên cứu phát triển tư sáng tạo cho học sinh dựa mức độ yêu cầu thích hợp tính sáng tạo Để đạt mục đích từ toán đơn giản đến tốn phức tạp

Trong viết tơi xin nêu cách để từ số toán cắt - ghép hình có sách giáo khoa, hướng dẫn cho học sinh giải tốn khó Dưới xin trình bày dạng tốn

Bài tốn

Hãy cắt hình vng thành bốn hình tam giác xếp bốn hình tam giác thành hai hình vng (Tốn trang 34)

Giải

Ta cắt hình vng lớn theo hai đường chéo ta bốn hình tam giác ghép hai hình tam giác lại ta hình vng nhỏ

Bài tốn

Vẽ hai hình bên giấy kẻ vng cắt hình thành hai mảnh để ghép mảnh lại hình vng (Tốn 3, trang 105)

Giải

Ta cắt hai hình theo đường khơng liền nét ghép theo hình bên cạnh ta hình vng (hình b)

Bài tốn

Cho hình vng Hãy cắt ghép chúng thành hình vng Giải

+ Khi dạy giải toán cho học sinh, cần làm cho học sinh thấy rõ toán kết hai toán (1) (2)

Bước Ghép 10 hình vng nhỏ thành hai hình chữ thập

Bước Cắt ghép hai hình chữ thập toán (2) Các tập rèn luyện thêm :

1) Cắt hình thành mảnh để ghép lại hình vng 2) Một người có miếng ván hình chữ nhật, 1,5m, rộng 0,3m Người muốn cắt miếng ván thành nhiều mảnh cho ghép mảnh lại hình vng (Bài tốn : Giúp bác thợ mộc)

Trần Văn Hạnh (Cao đẳng Sư phạm Quảng Ngãi SỬ DỤNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG ĐỂ TÌM LỜI GIẢI KHÁC NHAU TRONG

DẠY GIẢI TOÁN

Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng giải toán trở thành phương pháp hữu hiệu việc giải số dạng toán tiểu học Trong "Phát triển từ toán bản" tác giả Đặng Phương Hoa, TTT số 33 minh chứng cho vấn đề Trong này, dựa vào toán lớp tơi nêu lên ngun lí chung lời giải, từ áp dụng cho việc tìm lời giải tốn khác

Bài tốn : Tìm số, biết tổng chúng 2004 hiệu chúng 202. Đây tốn điển hình lớp SGK thường nêu lên cách giải sau : Cách :

Số lớn = (Tổng + Hiệu) : ; Số bé = Số lớn - Hiệu Số bé = Tổng - Số lớn

Ta thấy : Cả cách giải có chung ngun lí : Biến đổi sơ đồ để đoạn thẳng

Theo nguyên lí ta, biến đổi sơ đồ :

Thành sơ đồ:

Dựa vào sơ đồ ta có cách giải : Số bé : 2004 : - (202 : 2) = 901 Số lớn : 2004 : + (202 : 2) = 1103, : 2004 - 901 = 1103

Đáp số : Số bé : 901 ; số lớn : 1103

Bài tốn : Khối lớp có bốn lớp với tổng số học sinh 156 em Lớp 4A nhiều lớp 4B 10 em Lớp 4C lớp 4A em Lớp 4B lớp 4D có số học sinh Hỏi lớp có em ?

Đây loại tốn khơng khó học sinh tiểu học, việc tìm lời giải khác lại không đơn giản Nếu áp dụng nguyên lí biến đổi sơ đồ đoạn thẳng thành đoạn thẳng ta có cách giải khác Đầu tiên ta tóm tắt tốn sơ đồ đoạn thẳng :

Cách giải : (Biến thành đoạn thẳng đoạn thẳng biểu thị số học sinh 4B)

Số học sinh 4C nhiều số học sinh 4B : 10 - = (em) Theo ta có sơ đồ :

Số học sinh 4B số học sinh lớp 4D : (156 - 10 - 6) : = 35 (em)

Số học sinh 4A : 35 + 10 = 45 (em) Số học sinh 4C : 35 + = 41 (em)

Đáp số : 4A : 45 em, 4B : 35 em, 4C : 41 em, 4D : 35 em

Số học sinh 4A : (156 + 10 + + 10) : = 45 (em)

Số học sinh 4B số học sinh 4D : 45 - 10 = 35 (em) Số học sinh 4C : 45 - = 41 (em)

Đáp số : 4A : 45 em, 4B : 35 em, 4C : 41 em, 4D : 35 em

Cách giải : Vì (10 + 6) : = 4, từ ta biến thành đoạn thẳng đoạn thẳng biểu thị số học sinh lớp 4B thêm học sinh

Lời giải xin dành cho bạn

Cách giải : Biến đổi sơ đồ thành đoạn thẳng đoạn thẳng biểu thị số học sinh 4C Các bạn vẽ sơ đồ giải xem !

Nếu để ý đến điều kiện số học sinh lớp 4B 4D ta lại có cách giải thứ Sơ đồ:

Như ta lại đưa toán toán tìm số biết tổng hiệu số Việc giải tiếp tốn tơi muốn dành cho bạn đọc Các bạn áp dụng để giải toán tương tự !

Chúc bạn giải toán ngày "siêu" !

Nguyễn Hùng Quang ( Giáo viên trường Cao đẳng Sư phạm Hà Nội) ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI ĐỂ GIẢI TOÁN VUI

VÀ TOÁN CỔ Ở TIỂU HỌC

Phương pháp tính ngược từ cuối dùng để giải nhiều toán vui toán cổ tiểu học Sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối giúp ta trình bày lời giải cách ngắn gọn, chặt chẽ tường minh Dưới ta xét số ví dụ minh họa

Ví dụ: Một viên quan mang lễ vật đến dâng vua vua ban thưởng cho cam vườn thượng uyển, phải tự vào vườn hái Đường vào vườn thượng uyển phải qua ba cổng có lính canh Viên quan đến cổng thứ nhất, người lính canh giao hẹn: “Ta cho ông vào lúc ông phải biếu ta nửa số cam, thêm nửa quả” Qua cổng thứ hai thứ ba lính canh giao hẹn Hỏi để có cam mang viên quan phải hái cam vườn?

Số cam viên quan cịn lại sau cho lính gác cổng thứ ba (cổng cùng) là:

Số cam viên quan phải hái vườn là:

Vậy để có cam mang viên quan phải hái 15 vườn Đáp số: 15 cam

Ví dụ 2: Có giống bèo ngày lại nở tăng gấp đôi Nếu ngày đầu cho vào mặt hồ bèo 10 ngày sau bèo lan phủ kín mặt hồ Vậy ban đầu cho vào 16 bèo ngày sau bèo phủ kín mặt hồ?

Giải: Ta có bảng sau biểu diễn số bèo mặt hồ:

Nhìn vào bảng ta thấy: Nếu ngày đầu cho vào mặt hồ 16 bèo ngày sau bèo lan phủ kín mặt hồ

Các bạn thử giải tốn sau phương pháp tính ngược từ cuối

Một người qua đường hỏi ông lão chăn vịt: “Đàn vịt ơng có con?” Ông lão trả lời:

- Bốn phần năm số vịt lại thêm phần năm nằm nghỉ ở trên bờ

- Cuối cịn hai đơi vịt q tơi nhốt lồng kia! Hỏi đàn vịt ơng lão có con?

PHÁT TRIỂN TỪ MỘT BÀI TOÁN CƠ BẢN

Trong chương trình tốn lớp em học dạng tốn trung bình cộng, dạng tốn điển hình lí thú biết khai thác sâu Sau hướng khai thác từ toán :

Bài toán : Lớp 4A trồng 21 ; lớp 4B trồng 22 ; lớp 4C trồng được 29 Lớp 4D trồng số trung bình cộng số trồng ba lớp Hỏi lớp 4D trồng ? Giải :

Lớp 4D trồng số : (21 + 22 + 29) : = 24 (cây) Đáp số : 24

Bài toán : Lớp 4A trồng 21 ; lớp 4B trồng 22 ; lớp 4C trồng được 29 ;lớp 4D trồng số trung bình cộng số lớp Hỏi lớp 4D trồng ? Phân tích : Bài tốn cho số lớp 4D khơng phải trung bình cộng số ba lớp toán mà số lớp 4D trung bình cộng số bốn lớp

Ta dễ thấy tổng số lớp chia làm phần số lớp 4D phần tổng số ba lớp phần Như trung bình cộng số lớp trung bình cộng số lớp cịn lại Bài tốn giải giống tốn

Giải : Theo ta có sơ đồ sau :

Nhìn vào sơ đồ ta có :

Lớp 4D trồng số : (21 + 22 + 29) : = 24 (cây) Đáp số : 24

Nhận xét : Một số cho lại trung bình cộng số cịn lại số trung bình cộng tất số cho

Bài toán : Lớp 4A trồng 21 ; lớp 4B trồng 22 ; lớp 4C trồng được 29 ; lớp 4D trồng số trung bình cộng số lớp Hỏi lớp 4D trồng ?

Phân tích : Bài tốn cho số lớp 4D khơng trung bình cộng số c lớp mà cịn trung bình cộng số bốn lớp

Dùng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng ta có :

Tổng số lớp 4A ; 4B ; 4C thêm lần trung bình cộng số lớp Từ ta tìm số lớp 4D

Nhìn vào sơ đồ ta có trung bình cộng số lớp : (21 + 22 + 29 + 3) : = 25 (cây)

Số lớp 4D trồng : 25 + = 28 (cây)

Nhận xét : Nếu có số a ; b ; c số chưa biết x mà x lớn trung bình cộng số a ; b ; c ; x n đơn vị trung bình cộng bốn số là: (a + b + c + n) : hay (a + b + c + x) : = (a + b + c + n) :

Với cách khai thác em giải toán sau rút nhận xét xem :

Lớp 4A trồng 21 ; lớp 4B trồng 22 ; lớp 4C trồng 29 Lớp 4D trồng số trung bình cộng số lớp Hỏi lớp 4D trồng ?

Đặng Phương Hoa (Số nhà 48, tổ 27, phường Quang Trung, TX Thái Bình, Thái Bình)

GIẢI BÀI TỐN BẰNG ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ

Các em học sinh thân mến ! Trong chương trình tốn em làm quen với hai toán đại lượng tỉ lệ thuận đại lượng tỉ lệ nghịch biết đại lượng tỉ lệ thuận tỉ lệ nghịch Việc áp dụng quan hệ để giải số tốn thơng qua học chúng tơi muốn đưa thêm số ví dụ khác áp dụng đại lượng tỉ lệ để giải Hi vọng em tìm thấy điều lạ hấp dẫn cách giải tốn

Ví dụ : Hưng xe đạp từ nhà lên huyện với vận tốc 12 km/giờ Sau trở với vận tốc 10 km/giờ Tính quãng đường từ nhà lên huyện biết thời gian lúc lâu lúc 10 phút

Nhận xét : Ta thấy Hưng đoạn đường từ nhà lên huyện Do thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc lúc vận tốc lúc tỉ số vận tốc lúc lúc 12/10 = 6/5 Vậy tỉ số thời gian thời gian 5/6 Mà thời gian lúc lâu lúc 10 phút hay nhiều 10 phút Từ ta có sơ đồ :

Thời gian lúc hết : 10 : (6 - 5) x = 60 (phút) Đổi : 60 phút =

Quãng đường từ nhà lên huyện : 10 x = 10 (km)

Đáp số : 10 km

Ví dụ : Cho tam giác ABC có diện tích 75 cm2 Trên BC lấy M cho BM = 2/3 BC Tính diện tích tam giác ABM

ở tỉ số hai đáy : BM/BC = 2/3 Vậy tỉ số diện tích hai tam giácABM ABC 2/3 Vì diện tích tam giác ABC 75 cm2, nên diện tích tam giác ABM : 75 : x = 50 (cm2)

Đáp số : 50 cm2

Ví dụ : Cơ giáo xếp chỗ ngồi cho học sinh lớp 4A Nếu xếp bàn bạn thiếu bàn Nếu xếp bàn bạn thừa bàn Hỏi lớp có bàn, học sinh ?

Nhận xét : Số học sinh không đổi nên số bàn số học sinh xếp bàn hai đại lượng tỉ lệ nghịch với

Số bàn cần có để xếp bạn bàn nhiều số bàn cần có để xếp bạn bàn : + = (bàn)

ở tỉ số số bạn xếp bàn bạn bàn bạn Do tỉ số số bàn xếp bàn bạn bàn bạn

Vậy ta có sơ đồ :

Số bàn cần đủ để xếp bạn bàn : : (5 - 4) x = 10 (bàn) Số bàn lớp 4A : 10 - = (bàn)

Số học sinh lớp 4A : x + = 40 (học sinh) Đáp số : bàn ; 40 học sinh

Các em thấy khơng ? Đó ví dụ, ngồi cịn nhiều ví dụ khác nữa, hi vọng em áp dụng đại lượng tỉ lệ để giải cách tốt Sau số toán để em làm thử :

1 Một hình chữ nhật có chiều dài gấp lần chiều rộng Hỏi tăng chiều dài thêm đoạn chiều rộng chiều rộng thay đổi để diện tích hình khơng thay đổi

2 Đội tuyển học sinh giỏi có số bạn nam gấp lần số bạn nữ Thầy giáo nhẩm tính thay bạn nam bạn nữ số bạn nam nhiều số bạn nữ bạn Hỏi đội tuyển có bạn nam, bạn nữ

3 Ba tổ trồng tất 120 Biết số tổ tổ trồng nhiều số trồng tổ tổ 10 Số tổ tổ trồng số tổ tổ trồng Tính số tổ trồng

Nguyễn Ngọc Cường (Phòng GD - ĐT Hưng Hà, Thái Bình)

Giải tốn có lời văn ln điều thú vị học sinh tiểu học Việc tìm cách giải khác cho toán làm cho lời giải thêm sinh động phong phú hơn, học sinh thêm say mê học Toán Kỳ thi học sinh giỏi tiểu học mơn Tốn năm học 2003 - 2004 thành phố Hà Nội có tốn khiến nhiều giáo viên cịn băn khoăn lời giải khác học sinh Tôi xin trình bày lại cách giải khác tốn thuộc dạng tốn tính ngược có đề thi

Bài tốn : “Bạn Yến có bó hoa hồng đem tặng bạn lớp Lần đầu Yến tặng nửa số hồng thêm Lần thứ hai Yến tặng nửa số hồng cịn lại thêm bơng Lần thứ ba Yến tặng nửa số bơng hồng cịn lại thêm bơng Cuối Yến cịn lại bơng hồng dành cho Hỏi Yến tặng bơng hồng ?”

*Cách : Ta có sơ đồ số hồng :

Số hồng lại sau Yến tặng lần thứ hai : (1 + 3) x = (bông)

Số bơng hồng cịn lại sau Yến tặng lần thứ : ( + 2) x = 20 (bông)

Số hồng lúc đầu Yến có : (20 + 1) x = 42 (bông)

Số hồng Yến tặng bạn : 42 - = 41 (bông)

Đáp số : 41 hồng *Cách :

Gọi số bơng hồng lúc đầu Yến có a

Số bơng hồng cịn lại sau Yến cho bạn lần thứ : a : - (bơng hồng)

Số bơng hồng cịn lại sau Yến cho bạn lần thứ hai : (a : - 1) : - (bông hồng)

Số bơng hồng cịn lại sau Yến cho bạn lần thứ ba : ((a : - 1) : - 2) : - (bông hồng)

Theo đề ta có :

a : = 20 + (bông hồng) a : = 21 (bông hồng) a = 21 x (bông hồng) a = 42 (bông hồng)

Số hồng mà Yến tặng bạn : 42 - = 41 (bông hồng) Đáp số : 41 hồng

*Cách :

Biểu thị : A số hồng lúc đầu Yến có

B số bơng hồng cịn lại sau cho lần thứ C số hồng cịn lại sau cho lần thứ hai Ta có lưu đồ sau :

Số bơng hồng cịn lại sau Yến cho lần thứ : (1 + 3) x = (bông hồng)

Số bơng hồng cịn lại sau Yến cho lần thứ : (8 + 2) x = 20 (bơng hồng)

Số bơng hồng lúc đầu Yến có : (20 + 1) x = 42 (bông hồng) Số hồng Yến tặng bạn : 42 - = 41 (bông hồng)

Đáp số : 41 hồng

Nhận xét : Cách giải cách giải thông thường mà học sinh tiểu học lựa chọn để giải Mục đích việc vẽ sơ đồ nhằm giúp học sinh dễ dàng nhìn thấy mối liên hệ toán Tuy nhiên, em học sinh giỏi việc vẽ sơ đồ không cần thiết em thành thạo

Đối với cách giải 2, nhiều người cho rằng, giải cách không vừa sức học sinh tiểu học Điều khơng đúng, thực học sinh cần vận dụng kiến thức học chương trình tiểu học tìm thành phần chưa biết phép tính vào kiện cho để đưa lời giải Ví dụ bước 1, học sinh thực tìm số bị trừ biết số trừ hiệu, bước học sinh thực tìm số bị chia biết thương số chia v.v

Ở cách giải 3, thấy cho nửa số bơng hồng Yến có cịn lại nửa số bơng hồng Sau lại cho thêm hồng nữa, nghĩa số bơng hồng cịn lại sau cho lần thứ nửa số hồng lúc đầu bớt bơng Tương tự số bơng hồng cịn lại sau cho lần thứ hai nửa số hồng sau cho lần thứ bớt bông hồng dành cho Yến nửa số bơng hồng cịn lại sau cho lần thứ hai bớt Tới đây, muốn tìm C ta lấy (1 + 3) x Tương tự, ta tìm số bơng hồng lúc đầu Yến có (A)

bơng hồng lại sau cho lần thứ nhất, số bơng hồng cịn lại sau cho lần thứ hai Khi hiểu rõ điều này, không thiết học sinh phải đặt kí hiệu cho trịn lưu đồ mà lời giải toán

Trên phương pháp giải dạng tốn tính ngược từ cuối lên; hi vọng, giúp bạn học sinh tiểu học thành thạo giải toán tương tự Mong nhận ý kiến trao đổi bạn

Th.S Phùng Như Thuỵ (Chuyên viên Bộ Giáo dục Đào tạo) DÀNH CHO CÁC BẠN LỚP 5

HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN

Khi học phân số, bạn tiếp xúc với nhiều toán có lời văn thú vị Các tốn giải dễ dàng bạn nắm vững vận dụng tốt hai toán bản.

Bài toán thứ :

Tìm số biết tỉ số số với số cho trước.

Để giải toán bạn cần nhớ: " Nếu số a m/n số b a = m/n x b" Xin minh học ví dụ:

Ví dụ 1: Hãy cho biết 2/7 75 bao nhiêu? Giải : Ta có sơ đồ:

2/5 75 : 75 : x = 30 hay 75 x 2/5 = 30 Ví dụ : Tìm 3/4 5/6

Giải : Ta có sơ đồ :

3/4 5/6 : 5/6 : x = 5/8 hay 5/6 x 3/4 = 5/8 Bài toán thứ hai :

Tìm số biết tỉ số số biết với số này.

Bài toán ngược với toán Các bạn cần nhớ : "Nếu cho số a tỉ số a b m/n b = a : m/n"

Ví dụ : Biết 2/3 số 20 Hãy tìm số đó. Giải : Ta có sơ đồ :

Số cần tìm :

20 : x = 30 hay 20 : 2/3 = 30

Số cần tìm :

2/3 : x = 3/4 hay 2/3 : 8/9 = 3/4

Từ hai toán bạn giải lớp tốn có lời văn phân số Bài tốn : Có tất 720 kg gạo gồm loại : 1/6 số gạo gạo thơm, 3/8 số gạo gạo nếp, cịn lại gạo tẻ Tính số kg gạo loại

Giải : 1/6 số gạo gạo thơm, nên khối lượng gạo thơm : 720 x 1/6 = 120 (kg)

3/8 số gạo gạo nếp, nên khối lượng gạo nếp : 720 x 3/8 = 270 (kg)

Khối lượng gạo tẻ : 720 - (120 + 270) = 330 (kg) Đáp số : 120 kg, 270 kg, 330 kg Bài toán : Một người bán cam,buổi sáng bán 3/5 số cam mang đi, buổi chiều bán thêm 52 số cam lại 1/8 số cam bán Tính số cam mà người mang bán

Giải : Số cam lại 1/8 số cam bán, hay 1/9 số cam mà người mang bán Số cam buổi chiều người bán - (3/5 + 1/9) = 13/45 số cam mang Số cam buổi chiều người bán 52 nên số cam người mang chợ : 52 : 13/45 = 180 (quả)

Bài toán : Ba người chia số tiền Người thứ (NT1) lấy 1/4 số tiền bớt lại 50000 đồng, người thứ hai (NT2) lấy 3/5 số tiền lại bớt lại 40000 đồng Người thứ ba lấy 240000 đồng vừa hết Số tiền đem chia ? Giải : Ta có sơ đồ sau :

2/5 số tiền lại sau người thứ lấy : 240000 - 40000 = 200000 (đồng)

Số tiền lại sau người thứ lấy : 200000 : 2/5 = 500000 (đồng) 3/4 tổng số tiền : 500000 - 50000 = 450000 (đồng)

Tổng số tiền :

450000 : 3/4 = 600000(đồng) Đáp số : 600000 đồng

Bây xin mời bạn đọc giải số tập sau :

Bài : Ba người mua chung vải Người thứ mua 1/3 vải thêm m Người thứ hai mua 2/5 vải lại thêm m Người thứ mua m vừa hết Hỏi vải dài mét ?

Bài : Có ba thùng đựng nước Người ta đổ 1/3 lượng nước thùng thứ sang thùng thứ hai, sau lại đổ 1/4 lượng nước thùng thứ hai sang thùng thứ ba cuối đổ 1/10 lượng nước thùng thứ ba sang thùng thứ thùng có lít nước Tính xem thùng lúc đầu đựng lít nước ?

GIẢI TỐN BẰNG NHIỀU CÁCH

Trên Tốn Tuổi Thơ số Tiến sĩ Vũ Dương Thụy có “Thế giả thiết tạm” Với toán quen thuộc, tác giả đưa nhiều cách giải hay, độc đáo Tôi tâm đắc với viết Khơng phải học sinh mà bậc phụ huynh giáo viên học hỏi nhiều Với tốn, tìm lời giải niềm vui Sẽ vui sướng thú vị ta tìm nhiều lời giải cho tốn Hãy có nhiều suy nghĩ cách tiếp cận khác với đề toán, tìm nhiều lời giải hay

Tôi xin “bắt chước” TS Vũ Dương Thụy với số toán quen thuộc Hi vọng phần giúp em yêu ham học toán

Bài toán :

Chúng ta bắt đầu toán quen thuộc :

"Một người từ A đến B với vận tốc 15 km/h Sau 30 phút, người thứ hai cũng rời A B với vận tốc 20 km/h đến B trước người thứ 30 phút Tính quãng đường AB".

Đọc qua, tốn rườm rà khó hiểu : sau, đến trước

Đọc lại lần ta thấy : “đi sau 30 phút ; đến trước 30 phút” Vậy ta đưa toán toán đơn giản :

Giả sử người thứ hai sau người thứ hai người đến B lúc Với suy nghĩ : Thời gian đuổi kịp hai động tử chuyển động chiều khoảng cách lúc hai động tử bắt đầu chuyển động chia cho hiệu hai vận tốc, ta có cách làm sau

Cách 1: Trong người thứ : 15 x = 30 (km)

Mỗi người thứ hai nhanh người thứ : 20 - 15 = (km) Thời gian để người thứ hai đuổi kịp người thứ : 30 : = (giờ) Quãng đường AB dài : 20 x = 120 (km)

Người thứ chậm người thứ hai nên nhiều thời gian Vậy người thứ thời gian người thứ hai người thứ hai thời gian người thứ ? Ta có số cách làm sau

Cách : Giả sử người thứ hai với thời gian người thứ người thứ hai quãng đường nhiều người thứ : 20 x = 40 (km)

Vận tốc người thứ hai người thứ : 20 - 15 = (km/giờ) Thời gian người thứ : 40 : = (giờ)

Quãng đường AB dài : 15 x = 120 (km)

Cách : Giả sử người thứ với thời gian người thứ hai người thứ quãng đường người thứ hai : 15 x = 30 (km)

Một người thứ người thứ hai km nên thời gian người thứ hai 30 : = (giờ) ta tính quãng đường AB 20 x = 120 (km)

Theo suy nghĩ : quãng đường vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian ta có cách giải sau

Cách : Gọi vận tốc người thứ v1 (km/h) ; người thứ hai v2 (km/h) ; thời gian người thứ quãng đường AB t1 (giờ) ; người thứ hai t2 (giờ)

Ta có : v1/v2 = 15/20 = 3/4 suy t1/t2 = 4/3 Biết tỉ số t1/t2 = 4/3 t1 - t2 =

Ta tính t1 = (giờ) ; t2 = (giờ)

Thời gian người thứ hai người thứ Ta thử tính xem km người thứ hai người thứ ? Từ tìm qng đường AB Ta có cách làm thứ

Cách : Cứ km người thứ hết 1/15 ; 1km người thứ hai hết 1/20 giờ Trong km người thứ hai người thứ : 1/15 - 1/20 = 1/60 (giờ)

Vậy quãng đường AB dài : : 1/15 = 120 (km)

Ta giả thiết (gọi) thời gian người thứ nhất, người thứ hai để có cách làm khác

Cách : Gọi thời gian người thứ x (giờ) thời gian người thứ hai x - (giờ)

Ta có : 20 x (x - 2) = 15 x x 20 x x - 40 = 15 x x

20 x x - 15 x x = 40 15 x x = 40

x =

Vậy quãng đường AB dài: 15 x = 180 (km)

Cách : Tương tự cách ta gọi thời gian người thứ hai y (giờ) thời gian người thứ y+2 (giờ) Ta có 20 x y =15 x (y + 2)

Ta tìm y = quãng đường AB dài 20 x = 120 (km) Hãy áp dụng cách sáng tạo có để tìm nhiều cách giải cho tốn Ln cố gắng tìm tịi để giỏi

Bài tập áp dụng Một ôtô từ tỉnh A đến tỉnh B hết Nếu ôtô thêm 14 km thời gian từ A đến B Hãy tính khoảng cách hai tỉnh A B

(Đáp số : 168 km)

Nguyễn Viết Chiến (Xóm 3, Gia Khánh, Gia Lộc, Hải Dương)

PHÉP PHẢN CHỨNG THÚ VỊ!

Trong mơn tốn tiểu học, việc tìm lời giải tốn khó ln điều thú vị học sinh Tuy nhiên, biết phương pháp để áp dụng cho loạt tốn có dạng tương tự điều lý thú bổ ích Sau xin giới thiệu phương pháp phản chứng để bạn đọc tham khảo

Ví dụ 1: (Đề thi học sinh giỏi Hà Nội 2002)

An có 13 hộp bi mà tổng số bi ba hộp số lẻ Hỏi tổng số bi trong 13 hộp có số lẻ khơng? Vì sao?

Lời giải: Giả sử 13 hộp bi cho tồn hộp có số bi chẵn Kết hợp hộp bi chẵn với hộp lẻ ta có tổng số bi hộp số chẵn (vì: lẻ + lẻ + chẵn = chẵn)

Điều trái với đề tổng số bi hộp số lẻ Vậy điều giả sử sai

Phân tích: Qua lời giải tốn trên, ta thấy xuất phát từ đề cho hộp bi bất kỳ có tổng số bi lẻ, có hai khả xảy ra:

Trường hợp 1: lẻ + lẻ + lẻ = lẻ Trường hợp 2: lẻ + chẵn + chẵn = lẻ

Trường hợp ta suy số bi hộp số lẻ nên tổng số bi 13 hộp số lẻ

Trường hợp ta lấy hộp chẵn kết hợp với hai hộp bi lẻ kết số chẵn suy trái với đề tổng số bi hộp số lẻ

Từ nhận xét thấy ta hộp có số bi chẵn khơng thỏa mãn đề (lời giải trên)

Như phương pháp phản chứng phép suy luận dựa nhận xét: “Nếu từ điều A mà suy diễn ta rút điều vơ lý, điều A sai hay điều trái ngược với A đúng”

Ví dụ 2: (Đề thi học sinh giỏi quận Phú Nhuận, TP Hồ Chí Minh 1992)

Hãy chứng tỏ 11 số tự nhiên phải có hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 10

Lời giải: Giả sử 11 số tự nhiên cho khơng có hai số có hiệu chia hết cho 10 Đem 11 số chia cho 10 ta 11 số dư nằm khoảng từ đến Do điều giả sử nên 11 số dư phải đơi khác nhau, có hai số dư hiệu hai số bị chia chia hết cho 10 (điều trái với điều giả sử ban đầu) Vậy khoảng từ đến phải có 11 số tự nhiên khác Điều vơ lý từ đến có tất 10 số tự nhiên Từ chứng tỏ điều giả sử ban đầu sai Vậy 11 số tự nhiên phải có hai số mà hiệu chúng chia hết cho 10

Qua hai ví dụ thấy phép phản chứng cơng cụ q khó để tìm lời giải toán Bằng cách tương tự xin mời bạn đưa lời giải toán sau:

Ba bạn Tùng, Trang, Linh thi đấu bóng bàn giành ba giải nhất, nhì, ba Bạn Tùng nói: Tơi giải nhì cịn bạn Trang giải

Bạn Trang nói: Tơi giải nhì cịn bạn Linh giải Bạn Linh nói: Bạn Tùng giải bạn Trang giải ba

Biết câu nói bạn có phần phần sai Hỏi bạn giải nào?

TH.S Phùng Như Thụy (Trường Bồi dưỡng Cán Giáo dục Hà Nội, 67B Cửa Bắc, Hà Nội) TÌM HIỂU THÊM BA BÀI TỐN CƠ BẢN VỀ TỈ SỐ PHẦN TRĂM

Bài toán : Tìm tỉ số phần trăm hai số.

Ví dụ : Lớp 5A có 25 học sinh có 13 học sinh nữ Hỏi số học sinh nữ chiếm phần trăm số học sinh lớp 5A ?

Tỉ số phần trăm số học sinh nữ số học sinh lớp 5A : 13 : 25 = 0,52 = 52%

Bài tốn : Tìm a% số A cho trước.

Ví dụ : Lãi suất tiết kiệm 0,5% tháng Một người gửi tiết kiệm 1000000 đồng Tính số tiền lãi sau tháng

Tiền lãi sau tháng :

1000000 x 0,5 : 100 = 5000 (đồng) Ngoài cách lập tỉ số số tiền lãi số tiền gửi :

Bài toán : Tìm số A biết a% số đó.

Ví dụ : Năm vừa qua nhà máy chế tạo 1800 xe đạp Tính nhà máy đạt 120% kế hoạch Hỏi theo kế hoạch, nhà máy dự định sản xuất xe đạp ?

Số xe đạp nhà máy dự định sản xuất :

1800 : 120 x 100 = 1500 (xe đạp)

Ngồi cách lập tỉ số số xe làm số xe dự định làm : Hoặc :

Từ cách trình bày trên, thấy : Bài tốn toán toán “ngược” với toán

Bài toán : Biết tỉ số hai số số thứ hai Tìm số thứ nhất. Bài toán : Biết tỉ số hai số số thứ Tìm số thứ hai.

Khi giải tốn tỉ số phần trăm đưa dạng ba toán

Ví dụ : Giá gạo tháng ba tăng 10% so với tháng hai, giá gạo tháng tư giảm 10% so với tháng ba Hỏi giá gạo tháng tư tăng hay giảm phần trăm so với tháng hai ?

Các bước giải :

Bước Giá gạo tháng ba so với tháng hai : 100% + 10% = 110% Bước Giá gạo tháng so với tháng ba : 100% - 10% = 90% Bước Giá gạo tháng so với tháng hai : 110% x 90% = 99% Bước Giá gạo tháng giảm so với tháng hai : 100% - 99% = 1%

Theo cách giải này, bước vận dụng toán (tìm 90% 110%) Ngồi cách giải trình bày cách giải sau :

Bước Tỉ số giá gạo tháng tháng 3: hay: giá tháng = giá tháng

Bước Tỉ số giá gạo tháng tháng 3: hay: giá gạo tháng = giá gạo tháng

Bước Tỉ số giá gạo tháng tháng : hay giá gạo tháng 99% giá gạo tháng

Ví dụ : Lượng nước hạt tươi 15%, hạt khơ 5% Hỏi 200 kg hạt tươi sau phơi khô cho kg hạt khô ?

Các bước giải :

Bước Tìm lượng hạt 200 kg hạt tươi ?

200 x (100% - 15%) = 170 (kg) Bước Tìm lượng hạt khơ thu ?

170 : (100% - 5%) = (kg) (*)

Lời bình : bước vận dụng tốn (tìm 85 % 200 kg) ; bước vận dụng tốn (tìm số biết 95 % 170 kg) Bạn đọc tham khảo hướng giải sau :

Lượng hạt khơ (tìm số bị chia) = Vậy lượng hạt khơ thu :

Với tốn tỉ số phần trăm, vận dụng trực tiếp ba tốn dùng phương pháp lập tỉ số để giải toán

(*) Tác giả xin cáo lỗi giải sai TTT số 29

LTS : Trên diễn đàn website : toantuoitho.nxbgd.com.vn, bạn Trương Thị Nhàn , 168/1/8 Hồng Mai, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội (conhandongtam) lời giải sai ví dụ (TTT số 29) đưa lời giải

Cảm ơn bạn

VẬN DỤNG KẾT QUẢ MỘT BÀI TỐN

Trong q trình dạy học chúng tơi thấy em thường có thói quen giải xong tốn xem hồn thành cơng việc giao dừng lại đó, có em học sinh biết chủ động, khai thác, tìm tịi, suy nghĩ, vận dụng để giải số tốn khác

Sau thử làm quen với tốn sau vận dụng để giải số tốn khác

Bài tốn: Cho hình thang ABCD Hai đường chéo AC BD cắt điểm O Hãy chứng tỏ rằng:

SABD = SABC; SCDB = SCDA; SAOD = SBOC

Ta có: a) SABD = SABC (vì chung đáy AB có đường cao đường cao hình thang)

b) SCDB = SCDA (vì chung đáy CD có đường cao đường cao hình thang)

c) Vì SABD = SABC nên ta có: SAOD + SAOB = SBOC + SAOB Suy ra: SAOD = SBOC (cùng bớt vế SAOB)

Bây vận dụng ba cặp tam giác có diện tích nói để giải tốn sau:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB < MC Qua M kẻ đường thẳng chia diện tích tam giác ABC thành hai phần có diện tích

Giải: Vì MB < MC, ta có SAMB < SAMC nên đường thẳng cần kẻ phải cắt cạnh AC tam giác ABC

Cách 1: Gọi O điểm BC Nối AM, AO Qua O kẻ đường thẳng song song với AM cắt AC N Ta có đường thẳng qua M, N đường thẳng cần kẻ (hình 2)

Thật vậy: Tứ giác ANOM hình thang nên SAIN = SMIO Mặt khác:

SAOC = 1/2 SABC = SAIN + SCOIN = SMIO + SCOIN = SCMN

Cách 2: Qua đỉnh B kẻ đường thẳng song song với AM cắt AC kéo dài D Gọi N điểm đoạn thẳng CD Đường thẳng qua M, N đường thẳng cần kẻ (hình 3)

Thật vậy: Ta có tứ giác AMBD hình thang nên

SABM = SADM suy SABC = SDMC = SAMC + SAMD M điểm CD nên

Các bạn giải tốn sau khơng?

Bài tốn 1: Cho tứ giác ABCD Hãy tìm điểm M cạnh tứ giác ABCD cho nối AM đoạn thẳng AM chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích

Bài toán 2: Cho tam giác ABC Gọi M điểm BC, qua M kẻ đường thẳng chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích phần gấp lần phần

Bài toán 3: Cho tứ giác ABCD Gọi M điểm AB Tìm điểm N cạnh tứ giác để nối M với N đoạn MN chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích

Lê Trọng Châu (Giáo viên Trường THCS Bình Lộc, Can Lộc, Hà Tĩnh)

VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT ĐỂ GIẢI TỐN

Khi giải tập tốn liên quan đến chia hết, thường sử dụng dấu hiệu chia hết cho ; ; Tuy nhiên thực tế có nhiều phải vận dụng số tính chất chia hết khác để giải Chúng ta tìm hiểu số ví dụ sau :

Ví dụ : Cho M số có ba chữ số N số có ba chữ số viết theo thứ tự ngược lại M Biết M lớn N Hãy chứng tỏ hiệu M N chia hết cho

Phân tích : Hiệu hai số chia hết cho số số bị trừ số trừ chia hết cho số số bị trừ số trừ có số dư chia cho số Dựa vào tính chất ta chứng tỏ hiệu chia hết cho số cách chứng tỏ số bị trừ số trừ có số dư chia cho số

Giải : Đặt (a > c > ; a, b, c chữ số),

Giả sử chia cho dư r (0 Ê r < 3) a + b + c chia cho dư r Do a + b + c = c + b + a nên chia cho có số dư r Vậy hiệu M - N chia hết cho

Ví dụ : Nếu đem số 31513 34369 chia cho số có ba chữ số hai phép chia có số dư Hãy tìm số dư hai phép chia

(Đề thi Tiểu học Thái Lan)

Phân tích : Nếu hai số chia cho số có số dư hiệu chúng chia hết cho số Vì số 31513 34369 chia cho số có ba chữ số có số dư nên hiệu chúng chia hết cho số có ba chữ số Từ ta tìm số chia để suy số dư

Giải : Gọi số chia hai số cho (a > ; a, b, c < 10) Vì hai số cho chia cho số có số dư nên (34369 - 31513) chia hết cho

hay 2856 chia hết cho Do 2856 = x 714 nên = 714 Thực phép tính ta có : 31513 : 714 = 44 (dư 97) ; 34369 : 714 = 48 (dư 97) Vậy số dư hai phép chia 97

Phân tích : Nếu tổng có số hạng chia cho số dư r cịn số hạng khác chia hết cho số số dư tổng r Thương tổng tổng thương số hạng Nếu số chia cho số có dư số dư tổng tổng số dư số hạng, tổng số dư nhỏ số chia Vậy ta xét xem số hạng tổng chia cho số chia có số dư Từ ta tính thương số dư phép chia

Giải : Vì 182 = x x 13 nên số hạng thứ tổng (1 x x x x x x 15) chia hết cho 182 Vì 200 : 182 = (dư 18) nên số hạng thứ hai tổng chia cho 182 dư 18 Vậy số dư phép chia 18 thương phép chia kết phép tính : x x x x x x x 10 x 11 x 12 x 14 x 15 +

(Bạn đọc tự tìm đáp số)

Ví dụ : Một người hỏi anh chàng chăn cừu : “Anh có cừu ?” Anh chăn cừu trả lời : “Số cừu nhiều 4000 không 5000 Nếu chia số cừu cho dư 3, chia cho dư cịn chia cho 25 dư 19” Hỏi anh có cừu ?

Phân tích : Vì số cừu anh chia cho dư chia cho 25 dư 19 mà + = 19 + = 25 nên thêm cừu vào số cừu anh số cừu lúc chia hết cho 25 Ta lại có x 25 = 225 nên số cừu chia hết cho 225 Từ ta tìm số lớn 4000 + không vượt 5000 + chia hết cho 225 thử thêm điều kiện chia cho dư để tìm số cừu anh chăn cừu Giải : Vì số cừu anh chăn cừu chia cho dư chia cho 25 dư 19 nên thêm cừu vào số cừu anh chăn cừu số cừu lúc chia hết cho 25 Do số cừu chia hết cho 225 (vì x 25 = 225) Số cừu sau thêm phải lớn : 4000 + = 4006 không vượt 5000 + = 5006 Do số cừu sau thêm 4950 con, 4725 con, 4500 Vì số cừu sau thêm chia cho dư nên có 4725 thỏa mãn đầu Vậy số cừu có anh : 4725 - = 4719 (con)

Trên ví dụ tiêu biểu mà giải phải vận dụng số tính chất chia hết Những tính chất khơng có chương trình tiểu học Tuy nhiên ta dễ dàng tìm thấy qua tốn Học tốn cần phải tìm tịi, sáng tạo vận dụng kiến thức học cách linh hoạt thấy vẻ đẹp tốn học phải khơng bạn ? Hi vọng viết kinh nghiệm nhỏ giúp bạn học tốt

Phan Duy Nghĩa (Xóm 9, Đức Lâm, Đức Thọ, Hà Tĩnh) TÍNH ĐỘ DÀI QUÃNG ĐƯỜNG

TRONG BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG ĐỀU

Chúng ta biết rằng, tốn chuyển động đều, qng đường khơng đổi, vận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch Vậy vận dụng điều kiện vào việc tính độ dài quãng đường toán chuyển động ? Hãy tìm hiểu qua tốn sau :

Phân tích : Ơ tơ từ A đến B sau lại từ B A nên quãng đường quãng đường Quãng đường nên vận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch với Bài toán cho biết vận tốc vận tốc Dựa vào ta xây dựng mối quan hệ thời gian thời gian từ tìm đáp số toán

Giải : Tỉ số vận tốc vận tốc quãng đường AB : 30 : 45 = 2/3

Vì quãng đường nên vận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch với Do tỉ số thời gian thời gian 3/2

Ta có sơ đồ :

Thời gian từ A đến B : 40 x = 120 (phút)

Đổi 120 phút = Quãng đường AB dài : 30 x = 60 (km)

Bài tốn : Một tơ dự định từ C đến D Do thời tiết xấu nên vận tốc ô tô giảm 14 km/giờ đến D muộn so với thời gian dự định Tính quãng đường CD

Phân tích : Bài tốn khác với toán trước chỗ trước cho biết vận tốc về, ta tìm tỉ số thời gian Bài cho biết thời gian dự định thời gian thực đi, ta tìm tỉ số vận tốc dự định vận tốc thực Đưa tốn dạng tốn tìm hai số biết hiệu tỉ để giải

Giải : Thời gian ô tô thực quãng đường CD : + = (giờ) Tỉ số thời gian dự định thời gian thực : = 3/4

Vì qng đường CD khơng đổi nên vận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch với Do tỉ số vận tốc dự định (vdự định) vận tốc thực (vthực đi) 4/3

Nếu vdự định vthực tính theo đơn vị km/giờ ta có sơ đồ sau :

Vận tốc dự định quãng đường CD : 14 x = 56 (km/giờ) Quãng đường CD dài :

56 x = 168 (km)

Bài toán : Một ca nơ xi dịng từ A đến B hết ngược dòng từ B A hết Tính khoảng cách AB biết vận tốc dịng nước km/giờ

Phân tích : Đây tốn chuyển động dịng nước Ngồi giả thiết mà toán cho, cần biết thêm kiến thức chuyển động dòng nước sau :

Vận tốc xi dịng - Vận tốc ngược dòng = x Vận tốc dịng nước

Bài tốn cho biết vận tốc dịng nước nên ta tính hiệu vận tốc xi dịng ngược dịng Biết thời gian xi dịng thời gian ngược dịng ta dựa vào tìm tỉ số vận tốc đưa dạng tốn tìm số biết hiệu tỉ

Giải :

Hiệu vận tốc xi dịng vận tốc ngược dịng lần vận tốc dịng nước nên hiệu : x = (km/giờ)

Tỉ số thời gian xi dịng thời gian ngược dịng : = 5/6

Vì qng đường không đổi nên vận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch Do tỉ số vận tốc xi dịng ngược dịng 6/5

Ta có sơ đồ :

Vận tốc xi dịng : x = 36 (km/giờ) Quãng đường AB : 36 x = 180 (km)

Ba tốn cịn có cách giải khác, tơi trình bày cách đặc trưng cho mối quan hệ vận tốc thời gian qng đường khơng đổi Bạn đọc tìm cách giải khác giải tiếp toán sau để thử sức

Bài : Một người xe máy từ A đến B Nếu với vận tốc 25 km/giờ đến B chậm giờ, với vận tốc 30 km/giờ đến B chậm Tính quãng đường AB

Bài : Một người từ Thanh Hóa Hà Nội với vận tốc 50 km/giờ Sau người từ Hà Nội Thanh Hóa với vận tốc 30 km/giờ Tổng thời gian lẫn (khơng kể thời gian nghỉ) 512 phút Tính quãng đường Hà Nội - Thanh Hóa

Bài : Một ca nơ xi dịng hết 30 phút ngược dòng hết 30 phút Tính chiều dài đoạn sơng biết vận tốc dịng nước km/giờ

PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH ? Kí hiệu : Diện tích hình (P) dt (P)

Cạnh đáy tam giác (Q) c.đáy (Q) Chiều cao tam giác (Q) c.cao (Q)

Khi gặp tốn khó diện tích (dt) hình, đặc biệt tốn liên quan đến dt tam giác, thường lúng túng xoay sở nào, nên đâu Để giải tốt loại toán em cần nắm vững vận dụng linh hoạt kiến thức sau :

1 Nếu hình (P) khơng thể tính trực tiếp diện tích để tính dt (P) ta làm theo cách sau :

- Chia hình (P) thành hình dễ tính dt hơn, tính dt hình cộng lại

rồi lấy dt (Q) trừ dt hình bổ sung Nếu hai tam giác (P) (Q) có :

- Chung c.đáy hai c.đáy c.cao (P) = k x c.cao (Q) dt (P) = k x dt (Q)

- Chung c.đáy hai c.đáy dt (P) = k x dt (Q) c.cao (P) = k x c.cao (Q)

- Chung c.cao hai c.cao c.đáy (P) = k x c.đáy (Q) dt (P) = k x dt (Q)

- Chung c.cao hai c.cao dt (P) = k x dt (Q) c.đáy (P) = k x c.đáy (Q)

Sau số ví dụ :

Ví dụ : Cho hình chữ nhật ABCD, gọi M N điểm AB và CD Nối DM, BN cắt AC I K Chứng tỏ AI = IK = KC

Giải : (ở ta cần vận dụng mối quan hệ diện tích, c.đáy c.cao tam giác)

Ta có : dt (ABC) = x dt (AMD) (vì AB = x AM AD = BC) ; dt (DCM) = dt (ABC) (vì AB = DC c.cao BC)

Suy dt (DCM) = x dt (AMD) Gọi CH AE chiều cao tam giác DCM DAM xuống đáy DM, CH = x AE Nhưng CH AE chiều cao tam giác ICM IAM có chung cạnh đáy IM Vậy dt (ICM) = x dt (IAM) Mà tam giác IAM ICM chung chiều cao từ M, IC = x AI, suy AC = x AI hay AI = 1/3 AC

Làm tương tự với cặp tam giác ABN CBN ; KCN KAN ta có KC = 1/3 AC Vậy AI = KC = 1/3 AC, suy IK = 1/3 AC

Do AI = IK = KC

Chú ý : để chứng tỏ đoạn thẳng ta phải chứng tỏ tam giác có chung chiều cao diện tích

Ví dụ : Cho tam giác ABC, gọi điểm M, N nằm cạnh AB, AC cho : AB = x AM, AC = x AN Gọi I điểm cạnh BC

a) Chứng tỏ tứ giác BMNC hình thang BC = x MN

b) Chứng tỏ đoạn thẳng BN, CM, AI cắt điểm

Giải :

a) Vì AB = x AM, AC = x AN, nên MB = 2/3 x AB, NC = 2/3 x AC Từ suy : dt (MBC) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ C)

dt (NCB) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ B)

chiều cao từ M chiều cao từ N xuống đáy BC hay MN song song với BC Do BMNC hình thang

Từ MB = 2/3 x AB, nên dt (MBN) = 2/3 x dt (ABN) (chung chiều cao từ N) hay dt (ABN) = 2/3 x dt (MBN)

Hơn từ AC = x AN, nên NC = x AN, dt (NBC) = x dt (ABN) (chung chiều cao từ B) ; suy dt (NBC) = 3/2 x x dt (MBN) = x dt (MBN)

Mà tam giác NBC tam giác MBN có chiều cao (cùng chiều cao hình thang BMNC) Vì đáy BC = x MN

b) Gọi BN cắt CM O Ta chứng tỏ AI cắt BN O Muốn vậy, nối AO kéo dài cắt BC K, ta chứng tỏ K điểm BC (hay K trùng với I) Theo phần a) ta có dt (NBC) = x dt (ABN) Mà tam giác NBC tam giác ABN có chung đáy BN, nên chiều cao từ C gấp lần chiều cao từ A xuống đáy BN Nhưng chiều cao tương ứng hai tam giác BCO BAO có chung đáy BO, dt (BCO) = x dt (BAO)

Tương tự ta có dt (BCO) = x dt (CAO)

Do dt (BAO) = dt (CAO) Hai tam giác BAO CAO có chung đáy AO, nên chiều cao từ B chiều cao từ C xuống đáy AO Đó chiều cao tương ứng hai tam giác BOK COK có chung đáy OK, dt (BOK) = dt (COK) Mà hai tam giác BOK tam giác COK lại chung chiều cao từ O, nên hai đáy BK = CK hay K điểm cạnh BC Vậy điểm K trùng với điểm I hay BN, CM, AI cắt điểm O

Bài tập thực hành : Cho tam giác ABC, gọi M điểm cạnh BC N nằm cạnh AC cho NC = x NA Kéo dài MN cắt cạnh BA kéo dài P a) Chứng tỏ AB = AP

b) Gọi Q điểm PC Chứng tỏ ba điểm B, N, Q nằm đường thẳng

c) Hãy so sánh : PN NM ; BN NQ

GIẢI TOÁN TẠO LẬP SỐ

Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi tiểu học, dạng toán “Tạo lập số” đề cập từ lớp Càng lên lớp cấu trúc dạng toán yêu cầu phức tạp Vậy việc dạy học toán “Tạo lập số” cho có hiệu cao Chúng ta trao đổi qua toán sau :

Bài toán : Cho chữ số 1, 3, 5.

a) Lập số có chữ số từ chữ số

b) Lập số có chữ số khác từ chữ số Phân tích :

a) Các số lập thỏa mãn điều kiện : - Có chữ số

- Từ chữ số cho

b) Các số lập thỏa mãn yêu cầu sau : - Có chữ số

- Từ chữ số cho

- Mỗi chữ số xuất lần số (khác ý a) Ta có sơ đồ sau :

Giải : Nhìn vào sơ đồ hình (1) ta thấy :

a) Các số có chữ số thỏa mãn yêu cầu đầu : 111, 113, 115, 131, 133, 135, 151, 153, 155, 311, 313, 315, 331, 333, 335, 351, 353, 355, 511, 513, 515, 531, 533, 535, 551, 553, 555

b) Nhìn vào sơ đồ hình (2) ta có số thỏa mãn đầu : 135, 153, 315, 351, 513, 531

Nhận xét : Phân tích theo sơ đồ hình ta nên vẽ theo thứ tự từ bé đến lớn (hoặc từ lớn đến bé) Như thuận lợi toán yêu cầu xếp số lập theo thứ tự

Bài tốn :

a) Có số có chữ số lập thành từ chữ số lẻ ?

b) Có số có chữ số khác lập thành từ chữ số lẻ ? Phân tích :

- Bài tốn khơng cho trước chữ số để lập số, ta phải có bước tìm chữ số cần lập tìm số lượng chữ số

- Bài tốn khơng u cầu lập số cụ thể mà yêu cầu tìm số lượng số Lời bàn : Ta có nên lập số đếm khơng ?

- Nếu đề tốn cho chữ số ta làm theo cách Nhưng có nhiều chữ số làm theo cách thời gian chí khơng liệt kê hết Vậy có cách lập luận cho chuẩn xác ?

Nhìn vào tốn ta thấy chữ số cho mà khác :

- Có chữ số có nhiêu cách chọn hàng cao nhất, có nhiêu cách chọn hàng cao thứ nhì cho cách chọn hàng cao thứ nhất, có nhiêu cách chọn hàng cao thứ ba cho cách chọn hàng cao thứ nhất, thứ nhì (Nếu chữ số không thiết phải khác số)

- Có chữ số có nhiêu cách chọn hàng cao thứ nhất, số cách chọn hàng cao thứ nhì cho cách chọn hàng cao thứ 1, số cách chọn hàng cao thứ ba cho cách chọn hàng cao thứ nhất, thứ nhì 2, Nếu chữ số phải khác số)

- Số lượng số tích cách chọn

Giải : Từ phân tích ta đưa cách giải chuẩn xác sau :

a) Có chữ số lẻ 1, 3, 5, 7, Với chữ số ta có cách chọn chữ số hàng trăm Với cách chọn chữ số hàng trăm ta có cách chọn chữ số hàng chục Với cách chọn chữ số hàng trăm, hàng chục ta có cách chọn chữ số hàng đơn vị Mỗi cách chọn cho ta số Vậy có tất : x x = 125 (số) thảo mãn đề

chục Sau chọn chữ số làm hàng trăm, hàng chục ta - = (chữ số) nên có cách chọn chữ số hàng đơn vị Mỗi cách chọn cho ta số

Vậy có tất : x x = 60 (số) thỏa mãn đề Đáp số : a) 125 số ; b) 60 số

Chú ý : Nếu chữ số cho có chữ số cần lưu ý chữ số không đứng làm hàng cao

Các em thử vận dụng linh hoạt cách giải để giải toán tạo lập số gắn với nhiều điều kiện khác xem Thành thạo loại toán em giải nhiều tốn thực tế lí thú

Chúc em thành công !

Trần Thị Kim Cương (GV trường TH Thị Trấn, Vũ Thư, Thái Bình)

ĐI TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TỐN

Trong chương trình tốn Tiểu học, làm quen với số dạng tốn điển hình Tuy nhiên thực tế thường gặp số toán không dừng lại mức độ đơn giản mà người đề thường làm thay đổi số kiện để toán hay hơn, hấp dẫn Việc tìm hướng giải tốn dạng nào, bạn tham khảo số ví dụ sau :

Ví dụ : Tìm số có trung bình cộng lớn số thứ 540, bé số thứ hai 1260 gấp 31 lần số thứ ba

Phân tích : Khác với toán bản, toán ta khơng thể xác định thuộc loại tốn Bài tốn cho mối quan hệ trung bình cộng (TBC) ba số với số Dựa vào điều kiện trung bình cộng gấp 31 lần số thứ ba ta biết tỉ số số trung bình cộng với số thứ ba Mặt khác từ điều kiện cịn lại đầu bài, ta tìm hiệu số trung bình cộng số thứ ba đưa tốn dạng tìm hai số biết hiệu tỉ số hai số Từ hướng phân tích ta giải tốn sau :

Bài giải : Sơ đồ :

Nhìn sơ đồ ta thấy trung bình cộng ba số lớn số thứ ba : 260 - 540 = 720

Số thứ ba : 720 : (31 - 1) = 24

Số trung bình cộng ba số : 24 x 31 = 744 Số thứ hai : 744 + 1260 = 2004

Số thứ : 744 - 540 = 204

Phân tích : Bài toán cho biết tổng số học sinh hiệu 2/5 số bạn nam với 1/2 số bạn nữ nên coi dạng tốn tìm hai số biết tổng hiệu Vì 2/5 số bạn nam nhiều 1/2 số bạn nữ bạn nên 4/5 số bạn nam nhiều số bạn nữ : x = (bạn) Từ hướng phân tích ta đưa tốn dạng tìm hai số biết tổng tỉ hai số

Bài giải : Vì 2/5 số bạn nam nhiều 1/2 số bạn nữ bạn nên 4/5 số bạn nam nhiều số bạn nữ : x = (bạn), ta có sơ đồ :

Nếu đội tuyển có thêm bạn nữ số bạn nữ 4/5 số bạn nam Khi số học sinh đội : 16 + = 18 (bạn), ta có sơ đồ :

Số bạn nam đội tuyển : 18 : (4 + 5) x = 10 (bạn) Số bạn nữ đội tuyển : 16 - 10 = (bạn)

Ví dụ : Một trường Tiểu học có số học sinh nam nhiều số học sinh nữ 40 học sinh Trong 3/4 số bạn nam 1/2 số bạn nữ đạt danh hiệu học sinh tiên tiến Tính số học sinh nam số học sinh nữ trường Biết số học sinh tiên tiến trường 530 bạn

Phân tích : Khi vừa đọc tốn nhiều học sinh nghĩ loại tốn tìm hai số biết tổng hiệu Tuy nhiên đầu không cho biết tổng số học sinh trường mà cho biết tổng số học sinh tiên tiến trường bao gồm 3/4 số bạn nam 1/2 số bạn nữ Vì số học sinh nam nhiều số học sinh nữ 40 học sinh nên 3/4 số bạn nam nhiều 3/4 số học sinh nữ 30 học sinh Từ ta đưa tốn dạng tìm hai số biết tổng tỉ

Bài giải : Nếu coi số học sinh nữ tồn trường phần 3/4 số học sinh nữ phần, 3/4 số bạn nam (số học sinh nam đạt học sinh tiên tiến) phần cộng thêm đoạn biểu thị 30 học sinh số học sinh nữ đạt học sinh tiên tiến phần, ta có sơ đồ sau :

Số học sinh nữ đạt danh hiệu tiên tiến : (530 - 30) : (2 + 3) x = 200 (học sinh)

Số học sinh nữ trường : 200 x = 400 (học sinh) Số học sinh nam trường : 400 + 40 = 440 (học sinh)

Bài : Một hình chữ nhật có chu vi 120 m, chiều dài hai lần chiều rộng là 15 m Tính diện tích hình chữ nhật

Bài : Hai tổ trồng tất 40 cây, số tổ lần số tổ 20 Tính số tổ

Bài : Lớp 4A có 40 học sinh, 1/2 số bạn nữ số bạn nam 13 bạn Tính số bạn nam, số bạn nữ lớp 4A

Hi vọng bạn tìm thêm nhiều tốn khác hay với cách giải độc phù hợp

Chúc bạn thành công !

ĐIỀU BẤT NGỜ NHO NHỎ

Là giáo viên Tiểu học biết thêm nhiều cách giải từ em Có cách giải thông minh, dễ hiểu dễ nhớ

Tôi cịn nhớ dạy “Diện tích hình trịn”, sau vẽ hình trịn lên bảng xây dựng cơng thức tính : S = r x r x 3,14 (S diện tích, r bán kính), tơi cho em vận dụng cơng thức để làm tập sách giáo khoa Hôm sau kiểm tra cũ, nêu câu hỏi : “Em vẽ hình trịn nêu cơng thức tính chu vi, diện tích hình trịn ?” Tơi mời em Mai lên bảng trình bày Mai vẽ hình trịn viết :

C = r x x 3,14 = d x 3,14 ; S = d/2 x d/2 x 3,14

Công thức mà em Mai viết không giống công thức mà dạy hôm trước Em viết cơng thức tính chu vi diện tích hình trịn qua đường kính d Khi tơi nghĩ hai cách viết mà

Tiết luyện tốn hơm sau tơi đưa tập : Cho hình vng ABCD, có BD = 12 cm hình trịn hình vẽ Tính diện tích hình trịn

Khơng đợi hết 10 phút, em Mai xung phong lên bảng làm nhanh AC = BD = 12 cm, OB = BD/2 = cm

Diện tích hình vng ABCD lần diện tích tam giác ABC, nên diện tích hình vng :

Độ dài cạnh AB độ dài đường kính hình trịn nên d x d = AB x BC = 72 cm2 Do :

S = (d x d) : x 3,14 = 72 : x 3,14 = 56,52 (cm2)

Tôi khen em Mai biết vận dụng cơng thức : S = (d x d) : x 3,14 để tính diện tích hình trịn qua diện tích hình vng mà khơng cần phải tính bán kính hình trịn

Tơi đưa tiếp tập số khó :

Cho hình vng ABCD có diện tích 128cm2 Lấy điểm M, N, P, Q điểm chính cạnh hình vng làm tâm vẽ hình trịn có bán kính nửa cạnh hình vng MNPQ Tìm diện tích phần tơ màu

Hầu hết em tính diện tích hình vng MNPQ 1/2 diện tích hình vng ABCD nên diện tích hình vng MNPQ : 128 : = 64 (cm2) Tổng diện tích hình ; ; diện tích hình trịn có bán kính nửa cạnh hình vng MNPQ

Diện tích hình vng MNPQ 64 cm2 nên cạnh hình vng cm Tổng diện tích hình 1, 2, :

(8 : 2) x (8 : 2) x 3,14 = 50,24 (cm2) Diện tích phần tơ màu :

64 - 50,24 = 13,76 (cm2)

Tôi gợi ý : Các em thử giải cách khác cách áp dụng cơng thức tính diện tích hình trịn Mai Từ em có lời giải :

Diện tích hình trịn : 64 : x 3,14 = 50,24 (cm2) Diện tích phần tô màu : 64 - 50,24 = 13,76 (cm2)

Thêm lần nữa, cơng thức tính diện tích :

S = (d x d) : x 3,14 em áp dụng nhanh hiệu

Tơi phấn khởi em biết dạng khác cơng thức tính diện tích hình trịn vận dụng cách hợp lí giải tốn diện tích hình trịn

Trương Thanh Hương (Giáo viên trường TH Liên Ninh, Thanh Trì, Hà Nội)

ĐIỀU BẤT NGỜ KHÔNG NHỎ

Xin viết vài dịng viết giáo Trương Thanh Hương bất ngờ không nhỏ

Vừa qua, dự Hội thi giáo viên giỏi bậc Tiểu học cấp Quốc gia Đó tiết upload.123doc.net mơn Tốn lớp Bài học “Một phần tư” Sau nhiều biện pháp dạy học thú vị, cô giáo mang đến cho học sinh lớp khái niệm “một phần tư” Khi củng cố học, cô giáo viết phân số 1/4 lên bảng yêu cầu em học sinh đọc Khoảng vài em đọc : “Một phần bốn” “bị” cô nhận xét : “Các em đọc chưa xác !”

Tơi thầm nghĩ : Nếu giáo gọi khơng khéo đọc chưa xác em mà thơi May mà có em cuối đọc trúng ý cô (và trúng nguyên văn sách giáo khoa !)

- Thưa cô ! Một phần tư !

Em tất nhiên khen Nếu bất ngờ em Mai nho nhỏ bất ngờ “pha” dạy thật không nhỏ

L.T.N

KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN

Dạng tốn có nội dung hình học liên quan đến diện tích tam giác dạng tốn khó em học sinh lớp Để giúp em có thêm kiến thức có khả vận dụng gặp dạng tốn này, tơi xin trao đổi hướng khai thác toán

Bài toán : Cho tam giác ABC, BC lấy M cho BM = MC, N điểm cạnh AC cho NC = x NA Kéo dài MN cắt BA P Hãy chứng tỏ AP = AB

Lời giải : Nối BN, CP, kí hiệu S diện tích tam giác, ta có : SPBM = SMPC (vì có đáy BM = MC chung chiều cao hạ từ P) SBNM = SMNC (vì có đáy BM = MC chung chiều cao hạ từ N)

Do SPBM - SBNM = SMPC - SMNC hay SPBN = SPNC (1)

SPNC = SAPN x (2) (vì có đáy NC = x NA chung chiều cao hạ từ P) Từ (1) (2) ta có SAPN x = SPBN hay SAPN = SABN Hai tam giác có chung chiều cao hạ từ N nên đáy chúng tức AP = PB

Thay đổi vị trí M ; N ta có tốn sau :

Bài toán : Cho tam giác ABC có AB = cm ; M điểm BC cho BM = x MC ; N điểm AC cho AN = x NC ; MN cắt BA kéo dài P

b) So sánh PN với NM

Lời giải : Nối PC ; BN

a) Tương tự ta chứng minh SPBN = x SPNC

Nếu coi SPNC = a SPBN = x a Do SAPN = x SNPC nên SAPN = x a, suy SANB = a hay SAPN = x SANB, mà hai tam giác có chung chiều cao hạ từ N, nên AP = AB x hay

AP = x = (cm)

b) Theo phần (a) ta có : SPBN = x a, SABN = a ; SABN = x SNBC (vì có AN = x NC chung chiều cao hạ từ B), SNBC = a/2 (1)

SNBM = 3/4SNBC (vì MB = x MC

nên MB = 3/4 BC ; chung chiều cao hạ từ N) (2) Từ (1) (2) ta có : SNBM = a/2 x 3/4 = (3x2)/8

Hai tam giác PBN NBM có chung chiều cao hạ từ đỉnh B xuống PM, có tỉ số diện tích : (3 x a) :(3 x a)/8 = 8, nên tỉ số độ dài hai đáy hay PN = x NM

Thay đổi vị trí M, N ta có toán sau :

Bài toán : Cho tam giác ABC, M điểm BC cho MC = x MB ; N là điểm AC cho AN = x NC ; NM cắt AB kéo dài P

a) So sánh SAPM với S,sub>MPC b) So sánh AB với PB

Lời giải : Nối AM ; PC

a) Tương tự ta chứng minh : SAPM = x SMPC b) Tương tự ta chứng minh AB = x PB

Tiếp tục thay đổi vị trí M, N, P để có toán sau :

Bài toán : Cho tam giác ABC Trên AB lấy M cho AM = 1/2 MB; cạnh AC lấy điểm N cho AN = 1/3 NC ; BN cắt CM P

a) So sánh diện tích tam giác PBC với diện tích tam giác ABC b) Tính tỉ số độ dài PN so với PB

Hướng dẫn giải :

Nối A với P ta có : SBCM = x SMCA (vì có MB = x MA chung chiều cao hạ từ C) SBPM = x SMPA (vì có MB = x MA chung chiều cao hạ từ P) Suy : SBPC = x SCPA (1)

Tương tự ta có : SCBN = x SNBA (vì có CN = x NA chung chiều cao hạ từ B) ; SCPN = x SNPA (vì có CN = x NA chung chiều cao hạ từ P) Suy : SBPC = x SAPB (2)

Từ (1) (2) ta thấy : coi SPBC phần nhau, S,sub>APB phần, SNPA phần Khi SABC : + + = 11 (phần)

Tương tự tính PN : PB = 3/8

Bây bạn thử sức tốn sau :

Bài : Cho tam giác ABC ; N điểm AC cho AN = x NC ; M điểm BC cho BM = 1/2 MC Nối MN cắt BA kéo dài P, biết AB = cm Tính PB

Bài : Cho tam giác ABC ; M điểm AB cho BM = x MA ; N điểm AC cho AN = 1/2 NC ; NB cắt MC O

a) So sánh diện tích tam giác AOB với AOC b) Tính tỉ số độ dài hai đoạn thẳng OM OC

Trần Xuân Dần (Phòng GD - ĐT huyện Thanh Miện, Hải Dương) PHƯƠNG PHÁP "GÁN ĐƠN VỊ - CHỈNH ĐÚNG"

Trong Toán Tuổi thơ số (12/2000) giới thiệu phương pháp "Gán cho số phải tìm giá trị sai tìm cách chỉnh lại cho đúng" (gọi tắt "gán sai - chỉnh đúng") Trong giá trị gán số (tức đơn vị) ta có phương pháp "gán đơn vị - chỉnh đúng" Sau vài ví dụ :

Ví dụ 1.Tuổi ơng tuổi cháu 66 năm Biết tuổi ông năm tuổi cháu nhiêu tháng tính tuổi ơng tuổi cháu (tương tự Tính tuổi - thi Giải tốn qua thư TTT số 1)

Giải

Giả sử cháu tuổi (tức 12 tháng) ơng 12 tuổi Lúc ơng cháu : 12 - = 11 (tuổi)

Nhưng thực ông cháu 66 tuổi, tức gấp lần 11 tuổi (66 : 11 = 6) Do thực tuổi ơng : 12 x = 72 (tuổi)

Còn tuổi cháu : x = (tuổi)

thử lại tuổi = 72 tháng ; 72 - = 66 (tuổi) Đáp số :Ông : 72 tuổi

Cháu : tuổi

*Ví dụ 2: Một vị phụ huynh học sinh hỏi thầy giáo : "Thưa thầy, lớp có học sinh ?" Thầy cười trả lưịi :" Nếu có thêm số trẻ em số có thêm nửa số đó, lại thêm 1/4 số đó, thêm quý vị (một lần nữa) vừa trịn 100" Hỏi lơp có học sinh ?

Giải:

Theo đầu tổng tất số HS tất số HS 1/2 số HS 1/4 số HS lớp : 100 - = 99 (em)

Để tìm số HS lớp ta tìm trước 1/4 số HS lớp Giả sử 1/4 số HS lớp em lớp có HS

Vậy : 1/4 số HS lứop : : = (em)

Suy tổng nói : + + + = 11 9em)

Nhưng thực tế tổng phải 99 em, gấp lần 11 em (99 : 11 = 9) Suy số HS lớp : x = 36 (em)

Phạm Đình Thực TP.Hồ Chí Minh

PHƯƠNG PHÁP "GÁN SAI - CHỈNH ĐÚNG"

Đây cách giải cổ xưa Trong đó, muốn tìm số chưa biết người ta sứ "gán đại" cho số giá trị cụ thể dựa vào giá trị mà tính tốn theo diều kiện nêu đề tốn Vì "gán đại" giá trị chẳng gán vào đáp số nên thể kết tính tốncũng khơng thể "ăn khớp" với kiện đề tốn mà phải có sai khác

Sau ta tìm cách để điều chỉnh lại giá trị "gán lại" cho số phải tìm để loại trừ sai khkác nói Giá trị điều chỉnh đáp số tốn

Sau số ví dụ: Ví dụ 1:

Tham gia hội khoẻ Phù Đổng huyện có tất 222 cầu thủ thi đấu hai mơn: Bóng đá bóng chuyền

Mỗi đội bóng đá có 11 người Mỗi đội bóng chuyền có người Biết có thảy 27 đội bóng, tính số đội bóng đá, số đội bóng chuyền

Giải

Giả sử có đội bóng đá, số đội bóng chuyền là: 27 - = 20 (đội bóng chuyền)

Lúc tổng số cầu thủ là: x 11 + 20 x = 197 (người)

Nhưng thực tế có tới 222 người nên ta phải tìm cách tăng thêm: 222 - 197 = 25 (người), mà tổng số dội khơng đổi

Ta thấy thay dội bóng chuyền đội bóng đá tổng số đội không thay đổi tổng số người tăng thêm: 11 - = (người)

Vậy muốn cho tổng số người tăng thêm 25 số dội bống chuyền phải thay đọi bóng đá là:

25 : = (đội)

Do đó, số đội bóng chuyền là: 20 - = 15 (đội) Còn số đội bống đá là: + = 12 (đội)

Đáp số: 12 đội bóng đá, 15 đội bóng chuyền Ví dụ 2:

Số gà nhiều số thỏ 28 số chân gà nhiều số chân thỏ 40 chân Hỏi có gà, thỏ?

Giải

Giả sử có 10 thỏ, có : 10 + 28 = 38 (con) Số chân gà : 38 x = 76 (chân)

Số chân thỏ : 10 x = 40 (chân)

Hiệu số chân gà thỏ : 76 - 40 = 36 (chân)

Vì thực tế số chân gà số chân thỏ tới 40 chân nên ta phải tìm cách thêm vào hiệu : 40 - 36 = (chân)

Để hiệu số chân tăng thêm số thỏ gà phải bớt : : = (con) Vậy số thỏ là: 10 - = (con thỏ)

Số gà : 38 - = 36 (con gà) Đáp số : 36 gà thỏ

TOÁN VỀ CÁC ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN

Chương trình Tốn lớp giới thiệu hai đại lượng tỉ lệ thuận, hai đại lượng mà đại lượng tăng (hoặc giảm) lần đại lượng tăng (hoặc giảm) nhiêu lần Những cặp đại lượng tỉ lệ thuận thường gặp là: thời gian quãng đường (trong chuyển động đều), số lượng loại hàng số tiền hàng, độ dài cạnh hình vng chu vi hình vng, số người làm sản phẩm làm (khi suất người nhau), số sản phẩm lượng nguyên vật liệu để sản xuất sản phẩm,

Nếu biết cặp giá trị tương ứng hai đại lượng tỉ lệ thuận giá trị đại lượng ta tìm giá trị tương ứng đại lượng (bài tốn tìm giá trị thường gọi tốn tam suất đơn thuận) Chúng ta có cách giải tốn dạng này, phương pháp rút đơn vị phương pháp tìm tỉ số Ví dụ : May ba quần áo hết 15 mét vải Hỏi may quần áo hết mét vải ?

Tóm tắt :

3 quần áo hết 15 m vải quần áo hết ? m vải Lời giải :

* Cách rút đơn vị May quần áo hết : 15 : = (m)

May quần áo hết : x = 45 (m)

* Cách dùng tỉ số

9 quần áo gấp quần áo số lần : : = (lần)

Số mét vải may quần áo : 15 x = 45 (m)

Những toán hai đại lượng làm sở để ta giải toán xuất ba đại lượng mà hai đại lượng tỉ lệ thuận

Ví dụ : Nếu người, người làm việc nhận 150000 đồng Hỏi : Nếu 15 người, người làm việc nhận tiền ? (Giá trị công người nhau)

Phân tích : Ta tóm tắt toán sau : người làm nhận 150000 đồng 15 người làm nhận ? đồng

Bài toán 1a : Nếu người, người làm việc nhận

150000 đồng Hỏi : Nếu 15 người, người làm việc nhận tiền ? (Giá trị công người nhau)

Lời giải :

15 người so với người gấp : 15 : = (lần)

15 người, người làm việc nhận số tiền : 150000 x = 450000 (đồng)

Bài toán 2a : Nếu 15 người, người làm việc nhận 450 000 đồng Hỏi : Nếu 15 người, người làm việc nhận tiền ? (Giá trị công người nhau)

Lời giải :

6 so với gấp : : = (lần)

15 người người làm việc nhận số tiền : 450000 : = 225000 (đồng)

Đáp số tốn đáp số ví dụ Chú ý : Có đường khác để giải ví dụ đưa việc giải liên tiếp hai toán sau :

Bài toán 1b : Nếu người, người làm việc nhận 150000 đồng Hỏi : Nếu người, người làm việc nhận tiền ? (Giá trị công người nhau)

Lời giải :

5 người người làm việc nhận số tiền : 150000 : = 25000 (đồng)

5 người người làm việc nhận số tiền : 25000 x = 75000 (đồng)

Bài toán 2b : Nếu người, người làm việc nhận 75000 đồng Hỏi : Nếu có 15 người, người làm việc nhận tiền ? (Giá trị công người nhau)

Lời giải :

Mỗi người làm việc nhận số tiền : 75000 : = 15000 (đồng)

15 người người làm việc nhận số tiền : 15000 x 15 = 225000 (đồng)

Như tốn phức tạp hơn, có nhiều đại lượng giải nhờ đưa tốn có hai đại lượng Bây bạn giải toán sau :

Bài : Người ta tính xe loại chở hàng, xe 50 km tổng chi phí vận chuyển hết 1200000 đồng Hỏi xe thế, xe 100 km tổng chi phí vận chuyển ?

Bài : Có người ăn ngày hết 24 ki-lô-gam gạo Hỏi người ăn 10 ngày hết ki-lơ-gam gạo ? Biết phần ăn người

Đỗ Văn Thản (Số nhà 129, đường 6, phố Khánh Thành, phường Tân Thành, thị xã Ninh Bình, Ninh Bình) MỘT CON ĐƯỜNG SÁNG TẠO

NHỮNG BÀI TOÁN

Mỗi năm em học sinh trải qua nhiều kì thi Các thầy cô phải tự soạn, tự sáng tác nhiều đề thi, đề kiểm tra để rèn kĩ giải toán cho học sinh Một định hướng mà tơi tâm đắc sáng tác đề tốn có gắn với số năm Ngồi việc sử dụng số tự nhiên khác, khám phá thấy đặc điểm riêng ta có tốn thật bất ngờ, thú vị Tơi xin trao đổi với bạn đọc kinh nghiệm nhỏ qua hai ví dụ sau :

Ví dụ : Phân tích số 1995 thành tích thừa số ta có kết sau : 1995 = x x x 19 = 19 x 15 x Thay chữ chữ ta có :

Đặt thêm điều kiện cho chặt chẽ, ta có tốn điền chữ số :

(a > 0)

Bài tốn có nhiều cách giải, cách giải ẩn chứa nhiều điều lí thú bổ ích Xin nêu cách giải điển hình :

Cách :

Đặt phép tính sau : Vì x a + (nhớ) = 10 nên a = x + (nhớ) = 10 nên số nhớ Do c = Thay a = 1, c = vào (*) ta có :

1005 + b x 110 = 1050 + 105 x b b x = 45

(cùng trừ vế 105 x b 1005) b = 45 :

b =

Ví dụ : Phân tích số 2004 thành tích thừa số : 2004 = x x x 167 = x 12 x 167

Thay chữ số chữ ta có tốn điền chữ số :

(a > 0)

Sau cách giải quen thuộc tiểu học :

Bây mời bạn giải trí với bốn tốn nhỏ sau :

Bài : Tìm số nhỏ có chữ số mà tổng chữ số 28. Bài : Tìm số lớn có chữ số mà tổng chữ số 2. Bài : Tìm số lẻ lớn có chữ số tổng chữ số 3. Bài : Số thỏa mãn điều kiện sau :

a) Lớn nhất, có chữ số b) Chẵn, khơng chia hết cho c) Tổng chữ số

học Tôi hi vọng học hỏi kinh nghiệm nhiều bạn đọc khác Mong bạn trao đổi Toán Tuổi thơ !