thi thử đại học 15/6/2009 x +1 Cõu I: Cho hàm số y= (C) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số x+ Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến qua giao điểm đường tiệm cận trục Ox π cos x=1 Câu II: Giải phương trình: √ sin x − 12 ( Tìm m để PT: nghiệm ) √ x −3 − √ x − 4+ √ x −6 √ x − 4+ 5=m x −3 y +2 z +1 = = −1 Câu III: Cho đường thẳng d: có mp (P): x+ y+ z+2=0 Tìm giao điểm M d (P) Viết phương trình đường thẳng nằm (P) cho d khoảng cách từ M đến √ 42 x ( x −1 ) dx x2 − Cho a, b số dương thỏa mãn ab + a + b = 3a b ab + + ≤ a2 +b2 + Chứng minh: b+1 a+1 a+b Câu IV: Tính I =∫ Câu V Chứng minh với n ngun dương ln có nC 0n − ( n −1 ) C1n + + (− )n −2 C nn −2 + ( − )n −1 C nn −1=0 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2, 1) lấy điểm B thuộc trục Ox có hồnh độ x điểm C thuộc trục Oy có trung độ y cho ABC vng A Tìm B, C cho diện tích ABC lớn Câu VI 1 log 2x 3x log x 1 2 Giải bất phương trình: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC tam giác vuông AB=AC=a , AA1 = a √ Gọi M, N trung điểm đoạn AA1 BC1 Chứng minh MN đường vng góc chung đường thẳng AA1 BC1 Tính V MA BC 1 3/.Cho h/ctứ giác S.ABCD có cạnh đáy đờng cao a Tính khoảng cách hai đờng thẳng SC vµ AB ===================HÕt================== Bài giải Câu I: Khảo sát (Bạn đọc tự làm) Giao điểm tiệm cận đứng với trục Ox Phương trình tiếp tuyến () qua A có dạng A − ,0 ( ) y=k ( x+ ) x 1 1 2x k x / x k có nghiệm 2x () tiếp xúc với (C) ⇔ − x+1 =k x + (1) x +1 −3 =k (2) ( x+ ) ¿{ Thế (2) vào (1) ta có pt hồnh độ tiếp điểm x k =− 12 Do 1 1 y x 12 2 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: ( ) Câu II: ( Giải phương trình: √ sin x − (1) [ ( ⇔ √ sin x − π cos x=1 12 ) π π − sin =1 12 12 ) ] (1) sin 2x sin 12 12 π π π π π ⇔ sin x − =sin +sin =2sin cos 12 12 12 ( ) π π 5π ⇔ sin (2 x − )=cos =sin 12 12 12 5 7 k2 hay 2x k2 k Z 12 12 12 12 x k hay x k k Z P/trình cho ⇔ √ ( x − ) − √ x − +1+ √ ( x − ) −6 √ x − +9=m 2x √ √ (1) ⇔ ( √ x − − ) + ( √ x − − ) =m ⇔|√ x − − 1|+|√ x − − 3|=m (1) đặt: t=√ x − ≥ (1) ⇔|t −1|+|t −3|=m () Phương trình cho có nghiệm phương trình () có nghiệm t Vẽ đồ thị hàm số f ( t )=|t −1|+|t −3|, t ≥ ¿ − t neáu ≤t ≤1 neáu 1≤ t ≤ Ta có t − t ≥ ¿ f ( t )={ { ¿ y 2 x Từ đồ thị ta có ycbt < m Cách khác ⇔|t −1|+|t −3|=m t 0 t hay t 3 hay t m 4 2t m 2 m 2t t t 2 m 4 hay t 3 hay m m 2 t m t m 2 Do đó, ycbt < m ( < m () có nghiệm t1, t2 thỏa t1 t2 > ) Câu III: Tìm giao điểm M đường thẳng d mặt phẳng (P) ¿ x=3+2 t y =−2+t Phương trình số d: có VTCP ⃗a =( 2,1,− ) z=−1 −t ¿{{ ¿ Thế vào phương trình (P): (3 + 2t) + (–2 + t) + (–1 – t) + = t = –1 M ( ;- ; 0) Mặt phẳng (Q) chứa d vng góc (P) có PVT nQ =[ ⃗a , ⃗ ⃗ n P ]=( 2, −3,1 ) Suy phương trình mặt phẳng (Q) chứa d vng góc (P) là: 2(x – 1) – 3(y + 3) + 1(z – 0) = 2x – 3y + z – 11 = (Q) Phương trình đường thẳng (d') hình chiếu d lên mặt phẳng P là: x y z 0 ⃗ ad ' 4;1; Q 2x 3y z 11 d': có VTCP d x 1 4t y t N P z 5t d' Phương trình tham số d': M Trên d' tìm điểm N cho MN = √ 42 Vì N d' N(4t +1, –3 + t, – 5t) MN 4t 2 t 5t 42t 42 t 1 t 1 t = N1(5, –2, –5) Đường thẳng 1 qua N1 nằm (P), vng góc d' có VTCP ⃗ ⃗ ⃗ a 1 n P , a d ' 6;9; 3 2, 3,1 x y2 z5 3 Vậy phương trình 1: t = –1 N2(–3, –4, 5) Đường thẳng 2 qua N2 nằm (P), vng góc d' có VTCP a Δ =( ⃗ ⃗ nP , ⃗ ad ' ) 2, 3,1 x 3 y z 3 Vậy phương trình 2: Câu IV: 1 Tính I =∫ x ( x −1 ) x2 − x dx= ∫ x − dx x2 − 1 x d x 4 dx ∫ dx 2 ∫ ∫ x x 4 20 x x 22 0 1 1 x 1 ln x ln 1 ln ln x2 2 Từ giả thiết a, b > ab + a + b = Suy ra: ab 3 (a b) , (a+1)(b+1) = ab +a +b + = bđt cho tương đương với 3a(a 1) 3b(b 1) a b2 1 (a 1)(b 1) a b 3 3 ⇔ a2+ b2 + ≥ ( a2 +b2 ) + ( a+ b ) + −1 4 a+b 12 ⇔ ( a 2+ b2 ) +6 ≥ ( a2 +b2 ) +3 ( a+ b ) + −4 a+b 12 a b2 a b 10 a b (A) 2 Đặt x = a+b > x (a b) 4ab 4(3 x) x 4x 12 0 x hay x 2 x 2 ( x > 0) 2 2 x a b 2ab a b x 2(3 x) x 2x Thế x , (A) thành 12 x2 x 0 x , với x x x 4x 12 0 , với x x x x 0 , với x (hiển nhiên đúng) Vậy bđt cho chứng minh Câu Va: Với n N ta có ( x − )n=C 0n x n − C1n x n −1 + + ( −1 )n − C nn −1 x + ( −1 )n C nn Lấy đạo hàm hai vế ta có n− n−1 n− n −1 n − n ( x −1 ) =nCn x − ( n− ) C n x + .+ ( −1 ) Cn Cho x = ta có 0=nC0n − ( n −1 ) C 1n + + ( − )n− C nn −1 Ta có A(2, 1); B(b, 0); C(0,c) với b, c Ta có ABC vuông A ⇔ ⃗ AB ⃗ AC=0 Ta có ⃗ AB=( b −2, −1 ) ; ⃗ AC= ( −2 , c −1 ) Do ABC vuông A ⇒ ⃗ AB ⃗ AC=− ( b − ) − ( c − )=0 ⇔ c −1=−2 ( b −2 ) ⇒ c=− 2b +5 ≥0 ⇒ 0≤ b ≤ 1 2 Ta lại có S ABC= AB AC= √ ( b −1 ) +1 √ 4+ ( c − ) 2 S ABC= √ ( b −2 )2 +1 √ 4+ ( b − )2=( b −2 )2 +1 ≤ b ≤ nên SABC = (b – 2)2 + lớn b = Khi c = Vậy, ycbt B(0, 0) C(0, 5) Câu Vb: 1 log 2x 3x 1 log x 1 2 (1) Giải phương trình: 1 2 (1) ⇔ − log ( x − x +1 ) + log ( x − ) ≥ 2 1 ⇔ − log ( x − x +1 ) + log ( x − )2 ≥ 2 x 1 (x 1) log 1 2 1 (x 1)(2x 1) x 1 x 2 (x 1) 2 3x 0 x (2x 1) 2x @ -