ĐỀ THI ĐẠI HỌC NĂM 2009 TTLT Đề ngày 29/6 Mơn thi Tốn Thời gian làm 180 phút A Phần chung cho tất thí sinh (8,0 điểm) CÂU I (2 ®iĨm) Cho hàm số y 2 x 3(2m 1) x 6m(m 1) x (1) a Khảo sát hàm số (1) m=1 b Chứng minh , m hàm số (1) đạt cực trị x1 , x2 với x1 x2 không phụ thuộc m CÂU II (2 ®iĨm) xy y 12 x xy 26 m Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình với m=2 b) Với nhương giá trị m hệ phương trình cho có nghiệm? CÂU III (2 ®iĨm) tan x I dx cos x a) Tính: b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình phẳng D giới hạn đường y ln x , y 0 , x e Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên quay D quanh trục Ox CÂU IV (2 ®iĨm) Từ tập thể 14 người gồm nam nữ có An Bình,người ta muốn chọn tổ cơng tác gồm người.Tìm số cách chọn trường hợp sau: a) Trong tổ phải có nam lẫn nữ b) Trong tổ có tổ trưởng, tổ viên, An Bình khơng đồng thời có mặt tổ B PHẦN TỰ CHỌN (2 ®iĨm) (Thí sinh chọn câu sau) CÂU VA (2 ®iĨm) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng: x y z ; d1:x = + t, y = t, z = -2 + 2t ; d2: 2 Và mặt cầu: ( S ) : x y z x y z 0 x y 1 z 1 1 d3: a) Chứng minh d1,d2 chéo viết phương trình đường thẳng d cắt d1,cắt d2 song song với d3 b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 cho giao tuyến mặt phẳng (P) mặt cầu (S) đường trịn có bán kính r=1 CÂU VB (2 ®iĨm) Cho hình vng ABCD cạnh a.Gọi O giao điểm hai đường chéo.Trên nửa đường thẳng Ox vng góc với mặt phẳng chứa hình vng,ta lấy điểm S cho góc ˆ 60 SCB a) Tính khoảng cách đường thẳng BC SD b) Gọi ( ) mặt phẳng chứa BC vng góc với mặt phẳng (SAD) Tính diện tích thiết diện tạo ( ) hình chóp S.ABCD ĐÁP ÁN CÂU I: a) Khảo sát (1) m= 1: y 2 x3 3(2m 1) x2 6m( m 1) x m 1: y 2 x3 x 12 x 1 (1) TXĐ: D= R y ' 6 x 18 x 12 x 1 y ' 0 x 2 y '' 12 x 18 y '' 0 x y 6 y 5 11 y 11 điểm uốn I , 2 2 BBT: Đồ thị: b) Chứng minh m hàm số (1) đạt cực trị x1, x2 với x1 - x2 khơng phụ thuộc vào m Ta có: y 2 x3 3(2m 1) x 6m( m 1) x y ' 6 x 6(2m 1) x 6m( m 1) x (2m 1) x m(m 1) 0 (2m 1) 4m( m 1) 1 y ' 0 (*) (*) ln có nghiệm phân biệt x1 , x2 Hàm số đạt cực trị x1 , x2 Ta có: x 2m 2m x 2m 2m 2 x x 2m 2m 2 x x Vậy: khơng phụ thuộc m (hằng số) CÂU II: xy y 12 Cho x xy 26 m Giải hệ m=2 y ( x y ) 12 x( x y ) 26 m Ta có: Hệ phương trình y ( x y ) 12 (26 m) y x 12 (1) (2) Thế (2) vào (1) ta : y (14 m) 144 (*) Với m= 2: Phương trình (*) trở thành : 16 y 144 y 9 (2) y 3 x 7 (2) x y x 7 Vậy m= hệ có nghiệm : y 3 x y b) Tìm m để hệ có nghiệm: Ta có: Hệ có nghiệm phương trình (*) có nghiệm 14 m m 14 CÂU III: 6 a) Tính tg x I dx cos x dt Đặt t= tgx Đổi cận : dx cos x x 0 t 0 x t 6 tg x tg x I dx dx x sin x x(1 tg x) cos cos 0 3 t3 dt 1 t t t2 dt 3 t2 1 ln t ln 2 0 b) Tính thể tích hình phẳng giới hạn y= lnx, y= 0, x= e quay quanh Ox Đồ thị y= lnx cắt Ox điểm có hồnh độ x= e V ln xdx Do đó: ln x u ln x du 2 dx x Đặt dv = dx, chọn v = x e e V x ln x ln xdx 1 e e ln xdx e J ln xdx Xem u ln x du dx x Đặt dv = dx, chọn v = x e e J x ln x dx 1 1 V (e 2) Vậy: (đvtt) CÂU IV: Có nam nữ có An Bình Lập tổ cơng tác người Tìm số cách chọn: a) Có nam lẫn nữ: C6 Số cách lập tổ công tác không phân biệt nam nữ là: 14 C6 Số cách lập tổ cơng tác tồn nam là: C6 Số cách lập tổ cơng tác tồn nữ là: Suy số cách lập tổ cơng tác có nam lẫn nữ là: C (C C ) 2974 14 (cách) b) Có tổ trưởng, tổ viên, An Bình khơng đồng thời có mặt: Có trường hợp xảy ra: Trường hợp 1: Trong tổ khơng có An lẫn Bình Như cịn lại 12 người Số cách chọn tổ trưởng :12 cách C5 Số cách chọn tổ viên: 11 Số cách chọn tổ khơng có An lẫn Bình là: 12.C 5544 11 (cách) Trường hợp 2: Trong tổ khơng có An khơng có Bình Như có 13 người có An khơng có Bình Nếu An tổ trưởng số cách chọn tổ viên 12 người lại là: C5 12 Nếu An tổ viên số cách chọn tổ trưởng tổ viên lại 12 12.C 11 người lại là: Số cách chọn tổ mà có An khơng có Bình là: C 12C 4752 12 11 (cách) Trường hợp 3: Trong tổ có Bình khơng có An: Tương tự trường hợp có 4752 cách Tóm lại: Số cách chọn tổ có tổ trưởng, tổ viên, An Bình khơng đồng thời có mặt là: 5544 + 4752 + 4752 = 15048 (cách) CÂU IV: a) d ; d2 chéo a (1,1, 2) Ta có d1 qua A(0, -2, -6) có VTCP d qua B(4, 2, 1) có VTCP a2 (1, 2,1) Ta có: a , a ( 3,1,1) AB (4, 4, 7) Vậy: d ; d2 chéo a , a AB 0 2 Phương trình đường thẳng d cắt d1 cắt d , song song d a (2, 1, 1) Ta có VTCP d3 Gọi mặt phẳng chứa d1 song song d n a , a (1,5, 3) 2 phương trình : x + 5y - 3z – = Gọi mặt phẳng chứa d song song d n a , a ( 1,3, 5) 3 Phương trình : -x + 3y -5z -8 = Đường thẳng d cần tìm giao tuyến x y z 0 Phương trình d là: x y z 0 ( d khác phương d1 , d ) b) Mặt cầu (S) có tâm I(-1, 1, -1) R= Mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường trịn có bán kính r= 2 d(I,(P))= R r Mặt phẳng (P) chứa d1 nên phương trình có dạng: m(x – y – ) + n(2x – z – )= (m+2n)x-my-nz-2m-6n=0 Ta có: d(I,(p))= m n m n m n ( m n) m n 4m n ( m n ) m n 16m2 49n 56mn 6m 15n 12mn 10m2 34n 44mn 0 5m2 22mn 17n 0 5m 22mn 17 0 Cho n= 1, ta có m m 17 Vậy phương trình (P) là: x y z 0 x 17 y z 0 CÂU Vb) a) Khoảng cách BC SD Ta có SO trục hình vuông ABCD SCB 60 SA = SB = SC = SD = CB = a Và BC// (SAD) nên d(BC, SD) = d(I,(SAD)) Với I trung điểm CB Gọi H trung điểm AD, ta có: BC ( SHI ) Veơ IJ SH ta có IJ ( SAD) d(BC, SD) = IJ SO.HI IJ SH Tam giác SIH có 2 a 3 a a.a a Vậy d(BC, SD) = b) ( ) Cắt hình chóp theo thiết diện hình thang BCFE Do hình chóp nên BCFE hình thang cân: (EF+BC).IJ BCFE a a a HJ ; SJ , SH Ta có: a EF SJ AD SH a 3 Do EF//AD nên: a EF S a a a 2 a S Vậy BCEF