SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Năm học 2009 – 2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: Tốn Ngày thi: 24/6/2009 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,5 điểm) A x 1 x x x với x 0 x 4 Cho biểu thức: 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A x=25 A 3) Tìm giá trị x để Bài II (2,5 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình Hai tổ sản xuất may loại áo Nếu tổ thứ may ngày, tổ thức hai may ngày hai tổ may 1310 áo Biết ngày tổ thứ may nhiều tổ thứ hai 10 áo Hỏi tổ ngày mày áo ? Bài III (1,0 điểm) Cho phương trình (ẩn x) : x2 – 2(m+1)x + m2 +2 = 1) Giải phương trình m=1 2) Tìm giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức x12 + x22 = 10 Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) điểm A nằm bên ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) 1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp 2) Gọi E giao điểm BC OA Chứng minh BE vng góc với OA OE.OA=R2 3) Trên cung nhỏ BC đường tròn (O;R) lấy điểm K ( K khác B, C) Tiếp tuyến K (O;R) cắt AB, AC điểm P, Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi khơng đổi K chuyển động cung nhỏ BC 4) Đường thẳng qua O vuông góc với OA cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự điểm M, N Chứng minh PM + QN MN Bài V (3,5 điểm) Giải phương trình: x2 1 x x (2 x3 x x 1) 4 BÀI GIẢI Bài I 1) Rút gọn: với x 0 x 4 A x 1 x x 2 x x2 x x x x 2 ( x 2)( x 2) ( x 2)( x 2) A x ( x 2) x ( x 2)( x 2) x 2) Tính giá trị biểu thức A x=25 Thay x =25 vào biểu thức A ta đ ược: A 25 5 25 Vậy giá trị biểu thức A= x=25 A 3) Tìm giá trị x để x với x 0 x 4 x 1 x x x 2 x x 1 x A Vậy với A Bài II Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Gọi số áo tổ thứ may đợc ngày x (chiếc; x >10) Thì số áo tổ thứ hai may đợc ngày x-10 (chiếc) Số áo may đợc ngày tổ thứ 3x (chiếc) Số áo may đợc ngày tổ thứ 5(x-10) (chiếc) Theo đầu ta có phơng trình: 3x + 5(x 10) =1310 3x + 5x -50 =1310 8x = 1360 x=170 (thoả mÃn điều kiện) Gi số áo tổ thứ may đợc ngày 170 (chiếc) Thì số áo tổ thứ hai may đợc ngµy lµ 160 (chiÕc) Bài III Cho phương trình (ẩn x) : x2 – 2(m+1)x + m2 +2 = (*) 1) Giải phương trình m=1 Víi m=1 , (*) x2 – 4x + = ’=(-2)2 - 1.3= >0 => ' =1; ph¬ng trình có nghiệm phân biệt; x1=2+1=3; x2=2 - 1=1 Vậy với m=1 phơng trình (*) có nghiệm phân biệt x1=3; x2=1 2) Phơng trình (*) có nghiệm ph©n biƯt ’ > (m+1)2- (m2+2) > m2 + 2m + – m2 – > 2m – > 2m > m > Gäi x1, x2 nghiệm phơng trình Theo hệ thøc ViÐt ta cã: x1+ x2=2(m+1) ; x1.x2= m2 +2 §ể hai nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức: x12 + x22 = 10 (x1+ x2)2 - x1.x2=10 4(m+1)2 – 2(m2 +2) = 10 (thay x1+ x2=2(m+1) ; x1.x2= m2 +2 ) 4m2+8m+4-2m2-4=10 2m2+8m-10=0 m2 + 4m -5 = ’=22-1.(-5) = > => ' =3 m1=-2+3 = ; m2= -2 = -5 Kết hợp với điều kiƯn m > ta thÊy m1= (tho¶ m·n) m2= -5 (không thoả mÃn) Vậy với m=1 phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức x12 + x22 = 10 Bài IV 1) Nèi OB, OC ta cã: AB lµ tiÕp tun cđa (O;R) t¹i B (gt) AB OB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ABO =900 AC lµ tiÕp tun cđa (O;R) t¹i C (gt) AC OC (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ACO =900 P B XÐt tø gi¸c ABOC cã: ABO ACO + =1800 mà ABO ACO hai góc đối tø gi¸c ABOC néi tiÕp (dÊu hiƯu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp) 2) XÐt tam gi¸c ABC cã: AB = AC (tÝnh chÊt cđa hai tiÕp tun c¾t nhau) tam giác ABC cân A P E A O K Q C AO hay AE lµ tia phân giác BAC N ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) AE phân giác đồng thời đờng cao tam gíac ABC (tính chất tam giác cân) Hay AE BE Tam giác vuông ABO có BE AE (c/m trên) => OB2 = OE.OA (hệ thức lợng tam giác vuông) Hay OE.OA=R2 3) Xét tam giác APQ có chu vi là: AP+PQ+AQ=AP+PK+KQ+AQ Mµ PK=PB; KQ=QC (tÝnh chÊt cđa hai tiÕp tun cắt nhau) AP+PQ+AQ=AP+PK+QC+AQ=AB+AC không đổi A, B, C cố định 1800 BAC BAC PMO QNO 900 2 (1) 4) Ta cã: POQ 1800 (OPQ OQP ) (tÝnh chÊt tỉng gãc cđa tam gi¸c) BPK CQK ) 2 (tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau) 180 APK 1800 AQK 3600 ( APK AQK ) 1800 ( ) 1800 2 1800 ( 1800 ( APK AQK ) BAC 900 2 (2) BAC 90 ) Tõ (1), (2) => PMO QNO = POQ ( = - XÐt OPM vµ QPO cã PMO = POQ (cm trªn) QPO OPM 1800 900 (t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau) => OPM ~ QPO (g.g) (3) - XÐt QON vµ QPO cã QNO POQ = (cm trªn) PQO OQN (t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau) => QON ~ QPO (g.g) (4) Tõ (3) vµ (4) => OPM ~ QON OM PM QN ON => PM.QN=OM.ON => Hay PM.QN=OM2 (vì OM=ON) Ta lại có: PM+QN PM QN (bất đẳng thức Côsi) hay PM+QN OM hay PM + QN 2OM => PM + QN MN (v× MN = 2OM) Bài V: Giải phương trình: x2 x2 1 x x (2 x3 x x 1) 4 1 ( x ) (2 x x x 1) 2 1 - xÐt trêng hỵp x + 0 hay x - 1 x x (2 x x x 1) (*) x2 1 x (2 x x x 1) 2 (*) 1 ( x ) (2 x3 x x 1) 2 x1 0 (thoa man) 1 3 x (2 x x x 1) x x 0 x ( x ) 0 x2 (thoa man) 2 2 1 - XÐt trêng hỵp x + < hay x < - 1 (2 x x x 1) (2 x 1)( x 1) 2 Ta cã x < - => ph¬ng trình vô nghiệm Vậy phơng trình có hai nghiệm x1=0; x2= x2 1 x 0