UBND THàNH PHố Huế PHòNG Giáo dục đào tạo §Ị chÝnh thøc kú thi CHäN häc sinh giái tHµNH PHố lớp thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nh©n tư: x x 2 x 2008 x 2007 x 2008 Bài 2: (2điểm) Giải phơng trình: x 3x x 0 2 1 1 x x x x x x x x x Bài 3: (2điểm) Căn bậc hai cđa 64 cã thĨ viÕt díi d¹ng nh sau: 64 Hỏi có tồn hay không số có hai chữ số viết bậc hai chúng dới dạng nh số nguyên? HÃy toàn số T×m sè d phÐp chia cđa biĨu thøc thøc x 10 x 21 x x x x 8 2008 cho đa Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đờng cao AH (H BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đờng vuông góc với BC D cắt AC E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB Gäi M lµ trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo gãc AHM GB HD Tia AM c¾t BC t¹i G Chøng minh: BC AH HC HÕt UBND THàNH PHố Huế PHòNG Giáo dục đào tạo kú thi CHäN häc sinh giái tHµNH PHè líp thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Đáp án thang điểm: Bài 1 Câu 1.1 Nội dung Điểm 2,0 (0,75 điểm) x x x x x x x 1 x 1 0.5 0,5 x 1 x 1.2 (1,25 ®iĨm) x 2008 x 2007 x 2008 x x 2007 x 2007 x 2007 0,25 x x 2007 x x 1 x 1 x 2007 x x 1 x x 1 x x 1 2007 x x 1 x x 1 x x 2008 2 2 2.1 x x x 0 0,25 0,25 2,0 (1) x 1 0 x 1 + NÕu x 1 : (1) (tháa m·n ®iỊu kiƯn x 1 ) x x 0 x x x 1 0 x 1 x 3 0 + NÕu x : (1) x 1; x (cả hai không bé 1, nên bị loại) Vậy: Phơng trình (1) có nghiƯm nhÊt lµ x 1 2.2 2 0,5 0,5 1 1 x x x x x x x x x (2) x Điều kiện để phơng tr×nh cã nghiƯm: (2) 1 x x2 x2 x x x 1 x x x 1 2 x x x x 16 x x x 0 hay x x Vậy phơng trình đà cho có nghiệm x 0,25 0,5 0,25 2.0 3.1 Gọi số cần tìm ab 10a b (a, b số nguyên a khác 0) Theo giả thiết: 10a b a b số nguyên, nên ab b số phơng, đó: b hoặc 10a b a b 10a b a 2a b b 2a Ta cã: b a (v× a 0 ) Do a phải số chẵn: a 2k , nªn b k b a NÕu b 1 a 8 81 8 (thỏa điều kiện toán) Nếu b 4 a 6 64 6 8 (thỏa điều kiện toán) 3.2 Nếu b a 4 49 4 7 (tháa ®iỊu kiện toán) Ta có: P ( x ) x x x x 2008 0,5 0,5 x 10 x 16 x 10 x 24 2008 Đặt t x 10 x 21 (t 3; t 7) , biểu thức P(x) đợc viết lại: P ( x ) t t 3 2008 t 2t 1993 Do ®ã chia t 2t 1993 cho t ta cã sè d lµ 1993 0,5 0,5 4,0 4.1 + Hai tam giác ADC BEC có: Góc C chung CD CA CE CB (Hai tam gi¸c vuông CDE CAB đồng dạng) 4.2 Do đó, chúng dång d¹ng (c.g.c) Suy ra: BEC ADC 135 (vì tam giác AHD vuông cân H theo giả thiết) Nên AEB 45 tam giác ABE vuông cân A Suy ra: BE AB m BM BE AD Ta cã: BC BC AC (do BEC ADC ) mµ AD AH (tam giác AHD vuông vân H) BM AD AH BH BH AB BE (do ABH CBA ) nªn BC AC AC 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 4.3 0 Do ®ã BHM BEC (c.g.c), suy ra: BHM BEC 135 AHM 45 Tam gi¸c ABE vuông cân A, nên tia AM phân giác góc BAC GB AB AB ED AH HD ABC DEC ED // AH HC HC Suy ra: GC AC , mµ AC DC GB HD GB HD GB HD GB GC HD HC BC AH HC Do ®ã: GC HC 0,5 0,5