Lời nói đầu ng bin, nghch bin l cỏc khỏi niệm hàm số, đặc biệt chương trình tốn phổ thơng Sử dụng khảo sát biến thiên HS giúp giải lớp rộng tốn Trong khu«n khổ viết này, trình bày vài ứng dụng thờng gặp tính đơn điệu hàm số việc giải số dạng toán Vì thời gian kinh nghiệm cịn hạn chế, chắn thiếu sót xảy ra, mong thầy, giáo bạn độc giả đóng góp ý kiến để viết hồn thiện Yên Phong, ngày 12/02/2009 Nguyễn Bá Nam I Tãm t¾t lý thuyết hàm số đơn điệu Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a, b) Định nghĩa 1: - Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) khoảng (a,b) x1, x2 (a,b), x1< x2 f(x1) < f(x2) - Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) khoảng (a,b) x1,x2 (a,b), x1< x2 f(x1) > f(x2) - Hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến ) khoảng (a; b) gọi chung hàm số đơn điệu khoảng Định nghĩa 2: - Hàm số y = f(x) ®ång biÕn (a; b) - Hµm sè y = f(x) nghịch biến (a; b) y > khoảng (a, b) x y < khoảng (a, b) Δx NhËn xÐt: y - Hµm sè y = f(x) đồng biến (a; b) f'(x) = x x khoảng (a; b) lim - Hàm số y = f(x) nghịch biến (a; b) f'(x) = lim x y x khoảng (a; b) Định lý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng (a; b) NÕu f'(x) (hc f'(x) 0) dấu "=" xảy số hữu hạn điểm khoảng (a; b) hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng II Một số dạng toán thờng gặp: Tìm điều kiện tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến) khoảng Ví dụ 1: Tìm m để hàm sè y=(m + 2)x3 - 3x2 - 3x + nghịch biến Giải: Ta có y =3(m + 2)x2 - 6x -3 Hàm số nghịch biến y x m2 0 m ' m 27 Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + ®ång biến (1 ; 2) Giải: Hàm số đồng biến trªn (1 ; 2) y' = 3x2 + 6x + m x (1; 2) 3x2 + 6x -m x (1; 2) x2 + 2x - m g ( x ) x 1;2 - m x (1; 2) (1), víi g(x) = x2 + 2x Ta cã g'(x) = 2x + > x (1; 2), nên hàm số g(x) đồng biến (1;2) g ( x ) x 1;2 = g(1) = VËy (1) - m m -6 Suy m -6 giá trị cần tìm y Ví dụ 3: Tìm m để hàm sè y' x2 3x m x đồng biến khoảng (3; ) 2x2 4x m HD: Ycbt x 1 0x f(x)=2x2 - 4x + - m 0, x>3…(t¬ng tù vÝ dụ 2) Đáp số: m Nhận xét: Từ vÝ dơ vµ vÝ dơ 3, ta cã tham sè y' ë hƯ sè kh«ng chøa biÕn sè Có thể đa tham số vào hệ số chứa biến y' VÝ dơ 4: Cho hµm sè y = x3 + mx2 + x + Tìm m để hàm số đồng biến (1; 2) Giải: Yêu cầu toán y' = 3x2 + 2mx + 0; x (1; 2) 3x + -2m; x (1; 2) x x Ta cã g'(x) = 3Suy g ( x ) x 1;2 g ( x ) x 1;2 -2m (1), víi g(x) = 3x + x = 3x − > x [1; 2] x = g(1) = VËy (1) - 2m m -2 §¸p sè: m -2 1 VÝ dơ 5: Cho hµm sè y= x3 - (2m + 1)x2 +(3m + 2)x - 5m +2 Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng (0; 1) HD: Ycbt y' =x2 - (2m+1)x + 3m + 0, x (0; 1) x2 - x + m(2x-3), x (0; 1) x2 x x m, x (0; 1), ( x (0; 1), nªn 2x-3 < 0) g ( x) x 0;1 x2 x ≥m, víi g(x)= x B»ng cách kháo sát hàm g(x), ta tìm đợc Vậy đáp sè m -2 g ( x) x 0;1 =g(1) =-2 Nhận xét: Trong ví dụ trên, tất biểu thức y tham số ®Ịu ®ång bËc (bËc nhÊt), vµ ta ®Ịu sư dơng cách biến đổi độc lập tham số với biến số, sau sử dụng khảo sát hàm số đà độc lập với tham số khoảng xét suy giá trị tham số thỏa mÃn yêu cầu toán Tuy nhiên, số hàm số không thuộc dạng ta dùng cách đợc Để minh họa, xét ví dụ sau đây: x (3m 1) x 5m x m VÝ dơ 6: Cho hµm sè y= Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (0; 1) Giải: Đkxđ x m m HS xác định khoảng (0; 1) m (1) x 2mx 3m 4m ( x m) Ta cã y’= Hàm số đồng biến khoảng (0; 1) y’ ≥ x (0; 1) 2 Hay f(x) = x 2mx 3m 4m ≥ x (0; 1) f (0) 0 S Vì f(x) tam thức bậc hai có =m (0; 1), nªn f(x) ≥ x (0; 1) f (1) 0 4m 0 3m 6m 0 m (2) Tõ (1) vµ (2) suy giá trị tham số thỏa mÃn yêu cầu toán m Ví dụ 7: Cho hµm sè y = (2m + 3) sin x + (2 - m)x Tìm m để hàm số đồng biến R Giải: TXĐ: R Ta có y' = (2m + 3) cosx + (2 - m) Đặt cosx = t [-1; 1], suy y' = g(t) = (2m + 3)t + (2 - m) Hµm sè ®ång biÕn trªn R y' x R g(t) t [-1; 1] §iỊu kiÖn: g(-1) g(1) -3m - m+50 -5m- Đáp số - m - NhËn xét: Bằng phép tơng tự, xét hàm số nghịch biến khoảng (a, b); hai khoảng Bài 1: Tìm m để hàm số y = mx3 + 3x2 + đồng biến khoảng (1; 2) Đáp số: m -1 Bài 2: Tìm m ®Ĩ hµm sè y= x3 -(3m - 1)x2 + (m + 3)x + 4m -3 đồng biến (1; + ) Đáp số: m Bài 3: Tìm m để hàm số y = mx3 + 2(m - 1) x2 + 5mx + nghịch biến (-; 1) Bài 4: Tìm m để hàm số y = nghịch biến (-3; -2) Bài 5: Tìm m để hàm số y = nghịch biến khoảng (1;+) x (1 m) x m x m Bµi 6: Cho hµm sè y= đồng biến khoảng (0; + ) Đáp số: m ứng dụng tính đơn điệu hàm số vào giải phơng trình, bất phơng trình hệ phơng trình 2x x x Ví dụ 1: Giải phơng trình = (x - 1)2 (1) Gi¶i: Ta cã: x2 - x - (x - 1) = (x -1)2 Nªn (1) cã d¹ng: 2x −1 +(x −1)=2 x − x + (x2 - x) (2) Đặt f(t) = 2t + t; f'(t) = 2tln2 + > tR nên phơng tr×nh (2) f(x - 1) = f(x2 - x) (x2 - x) = x -1 x = nghiệm phơng trình Nhật xét: Ta khái quát hoá toán trên: Cứ cho phơng trình f(x) = g(x) Khi đó: af(x) + f(x) = af(x) + g(x) (a > 0; a 1) Ta đợc phơng trình với cách giải tơng tự Bài tập áp dụng: Giải phơng trình sau: 1/ e x e x 1 2x x / 2 1 x x2 1 x x2 2 1 x / 2009cos x 2008cos x cos x / 2009sin x 2009cos x cos x x x 5* / 22 32 2 x 3x 1 x Ví dụ 2: Giải phơng trình: log x2 x 1 x 3x 2 2x 2x Giải: Đặt u=x2 + x +1; v=2x2 - 3x + (u > 0, v > 0) Suy v - u=x2 -3x +2 Phơng trình đà cho trở thành: log3 u v u log u log v v u log u u log v v 3 v (1) 0, t XÐt hµm sè: f(t)= log t t trªn (0; ), ta cã f(t)= t ln nên hàm số đồng biến (0; ) x 1 VËy tõ (1) ta cã f(u) = f(v), suy u = v, hay v - u = 0, tøc lµ x2 -3x +2 = x 2 NhËn xÐt: Đối với phơng trình dạng dạng log a log a u v u v , víi u, v >0 a > 1, ta thờng biến đổi u v u log a u log a v v u log u u log v v a a v Vì hàm số f(t)= log a t t đồng biến (0; ), nªn ta cã u = v Với điệu kiện nh trên, ta có bất phơng tr×nh: log a u v u f (u ) f (v) u v v Ví dụ 3: Giải bất phơng trình: log5 (3 x ) log x Giải: Điều kiện x > Đặt t = log4x x = 4t, bất phơng trình trở thành t t 2 3 1 log5(3 + 2t) > t + 2t > 5t t t 1 2 3 Hµm sè f(t) = nghịch biến R f(1) = Vậy bất phơng trình trở thành f(t) > f(1) t < Từ ta đợc log4x < < x < Chú ý: Đối với BPT dạng logau < logbv, ta thờng giải nh sau: Đặt t = logau (hoặc t = logbv), đa BPT mũ; sử dụng tính đơn điệu hàm số để suy nghiệm Với PT dạng logau = logbv, ta thờng giải nh sau: u a t t Đặt t = logau = logbv v b ; sư dơng phơng pháp để đa PT mũ ẩn t Tìm t (thông thờng có nghiệm t nhất); suy x Bµi tËp vËn dơng: Giải phương trình: 1) log ( x x 3) 2 log ( x x 4) 3) log5(3 + log x 2) log ( x ) log6 x 2 log x 5) VÝ dô 4: Giải hệ bất phơng trình: log x 3 x +2 x −1 0(2) { 4)3log x x log x 3x 1 ) = log4(3x + 1) 2 2 log x log x Giải: Nghiệm bất phơng trình (1) là: - < x < Xét bất phơng trình (2): đặt f(x) = x3 - 3x + 1, với x (-1; ) Ta cã: f'(x) = 3x2 - = x = BBT: x -1 - + f'(x) + 0 + f(x) - + Căn vào bảng biến thiên đợc hàm số y = f(x) nghịch biến (-1; ),nên x (-1; ) th× f(x) >f() = > VËy f(x) > víi x (-1; ) KÕt ln: HƯ cã nghiƯm -1 < x < VÝ dơ 5: Giải hệ phơng trình: x y x y=e e (1) log x −3 log y +2=0 (2) { Giải: Điều kiện: x, y > Từ (1) ex - x = ey - y (3) §Ỉt f(t) = et - t xÐt (0;+) cã f'(t) = et - > 0, t > , nên f(t) đồng biến (0;+) Do (3) f(x) = f(y) x = y Thay vµo (2): log22 x −3 log x +2=0 hƯ lµ x = x = đợc log2x = log2x = ta đợc nghiệm Nhận xét: Đối với loại hệ phơng trình mà hệ có phơng trình dạng f(x) = f(y), phơng trình lại giúp ta giới hạn đợc x, y để hàm số f đơn điệu Từ suy x=y x x y y (1) VÝ dơ 6: Gi¶i hƯ phơng trình: x y 1(2) Giải: Từ PT (2) ta cã x8 ≤ 1, y4 ≤ x 1; y 1 XÐt hµm sè: f(t) = t5 - 5t, t 1;1 , ta cã f’(t) =3t2 -5 < 0, t 1;1 Do hàm số f(t) nghịch biến khoảng (-1; 1), nên từ PT (1) suy x=y Thay vào PT (2) ta đợc: x8 + x4 - = 1 1 x y Đặt a= x4 0, giải PT tơng ứng ta đợc a= x x x 3 y y y y 3x Ví dụ 7: Giải hệ PT Giải: Đặt u=x-1, v=y-1, ta đợc hệ: u u 3b (1) v v 3u (2) u v Trõ tõng tơng ứng hai PT hệ ta đợc u u 1 v v 1 (3) t 1 t t XÐt hµm sè f(t) = t + t , ta cã f’(t) = t 1 3t ln 2 V× t ≥ t -t t + t > => f’(t) > t R , hàm số f(t) đồng biến R u Từ PT (3) u=v Thay vào PT (1) ta đợc u u (4) 2 Theo trªn ta cã u + u > 0, nªn PT (4) ln(u u 1) u ln =0 XÐt hµm sè g(u) = ln(u u 1) u ln , cã g’(u) = u 1 ln ln 0, u R , nên hàm số g(u) nghịch biến R PT (4) có nghiệm u=0 Từ suy hệ PT ban đầu có nghiÖm nhÊt (x; y) = (1; 1) Mét sè tập tơng tự: Tìm x, y (0; ) tho¶ m·n hƯ: y =x − y {cot5x x+−cot8 y=2 π Gi¶i hƯ: x − y=(log y − log x)(1+ xy) xy − y+ 2=0 { Giải hệ bất phơng trình: Giải hệ bất phơng trình: Giải hệ: x +5 x+ 4< x +3 x − x −10> { log22 x − log2 x 2< x − x +5 x+ 9>0 { 2( x3 x y 1) x ( y 1) y x ln( y x) Sử dụng tính đơn điệu hàm số giải toán giải phơng trình bất phơng trình chứa tham số: Ví dụ 1: Tìm a phơng trình x2 + 3ax + =0 (1) có nghiệm phân biệt Giải: Ta có (1) x3 + = - 3ax (2) a) Với x = không nghiệm phơng trình (2) a b) Với x 0: phơng trình (2) x2 + = -3a Đặt f(x) = x2 + f'(x) = 2x - = f'(x) = x = BBT: √2 x √2 - + f'(x) f(x) + - - + + + - Đặt g(x) = - 3a đờng thẳng song song với trục Ox Căn vào bảng biến thiên (1) có nghiệm phân biệt f(x) cắt g(x) điểm phân biÖt ) - 3a > √2 g(x) > f( 3 √3 2 a < - 2 Đáp số: a < - 2 Ví dụ 2: Tìm m để bất phơng trình - x3 + 3mx - < - (1) nghiệm x Giải: Ta có (1) x3 + - > 3mx (do x 1) x2 + > 3m (2) Đặt f(x) = x2 + xÐt trªn [1; + ) Ta cã f'(x) = > x => f(x) ®ång biÕn [1; + ) f ( x ) VËy 3m < x 1; = f(1) = m < Đáp số: m < Nhận xét: Cô lËp tham sè sang mét bªn Sư dơng tÝnh biến thiên hàm số hàm số Một số toán tơng tự: Bài toán 1: Tìm m phơng trình: x3 + 3ax + = a Cã hai nghiƯm ph©n biƯt b Cã nhÊt nghiƯm Bài toán 2: m = ? phơng trình x3 + 3x + 2m - = cã nghiƯm Bµi toán 3: Tìm m để bất phơng trình đợc nghiƯm ®óng x3 + 3ax + > x > Sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ 1: Chøng minh r»ng: x - sin x > x > (1) Giải: Thật vậy, đặt f(x) = x - sin x, xÐt trªn (0; +) Ta cã f’(x) = - cos x x > => f(x) đồng biến (0; +) xác định x = nên x > f(x) > f(0) = nên (1) đợc chứng minh Nhận xÐt: Sư dơng vÝ dơ trªn cã thĨ chøng minh đợc Bài toán 1: CMR: cosx > - với x > Bài toán 2: CMR: x - < sin x víi x > VÝ dơ 2: Chøng minh r»ng: sin x + tan x - 2x > với x (0; ) Giải: Đặt f(x) = sin x + tan x - 2x xÐt trªn (0; ) Ta cã f'(x) = cos x + - > cos2x + - - = => f(x) đồng biến khoảng (0; ) mà f(x) xác định x = nên f(x) > f(0) = x (0; ) => ®pcm NhËn xét: Sử dụng phơng pháp toán ta chứng minh đợc: x (0; ) Bài toán 1: CMR: 2sin x + 2tan x > 2x + 3x Bài toán 2: CMR: Bài toán 3: CMR: 2sin x +2 tan x > 22 1 sin x > cos x x ( ) x (0; ) x (0; ) NhËn xÐt: Sư dơng kết toán 1, ta CM đợc: Với tam giác ABC nhọn ta có: 2sinA + 2sinB + 2sinC + 2tanA + 2tanB + 2tanC > Sư dơng kÕt toán 2, ta CM đợc: Với tam giác ABC nhọn ta có: 4sinA + 4sinB + 4sinC + 2tanA + 2tanB + 2tanC > x2 VÝ dô 3: CMR: ex > + x + , víi mäi x > x2 Giải: Ta có BĐT cần CM tơng ®¬ng víi x > ln(1 + x + ) x2 x2 XÐt hµm sè f(x) = x - ln(1 + x + ), ta cã f’(x) = x x >0, x R Vậy hàm số đồng biến R Do với x > 0, ta cã f(x) > f(0) = x2 Hay x > ln(1 + x + ) x (đpcm) Nhận xét: Với x>0 n N*, ta có BĐT tổng quát sau: x2 xn x2 xn n ! , hay ln(1 + x + 2! n ! ) < x ex > + x + 2! C¸ch CM BĐT tơng tự nh