CHUYÊN ĐỀ 12: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC ỨNG DỤNG Câu Cho a, b, c 0 , chứng minh raèng: a) (a b c ) 3(ab bc ca ) 3 b) 3(a b c ) (a b c)(ab bc ca) 4 5 Câu a) Cho a, b, c a b c , chứng minh rằng: a b c 3 b) Độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn hệ thức a b c Hỏi tam giác tam giác nhọn hay tù? m n c) Cho m, n số thực không nhỏ 2, chứng minh raèng: sin x cos x 1 x R Câu a) Tìm tập giá trị hàm số y | sin x | | cos x |, x R 4 b) Tìm giá trị nhỏ lớn hàm số y x x |sin x| 2|cos x| 3, x R c) Chứng minh rằng: Câu a) Cho a, b, c , chứng minh b) Cho a, b, c, d , chứng minh rằng: 1 a b c 2 bc c a a b a b c d 2 a b c b c d c d a d a b 2 a ab b 2 c) Cho a, b, c , chứng minh rằng: a ab b a3 b3 c3 a b c 2 2 b bc c c ca a d) Cho a, b, c , chứng minh rằng: a ab b | a b | |a| |b| e) Chứng minh với số thực a, b ta coù: 1 | a b | 1 | a | 1 | b | 1 a b c abc Caâu a) Cho a, b, c 0 , chứng minh 1 b) Cho a, b, c , chứng minh rằng: a b c a b c c) Cho x, y, z số thỏa x y z 0 , chứng minh rằng: x y z 6 1 1 1 x, y, z vaø 4 P x y z 2x y z x y z x y 2z d) Cho Tìm GTLN e) Cho a, b, c vaø a b c 1 , tìm GTNN biểu thức sau: 1 1 2 ab bc ca a b c 1 1 1 S a b2 b2 c2 c a ab bc ca 1 1 1 Q a bc b ca c ab ab bc ca 1 n2 a , a , , a a a2 an a1 a2 an n f) Cho , chứng minh rằng: a b c 2 g) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, chứng minh rằng: b c c a a b P a2 b2 c2 a bc Caâu a) Cho a, b, c , chứng minh rằng: b c c a a b ab bc ca a b c b) Cho a, b, c , chứng minh rằng: a b b c c a a b c d 2 c) Cho a, b, c, d , chứng minh raèng: b c c d d a a b Caâu a) Cho a, b, c vaø a b c 3 , chứng minh rằng: a b c 1 2 2 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c a b b c c a a b3 c a b c a , b , c c a b bc ca ab b) Cho , chứng minh rằng: 1 a b c 2abc c) Cho a, b, c , chứng minh rằng: a bc b ca c ab 1 1 3 3 d) Cho a, b, c , chứng minh raèng: a b abc b c abc c a abc abc 1 2 ab Caâu a) Cho a, b 1 , chứng minh rằng: a b 1 1 x , y , z ,t , chứng minh rằng: b) Cho 1 1 x y 16 z 25t 120 xyzt 1 3 c) Cho a, b, c 1 , chứng minh rằng: a b c abc 2 1 1 25 a b a b Caâu a) Cho a 0, b 0, a b 1 , chứng minh rằng: 2 2 12 sin y sin x cos x sin x cos x b) Giải phương trình hai ẩn số: Câu 10 a) Nếu a b c logab log a c (b c) b) log log log8 3,3 1 1 1 1 log a b log b c log c d log d a 8 a , b, c , a 4 4 4 4 c) Nếu 2 d) Nếu a, b, c 2 logb c a log c a b log c a c 3 Câu 11 a) Chứng minh a1 , a2 , a3 , b1, b2 , b3 0 thì: ( a b )( a b )( a b ) a a a b b b 1 2 3 3 Suy (1 a1 )(1 b1 )(1 c1 ) a1a2a3 1 1 3 abcd 81 b) Cho a, b, c, d , vaø a b c d , chứng minh a b c (1 a)(1 b)(1 c) 1 c) Cho a, b, c 1 , chứng minh rằng: b c c a a b a m b m a n b n a m n b m n 2 a b 0; m , n N Caâu 12 a) Cho , chứng minh rằng: n a n bn a b b) Cho a, b 0; n N , chứng minh rằng: 2 4 8 12 12 c) Cho a b 0 , chứng minh raèng: (a b)(a b )(a b )( a b ) 8( a b ) Caâu 13 a) Cho a1 , a3 , b1 , b2 số thực bất kỳ, chứng minh rằng: a12 b12 a22 b22 (a1 a2 )2 (b1 b2 )2 b) Cho a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 laø số thực bất kỳ, chứng minh rằng: a12 b12 a22 b22 a32 b33 (a1 a2 a3 ) (b1 b2 b3 ) c) Chứng minh với x, y R ta có: 4cos2 x cos2 y sin ( x y ) 4sin x sin y sin ( x y ) 2 d) Chứng minh với x, y, z R ta có: x xy y y yz z x xz z 2 e) Chứng minh a a a a 2, a R f) Cho x, y, z , chứng minh rằng: x xy y y yz z z zx x 3( x y z ) g) Cho a, b, c vaø ab bc ca 1 , chứng minh rằng: b 2a c 2b a 2c 3 ab bc ca x xy y 3 2 h) Giả sử hệ y yz z 16 có nghiệm Chứng minh rằng: xy yz zx 8 i) Cho x, y, z ba số dương x y z 1 , chứng minh rằng: 1 x y z 82 x y z x2 y z x y z 2 2 y z x z x Câu 14 a) Cho x, y, z số thực khác Chứng minh y a b c a b c bc ca a b b) Cho a, b, c , chứng minh rằng: a b b c c a Câu 15 Tìm giá trị nhỏ hàm số y x 2004 2006 x