A- đặt vấn đề I Lời mở đầu: Phơng trình nội dung quan trọng chơng trình toán học trờng THCS Đây nội dung kiến thức mang tính chất tổng hợp kiến thức chơng trình số học đại số Thông qua việc nắm bắt kiến thức phơng trình, học sinh đợc củng cố, mở rộng, đào sâu số kiến thức tập hợp lô gíc toán học Đợc phát triển t duy, đợc rèn luyện tính linh hoạt khả sáng tạo trình học tập Đồng thời học sinh đợc rèn lun tÝnh quy cị, tÝnh kÕ ho¹ch, tÝnh kû lt, đợc giáo dục tính cẩn thận, tính xác Đó phẩm chất thiếu đợc ngời lao động mà học sinh có đợc học phơng trình Trong loại phơng trình cấp THCS phơng trình bậc hai ẩn giữ vai trò lớn Các kiến thức phơng tr×nh bËc hai mét Èn mang tÝnh hƯ thèng, bao qu¸t c¸c kh¸i niƯm, c¸c phÐp to¸n vỊ c¸c tËp hợp số, biểu thức đại số Các dạng toán phơng trình bậc hai ẩn mở rộng, khắcsâu, hoàn thiện dạng toán đà học chơng trình số học đại số Đồng thời phơng trình bậc hai ẩn đơn vị kiến thức sau hầu nh kết thúc chơng trình đại số cấp THCS Vì thông qua việc nắm bắt kiến thức phơng trình bậc hai ẩn đánh giá đợc khả trình độ học môn số học đại số học sinh Chính mà phơng trình bậc hai ẩn đợc dùng để kiểm tra đánh giá chất lợng học sinh cấp THCS thông qua kỳ thi học sinh giỏi, thi tuyển vào PTTH Các kiến thức phơng trình bậc hai ẩn không nhiều công thức nghiệm định lý Vi-ét nhng dạng tập lại phong phú đa dạng yêu cầu học sinh phải biết phân biệt dạng tập, biết cách giải dạng tập cụ thể Song thực tế trờng THCS Định Long năm trớc đây, em học sinh lớp lúng túng làm dạng tập phơng trình bậc hai ẩn Hầu hết em cha phân biệt đợc dạng tập cha tìm đợc cách giải cho dạng mà đơn làm dạng toán giải phơng trình cách áp dụng công thức nghiệm Thậm chí em máy móc sử dụng công thức nghiệm phơng trình cần áp dụng hệ định lý Vi-ét với phơng trình bậc hai khuyết Chính kết học tập em môn toán không cao dẫn tới chất lợng thi học sinh giái, tØ lÖ tèt nghiÖp THCS, tû lÖ thi vào PTTH nhà trờng thấp Trớc tình hình trên, thân suy nghĩ trăn trở chất lợng giảng dạy học tập nhà trờng chất lợng học sinh giỏi, tỷ lệ häc sinh tèt nghiƯp THCS vµ tû lƯ häc sinh vào PTTH nhà trờng Chính trình công tác giảng dạy đà giành thời gian tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Hớng dẫn học sinh lớp giải dạng toán phơng trình bậc hai ẩn phần góp phần nâng cao chất lợng học tËp cđa häc sinh líp nãi riªng, cđa häc sinh toàn trờng nói chung đặc biệt chất lợng học sinh giỏi tỷ lệ học sinh thi vào PTTH nhà trờng năm tới II Thực trạng vấn đề nghiên cứu : Thực trạng: Trong năm công tác trờng THCS Định Long đặc biệt năm dạy lớp thân nhận thấy học sinh lúng túng giải dạng toán phơng trình bậc hai ẩn Các em hầu nh cha biết phân loại dạng toán nh cha biết cách giải dạng toán Hầu hết em đơn giải đợc dạng toán giải phơng trình cách áp dụng công thức nghiệm Nhiều em máy móc sử dụng công thức nghiệm, có phơng trình không cần sử dụng công thức nghiệm nhng em áp dụng công thức nghiệm Đa số em cha giải đợc dạng toán yêu cầu phải sử dụng khai thác định lý Vi- ét Đặc biệt em cha biết dùng dạng toán đà học vào giải dạng toán phơng trình bậc hai ẩn Do kết làm kiểm tra thi em cha cao đặc biệt kết kỳ thi học sinh giỏi, thi tốt nghiệp THCS, thi tuyển vào PTTH Nguyên nhân dẫn đến thực trạng em cha nắm vững công thức nghiệm cha biết vận dụng công thức nghiệm cách hợp lý Cha biết sử dụng cha biết cách khai thác định lý Vi- ét Các em không nhớ kiến thức dạng toán đà học vận dụng dạng toán vào giải dạng toán phơng trình bậc hai ẩn Kết thực trạng : Tỉng Giái sè bµi SL % 50 giái 4% Kh¸ TB Ỹu KÐm SL % SL % SL % SL % 12% 17 34% 14 28% 11 22% Kết cho thấy chất lợng học sinh cha cao tỷ lệ học sinh, B Giải vấn đề I Các giải pháp thực : - Tìm ra, phân loại số dạng toán phơng trình bậc hai ẩn phù hợp với yêu cầu chơng trình với lực, trình độ học sinh lớp - Xác định đợc kiến thức có liên quan, cần phải sử dụng giải dạng toán phơng trình bậc hai ẩn - Tìm đợc phơng pháp tốt để giải dạng cụ thể - Thông qua trình công tác giảng dạy để nghiên cứu - Thông qua trình ôn tập cho học sinh lớp qua việc ôn thi học sinh giỏi ôn thi vào PTTH - Thông qua việc nghiên cứu tài liệu giảng dạy, tài liệu tham khảo - Thông qua học hỏi đồng nghiệp - Bằng cách khảo sát chất lợng học sinh nắm bắt, xử lý thông tin II Các biện pháp tổ chức thực : Trớc tình hình trên, qua nghiên cứu thân đà hớng dẫn học sinh tạm phân loại dạng toán phơng trình bậc hai ẩn cách phù hợp với yêu cầu trình độ học sinh lớp theo dạng nh sau : Dạng1: Giải phơng trình : Đây dạng toán đơn giản phơng trình bậc hai mét Èn Nhng nÕu chóng ta chđ quan gi¶ng dạy học sinh dễ mắc sai lầm nh : sử dụng công thức nghiệm máy móc cha biết sử dụng công thức nghiệm cho phù hợp Do cần hớng dẫn học sinh phân biệt hai trêng hỵp sau : * Trêng hỵp thø nhÊt : Đối với phơng trình bậc hai khuyết không cần dùng công thức nghiệm mà nên biến đổi đa phơng trình dạng đà gặp : - Nếu khuyết hệ số c ta biến đổi phơng trình dạng phơng trình tích đà học lớp - Nếu khuyết hệ số b ta đa phơng trình dạng phơng trình chứa bậc hai đà học đầu chơng trình lớp Trong trờng hợp nên lu ý häc sinh nÕu hƯ sè a vµ hƯ sè b dấu phơng trình đà cho vô nghiệm ( lúc biểu thức dới dấu mang giá trị âm ), không cần giải mà kết luận nghiệm phơng trình Ví dụ : Giải phơng trình : a) x2 + 5x = ; b) x2 - = ; c) x2 +7 = Ta nhËn thấy phơng trình a) khuyết c nên ta đa dạng phơng trình tích, phơng trình b) khuyết b nên ta biến đổi đa dạng trình chứa bậc hai giải nh sau: a) x( x + ) = b) 2x2 = x = hc x + = x2 = x1 = hc x2 = -5 x1 = - ; x2 = Đối với phơng trình c) hệ số a b dấu nên phơng trình vô nghiệm * Trờng hợp phơng trình bậc hai đủ : Phơng trình có dạng : a x2 + bx + c = phải dùng công thức nghiệm ( bao gồm công thức nghiệm tổng quát công thức nghiệm thu gọn ) định lý Vi- ét để giải Cần hớng dẫn học sinh xem xét chọn cách giải theo quy trình sau - Trớc hết xét hệ số a, b, c phơng trình, có dạng a + b + c = a- b+c = áp dụng hệ định lý Vi- ét, không nên dùng công thức nghiệm - Nếu hệ số a, b, c dạng ý đến hệ số b: + Nếu hệ số b chẵn áp dụng c«ng thøc nghiƯm thu gän + NÕu hƯ sè b lẻ áp dụng công thức nghiệm tổng quát Ví dụ : Giải phơng trình sau : a) x2 + 8x + = ; b) 2x - 7x + = ; c) x2 + 4x - 12 = ; d) x2- 3x - = *Phơng trình a): Vì a - b + c = - + = nên áp dụng hệ định lý Vi-ét ta cã : x1 = -1 ; x2 = − *Phơng trình b): Vì a + b + c = + ( -7 ) + = nên áp dụng hệ định lý Vi-Ðt ta cã : x1 = ; x2 = *Phơng trình c) : Vì hệ số b chẵn nên áp dụng công thức nghiệm thu gọn gi¶i nh sau : Δ ’ = 22 - (-12) = + 12 = 16 Δ ’ > nên phơng trình có nghiệm phân biệt : x1 = -2 + √ 16 = -2 + = x2 = -2 - √ 16 = -2 - = - *Phơng trình d) : Vì hệ số b lẻ nên áp dụng công thức nghiệm tổng quát giải nh sau : = (-3)2 - 4.1.(-5) = + 20 = 29 Δ > nên phơng trình có nghiệm phân biệt : x1 = 3+ √ 29 ; x2 = − 29 2 Đối với phơng trình bậc hai đủ th× lu ý häc sinh : NÕu hƯ sè a hệ số c trái dấu phơng trình có hai nghiệm phân biệt Tóm lại : Đối với dạng toán giải phơng trình giáo viên cần lu ý học sinh phải xem xét đề để chọn cách giải ngắn gọn, phù hợp không máy móc dùng công thức nhiệm Dạng 2: Giải biện luận phơng trình : Dạng toán bao gồm : Tìm giá trị tham số để : - Phơng trình có nghiệm kép, có nghiệm phân biệt, vô nghiệm - Phơng trình có nghiệm dấu, dơng, âm - Phơng trình có nghiệm trái dấu Cách giải dạng cụ thể nh sau : a) Dạng tìm giá trị tham số để phơng trình có nghiệm kép, có nghiệm phân biệt, vô nghiệm áp dụng công thức nghiệm : Phơng trình : ax2 + bx + c = 0, cã Δ = b2 - 4ac + Nếu = phơng tr×nh cã nghiƯm kÐp : x1= x2 =- b a + Nếu > phơng trình có nghiƯm ph©n biƯt : x1 = − b+ √ Δ ; x2 = − b − √ Δ + NÕu 2a 2a < phơng trình vô nghiệm Ví dụ : Cho phơng trình : 3x2 + 7x + m = Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm kép, có nghiệm phân biệt, vô nghiệm Giải : Ta có: = 72 - 4.3.m = 49 - 12m 49 - Phơng trình cã nghiÖm kÐp ⇔ 49 - 12m = ⇔ m = 12 49 - Phơng trình có nghiệm ph©n biƯt ⇔ 49 - 12m > ⇔ m < 12 49 - Phơng trình vô nghiệm 49 - 12m < ⇔ m > 12 Chó ý : * Trờng hợp hệ số b chẵn ta áp dụng công thức nghiệm thu gọn giải tơng tự nh vÝ dơ VÝ dơ : Cho ph¬ng tr×nh : x2 + 2.(m+2)x + m2 = T×m giá trị m để phơng trình có nghiệm kép, có nghiệm phân biệt, vô nghiệm Giải : Ta cã: Δ ’ = (m+2)2 - m2 = m2 + 4m + - m2 = 4m + - Phơng trình có nghiệm kép 4m + = m = -1 - Phơng trình có nghiƯm ph©n biƯt ⇔ 4m + > m > -1 - Phơng trình vô nghiệm 4m + < ⇔ m < -1 * Trờng hợp biểu thức ( ) có chứa luỹ thừa bậc hai phải lập bảng xét dấu để biện luận phơng trình Ví dụ : Cho phơng trình x2 + (m + 1)x + = Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, vô nghiƯm Gi¶i : Ta cã : Δ = (m + 1)2 - 4.1.3 = m2 + 2m + - 12 = m2 + 2m - 11 (1) Δ ’m= 12 -1.(-11) = + 11 = 12 Δ ’m> nên phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt : m1 = - 1+ √ 12 ; m2 = - 1- √ 12 Ta cã b¶ng xÐt dÊu : M Δ -1- √ 12 + -1+ √ 12 - + Dựa vào bảng xét dấu ta có : - Phơng trình đà cho có nghiệm kép m = - 1+ √ 12 hc m = - 1- 12 - Phơng trình có hai nghiệm phân biƯt ⇔ m > -1+ √ 12 hc m < - 1- 12 - Phơng trình vô nghiệm -1- √ 12 phơng tr×nh cã hai nghiƯm x1, x2 tho· m·n : + Tỉng hai nghiƯm : S = x1 + x2 = − b a c a + TÝch hai nghiÖm : P = x1 x2 = Tõ ®ã ta suy : - Phơng trình có hai nghiệm dấu : > P > - Phơng trình có hai nghiệm khác dấu : > P < - Phơng trình có hai nghiƯm cïng d¬ng : Δ > 0, P > S > - Phơng trình có hai nghiƯm cïng ©m : Δ > , P > vµ S < ( NÕu hƯ sè b chẵn xét thay cho ) Ví dụ : Cho phơng trình : x2 + 2( m+1)x + 2m - = Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm dấu, trái dấu, dơng, âm Giải : Ta có: Δ = (m+1)2 - 1.(2m-5) = m2 + 2m + - 2m + = m2 + > với m Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Theo định lý Vi- ét : S = 2(m+1); P = 2m-5 - Phơng trình cã hai nghiÖm cïng dÊu : 2m - > m > 2,5 - Phơng trình có hai nghiƯm kh¸c dÊu : 2m - < m < 2,5 - Phơng trình có hai nghiệm dơng : m > 2,5 2(m+1) > ⇒ m > 2,5 vµ m >-1 ⇒ m > 2,5 - Phơng trình có hai nghiệm ©m : m > 2,5 vµ 2(m+1) < m >2 m < -1 giá trị m để phơng trình có hai nghiệm âm * Bằng cách tơng tự ta làm đợc dạng toán : Chứng minh phơng trình có hai nghiệm dấu, hai nghiệm khác dấu, hai nghiệm dơng, hai nghiệm âm với giá trị tham số Ví dụ : Cho phơng tr×nh Èn x : 2x2 - 2mx - m2 - = 0.Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt hai nghiệm trái dấu với giá trị m Giải : Ta có : {2 x 12= m−3 m+1 Δ ’ = (- m)2 - 2.( - m2 -1 ) = m2 + 2m2 + = 3m2 + > víi ∀ m H¬n n÷a : P = < víi ∀ m Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt hai nghiệm trái dấu với giá trị m Dạng3: Dạng toán tìm giá trị tham số để hai nghiệm phơng trình thoà mÃn điều kiện : Để làm toán dạng cần áp dụng định lý Vi- et, đẳng thức đáng nhớ phép biến đổi đại số Ví dụ 1: Cho phơng trình x2 - 2x + m - = Tìm m để phơng trình có hai nghiƯm tho¶ m·n : x12 + x22 = Giải : Để phơng trình có hai nghiệm : Δ ’ = - ( m - ) = – m ⇒ m Theo ®Þnh lý Vi-et : x1 + x2 = 2; x1 x2 = m - Mặt khác : ( x1 + x2 )2 = ( x12 + x22 ) + 2x1x2 Do ®ã : 22 = + 2.( m - ) ⇒ m = V× m = < nên với m = phơng trình đà cho có hai nghiệm thoả 2 m·n : x12 + x22 = VÝ dô : Cho phơng trình ẩn x : ( m + ) x2 - 2.(m - ) x + m - = Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dấu nghiệm gấp đôi nghiƯm Gi¶i : Ta cã Δ ’ = > với m -1 nên phơng trình đà cho có hai nghiệm phân biệt với m -1 Phơng trình có hai nghiệm dấu : m−3 > vµ m -1 m+1 ⇒ m > m < -1 Do nghiệm gấp đôi nghiệm nên theo định lý Vi- et ta có : 2x12 = m−3 vµ 3x1 = 2( m−1) m+1 ⇔ m+1 m2 - 2m - 35 = (1) Giải phơng trình (1) ta có : m1 = 14, m2 = V× m1 = > 3, m2 = - Theo hÖ thøc Vi-et : x1 x2 = 2m + 10 x1 + x2 = 2( m + ) = 2m + x1x2 - ( x1 + x2 ) = Đây biểu thức cần lập Dạng 5: Dạng toán tìm giá trị tham số để biểu thức chứa x 1, x2 có giá trị nhỏ nhất, lớn tìm giá trị nhỏ hay lớn biểu thức chứậ x1, x2 Dạng toán dạng toán học sinh đà đợc làm quen từ lớp 7, khác em phải biết áp dụng định lý Vi-et để lập biểu thức chứa x 1, x2 Vì để giải dạng toán , trớc hết phải tính tổng tích nghiệm dựa vào định lý Vi-et sau tìm điều kiện tham số để biểu thức vừa lập đợc có giá trị nhỏ hay lớn tìm giá trị nhỏ hay lớn biểu thức theo yêu cầu toán Ví dụ : Cho phơng trình bậc hai ẩn x : x2 - 2( m - )x + n + = Khi m - n = 4, h·y tìm giá trị nhỏ p = x12 + x22 Gi¶i : Tõ m - n = ta suy ; n = m - Theo ®Þnh lý Vi-et : x1 + x2 = ( m - ) ; x1x2 = n + Do ®ã : P = x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 - 2x1x2 = [ 2( m - ) ]2 - 2( n + ) = [ 4( m2 - 2m + ) ] - ( m - ) = 4m2 - 8m + - 2m + = 4m2 - 10m + = ( 2m - 2,5 )2 + 1,75 1,75 Vậy giá trị nhỏ P 1,75 m = 1,25 Dạng 6: Dạng toán áp dụng điều kiện có nghiệm phơng trình bậc hai để giải toán tìm max min, toán nghiệm nguyên a) áp dụng điều kiện có nghiệm phơng trình bậc hai để giải toán tìm max Các toán cực trị đại số phần thiếu kỳ thi HSG, thi tun sinh vµo THPT hay tun sinh vµo trờng chuyên lớp chọn Có thể nói dạng toán yêu cầu học sinh phải có t tốt, biết vận dụng kiến thức tổng hợp số học đại số Các toán cực trị có nhiều cách giải khác nhau, cách giải sử dụng điều kiện có nghiệm phơng trình bậc hai Phơng pháp gọi phơng pháp miền giá trị hàm số Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn cña: A = x 2− x+ x + x +1 Giải: Biểu thức A nhận giá trị a phơng trình ẩn x sau cã nghiÖm: a = x 2− x+ x + x +1 (1) Do x2 + x + ≠ nªn (1) ax2 +ax + a = x2 - x + (a-1)x2 +(a+1) x + (a-1) =0 Trờng hợp 1: Nếu a=1 (2) có nghiƯm x=0 Δ ≥0 Trêng hỵp 2: NÕu a≠ thi ®Ĩ (2) cã nghiƯm (a-1)2 – 4(a-1) ≥ (a+1 +2a -2)( a+1 -2a +2) ≥ tøc lµ: (3a -1)(a-3) ≤ 1/3 ≤ a ≤ (a ≠ 1) Víi a=1/3 hc a= nghiệm (2) x= ( a+1) 2(a −1) = a+1 2(1− a) Víi a = 1/3 th× x = 1, víi a = th× x = -1 Gộp hai trờng hợp ta cã: Min A = 1/3 x = Max A = x = -1 b Sư dơng điều kiện có nghiệm phơng trình bậc hai để tìm nghiệm nguyên Với toán nghiệm nguyên có nhiều cách giải khác cách giải sử dụng điều kiện có nghiệm phơng trình bậc hai Với cách giải ta sẻ làm nh sau: Biến đổi phơng trình đà cho dạng phơng trình bậc hai ẩn, để phơng trình có nghiệm để phơng trình có nghiệm nguyên số phơng Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên phơng tr×nh sau: x + y + xy = x2 + y2 (1) Giải: Biến đổi (1) phơng trình bậc hai víi Èn x: x2 – (y + 1)x + (y2 - y) = (2) Điều kiện cần ®Ĩ (2) cã nghiƯm lµ ≥0 – 4(y2 - y) = (y + 1) Δ = -3y2 + 6y + Δ Suy Δ ≥0 -3y2 + 6y + ≥ 3(y - 1)2 ≤ Do ®ã (y - 1)2 ≤ Suy ra: y-1 -1 y Víi y = thay vào (2) đợc x2 x = Ta cã x1 = 0, x2 = Víi y = thay vào (2) đợc x2 2x = Ta cã x3 = 0, x4 = Với y = thay vào (2) đợc x2 3x + = Ta cã x5 = 1, x6 = Thử lại giá trị nghiệm phơng trình (1) Đáp số: (0;0) , (1;0) , (0;1) , (2;1) , (1;2) , (2;2) c KÕ luËn: Kết nghiên cứu: Sau thời gian vận dụng biện pháp vào trình giảng dạy, đặc biệt hớng dẫn học sinh làm dạng toán phơng trình bậc hai ẩn cá nhân nhận thấy học sinh nắm vững giải thành thạo dạng toán phơng trình bậc hai ẩn, em biết cách phân loại thành dọng tập cụ thể từ áp dụng cách giải hợp lý cho tùng dạng tập Do đà cải thiện đợc kết học tập em cách rõ nét Cụ thể kết thu đợc nh sau: Tæng Giái sè HS SL % 50 8% Kh¸ TB Ỹu KÐm SL % SL % SL % SL % 10 20% 22 44% 10 20% 8% 2.Kiến nghị đề xuất: Thực tế cho thấy áp dụng biện pháp vào dảng dạy kết học tập cảu em đợc nâng lên song biện pháp tránh khỏi hạn chế thiếu sót, mong nhận đợc trao đổi , góp ý bạn bè đồng nghiệp để có đợc biện pháp hay việc hớng dẫn học sinh học tập tốt Tôi xin chân thành cảm ơn Định Long, ngày 10 tháng năm 2009 Ngời thực Nguyễn Văn Bình