Soạn: Giảng: Chuyên đề: Phép chia hết phép chia cã d trªn tËp sè nguyªn Z I/ kiÕn thøc bản: 1/ Phép chia hết phép chia d Cho hai số nguyên a b ( b>0) Chia a cho b ta cã : a chia hÕt cho b a không chia hết cho b */ a chia hÕt cho b hay a lµ béi cđa b ; Ký hiƯu a ⋮ b Ta cịng nãi b chia hÕt a hay b lµ íc cđa a ; Ký hiÖu b ¿ a a ⋮ b.( hay b ¿ a ) vµ chØ cã sè nguyªn q cho a = bq */ a kh«ng chia hÕt cho b : chia a cho b ta đợc thơng gần q số d lµ r , ta cã a= bq + r víi < r < b Khi chia mét sè nguyên a cho số nguyên b > số d b số từ đến b – 1( Sè d r lín nhÊt chØ b»ng b-1) VD: Chia mét sè cho th× sè d hai số Chia số cho số d ba sè ; hc Chia mét sè cho số d năm số 0; 1;2;3 Lu ý: Trong trờng hợp a không chia hÕt cho b ( sè d r 0), thay lấy r > ( từ đến b 1) để tiện lợi c/m giải toán nhiỊu ngêi ta cịng lÊy sè d lµ sè ©m r’ víi r’ = r – b ( ®ã |r '| < b) VD1: Chia 23 cho đợc d 2.Ta viết 23 = 3.7 + => ta gọi thơng gần thiếu, 3.7 = 21 < 23 d là2 Hoặc 23 = 3.8 1=>ta gọi thơng gần thừa, 3.8 = 24 > 23 d -1 VD2 : Chia 52 cho 6, nÕu lÊy th¬ng gần thiếu ta có d 52= 6.8 + Nếu lấy thơng gần thừa lµ 9, ta cã d lµ 4-6 = -2 52 = 6.9 + (-2) VD3: Chia -36 cho ta đợc -36 = (-8) + Hoặc - 36 = 5.(-7) + (- 1) Nh vËy nÕu coi sè d số âm nh ta có: +/ Khi chia mét sè cho th× sè d 1, số nguyên có dạng 2k ( số chẵn) 2k+1 ( số lẻ) k Z Nếu số d phép chia cho coi số d 1-2 = -1, nói số nguyên có dạng 2k 2k ± +/ Khi chia mét sè cho th× số d ; 1hoặc số nguyên có dạng 3k; 3k+1; 3k+2 Với số d coi số d 2-3 = -1 nói số nguyên có dạng 3k 3k T¬ng tù nh vËy nÕu xÐt phÐp chia cho 4, cho Ước chung lớn bội chung nhỏ Cho hai số nguyên dơng a b * Ước chung lớn a b đợc ký hiệu ƯCLN(a;b) hay (a,b) Một số d lµ íc chung cđa a vµ b d ớc ƯCLN( a.b) d a d ¿ b ⇔ d ¿ (a,b) * Béi chung nhá a b đợc ký hiệu BCNN( a,b) hay lµ [ a , b ] Mét sè m lµ béi chung cđa a vµ b m lµ béi cđa BCNN (a,b) m ⋮ a vµ m ⋮ b ⇔ m ⋮ [ a , b ] Hai số a b đợc gọi hai số nguyên tố (a,b) =1 Cách tìm ƯCLN(a,b) BCNN( a,b) (a,b) [ a , b] +Phân tích số thừa số nguyên tố +Chọn thừa số nguyên tố Chung Chung riêng + Lập tích thừa số nguyên tố chung Lập tích thừa số nguyên tố chung thừa sè lÊy víi sè mị nhá nhÊt cđa nã Ta cã [ a , b ] = Tõ ®ã [ a , b] riêng thừa số lấy với sè mị lín nhÊt cđa nã ab (a , b) = a.b nÕu ( a,b) =1 ThuËt to¸n Euclide Trớc hết ta xét định lý sau: Cho hai số nguyên dơng a,b giả sử a > b */ Định lý 1: Nếu a bội b ƯCLN a b b a b => (a,b) = b */ Định lý 2: Nếu a bội b ƯCLN(a,b) ¦CLN cđa b vµ sè d phÐp chia a cho b a = bq + r ; < r < b => (a,b) = ( b,r) ý nghÜa định lý chỗ ta thay việc tìm ƯCLN hai số đà cho việc tìm ƯCLN hai số nhỏ */ Thuật toán Euclide: Dựa vào hai định lý để tìm ƯCLN(a,b) với a > b ta đem a chia cho b + NÕu a ⋮ b => (a,b) = b + NÕu a kh«ng chia hÕt cho b Ta cã: a = bq + r víi < r < b => (a,b) = ( b, r ) Ta l¹i chia b cho r, nÕu phÐp chia cã d ta cã b = rq1 + r1 ; < r1 < r => ( b,r ) = ( r, r1) Ta l¹i chia r cho r1, nÕu phÐp chia cã d ta cã r = r1 q2 + r2 ; < r2 < r1 => ( r, r1) = ( r1, r2 ) NÕu phÐp chia cßn d ta tiếp tục làm nh Vì dÃy số b,r,r1, r2, dÃy giảm dần nên đén lúc phép chia hết ( rn+1 = 0), ®ã ta cã ( a,b ) = ( b, r ) = ( r, r1) = ( r1, r2 ) = = ( rn-1, rn ) = rn VD Tìm ƯCLN ( 528, 204) thuật toán Euclide ta cã: 528 = 204 + 120 204 = 120 + 84 120 = 84 + 36 84 = 36 + 12 36 = 12 + ; Sè d cuãi cïng kh¸c lµ 12, vËy ( 528, 204) = 12 Trong thực hành ta đặt phép tính nh sau: 528 204 204 ¿ 120 ¿ 120 ¿ 84 ¿ 84 ¿ 36 ¿ 36 ¿ 12 ¿ ¿ - NÕu thùc hiƯn tht to¸n Euclide để tìm ƯCLN hai số mà đến lúc ta có số d hai số đà cho nguyên tố VD: Tìm ( 87, 25) Ta cã 87 = 25 + 12 => ( 87, 25) = ( 25, 12) 25 = 12 + => ( 25, 12) = ( 12, 1) VËy ( 87, 25) = Ap dơng: Chøng tá r»ng ph©n sè 21 n+4 víi n N PS tối giản 14 n+3 Trớc hết ta cã NX: Ph©n sè 21 n+4 víi n N PS tối giản ( 21n+4, 14n+3) =1 14 n+3 áp dụng thuật toán Euclide dể tìm ƯCLN hai sè 21n + vµ 14n + , ta cã: 21n + = (14n + 3) + 7n + => ( 21n +4, 14n +3) = ( 14n +3, 7n +1) 14n + = ( 7n +1) + => ( 14n +3, 7n +1) = ( 7n +1, 1) Mµ ( 7n +1, 1) = nªn ( 21n+4, 14n+3) =1 21 n+4 Hay PS ( n N) PS tối giản 14 n+3 Khi giải toán chia hết ta thờng sử dụng số định lý sau: a, §Þnh lý */ ( ca, cb) = c (a,b) */ b, Định lý 2: c, Định lý : */ */ ( ac ; bc ) = (a , b) c víi c lµ íc chung cđa a vµ b a.c ⋮ b vµ ( a,b) = => c ⋮ b c ⋮ a vµ c ⋮ b mà (a,b) =1 Thì c a.b 4.Các toán chia hêt phơng hớng tìm lời giải a/ §Ó c/m biÓu thøc A(n) chia hÕt cho mét sè nguyên tố p, xét trờng hợp sè d chia n cho p ( 0, ±1, ± 2, ± p −1 ) VD1: C/m r»ng A(n) = n ( n2 + 1) ( n2 + 4) với số nguyên n Giải XÐt mäi trêng hỵp: +/ n chia hÕt cho 5, hiển nhiên A(n) +/ n không chia hết cho n có dạng n = 5k ± 1; hc n = 5k ± NÕu n = 5k ± => n2 = 25 k2 ± 10k + => n2 + ⋮ NÕu n = 5k ± => n2 = 25 k2 ± 20k + => n2 + ⋮ Nh vËy A(n) lµ tÝch cđa ba thõa sè, trờng hợp có thừa số chia hết cho => A(n) ⋮ ∀ n b/ §Ĩ c/m biĨu thøc A(n) chia hÕt cho mét hỵp sè m ta thêng ph©n tÝch m thõa sè Giả sử m = p.q * Nếu p q số nguyên tố hay p q nguyên tố ta tìm cách c/m A(n) p A(n) q, từ suy A(n) p.q = m VD: CMR tÝch cđa ba sè nguyªn liên tiếp chia hết cho Giải: Gọi ba số nguyên liên tiếp n, n+1 n+2 Tích chóng lµ A(n) = n (n+1) (n+2) Ta cã = 2.3 ( số nguyên tố), nh ta cần c/m A(n) A(n) ⋮ +/ Trong hai sè nguyªn liªn tiÕp có số chẵn, A(n) +/ Trong ba sè nguyªn liªn tiÕp n, n+1 vµ n+2 bao giê cịng cã mét sè chia hÕt cho 3, v× sè d chia n cho chØ cã thĨ lµ ( n chia hÕt cho 3) ( n+2 chia hết cho 3) ( n+1 chia hÕt cho 3) => A(n) ⋮ A(n) ⋮ vµ A(n) ⋮ => A(n) ⋮ * NÕu p q không nguyên tố ta phân tích A(n) thừa số, chẳng hạn A(n) = B(n) C(n) vµ c/m cho B(n) ⋮ p vµ C(n) ⋮ q ( tõ ®ã suy A(n) = B(n) C(n) ⋮ p.q = m) VD: CMR tÝch hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Giải: Gọi hai số chẵn liên tiếp 2n 2n +2, tÝch cđa chóng lµ A(n) = 2n (2n+2) Ta cã = ta viÕt A(n) thµnh tÝch cña hai thõa sè mét thõa sè ⋮ 4, mét thõa sè ⋮ A(n) = 2n ( 2n+2) = 2n 2.( n+1) = 4.n.( n+1) DÔ thÊy ⋮ ; n.(n+1) ⋮ ( tÝch cña hai sè nguyªn liªn tiÕp) VËy A(n) = 4.n.(n+1) ⋮ 4.2 = # c/ §Ĩ chøng minh A(n) chia hÕt cho m, ta biến đổi A(n) thành tổng nhiều số hạng c/m số hạng chia hết cho m VD: CMR lập phơng số nguyên n ( n >1) trừ 13 lần số nguyên chia hết cho Giải: Theo ta cần c/m A(n) = n3 13n ⋮ Ta biÕn dæi A(n) nh sau: A(n) = n3 – 13n = n3 - n – 12n mµ 12n ⋮ => A(n) ⋮ n3 – n ⋮ Ta cã n3 – n = n.( n2 -1) = n.( n-1).( n+1) ⋮ ( tích ba số nguyên liên tiếp) A(n) hiệu hai số hạng n3 - n 12n, số hạng chia hết A(n) # d/ Để c/m tổng kh«ng chia hÕt cho m, cã thĨ c/m mét sè hạng không chia hết cho m tất số hạng khác chia hết cho m VD : CMR với n lẻ n2 + 4n + không chia hết cho Giải Vì n lẻ, ta đặt n = 2k +1 Ta có : n2 + 4n + = (2k +1)2 + 4.( 2k +1) + = ( 4k2 + 4k + 1) + ( 8k + 4) + = (4k2 + 4k ) +( 8k + 8) + = 4k ( k +1) + 8.(k +1) + DÔ thÊy 4k.(k+1) ⋮ ; 8.( k+1) ⋮ không chia hết cho Vậy n2 + 4n + kh«ng chia hÕt cho # e/ NÕu sè d chia a cho b ( b>0) r ( < r < b) số d chia an ( n>1) cho b lµ sè d chia rn cho b ( Sè d nµy b»ng rn nÕu rn < b) VD: CMR nÕu n không chia hết cho n3 +1 n3 - chia hết cho Giải: Vì n không chia hết n có dạng n = 7k ± 1; n = 7k ± hc n= 7k ± +/ Víi n = 7k ± => n3 = 7p ± +/ n = 7k ± => n3 = 7q ± = ( q ± 1) ± +/ n= 7k ± => n3 = 7r ± 27 = 7( r ± 4) ± Trong mäi trêng hỵp n3 +1 n3 - bội # Ngoài để c/m chia hết hay không chia hết ta sử dụng đẳng thức, đẳng thức mở rộng , p2 quy nạp, đồng d v.v II/ Bµi tËp A/ CÁC DẠNG TỐN CHỨNG MINH CHIA HẾT Dạng 1: Sử dụng tính chất “ Trong n số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n, n Bài 1: CMR a/ Tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho b/ Tích bốn số nguyên liên tiếp chia hết cho 24 c/ Tích năm số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 d/ Tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48 e/ Tích sáu số nguyên liên tiếp chia hết cho 720 Giải a/ Ta có = 2.3 ( 2,3) =1 1” Trong ba số nguyên liên tiếp có số chia hết cho 2, số chia hết tích chúng chia hết cho # b/ Ta có 24 = 23 =8.3 (3,8) =1 Trong bốn số nguyên liên tiếp có số chia hết cho 3, có hai số chẵn liên tiếp tích chúng chia hết cho (VD) =>TÝch sã nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 24 c/ Ta cã 120 = 3.5.8 Trong sè nguyªn liªn tiÕp cã mét sè chia hÕt cho 3, mét sè chia hÕt cho nªn tÝch cđa chóng chia hÕt cho 3.5 Ta c/m số nguyên liên tiếp có hai số chẵn liên tiÕp nªn tÝch chia hÕt cho ThËt vËy , giả sử số a, a+1, a+2, a+3, a+4 - Nếu a chẵn a a+2 hai số chẵn liên tiếp - Nếu a lẻ a+1 a+3 hai số chẵn liên tiếp Do tích năm số nguyên liên tiếp chia hết cho 3.5.8 = 120 d/ Gọi ba số chẵn liên tiếp 2n, 2n+2, 2n+ Tích ba só A(n) = 2n (2n+2) ( 2n + 4) = 2n ( n+1) 2.( n+2) = 8.n.( n +1).( n+2) n.( n +1).( n+2) tích ba số nguyên liên tiÕp chia hÕt cho => A(n) ⋮ 8.6 = 48 # e/ T¬ng tù ta cã 720 = 24 32 = 5.9.16 = 3.5.48 Trong sè nguyªn liªn tiÕp cã mét sè chia hÕt cho 3, mét sè chia hÕt cho Trong sè nguyªn liên tiếp chắn có ba số chẵn liên tiếp ( C/m nh phần c) nên tích chia hết cho 48 ( d ) VËy tích sáu số nguyên liên tiếp chia hết cho 3.5.48 = 720 # Bµi 2: CMR víi mäi m,n Z ta cã: a, n3 + 11n ⋮ d, n2 ( n2 -1) ⋮ 12 2 b, mn.( m - n ) ⋮ e, n ( n4 -1) ⋮ 60 c, n.( n+1).(2n + 1) ⋮ g, mn ( m4 – n4 ) ⋮ 30 Gi¶i: a, Ta cã n3 + 11n = n3 – n + 12n = n ( n2 -1) + 12n = ( n- 1).n ( n+1) + 12n DÔ thÊy 12n ⋮ ( n- 1).n ( n+1) tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hÕt cho vËy n3 + 11n ⋮ # b, Ta cã mn.( m2 – n2) = mn [( m2 −1)−(n −1) ] =mn ( m2 - 1) – mn ( n2 -1) = n.( m-1).m.( m+1) – m ( n-1) n ( n+1) (TÝch ba sè nguyªn lt ⋮ 3) (TÝch ba sè nguyªn lt ⋮ 3) c, Ta cã VËy mn.( m2 - n2) ⋮ # n.( n+1).(2n + 1) = n.(n+1).( n - 1+ n + ) = n.( n + ) ( n – ) + n ( n + ).( n + ) (TÝch ba sè nguyªn lt ⋮ 6) (TÝch ba sè nguyªn lt VËy n.( n+1).(2n + 1) ⋮ # ⋮ 6) d, Ta cã n2 ( n2 -1) = n2 ( n – 1).( n +1) = ( n-1).n (n+1) n Mµ ( n-1).n (n+1) ⋮ n2 ( n2 -1 ) ⋮ vµ ( 3,4) =1 => n2 ( n2 -1) ⋮ 12# e, Ta cã n2 ( n4 -1) = n2 ( n2 – 1).( n2 +1) = ( n -1).n.(n+1).n ( n2 + 1) = ( n -1).n.(n+1).n.( n2 - +5) = ( n -1).n.(n+1).n.( n2 – 4) +( n -1).n.(n+1).n.5 =( n-2).( n -1).n.(n+1).( n+2).n + 5( n -1).n.(n+1).n (TÝch ba sè nguyªn lt ⋮ 3) (TÝch ba sè nguyªn lt ⋮ 3) (TÝch số nguyên lt (Tích năm số nguyên lt Vậy n2 ( n4 -1) ⋮ 60 # ⋮ 4) (TÝch cã n2 ( n2 -1 ⋮ 4) ⋮ 5) (TÝch cã chøa thõa sè ⋮ 5) g, Ta cã mn ( m4 – n4 ) = mn ( m4 – 1- n4 +1) =mn [(m4 − 1)−(n4 −1) ] = mn.(m4-1)- mn.(n4 -1) = (m-1).m.(m+1).(m +1).n – (n-1).n.(n+1).( n2+1).m = (m-1).m.(m+1).n.( m2- +5) - (n-1).n.(n+1).m( n2-4+5) = (m-2).(m-1).m.(m+1).( m+2) n +5.(m-1).m.(m+1).n –(n-2).(n-1).n.(n+1) (n+2)m +5.(n-1).n.(n+1).m Ta cã (m-2).(m-1).m.(m+1).( m+2) n ⋮ 2; ⋮ ; ⋮ 5.(m-1).m.(m+1).n ⋮ 2; ⋮ ; ⋮ => (m-2).(m-1).m.(m+1).( m+2) n +5.(m-1).m.(m+1).n ⋮ 30 (*) T¬ng tù (n-2).(n-1).n.(n+1).(n+2)m ⋮ 2; ⋮ ; ⋮ 5.(n-1).n.(n+1).m ⋮ 2; ⋮ ; ⋮ => (n-2).(n-1).n.(n+1).(n+2) m +5.(n-1).n.(n+1).m ⋮ 30 (**) Tõ (*) vµ(**) => mn ( m4 – n4 ) ⋮ 30 Bµi 3: a, Cho a,b lµ hai sè lẻ không chia hết cho CMR a2 b2 24 b, CMR n n5 có chữ số tËn cïng gièng Gi¶i a, Ta cã a2 – b2 = a2 - – b2 + = ( a2 – 1) – ( b2 – 1) = ( a-1).( a +1) – ( b -1).( b + 1) Vì a, b số lẻ => (a-1)(a+1) vµ ( b -1).( b + 1) lµ tÝch cđa hai số chẵn liên tiếp => (a-1).(a+1) ( b -1).( b + 1) (1) Mặt khác (a-1); a; (a+1) ba số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho 3, mà a không chia hết (a-1) (a+1) chia hết cho 3=> (a-1).(a+1) ⋮ Chøng minh t¬ng tù víi ( b -1); b;( b + 1) ta còng cã ( b -1).( b + 1) ⋮ (2) V× ( 3,8) =1 nên từ (1) và(2) suy a2 b2 24 # b, Để CM n n5 cã ch÷ sè tËn cïng gièng ta CM hiÖu n5 – n ⋮ 10 Ta cã n5 – n = n.( n4 -1) = n.( n2 -1).(n2 +1) = n.( n2 -1) [(n2 − 4)+5 ] = n.( n2 -1)( n2 -4) + 5n.( n2 -1) =(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 5(n-1)n(n+1) (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) tích số nguyên lt nên chia hÕt cho2.5=10 vµ 5(n-1)n(n+1) chia hÕt cho 10 VËy n5 – n ⋮ 10 Hay n vµ n5 cã chữ số tận giống # Bài a/ CMR A= n + n + n số nguyên với n 15 Z n n n số nguyên + + 12 24 c/ CMR C = n + n + n + n + n số nguyên với n Z 120 12 24 12 d/ CMR D = n − n +13 n − 82n + 32n số nguyên với n 630 21 30 63 35 b/ CM với n chẵn B = Giải a/ Ta có Do 7n = 15 n n −5 n = n 15 15 5 n n 7n = n −n n −n + + + +n 15 n n − Ta cã n5 – n = n.( n4 -1) = n.( n2 -1).(n2 +1) = n.( n2 -1) [(n2 − 4)+5 ] = n.( n2 -1)( n2 -4) + 5n.( n2 -1) =(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) + (n-1) n (n+1) Z (Tích năm số nguyªn lt 5) ⋮ 5) (TÝch cã chøa thõa sè ⋮ => n5 – n ⋮ (1) L¹i cã n3 –n = n.( n2 -1) = (n-1) n.(n +1) tích ba số nguyên liên tiếp => n3 –n ⋮ (2) Tõ (1) vµ(2) => A= n + n + n lµ số nguyên với n b/ Vì n ch½n (gt) => n = 2k ( k B= 3 k k k + + 1+3 k +2 k k (¿¿ 6) ¿ = = # Z) ta cã: n n n + + 12 24 Z 15 = k +3 k +2 k = k (k +1).(2 k +1) Mặt khác ta có: k.(k+1).(2k+1) =k.( k + ).( k + + k - 1) = k.( k +1 ).( k + ) + ( k - 1).k.( k + ) (TÝch ba sè nguyªn lt ⋮ 6) (TÝch ba sè nguyªn lt ⋮ 6) => k.(k+1).(2k+1) ⋮ Hay víi mäi n ch½n th× B = n n2 n3 + + 12 24 số nguyên n5 n4 n3 n2 n = n5+ 10 n4 +35 n3 +50 n2 +24 n + + + + 120 12 24 12 120 c/ Ta cã C = XÐt tö: n5 + 10n4 + 35n3 + 50n2 + 24n = ( n +6n4 + 11n3 + 6n2 ) + ( 4n4 +24n3 + 44n2 + 24n) = n.( n4 + 6n3 + 11n2 + 6n) + 4( n4 + 6n3 + 11n2 + 6n) = ( n4 + 6n3 + 11n2 + 6n).( n + ) n +5 n¿ = ( n + ) ¿ (n + n )+¿ ¿ = n.( n+1).( n2 + 5n + 6).( n+4) = n.(n+1).(n+2).( n+3).(n+4) Ta cã n.(n+1).(n+2).( n+3).(n+4) tích số nguyên liên tiếp chia hÕt cho 120 ( BT1) Do ®ã C = n n 7n 5n n + + + + 120 12 24 12 lµ sè nguyªn víi mäi n Z n9 n7 13 n5 82n 32n − + − + 630 21 30 63 35 = (n9 – 30n7 + 273n5 – 820n3 + 576n) 630 d/ Ta cã : D = [ n4 ( n5 − n3+ n)−25 n2 ( n5 − n3+ n)+144 (n5 −5 n3 +4 n) ] 630 = (n5 -5n3 + 4n).( n4 – 25n2 + 144) 630 = [ n3 (n2 −1)− n (n −1)] [ n2 (n2 −16)− (n2 −16)] 630 = ( n2 -1).n.( n2 -22) ( n2 -32).( n2 – 42 ) 630 = # = (n-4).(n-3).(n-2).(n-1).n.(n+1).(n+2).(n+3).(n+4) 630 Ta có (n-4).(n-3).(n-2).(n-1).n.(n+1).(n+2).(n+3).(n+4) tích số nguyên liªn tiÕp chia hÕt cho 2.5.7.9 = 630 VËy D= n9 n7 13 n5 82n 32n số nguyên víi mäi n − + − + 630 21 30 63 35 Z # Bµi a, CMR ax2 + bx + c số nguyên với x nguyên 2a, a+b c sè nguyªn b, CMR ax3 + bx2 + cx + d số nguyên với x nguyên 6a, 2b, a+b+c d số nguyên Giải a/ Ta có ax2 + bx + c = ax2 – ax + bx + ax + c = a( x2 – x) + ( a+b) x + c = 2a x − x +( a+b) x + c = 2a x (x − 1) + (a+b)x + c 2 (*) Ta c/m chiỊu => Gi¶ sử ax2 + bx + c số nguyên với mäi x nguyªn ta c/m cho 2a, (a+b) , c nguyên Thay x = vào (*) ta có c Z tõ ®ã suy 2a x ( x − 1) + (a+b)x (**) số nguyên với x nguyên Thay x=1 vao(**) (a+b) nguyên => 2a x ( x − 1) (***) nguyªn víi mäi x Z Cuèi cïng thay x =2 vµo(***) ta cã 2a Z VËy 2a, (a+b), c Z C/m chiÒu x ( x − 1) Z => 2a x ( x − 1) Z (1) Tõ (a+b) Z, x Z => ( a + b )x Z (2) vµ c Z (3) Tõ (1),(2) vµ (3) => ax2 + bx + c số nguyên với mäi x nguyªn # VËy ax2 + bx + c số nguyên với x nguyên 2a, a+b c số nguyên b/ Ta cã ax3 + bx2 + cx + d = ax3 + bx2 + cx + d – ax + ax– bx+ bx = a( x3 – x) + b(x2 – x) + (a + b + c)x + d = 6a x − x + 2b x − x + ( a + b + c)x + d (1’) C/m ⇒ Gi¶ sư ax3 + bx2 + cx + d nguyªn víi mäi x nguyªn, ta cần c/m 6a, 2b, (a+b+c), d số nguyên Thay x = vào (1) ta có d Z tõ ®ã suy 6a x − x + 2b x − x + ( a + b + c)x Thay x = vµo (2’) ta cã ( a+b+c) Z Z víi mäi x Z (2’) (3’) => 6a x − x + 2b x − x Z víi mäi x Z Thay x=2 vµo (3’) ta cã 2b Z vµ 6a Z víi mäi x Z (4’) Tõ (1’),(2’), (3’) vµ (4’) ta cã 6a, 2b, (a+b+c), d lµ số nguyên C/m : Giả sử 6a, 2b, (a+b+c), d Z Tõ 6a Z vµ x3 –x = x.( x2 – 1) = ( x – 1).x.( x + 1) tích ba số nguyên liên tiÕp chia hÕt cho => x − x (1*) Tõ 2b cho => Z ,do ®ã 6a x − x Z Z vµ x2 – x = x.( x-1) tích hai số nguyên liªn tiÕp chia hÕt x2 − x 2 Z, 2b x x Z (2*) Lại cã ( a+b+c) Z => ( a+b+c).x Z vµ d Z (3*) Tõ (1*),(2*) vµ (3*) => ax3 + bx2 + cx + d số nguyên với x nguyªn # VËy ax3 + bx2 + cx + d số nguyên với x nguyên 6a, 2b, a+b+c d số nguyên _