Dap an Toan vao 10 Ha Noi 2009

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Năm học 2009 - 2010 Mơn thi: Tốn Ngày thi: 24 tháng năm 2009 Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài I (2,5 điểm) A x 1   x x x  với x  x  Cho biểu thức: 1) Rút gọn A 2) Tính giá trị A x = 25 3) Tìm x để A  Bài II (2,5 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Hai tổ sản xuất may loại áo Nếu tổ thứ may ngày, tổ thứ hai may ngày hai tổ may 1310 áo.Biết ngày tổ thứ may nhiều tổ thứ hai 10 áo Hỏi tổ ngày may áo? Bài III (1,0 điểm) Cho phương trình (ẩn x): x2 – 2(m+1)x + m2 + = 1) Giải phương trình cho m = 2) Tìm giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn: x12  x22 10 Bài IV (3,5 điểm) Cho (O;R) điểm A nằm bên ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) 1) Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp 2) Gọi E giao điểm BC OA Chứng minh BE vng góc với OA OE.OA = R2 3) Trên cung nhỏ BC (O;R) lấy điểm K (K khác B C) Tiếp tuyến K (O;R) cắt AB, AC theo thứ tự P Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi khơng đổi K chuyển động cung nhỏ BC 4) Đường thẳng qua O vng góc với OA cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự M, N Chứng minh PM + QN  MN Bài V (0,5 điểm) Giải phương trình x2  1  x  x   2x  x  2x  4   HÕt -Họ tên thí sinh: Sè b¸o danh Chữ ký giám thị số 1: Chữ ký giám thị số 2: P ÁN ĐỀ THI MƠN TỐN VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM 2009 Người giải đề: Thầy giáo Nguyễn Cao Cường Giáo viên mơn Tốn - Trường THCS Thái Thịnh Quận Đống Đa – Hà Nội =======*****====== Bài I x 1   x x x 2 x 1 A   x x 2 x x 2 A     x  2   x   x    x  x  2 x A   x   x   x  A x   x 2  x2 x x  x 2  Tính giá trị A x = 25 A Với x = 25 ta có Tìm x để A  25  25  3 x   x  x  x 1  x 2  x   x  (tmdk ) Khi A  Bài II  Giải cách lập phương trình: * Gọi số áo tổ may ngày x ( x  N ; áo/ngày) Số áo tổ may ngày x + 10 (áo) ngày tổ thứ may 3(x +10) (áo) ngày tổ thứ may 5x (áo) Tổ may ngày tổ may ngày 1310 áo nên ta có pt: 3(x+10) + 5x = 1310  3x+30+5x=1310  8x 1310  30  8x 1280  x 160(tmdk ) Vậy ngày tổ may 160 + 10 = 170 áo Mỗi ngày tổ may 160 áo Cách 2:Học sinh làm theo nhiều cách khác nhau: chẳng hạn giải cách lập hệ pt: * Gọi số áo tổ may ngày x ( x  N ; áo/ngày) y N* Số áo tổ may ngày y ( ; áo/ngày) ngày tổ thứ may 3x (áo) ngày tổ thứ may 5y (áo) Vì tổ thứ may ngày, tổ thứ hai may ngày hai tổ may 1310 áo nên ta có pt: 3x + 5y = 1310 Mỗi ngày tổ may nhiều tổ 10 áo nên ta có pt: x – y = 10 Ta có hệ pt: 3x  y 1310   x  y 10 Giải hệ ta x = 170; y= 160 Bài III Cho phương trình (ẩn x): x2 – 2(m+1)x + m2 + = 1)Giải phương trình cho m = Khi m = Phương trình x  4x  0 Vì + (-4) + = 0, theo hệ thức Vi-ét pt có hai nghiệm phân biệt: x1 1; x2 3 2)Tìm giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm x 1; x2 thoả mãn: x12  x22 10 x2 – 2(m+1)x + m2 + = (1) *) Pt có hai nghiệm  Δ ' 0  (m  1)  (m  2) 0  m  2m   m  0  2m  0  m  *) Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1) ta có:  x1  x2 2(m  1)   x1.x2 m  Ta có x12  x22 10   x1  x2   2x1 x2 10   2(m  1)   2(m  2) 10  4( m  2m  1)  2m   10 0  4m  8m   2m  14 0  2m  8m  10 0  m 1 (tmdk )   m  (không tmđk) Vy vi m = tho yờu cầu đề Bài IV M B P K A O E Q C N 1) Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp Xét (O): ABOB (AB tiếp tuyến (O))  góc OBA = 90o Chứng minh tương tự: góc OCA = 90o  góc OBA +góc OCA = 180o Xét tứ giác ABOC: góc OBA +góc OCA = 180o (cmt) Mà B C hai đỉnh đối tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt) 2)Gọi E giao điểm BC OA Chứng minh BE vng góc với OA OE.OA = R2 Ta có AB, AC hai tiếp tuyến (O)  AB = AC AO phân giác góc BAC (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) ABC tam giác cân A (dhnb tam giác cân) Mà AO phân giác góc BAC (cmt)  AOBC (t/c tam giác cân) AOBE Xét tam giác OBA vuông B: AOBE (cmt) OE.OA=OB2 (hệ thức lượng tam giác vuông) OE.OA=R2 3)Trên cung nhỏ BC (O;R) lấy điểm K (K khác B C) Tiếp tuyến K (O;R) cắt AB, AC theo thứ tự P Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi K chuyển động cung nhỏ BC Xét (O): PB, PK hai tiếp tuyến (O) (gt) PK = PB (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) Chứng minh tương tự QK = QC Ta có chu vi tam giác APQ = AP + AQ + PQ = AP + AQ + PK + KQ Mà PK = PB; KQ = QC (cmt) Chu vi tam giác APQ = AP + AQ + PB + QC = AP + PB + AQ + QC Chu vi tam giác APQ = AB + AC Mà A, (O) cố đinh  Tiếp tuyến AB, AC cố định AB, AC không đổi Chu vi tam giác APQ = AB + AC không đổi K di chuyển cung BC nhỏ 4)Đường thẳng qua O vng góc với OA cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự M, N Chứng minh PM + QN  MN 4 +) Chứng minh được: AMN cân A  góc M = góc N (tc tam giác cân)  góc A + góc M1 = 180o (*) Ta có góc A + góc BOC = 180o (tứ giác OBAC tgnt) Chứng minh góc BOC = góc POQ  góc A + 2góc POQ = 180 o (**) Từ (*) (**) ta có góc M1 = góc POQ Ta có góc PON góc ngồi MOP  góc PON = góc P1 + góc M1 góc POQ + góc O1 = góc P1 + góc M1 Mà góc M1 = góc POQ (cmt) góc O1 = góc P1 Xét ONQ PMO: gócM1 = gócN1 (cmt) gócO1 = gócP1 (cmt) ONQ đồng dạng với PMO NQ ON  MO PM (đn tam giác đồng dạng)  PM.NQ = OM.ON = OM2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số PM>0 PN >0 ta có: PM  PN 2 PM PN  PM  PN 2 OM  PM  PN 2OM  PM  PN MN Câu V Giải phương trình x2  1  x  x   2x  x  2x  4    x2  1    x     x (2x  1)  ( 2x  1)  2   x2  1  x    (2x  1)( x  1)  2   1  1   x    x    x   x   x         1   x   x  0  x   Điều kiện:    Phương trình tương đương:   1  1  1   x    x     x    x   x           1     x    x     x   x        1 1 1  1     x    x   x    x    x   x                1 1     x   x   0   x   x 0 2 2     x  0 x      (tm®k)    x 0  x 0      S   ;     