On thi tuyen 10 Toan

Sở giáo dục- đào tạo Nam Định Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong Năm học 1998 1999 Môn : Toán ( Đề chung ) Thêi gian lµm bµi : 120 Ngµy thi -7 - 1998 Đề thức Bài1.(1 điểm) Giải phơng trình: 0,5 x4 + x2 1,5 = Bài 2.(1,5 điểm) Đặt M = 57+40 vµ N = √ 57− 40 √ Chøng tá r»ng: 1, M – N = 10 2, M3 – N3 = 1210 Bài 3.(2,5 điểm) Cho phơng trình: x2 – px + q = ( p ) a, Nếu 2p2 9q = phơng trình cã nghiƯm vµ nghiƯm Êy cã nghiệm gấp đôi nghiệm b, Nếu phơng trình có nghiệm nghiệm gấp đôi nghiệm 2p2 9q = Bài 4.(3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông đỉnh A Gọi H chân đờng vuông góc kẻ từ đỉnh A xuống cạnh huyền BC Đờng tròn (A;AH) cắt cạnh AB AC lần lợt M N Đờng phân giác góc AHB góc AHC cắt đoạn thẳng MN lần lợt I K a, Chứng minh tứ giác HKNC nội tiếp đợc đờng tròn b, Chứng minh: HI = HK AB AC c, Gäi S S/ lần lợt điện tích tam giác ABC vµ AMN Chøng minh r»ng: S 2S/ Bµi 5.(1,5 điểm) Tìm tất giá trị x ®Ó biÓu thøc F = √ x − x Đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn ấy? Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong Sở giáo dục- đào tạo Nam Định Năm học 1999 2000 Môn : Toán ( Đề chung ) Thêi gian lµm bµi : 120 Ngµy thi 12 - - 1999 Đề thức Bài 1.(2 ®iĨm) Cho biĨu thøc: N= a b a+b + − √ ab+b √ ab −a √ ab ( Víi a, b > 0, vµ a 1, Rót gän N 2, Tính giá trị N biết a = 6+2 √5 b) vµ b = √ −2 √ Bài 2.(2,5 điểm) Cho phơng trình: x4 2mx2 + m2 = 1, Giải phơng trình m = 2, Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt Bài (1,5 điểm) Trên hệ trục toạ độ Oxy cho điểm A (2;-3) Parabol (P) có phơng trình là: y = - x2 ( P ) 1,ViÕt ph¬ng trình đờng thẳng có hệ số góc k ®i qua ®iÓm A(2;3) 2,Chøng minh r»ng: BÊt cø ®êng thẳng qua A(2;-3) không song song với trơc tung bao giê cịng c¾t Parabol ( P ) điểm phân biệt Bài 4.(4 điểm) Cho đờng tròn (O;R) đờng thẳng ( d ) cắt đờng tròn(O;R) điểm phân biệt A B Từ điểm M đờng thẳng ( d ) đờng tròn (O;R) kẻ tiếp tuyến MP MQ đến đờng tròn (O; R), P Q tiếp điểm 1, Gọi I giao điểm MO với đờng tròn(O;R) Chứng minh I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MPQ 2, Xác định vị trí điểm M đờng thẳng (d) cho tứ giác MPOQ hình vuông 3, Chứng minh M di chuyển đờng thẳng ( d ) tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MPQ thuộc đờng thẳng cố định Sở giáo dục- đào tạo Nam Định Đề thức Bài 1.( 2,5 điểm ) §Ị thi tun sinh líp 10 Trêng THPT chuyªn Lª Hồng Phong Năm học 2000 2001 Môn : Toán ( Đề chung ) Thời gian làm : 150 Ngµy thi - - 2000 Cho biĨu thøc: T = x+ + √ x +1 − √ x +1 Víi x > vµ x x √ x −1 x + √ x+ x − 1, Rót gän biĨu thøc T 2, Chøng minh với x > x cã T < Bµi (2,5 điểm) Cho phơng trình: x2 2mx + m2 - = (1) 1, Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm nghiệm phơng trình có giá trị tuyệt đối 2, Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm nghiệm số đo cạnh góc vuông tam giác vuông có cạnh huyền Bài 3.(1điểm) Trên hệ trục toạ độ Oxy cho Parabol có phơng trình y = x2 Viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y = 3x +12 có với Parabol (P) điểm Bài 4.(4điểm) Cho ®êng trßn (O;R) ®êng kÝnh AB = 2R Mét ®iĨm M chuyển động đờng tròn (O;R), ( M A,B ) Gọi H hình chiếu vuông góc M đờng kính AB Vẽ đờng tròn ( T ) có tâm M có bán kính MH Từ A B lần lợt kẻ tiếp tuyến AD BC đến đờng tròn ( T ), ( D C tiếp điểm ) 1, Chứng minh M di chuyển đờng tròn ( O ) AD + BC có giá trị không đổi 2, Chứng minh đờng thẳng CD tiếp tuyến đờng tròn ( O) 3, Chứng minh với vị trí M đờng tròn ( O ) có bất đẳng thức AD.BC R2 Xác định vị trí M đờng tròn ( O ) để xẩy dấu = 4, Trên đờng tròn (O) lấy điểm N cố định Gọi I trung điểm MN P hình chiếu vuông góc I MB Khi điểm M di chuyển tên đờng tròn (O) điểm P chạy đờng ? Sở giáo dục- đào tạo Nam Định §Ị thi tun sinh líp 10 Trêng THPT chuyªn Lª Hồng Phong Năm học 2001 2002 Môn : Toán ( Đề chung ) Thời gian làm : 150 phút Ngày thi - - 2000 Đề thức Bài ( điểm) Cho hệ phơng trình: ¿ x+ ay=2 ax − y =1 ¿{ ¿ ( x, y lµ Èn, a lµ tham sè ) 1, Giải hệ phơng trình 2, Tìm số nguyên a lớn để hệ phơng trình có nghiệm (x0;y0) thoả mÃn bất đẳng thức x0.y0 < Bài 2(1,5 điểm) 1, Lập phơng trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiện là: 4 x1 = x2 = 3+ √ − √5 4 4 2, TÝnh: P = + 3+ √ 5 Bài ( điểm ) Tìm m để phơng trình : x2 2x - |x 1| + m = Có hai nghiệm phân biệt Bài ( điểm ) Giả sử x, y số thoả mÃnđẳng thức : ( ) ( ) ( √ x 2+5+ x ) ( y +5+ y ) =5 Tính giá trị cđa biĨu thøc M = x + y Bµi 5( 3,5 điểm ) Cho tứ giác ABCD có AB = AD vµ CB = CD 1, Chøng minh r»ng: a, Tứ giác ABCD ngoại tiếp đợc đờng tròn b, Tứ giác ABCD nội tiếp đợc đờng tròn AB BC vuông góc với 2, Giả sử AB vuông góc với BC Gọi (N;r) đờng tròn nội tiếp (M;R) đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Chứng minh: a, AB + BC = r + √ r 2+ R2 b, MN2 = R2 + r - r r 2+ R2 Sở giáo dục- đào tạo Nam Định Đề thức Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong Năm học 2002 2003 Môn : Toán ( Đề chung ) Thời gian lµm bµi : 150 Ngµy thi - - 2002 Bài 1( điểm) 1, Chứng minh với giá trị dơng n ta cã: 2, TÝnh tæng: S= 1 = − (n+1) √n+ n √ n+1 √ n √ n+1 1 1 + + + 2+ √ √2+ √ √ 3+3 √ 100 99+ 99 100 Bài 2( 1,5 điểm) Tìm đờng thẳng y = x + điểm có toạ độ thoả mÃn đẳng thức: y − y √ x+ x=0 Bµi (1,5điểm) Cho hai phơng trình sau: x2 (2m 3)x +6 = 2x2 + x + m – = ( x lµ Èn, m lµ tham sè ) Tìm m để hai phơng trình đà cho có ®óng mét nghiƯm chung Bµi (4 ®iĨm) Cho đờng tròn (O;R) với hai đờng kính AB MN Tiếp tuyến với đờng tròn (O) A cắt đờng thẳng BMvà BN tơng ứng M1, N1 Gọi P trung điểm AM1, Q trung ®iĨm cđa AN1 1, Chøng minh tø gi¸c MM1NN1 néi tiếp đợc đờng tròn 2, Nếu M1N1 = 4R tứ giác PMNQ hình ? Chứng minh ? 3, Đờng kính AB cố định , tìm tập hợp tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác BPQ đờng kính MN thay đổi Bài (1 điểm ) Cho đờng tròn (O;R) hai điểm A,B nằm phía đờng tròn (O) với OA = 2R Xác định vị trí điểm M đờng tròn (O) cho biÓu thøc: P = MA + 2MB Đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Sở giáo dục- đào tạo Nam Định Đề thức Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong Năm học 2003 2004 Môn : Toán ( Đề chung ) Thời gian làm : 150 Ngµy thi - - 2003 Bµi (1,5 điểm) Cho phơng trình x2 2(m + 1).x + m2 = víi x lµ Èn, m số cho trớc 1, Giải phơng trình đà cho m = 2, Tìm m để phơng trình đà cho có nghiệm dơng x1, x2 phân biệt thoả mÃnđiều kiện: x 21 x 22=4 Bài (2,0 điểm) x= y +2 Cho hệ phơng trình xy +a 2=1 { x, y ẩn, a số cho trớc 1, Giải hệ phơng trình đà cho với a = 2003 2,Tìm giá trị a để hệ phơng trình đà cho có nghiệm Bài (2,5 điểm) Cho phơng trình x −5+ √ − x=m víi x lµ Èn, m số cho trớc 1, Giải phơng trình đà cho với m = 2, Giả sử phơng trình ®· cho cã nghiƯm lµ x = a Chøng minh phơng trình có nghiệm x = 14 a 3, Tìm tất giá trị m để phơng trình đà cho có ®óng mét nghiƯm Bµi (2,0 ®iĨm) Cho hai ®êng tròn (O) (O') có bán kính theo thứ tự R R ' cắt hai điểm A B 1,Một tiếp tuyến chung hai đờng tròn tiếp xúc với (O) (O') lần lợt C vµ D Gäi H vµ K theo thø tù giao điểm AB với OO ' CD Chøng minh r»ng: a- AK lµ trung tun cđa tam giác ACD b- B trọng tâm tam giác ACD vµ chØ OO ' = √ ( R+ R ' ) 2, Mét c¸t tuyÕn di động qua A cắt (O) (O ') lần lợt E F cho A nằm đoạn EF Xác định vị trí cát tuyến EF để diện tích tam giác BEF đạt giá trị lớn Bài 5.(2 điểm ) Cho tam giác nhọn ABC Gọi D trung điểm cạnh BC, M điểm tuỳ ý cạnh AB ( không trùng với đỉnh A B ) Gọi H giao điểm đoạn thẳng AD CM Chứng minh tứ giác BMHD nội tiếp đợc đờng tròn có bất đẳng thức BC< AC Sở giáo dục- đào tạo Nam Định Đề thức Bài 1( 2,0 điểm) Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong Năm học 2004 2005 Môn : Toán ( Đề chung ) Thời gian lµm bµi : 150 Ngµy thi - - 2004 Rót gän biĨu thøc sau: 1, 2, m− n m+ n+2 √ mn + √ m− √n √ m+ √ n 2 a b −ab √ a − √ b Q= : ab √ a+ √ b P= Bài ( 1,0 điểm ) Giải phơng trình : với m 0, n m n víi a > 0, b > √ − x+ x 2=2 Bài ( điểm) Cho đờng thẳng : (d1) : y = 2x + (d2) : y = - x + (d3) : y = mx ( m lµ tham sè ) 1,Tìm toạ độ giao điểm A, B, C theo thø tù cđa (d 1) víi (d2); ( d1) víi trục hoành (d2) với trục hoành 2,Tìm tất giá trị m cho (d3) cắt hai đờng thẳng (d1), (d2) 3, Tìm tất giá trị m cho (d3) cắt tia AB AC Bài ( 3,0 điểm ) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn ( O ) D điểm nằm cung BC không chứa điểm A Trên tia AD ta lấy điểm E cho AE = DC 1, Chøng minh tam giác ABE tam giác CBD 2, Xác dịnh vị trÝ cđa D cho tỉng DA + DB + DC lớn Bài ( 1,0 điểm ) x+ y =1 Tìm x, y dơng thoả mÃn hệ 8(x + y )+ =5 xy ¿{ Sở giáo dục- đào tạo Nam Định Đề thức Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong Năm học 1998 1999 Môn : Toán ( Đề chuyên ) Thời gian làm : 150 phút Không kể thời gian giao đề Bài 1( điểm) Cho hệ phơng trình: mx y= m (1− m2) x+2 my=1+m2 ¿{ ¿ a,Chøng minh hƯ ph¬ng trình có nghiệm với giá trị m b, Gọi (x0,y0) nghiệm hệ phơng trình Chứng minh với giá trị m có: (x0)2 + (y0)2 = Bài (2,5 điểm) Gọi u v nghiệm phơng trình x2 + px + = Gọi r s nghiệm phơng trình x2 + qx + = p q số nguyên a, Chøng minh A = (u – r)(v – r)(u + s)(v + s) số nguyên b, Tìm điều kiện p q để A chia hết cho Bài (2 diểm) Cho phơng trình ( ẩn x ): ( x2 + bx + c )2 + b( x2 + bx + c ) + c = (*) Nếu phơng trình (*) vô nghiệm, chứng minh c số dơng Bài (1,5 điểm) Cho hình vuông ABCD với O giao điểm hai đờng chéo AC BD Đờng thẳng (d) thay đổi qua điểm O, cắt cạnh AD BC tơng ứng M N Qua M N vẽ đờng thẳng Mx Ny tơng ứng song song với BD AC Các đờng thẳng Mx Ny cắt I Chứng minh đờng thẳng qua I vuông góc với đờng thẳng (d) qua điểm cố định Bài (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H Phía tam giác ABC lấy điểm M bất kú Chøng minh r»ng: MA.BC + MB.AC + MC.AB HA.BC + HB.AC + HC.AB Sở giáo dục- đào tạo Nam Định Đề thức Bài (1,5 điểm) Đề thi tun sinh líp 10 Trêng THPT chuyªn Lª Hång Phong Năm học 1999 2000 Môn : Toán ( Đề chuyên Toán - Tin ) Thời gian làm : 150 phút Không kể thời gian giao đề x y z + + =1 Víi x, y, z tho¶ m·n: y+z x+z x+ y HÃy tính giá trị biểu thức sau: A= Bài 2.(2 điểm ) Tìm m để phơng trình: 2 x y z + + y+z z+x x+ y x +2 mx +1 =0 x vô nghiệm Bài ( 1.5 điểm ) Chứng minh bất đẳng thức sau : 6+ 6+ 6+ 6+ 30+ 30+ 30+ 30 Chøng minh r»ng : √ a+√ b= √ a+ √ a2 − b a − √ a2 − b + 2 √ 2, Không sử dụng máy tính bảng số, chứng tá r»ng: 2+ √ − √3 29 < + < √ 2+ √2+ √ √ − √ − √ 20 Bµi ( điểm) Giả sử x, y số dơng thoả mÃn đẳng thức: x+ y= 10 Tìm giá trị x y để biểu thức sau: P=( x +1).( y + 1) Đạt giá trị nhỏ nhất.Tìm giá trị nhỏ ấy? Bài ( điểm) Giải hệ phơng trình: x y z + + =0 x− y y− z z −x x y z + + =0 2 ( x − y ) ( y − z ) ( z x )2 { Bài ( 2,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O;R) víi BC = a, AC = b, AB = c LÊy ®iĨm I bÊt kú ë phÝa cđa tam giác ABC gọi x, y, z lần lợt khoảng cách từ I đến cạnh BC, AC, AB cđa tam gi¸c 2 Chøng minh r»ng : √ x+ √ y + √ z ≤ a + b +c 2R Bài ( 1,5 điểm) Cho tập hợp P gồm 10 điểm có số cặp điểm đợc nối với đoạn thẳng Số đoạn thẳng có tập hợp P nối từ điểm A đến điểm khác gọi bậc điểm A Chứng minh tìm đợc điểm tập hợp P có bậc Sở giáo dục- đào tạo Nam Định §Ị chÝnh thøc §Ị thi tun sinh líp 10 Trêng THPT chuyên Lê Hồng Phong Năm học 2003 2004 Môn : Toán ( Đề chuyên Toán - Tin ) Thời gian làm : 150 phút Không kể thời gian giao đề Bài (1,5 điểm) Cho phơng trình x2 + x - = Chøng minh r»ng phơng trình có nghiệm trái dấu Gọi x1 nghiệm âm phơng trình HÃy tính giá trị biÓu thøc: ¿ P=√ x +10 x +13 + x Bài ( điểm) Cho biÓu thøc P=x √ − x + ( x ) 2+ x Tìm giá trị nhỏ lớn nhấtcủa P x Bài ( điểm) a, Chứng minh không tồn số nguyên a, b, c cho a2 + b2 + c2 = 2007 b, Chứng minh không tồn số hữu tỷ x, y, z cho x2 + y2 + z2 + x + 3y + 5z + = Bài ( 2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Vẽ đờng cao AH Gọi (O) vòng tròn ngoại tiếp tam giác AHC Trên cung nhỏ AH vòng tròn (O) lấy điểm M khác A.Trên tiếp tuyến M vòng tròn (O) lấy hai điểm D E cho BD = BE = BA Đờng thẳng BM cắt vòng tròn (O) ®iĨm thø hai N a, Chøng minh r»ng tø gi¸c BDNE néi tiÕp mét vßng trßn b, Chøng minh vßng tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE vòng tròn (O) tiếp xúc với Bài ( điểm) Có n điểm , điểm thẳng hàng Hai điểm đợc nối với đoạn thẳng, đoạn thẳng đợc tô màu xanh, đỏ vàng Biết rằng: có đoạn màu xanh, đoạn màu đỏ đoạn màu vàng; Không có điểm mà đoạn thẳng xuất phát từ có đủ màu tam giác tạo đoạn thẳng đà nối có cạnh màu a, Chứng minh không tồn đoạn thẳng màu xuất phát từ điểm b, HÃy cho biết có nhiều điểm thoả mÃn đề Sở giáo dục- đào tạo Nam Định Đề thức §Ị thi tun sinh líp 10 Trêng THPT chuyªn Lª Hồng Phong Năm học 2004 2005 Môn : Toán ( Đề chuyên ) Thời gian làm : 150 Ngµy thi - - 2004 Bµi 1( điểm) 1- Chứng minh với x thoả m·n: 1≤ x ≤ ta cã: √ 5− x+ x 2- Giải phơng trình: x+ √ x −1=− x2 +2 x+ Bµi (2 điểm) Cho x, y z số dơng tho¶ m·n xy + yz + xz = 1, Chøng minh r»ng: + x2 = (x + y)(x + z ) 2, Tính giá trị biểu thức: ( 1+ y )( 1+ x ) ( 1+ z ) ( 1+ x ) ( 1+ x2 ) ( 1+ y ) P=x √ 1+ x + y √ 1+ y +z 1+ z Bài (3 điểm) Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt A B cho hai tâm O ' O nằm hai phía khác đờng thẳng AB Đờng thẳng (d ) quay quanh B, cắt đờng tròn (O) (O') lần lợt C D ( C khác A, B D khác A, B ) 1, Chứng minh ràng số đo góc ACD, ADC CAD không đổi 2, Xác định vị trí (d) cho đoạn tẳng AD có độ dài lớn 3, Các điểm M, N lần lợt chạy (O) và(O'), ngợc chiều cho góc MOA, NO'A Chứng minh đờng trung trực đoạn thẳng MN qua điểm cố định Bài ( điểm ) Tìm a, b ®Ĩ hƯ sau cã nghiƯm nhÊt ¿ ¿ xyz 2+ z=b ¿ 2 x + y + z 2=4 ¿ xyz + z=a ¿ ¿ ¿ Bài ( điểm ) Cho sè a, b, c tho¶ m·n: ≤ a ≤2 , ≤ b ≤2 , ≤ c ≤ , vµ a + b + c = Chøng minh r»ng: a3 + b3 + c3