TINH HOP PHAP CUA MOT PHEP DAT AN PHU

TÍNH HỢP PHÁP CỦA PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ (Bài giảng luyện thi vào Đai học cao đẳng) Trong kì thi tuyển sinh vào Đại học cao đẳng hay thi tuyển chọn học sinh giỏi thường có câu giải phương trình,bất phương trình hệ phương trình có chứa bậc chẵn 2√n f ( x) với n số tự nhiên lớn Muốn giải ta đặt ẩn phụ t=2√n f (x) Vấn đề đặt đặt ẩn phụ có phải đăt điều kiện f (x)≥0 hay không ?.Nếu không đăt điều kiện phép giải tốn có hợp pháp khơng ? Vấn đề bổ ích cho học sinh làm thi A.Một số ví dụ: Ví du 1:Giải phương trình: x+ √ x − 2=10 (1) (Nguyễn Huy Đoan- Bài tập Đai số 10 nâng cao) Giải:Phương trình (1) ⇔ 3( x −2)+ √3 x −2 −4=0 (*).Đặt t=√ x −2 ≥ ,khi (*) trở thành 3t2+t-4=0.Giải ta có hai nghiệm t1=1 t2= -4/3.Do t ≥ nên lấy t=1.Vậy(*) ⇔ √ x − 2=1 ⇔ x=1 Ví dụ 2:Giải phương trình: x 2+5 − √2 x − x+ 5=2 x , (2) Giải :Phương trình (1) ⇔ x − x +5 −6 √ x − x +5+5=0 Đặt t=√ x − x +5 Khi (2) trở thành :t2-6t+5=0.Giải ta có hai nghiệm:t=1 t=5 +t=1 ⇔ √ x2 − x+5=1 ⇔2 x2 − x+ 4=0 vô nghiệm +t=5 √11 ❑x=1+ x=1 − √ 11 ⇔ √ x2 − x+5=5 ⇔2 x − x − 20=0 ⇔ ¿ Vậy phương trình có hai nghiệm: x=1 ± √ 11 (Nguyễn Huy Đoan- Bài tập nâng cao số chuyên đề Đai số 10) Ví dụ 3:Giải bất phương trình: √ x +5 x+7 − √ x +5 x+2>1 (3) Giải: Đặt t=√ x +5 x+ 2, ,ta có bất phương trình √ t +5 −t >1 ⇔ √ t2 +5>¿ t+1 t +1 ¿2 ¿ t 3+ √7 ¿ Vậy phương trình có nghiệm − √7 ¿ , x >¿ ≤ x 3 , t 3+ √ Ví dụ 4:Giải phương trình sau cách đưa hệ phương trình: Giải: 1) √ x +5 x+2 −2 √ x +5 x −6=1 (1).Đặt u= √2 x +5 x+ 2≥ {❑v=√ x +5 x− ≥0 ta có hệ phương trình: {❑u−u −2vv=1=8 Giải hệ ta 2 {❑u=3 v=1 ⇔ {❑√√ 2 x +5 x +2=3 2 x +5 x −6 =1 ⇔ 2x2+5x-7=0 x=1 x=− √ x+2 − √3 x +1=1 (2) Đặt u= √ x +2 ≥0 , v=√3 x+1 ta có hệ pt: {❑u−u −v=1 v =1 u=0 u =3 Giải hệ ta có nghiệm: {❑u=1 v=0 , {❑v=− , { ❑v=2 u=1 2=1 ⇔ x=− + {❑v=0 ⇔ {❑√√ x+ x+ 1=0 u=0 + {❑v=− ⇔ ⇔ x=− + {❑u=3 v=2 ⇔ ⇔ x=7 Vậy phương trình cnghiệm :x=-1,x=-2,x=7 3) x 2=√ x +2+2 (3) Giải: Đặt y=√ x +2 ⇔ y 2=x +2 ta có hệ pt : 2) 3 x = y+2 y 2=x+2 {❑ Giải hệ ta có nghiệm:x=y=-1,x=y=2, 5− ; −1 x= √ x= − √ 5− y= √ 5− n Phương trình dạng: x =a √n a x+b +b y= √ với n nguyên dương lớn Ta x =a y +b đặt y=√ a x+ b đưa hệ đối xứng loại II {❑ y =a x+b Ví dụ 5:Cho hệ phương trình: − √ y+3=m , m tham số (I) {❑√x=x−y=−4 m 1) Giải hệ phương trình m=-1 2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm Giải: ≥0 Đặt {❑uv==√√ x− y+3 ≥0 ( phải điều kiệ đúng).ta có hệ phương trình: {❑u−u +vv=m=1 −4 m (II) 1) m=-1 có hệ : n n n 2 {❑u−u +vv=−1 =5 2 u=1 −2=1 ⇔ {❑ x=3 Giải hệ ta có nghiệm {❑v=2 ⇔ {❑√√ xy+3=2 y=1 hệ có nghiệm {❑x=3 y=1 u+t =m 2) Đặt t=-v, t ≤ Hệ (II) trở thành : {❑u +t =1 − m ,với u ≥0 ,t ≤ (III) u+t =m m2+ m −1 ut= 2 {❑ z − mz+ u t nghiệm phương trình: m +4 m−1 =9 (*) hệ (I) có nghiệm pt (*) có hai nghiệm z1,z2 thoả mãn z ≤ ≤ z Vậy −2 − √ m≤ −2+ √ ⇔ P= m +4 m−1 ≤0 ⇔ −2 − √ 5≤ m ≤− 2+ √5 BÀI TẬP Bài 1:Giải phương trình: 1) 10 x+11 x −1 −5 x+2 x+2=0 3) (x-3)(x+2)+ √ √ x2 − x − 2=2 2) 4) 1+ x ¿ ¿ 1− x ¿2 ¿ ¿ ¿ √3 ¿ 1 − =3+ 2 x x √ 2− x √ − x x2 +1+ x ¿2 − +2=0 √ 5) √ x +1 − x 6) (x 3+ 1)+( x2 +1)+ x √ x+1=0 ¿ 8) √ x − √ x − 1+ √ x + √ x 2+1=2 x=√ x+1 − √ x − 1+ √ x −1+4 x − 10 x +1 x +1 + √ x +1+1= 9) 10) √ x −2= 4−x x + x +11 √4 − x 2 11) (4 x −1) √ x +1=2( x +1)+2 x+ 12) √ 1+ x −1=3 x +2 √1 − x + √ 1− x 13) x −2( √ x −1+2 y − 1) x +4 y −1=0 7) √ Bài 2: Cho phương trình: 5(x +1)( x −2)− 6(x −2) 1) Giải phương trình m=8 2) Tìm m để phương trìng có nghiệm Bài 3: Giải bất phương trình: 1) 3) 5) 6) 7) 8) √ x +1 =m x −2 , m tham số x − 1+ >3 x +1 x 2 4) √ x +5 x+7 + √ x +5 x+ 2> √ x − √ x − 1+ √ x +√ x −1 ≤2 √ x +7+ √7 x −6+2 √ 49 x +7 x − 42< 181−14 x 1− √ x +4 ¿2 x+1¿2 ≤(3 x+7)¿ 9¿ √ x − x+ 8− √ x ≤ x −2 (HD:Đặt u= √ x , v=x −2 ) x 35 x+ ≥ √ x −1 12 ( x+ 1)(+ 4)