PP luong giac chung minh BDT

Phơng pháp lợng giác để chứng minh bất đẳng thức ®¹i sè LÊ XUÂN ĐẠI (GV Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Trong đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng, gặp nhiều toán chứng minh bất đẳng thức (BĐT) đại số Và tốn thuộc dạng khó với thí sinh Để giúp em có cách nhìn phong phú phương pháp chứng minh BĐT, xin giới thiệu thêm phương pháp lượng giác để chứng minh BĐT đại số mà sở xuất phát chúng bắt nguồn từ BĐT quen biết tam giác Do khuôn khổ viết nên kết BĐT tam giác không chứng minh lại Sau đây, xin đưa số dạng tốn điển hình thể cho phương pháp Dạng 1: Trong BĐT có giả thiết “x,y,z số dương thoả mãn x+y+z= xyz ” Khi tồn tam giác nhọn ABC cho x=tanA; y=tanB; z=tanC   Thật vậy, tồn A , B , C   0;  x  y  z xyz  z    cho x=tanA; y=tanB; z=tanC xy xy   tan C  tan( A  B )  A  B  C  Từ Thí dụ Cho x,y,z số thực dương thoả mãn điều kiện x+y+z=xyz x 1 x Chứng minh x Lời giải Ta có  x  y  1 y z  1 z  3 y tan A sin A  tan A Tương tự Khi BĐT cần chứng minh  sin A  sin B  sin C  1 y z sin B 1 z sin C 3 (đây BĐT tam giác) Bài toán chứng minh Đẳng thức xảy tam giác ABC đều, hay x  y  z   cosA cosA  cosB  cosC   tan A , nên ta có toán * Để ý thêm  x sau: Thí dụ Cho x,y,z số thực dương thoả mãn điều kiện x+y+z=xyz Chứng minh  x  1 y  1 z  Dạng 2: Trong BĐT có giả thiết “x,y,z số dương thoả mãn xy+yz+zx= ” x  tan A B , y tan , z tan C 2 (HS tự chứng minh) Khi tồn tam giác ABC cho Thí dụ Cho số thực dương x,y,z thoả mãn xy+yz+xz=1 Chứng minh x 1 x x Lời giải Ta có  x  y 1 y  z 1 z  y 1 y  z 1 z  3 A B C 3  sin  sin  2 sin 2 (đpcm) x  y z  Đẳng thức xảy Thí dụ Cho x,y,z dương thỏa mãn điều kiện x+y+z=1 xy Chứng minh rằng:  xy  z yz yz  x xy Lời giải Viết lại giả thiết sau: yz Tồn tam giác ABC cho: Lúc x z xz y tan xz  xz  y xy  z  yz x xz  y yz x 1 (*) A xz B xy C ; tan ; tan 2 y z 2C xy tan xy sin C  xyz  xy  z 2C 1 tan 1 z sin A  sin B  sin C  2 2 , ta suy đpcm Cùng với BĐT tam giác Nhận xét: Mấu chốt lời giải đưa giả thiết x+y+z=1 dạng (*) Cùng với ý tưởng ta giải tốn sau: Thí dụ Cho x,y,z dương thỏa mãn điều kiện x+y+z=1 P x y   xyz x  yz y  xz z  xy Tìm giá trị lớn biểu thức Lời giải Với phép đổi biến thí dụ 4, ta biến đổi P sau: xy P Ta có 1 z cos A  cos B  sin C 1  (cos A  cos B  sin C) yz  xz  xy 2 2 1 1 1 x y z cos A  cos B  sin C  sin AB  2cos  2cos C  4cos ABC  4cos   1 Do P 1     3 3  1   Đẳng thức xảy A B, C   2   A B  , C   3 P 1  Dễ thấy x  y 2  3, z 7  Vậy Thí dụ Cho số dương a,b,c thoả mãn điều kiện abc+a+c=b Chứng minh 2 a 1 Lời giải Từ giả thiết suy a tan A ; b tan B ; c tan ac  a b  c b 1 C Khi  10   2 b 1 c 1 , nên tồn tam giác ABC cho P 2cos 2A 2B 2C  2sin  3cos 2 2 C A B 10  C A B 2A B 2C P  3sin  2sin cos    sin  cos 3    cos 2 2    C A B sin  cos 0 A B   C  A  B 10 sin  1 P   cos   a Khi 2 ; b= ; c= 2 2 Dạng 3: Trong BĐT có giả thiết “x,y,z số dương thoả mãn x  y  z  2xyz=1 ” Khi tồn tam giác nhọn ABC cho x cosA; y=cosB; z=cosC (HS tự chứng minh) 2 Thí dụ Cho số dương x,y,z thoả mãn x  y  z  2xyz=1 a) Chứng minh rằng: xy  yz  xz  1 2 P    (x  y  z ) 2 1 x 1 y 1 z b) Tìm giá trị nhỏ Lời giải Tồn tam giác nhọn ABC cho x cosA; y=cosB; z=cosC a) Ta có P b) 3 xy  yz  xz  (x  y  z)  (cos A  cos B  cos C)  (đpcm) 1 2   2  (sin A  sin B  sin C )  sin A sin B sin C 1 2   sin A  sin B  sin C  2 4 sin A sin B sin C Ta có: 13  sin A  P , BĐT tương tự ta suy Áp dụng BĐT cô si: 16sin A 13 P  Đẳng thức xảy x=y=z=1/2 Vậy Dạng 4: Một số dạng giả thiết khác Thí dụ Cho a , b,c  (0;1) Chứng minh rằng: abc  (1  a)(1  b)(1  c)    2 a sin x, b sin y, c sin z; x, y, z   0;   2 Lời giải Đặt Vế trái BĐT trở thành P sin x.sin y.sin z  cos x.cos y.cos z Ta có P  sin x.sin y  cos x.cos y cos(x  y) 1 , suy đpcm Thí dụ Cho a,b,c,d dương thoả mãn  a Chứng minh abcd 3 2  1 b  1 c  1 d Lời giải Đặt a tan x; b  tan y; c tan z; d tan z , 1     2 x, y , z , t   0; 2 2 Giả thiết cho trở thành cos x  cos y  cos z  cos t 1 Áp dụng BĐT Côsi cho số thực dương ta 2 2 23 23 sin x 1  cos x=cos y  cos z  cos t 3( cosy.cosz.cost ) Suy sin x 3( cosy.cosz.cost ) Nhân vế BĐT tương tự ta được: 2 2 (s inx.sin y.sinz.sint ) 3 ( cosx.cosy.cosz.cost )  tan x.tan y.tan z.tan t 3 hay lµ abcd 3 Cuối xin đưa số tập cho bạn luyện tập Bài Cho số thực dương x,y,z thoả mãn x+y+z =xyz Chứng minh (x  1)( y  1)( z  1) 6  10 2 Bài 2: Cho số thực dương x,y,z dương thỏa mãn x  y  z  xyz=1 Chứng minh xyz  2 x y z  b) a) Bài 3: Cho a,b,c thuộc khoảng (0;1) thỏa mãn ab+bc+ca=1 Chứng minh a 1 a  b 1 b   1 a c 1 c    a  1 b b  1 c  c   Bài Cho số dương a,b,c thoả mãn 2009ac+ab+bc=2009 Tìm giá trị lớn 2 P   2 a  b  2009 c 1 Email: info@123doc.org; DT: 0912960417 2b