Dung an phu de giai PT

Phần I: Đặt vấn đề Nói đến toán học, dù Hình học hay Đại số việc giải đợc phơng trình quan trọng cần thiết §èi víi häc sinh nãi chung, häc sinh Trung häc sở nói riêng, đặc biệt học sinh lớp 9, việc hình thành hoàn thiện kỹ giải phơng trình phải trở thành mục tiêu có ý nghĩa vai trò định Trong khuôn khổ hạn hẹp chuyên đề này, xin đa vài ý kiến thảo luận Tính u việt ẩn phụ việc giải phơng trình häc sinh líp THCS -*** - Phần II: Nội dung cụ thể Bản thân học sinh tiếp xúc với khái niệm phơng trình lớp giải phơng trình bậc hai lớp có cảm giác trừu tợng tơng đối lạ lẫm Vì thế, để hình thành kỹ giải phơng trình cho học sinh không tốt thông qua toán, ví dụ cụ thể Bài viết chủ yếu đa ví dụ minh hoạ từ đơn giản đến phức tạp, bên cạnh có vài phân tích đánh giá nhằm hình thành kỹ đặt ẩn phụ giải phơng trình ngời học toán nói chung học sinh nói riêng A/ Giải phơng trình trùng phơng: Phơng trình trùng phơng phơng trình có dạng: ax4 + bx2 + c = (a Cách giải: Đặt x2 = t (ĐK: t 0) 0) Phơng trình trùng phơng trở thành phơng trình bậc hai với ẩn t: at2 + bt + c = Giải phơng trình này, ta tìm đợc t, từ suy x Bài toán 1: Giải phơng trình: x4 13x2 + 36 = (1) Giải: Đặt x2 = t (ĐK: t 0) Phơng trình (1) trở thành: t2 13t + 36 = (1.1) ∆t = (-13)2 – 4.1.36 = 25 > ( √ Δ=√ 25=5 ) Ph¬ng tr×nh (1.1) cã hai nghiƯm t1 = 4, t2 = + Víi t =  x2 =  x1 = 2, x2 = -2 + Víi t =  x2 =  x3 = 3, x4 = -3 Vậy phơng trình (1) có nghiệm B/ giải phơng trình bậc cao: Các phơng trình bậc cao thờng gây khó khăn cho học sinh giải, việc đặt ẩn phụ giúp đơn giản hoá đa phơng trình dạng quen thuộc Bài toán 2: Giải phơng trình: 3x4 + 6x3 + x2 – 2x – = (2) Gi¶i: (2)  3(x4 + 2x3 + x2) – 2x2 – 2x – =  3(x2 + x)2 – 2(x2 + x) = Đặt x2 + x = t Phơng trình (2) trở thành: 3t2 2t = (2.1) Theo định lý Vi-ét, dễ thấy phơng trình (2.1) có hai nghiệm: t1 = 1, t2 = − Suy ra: x2 + x =  x2 + x – = (2.2) hc x2 + x = −  3x2 + 3x + = (2.3) + Giải phơng trình (2.2) đợc nghiệm x1 = 1+ , x2 = + Phơng trình (2.3) vô nghiệm Vậy phơng trình (2) có hai nghiệm x1, x2 nh 2 C/ Giải phơng trình chứa ẩn mẫu: Trên thực tế, có nhiều phơng trình chứa ẩn mẫu giải cách bình thờng, nhng chọn ẩn phụ hợp lý ta giải đợc phơng trình đơn giản Bài toán 3: Giải phơng trình: x x +1 10 x +1 = (3) x Giải: ĐKXĐ: x 0, x -1 x Đặt = t (ĐK: t x +1 0) Phơng trình (3) trở thành: t 10 =  t2 – 3t – 10 = (3.1) t Giải phơng trình (3.1) đợc t1 = 5, t2 = -2 x x Suy ra: = = -2 x +1 x +1 Từ giải đợc phơng trình (3) có hai nghiệm x1 = , x2 = − D/ Gi¶i phơng trình có hệ số đối xứng: Phơng trình có hệ số đối xứng (PT HSĐX) phơng trình có d¹ng: anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 = víi = an-i (i = 0,n ) *Một số tính chất phơng trình có hệ số ®èi xøng: 1) PT HS§X nÕu cã nghiƯm xO xO x O nghiệm 2) PT HSĐX bậc lẻ n = 2k + nhận x = -1 làm nghiệm Suy ra: Nếu đa thức f(x) bậc lẻ có HSĐX f(x) = (x + 1).g(x), g(x) đa thức bậc chẵn có HSĐX Vậy PT HSĐX bậc lẻ có nghiệm x O = -1 việc giải chuyển giải PT HSĐX bậc n chẵn 1) Phơng trình bËc cã HS§X tû lƯ: ax4 + bx3 + cx2 + kbx + k2a = Cách giải: Trớc hết thấy x = không nghiệm phơng trình Với x 0, chia hai vế phơng trình cho x2, ta đợc: + a k = ax2 + bx + c + b k  a(x2 + 2k + k ) + b(x + a(x + Đặt: x + k x x k ) + b(x + x x x k ) + c – 2ka = x k ) + c – 2ka = x = t Phơng trình đà cho trở thành phơng trình bậc hai Èn t: at2 + bt + (c – 2ka) = Giải phơng trình đợc t, từ suy x Bài toán 4: Giải phơng trình: x4 3x3 – 14x2 – 6x + = (4) Giải: + Ta thấy x = không nghiệm phơng trình (4) + Với x 0, chia hai vế phơng trình (4) cho x2, ta đợc: x2 – 3x – 14 – + x x = (4.1)  (x + )2 – 3(x + ) – 10 = x x Đặt: x + = t Phơng trình (4.1) trë thµnh: x t2 – 3t – 10 = (4.2) Phơng trình (4.2) phơng trình (3.1), có hai nghiÖm t1 = 5, t2 = -2 Suy ra: x + =  x2 – 5x + = (4.3) x x + = -2  x2 + 2x + = (4.4) x + Giải phơng trình (4.3) đợc nghiệm x1 = 5+ √ 17 , x2 = − √17 + Ph¬ng trình (4.4) vô nghiệm 2 Vậy phơng trình (4) có hai nghiệm 2) Giải phơng trình bậc có HS§X lƯch: ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = Cách giải: Trớc hết thấy x = không nghiệm phơng trình Với x 0, chia hai vế phơng trình cho x2, ta ®ỵc: 1    x   x  x  + b x +c=0 a x Đặt ẩn phụ: t = x suy ra: t2 = x2 + x – Khi phơng trình đà cho trở thành: at2 + bt + c + 2a = Giải phơng trình đợc t, từ suy x Bài toán 5: Giải phơng trình: 3x4 4x3 5x2 + 4x + = (5) + Ta thÊy x = không nghiệm phơng trình (4) + Với x 0, chia hai vế phơng trình (4) cho x2, ta đợc: x   x  x  – x = (5.1) x Đặt t = x suy ra: t2 = x2 + x Khi phơng trình (5.1) trở thµnh: 3t2 – 4t + = (5.2) Phơng trình (5.2) có hai nghiệm t1 = 1; t2 = 1 1 + Víi t =  x2 – x – =  x1 = ; x2 = 1  37  37 ; x4 = + Víi t =  3x2 – x – = x3 = Vậy phơng trình (5) có nghiệm E/ Vận dụng ẩn phụ để giải hệ phơng trình đối xứng loại II cách giải phơng trình bậc hai: Dựa theo định lý đảo định lý Vi-ét, ta giải đợc hệ phơng trình đối xứng loại II thông qua giải phơng trình bậc hai Bài toán 6: Giải hệ phơng trình: x − xy+ y 2=4 x + y + xy=0 ¿{ ¿ (I) Gi¶i: (I)  x+ y ¿ −3 xy=4 ¿ (x + y )+xy=0 ¿ ¿ ¿ §Ỉt: x + y = S, xy = P (§K: S2 4P) Hệ phơng trình (I) trở thành: S − P=4 S+ P=0 ¿{ ¿ Gi¶i hệ phơng trình (II) đợc: (II) S1=1 P1=1 , ¿{ ¿ ¿ S 2=− P2=4 ¿{ ¿ CỈp giá trị S2, P2 thoả mÃn điều kiện S2 4P Khi đó, x, y nghiệm phơng tr×nh: X2 + 4X + = (6) + Phơng trình (6) có nghiệm kép X1 = X2 = -2 Vậy hệ phơng trình (I) có nghiệm x = y = -2 G/ Giải phơng trình chứa dấu căn: Tính u việt ẩn phụ đặc biệt đợc thể giải phơng trình chứa dấu Ta xét vài toán đơn giản: Bài toán 7: Giải phơng trình: x - x = x + (7) Giải: + ĐKXĐ: x (7)  x – √ x – = Đặt: x = t (ĐK: t 0) Phơng trình (7) trở thành: t2 6t = (7.1) Dễ thấy phơng trình (7) có hai nghiệm: t1 = -1, t2 = + Giá trị t2 thoả mÃn điều kiện t Suy x = Phơng trình (7) có nghiệm x = 49 Bài toán 8: Giải phơng trình: x + √ x −1 – = (8) Gi¶i: + §KX§: x ≥ §Ỉt: √ x −1 = t (ĐK: t 0) Phơng trình (8) trở thành: t2 + t = (8.1) Phơng trình (8.1) cã hai nghiÖm: t1 = 1, t2 = -2 + Giá trị t1 thoả mÃn điều kiện Suy ra: x = Phơng trình (8) có nghiệm: x = Với đa số phơng trình chứa dấu không đơn giản nh trên, mà thờng gây nhiều khó khăn, phức tạp nâng lên luỹ thừa để làm dấu dẫn đến phơng trình bậc cao, cách giải Tuy nhiên, biết đặt ẩn phụ hợp lý việc giải phơng trình trở nên nhẹ nhàng nhiều Bài toán 9: Giải phơng trình: x2 x+5 = (9) Giải: + ĐKXĐ: x -5 a) Với toán này, xem cách giải nâng lên luỹ thừa trớc để tiện so s¸nh: (9)  √ x+5 = x2 – (9.1) + NÕu x2 – <  - √ < x < phơng trình (9.1) v« nghiƯm + NÕu x2 – ≥  x ≥ √5 ¿ −5 ≤ x ≤ − √ ¿ ¿ ¿ ¿ (*) th× ta cã: (9.1)  ( √ x+5 )2 = (x2 – 5)2  x + = x4 – 10x2 + 25  x4 – 10x2 – x + 20 = (9.2) Phơng trình (9.2) không thuộc dạng phơng trình bậc cao đà biết, không rơi vào trờng hợp đặc biệt để nhẩm nghiệm Vì thế, để giải phơng trình này, ta phải đa phơng trình tích, mà để làm đợc điều đó, ta phải phân tích vế trái (VT) phơng trình (9.2) thành nhân tử phơng pháp hệ số bất định phơng pháp lạ lẫm khó khăn với học sinh – nh sau: Gäi f(x) = x4 – 10x2 – x + 20 f(x) phân tích thành nhân tử sÏ cã d¹ng: f(x) = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + ax3 + bx2 + cx3 + acx2 + bcx + dx2 + adx + bd = x4 + (a + c)x3 + (b + ac + d)x2 + (bc + ad)x + bd ¿ a+c=0 b+ac +d=− 10 bc+ad=− bd=20 ¿{{{ ¿ Ta có: Giải hệ phơng trình điều kiện (việc không dễ dàng), ta đợc: a=1 b= c=1 d=− ¿{{{ ¿ hc ¿ a=1 b=− c=−1 d=− ¿{{{ ¿ Do ®ã: f(x) = (x2 – x – 5)(x2 + x – 4) VËy (9.2)  (x2 – x – 5)(x2 + x – 4) = x − x −5=0 ¿ x 2+x − 4=0 ¿ ¿ ¿ ¿  (9.3) (9.4) Giải phơng trình (9.3) (9.4), kiểm tra với điều kiện (*), ta suy đợc nghiệm phơng trình (9) là: x1 = 1+ 21 , x2 = 17 2 b) Sau đây, ta giải phơng trình (9) cách đặt ẩn phụ: Đặt: x+5 = y (ĐK: y 0) x + = y2 Khi đó, phơng trình (9) chuyển thành hệ phơng trình: (9.5) (9.6) x − y =5 y − x=5 ¿{ ¿ (Hệ phơng trình đối xứng loại I) Trừ theo vế (9.5) (9.6) ta đợc: x2 y2 + x – y =  (x – y)(x + y + 1)  x − y=0 ¿ x+ y+ 1=0 ¿ ¿ ¿ ¿ (9.7) (9.8) +) (9.7) x = y 0, thay vào (9.5) đợc: x2 x = (9.9) Giải phơng trình (9.9) đợc nghiệm: x1 = 1+ 21 , x2 = − √ 21 2 +) (9.8) x = y 0, thay vào (9.5) đợc: x2 + x = (9.10) Giải phơng trình (9.10) đợc nghiệm: x3 = 1+ 17 , x4 = − 1− √17 2 Ta thÊy c¸c giá trị x1, x4 thoả mÃn điều kiện BT Vậy phơng trình (9) có hai nghiệm Rõ ràng thÊy tÝnh u viƯt cđa Èn phơ viƯc gi¶i phơng trình Tuy nhiên, thấy việc chọn ẩn phụ hợp lý lại không đơn giản Vì thế, yêu cầu giáo viên hớng dẫn học sinh nhận dạng đợc phơng trình để chọn đặt ẩn phụ Bên cạnh ví dụ đà nêu trên, có số trờng hợp để giải đợc phơng trình chứa dấu căn, ta phải đặt hai ẩn phụ, chí phải đặt ẩn phụ nhiều lần phải thay đổi vai trò ẩn Bài toán 10: Giải phơng tr×nh: 2(x2 – 3x + 2) = √ x3 +8 (10) Giải: + ĐKXĐ: x Trớc hết ta phải thấy phơng trình (10) nâng lên luỹ thừa để làm dấu trở thành phơng trình bậc bốn, mà việc giải phơng trình khó khăn Bây giờ, ta giải phơng trình (10) cách đặt ẩn phụ Để ý r»ng: x3 + = (x + 2)(x2 – 2x + 4) x2 – 3x + = (x2 – 2x + 4) (x + 2) Đặt: a = √ x2 −2 x+ b = √ x+2 (10.1) (§K: a ≥ √ ; b ≥ 0) (**) (10.2) Phơng trình (10) chuyển thành hệ phơng trình: 2(a −b 2)=3 ab b2 −3 ¿2=a2 − ¿ { (10.3) (10.4) Biến đổi (10.3) thành: 2a2 3ba 2b2 = Giải phơng trình với ẩn a, tham số b, ta đợc: a1 = 2b, a2 = b Kết hợp với điều kiện (**), ta thấy có giá trị a = 2b (10.5) thoả mÃn Đến đây, ta giải hai hớng: 1) Kết hợp (10.1), (10.2) (10.5) để đợc phơng trình: x2 x+ = x+2 biến đổi đợc: x2 6x – = (10.6) 2) ThÕ (10.5) vµo (10.4) để tìm b, kết hợp với (10.2) để tìm x + Cả hai hớng cho ta hai nghiệm phơng trình (10) là: x1 = + √ 13 , x2 = – √ 13 *Mét số tập đề nghị: Các em học sinh bạn đọc vận dụng cách đặt ẩn phụ đà đợc giới thiệu để giải số phơng trình sau: 1) x4 + 2x2 x + = 15x2 – x – 35 2) 3(x2 + x)2 – 2(x2 + x) – = (11) (12) 3) (x2 – 4x + 2)2 + x2 – 4x – = 4) x – (13) x1 =5 x1 +8 (14) 2x 5x  x 1 + = 5) (x  1) (15) 6) x  x  – x = x2 + 1 1 x 7) 1   x  =x 2 (17) x 1 = (18) 9) 2x4 – 21x3 + 34x2 + 105x + 50 = (19) 8) x + (16) -*** - *híng dÉn gi¶i: 1) x4 + 2x2 – x + = 15x2 – x – 35 (11)  x4 13x2 + 36 = Đặt x2 = t (ĐK: t 0), phơng trình (11) trở thành: t2 13t + 36 = (11.1) Phơng trình (11.1) cã nghiÖm: t1 = 9; t2 = Tõ suy phơng trình (11) có nghiệm: x1 = 81; x2 = -81; x3 = 9; x4 = -9 2) 3(x2 + x)2 – 2(x2 + x) – = (12) Đặt x2 = t (ĐK: t 0), phơng trình (12) trở thành: 3t2 2t = (12.1) Phơng trình (12.1) có nghiÖm: t1 = 1; t2 =  1 2 Từ suy phơng tr×nh ((12) cã nghiƯm: x1 = ; x2 = ;   21   21 6 x3 = ; x4 = 3) (x2 – 4x + 2)2 + x2 – 4x – = (13) Đặt (x2 4x + 2) = t, phơng trình (13) trở thành: t2 + t = (13.1) Phơng trình (13.1) có nghiệm: t1 = 3; t2 = -2 Từ suy phơng trình (13) cã nghiÖm: x1 = + 4) x – x1 =5 x1 +8 ; x2 = – (14) + ĐKXĐ: x Đặt x = t (ĐK: t 0), phơng trình (14) trở thành: t2 6t = (14.1) Phơng tr×nh (14.1) cã nghiƯm: t1 = -1; t2 = Từ suy phơng trình (14) có nghiệm: x = 50 2x 5x  x 1 + = 5) (x  1) (15) + ĐKXĐ: x -1 t x Đặt x = t (§K: t ≠ 1)  x = t , phơng trình (15) trở thành: 2t2 5t + = (15.1) Phơng trình (15.1) cã nghiÖm: t1 = 1; t2 = Tõ suy phơng trình (15) có nghiệm: x = -3 6) x  x  x = x2 + Đặt (16) x  x  = t (§K: t  0), phơng trình (16) trở thành: 3t2 t = (16.1) Phơng trình (16.1) có nghiệm: t1 = 1; t2 = Tõ ®ã suy phơng trình (16) có nghiệm: x1 = 0; x2 = -1 7)   x2 = x 1   x  (17) + §KX§: -1  x  §Ỉt  x = y (ĐK: y 0), phơng trình (17) trở thành hệ phơng trình: y x(1  2y) (17.1)  2 (17.2)  x 1 y Giải hệ phơng trình ta đợc: y1 = 0; y2 = Tõ ®ã suy phơng trình (17) có nghiệm: x1 = 1; x2 = 8) x + Đặt x 1 = x  = a; (18) x = b (ĐK: b 0), phơng trình (18) trở thành: a b (18.1) a  b  (18.2) Gi¶i hƯ phơng trình ta đợc: a = 1; b = Từ suy phơng trình (18) có nghiÖm: x = 9) 2x4 – 21x3 + 34x2 + 105x + 50 = Víi x ≠ 0, ®Ỉt x (19) 25 x = t  t2 = x2 + x 10, phơng trình (19) trë thµnh: 2t2 – 21t + 54 = (19.1) Phơng trình (19.1) có nghiệm: t1 = 6; t2 = Từ suy phơng trình (19) có nghiÖm: x1 = + 14 ; x2 = – 14 ;  161  161 4 x3 = ; x4 = PhÇn III: KÕt luËn Qua ví dụ thấy rõ Tính u việt ẩn phụ việc giải phơng trình Nhng xin nhấn mạnh lần nữa, để áp dụng phơng pháp này, yêu cầu mang tính đột phá việc chọn ẩn phụ hợp lý vấn đề đòi hỏi học sinh thông minh cần có kinh nghiệm tích luỹ lâu dài Trong ví dụ đà đa trên, có cách giải khác hay hơn, đẹp Ngay việc đặt ẩn phụ hợp lý để giải phơng trình, mà ngời viết chủ quan cha nhìn nhận đợc Vì thế, mong có đóng góp ý kiến bạn đồng nghiệp, thầy cô giáo nh bạn đọc yêu toán Xin chân thành cảm ơn! Ân Hoà, ngày 15 tháng năm 2007./ Xác nhận nhà trờng: Ngời viết SKKN: Lê Trần Kiên Tài liệu tham khảo: 1) Tạp chí Toán học tuổi trẻ 2) Su tầm đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh THPT