GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ (Thời gian : 120 phút) Bài Chứng minh A = 40 57 40 57 số nguyên Bài Cho biểu thức B = y2 – xy – 12x2 a) Phân tích B thành nhân tử b) Tìm cặp số (x ; y) thỏa B = x – y + = Bài Cho hàm số y = (m2 – 6m + 12)x2 a) Tìm giá trị m biết x = y = b) Chứng tỏ hàm số nghịch biến x < đồng biến x > Bài Cho phương trình : 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = (m tham số) a) Giải phương trình m = – b) Khi phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 phân biệt , tìm m để biểu thức M = x1 x x1 x đạt giá trị lớn Bài Cho đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính AB Đường thẳng qua trung điểm H đoạn OB cắt đường tròn M N, gọi I trung điểm MN, vẽ AK vng góc với MN, BI cắt AK D a) Tứ giác DMBN hình ? b) Chứng minh D trực tâm tam giác AMN c) Biết AM.AN = 3R2 AN = R Tính diện tích tam giác AMN GIẢI Bài 40 57 40 57 Chứng minh A = số nguyên Ta có : 40 57 = 32 + 25 + 2.5.4 = (4 )2 + 2.5.4 + 52 = (4 + 5)2 40 57 57 40 32 2.5.4 25 (4 2) 2.4 2.5 52 (4 5) = = = = = (4 5) Vậy A = (4 + 5) = – 10 : số nguyên Bài Cho biểu thức B = y2 – xy – 12x2 a) Phân tích B thành nhân tử 2 1 49 y x x y xy x x y x x y x x 2 = 2 2 4 Ta có B = = = y 3x y 4x b) Tìm cặp số (x ; y) thỏa B = x – y + = y 3x 0 y x y x 0 y 3x 0 y x 0 y x 0 x y 0 x y 0 Ta có : x y 0 x y 0 x x 2 y 16 y 6 Bài Cho hàm số y = (m2 – 6m + 12)x2 a) Tìm giá trị m biết x = y = m 3 m 3 2 Với x = y = ta có : = m – 6m + 12 m – 6m + = b) Chứng tỏ hàm số nghịch biến x < đồng biến x > Ta có : y = ax2 a > 0, nghịch biến x < đồng biến x > Mà a = m2 – 6m + + = (m – 3)2 + > , với giá trị m Vậy hàm số y = (m2 – 6m + 12)x2 nghịch biến x < đồng biến x >0 Bài Cho phương trình : 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = (1) (m tham số) a) Giải phương trình m = – Ta có : m = – pt trở thành : 2x2 - 8x + = 2(x2 - 4x + 4) = 2(x - 2)2 = x = b) Khi phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 phân biệt , tìm m để biểu thức M = x1 x x1 x đạt giá trị lớn Pt (1) có hai nghiệm x1 ; x2 phân biệt ’ = (m + 1)2 – 2(m2 + 4m + 3) > – m2 – 6m – > m2 + 6m + < (m + 1)(m + 5) < – < m < – (*) b x x a m x x c m 4m a Khi theo định lí Vi-et : Do : m 4m m 8m (m 7)(m 1) 2(m 1) = 2 x1.x2 – 2x1 – 2x2 = x1.x2 – 2(x1 + x2) = = Vì m phải tìm thỏa (*) nên với điều kiện (m + 7)(m + 1) < m 8m m 8m (m 4) 2 2 Suy M = = = Vậy giá trị lớn M m = – thỏa (*) Bài Cho đường trịn tâm O, bán kính R, đường kính AB Đường thẳng qua trung điểm H đoạn OB cắt đường tròn M N, gọi I trung điểm MN, vẽ AK vng góc với MN, BI cắt AK D a) Tứ giác DMBN hình ? b) Chứng minh D trực tâm tam giác AMN c) Biết AM.AN = 3R2 AN = R Tính diện tích tam giác AMN a) Ta có : AK MN Mà I trung điểm MN nên OI MN Suy : OI ĐTB ADB I trung điểm DB, tứ giác MDNB có hai đường chéo MN DB cắt trung điểm I đường , nên DMBN hình bình hành Do : MD // NB (1) M K D I A H b) ANB = 90o (chắn nửa đường tròn) BN AN, kết hợp với (1) Suy MD AN MD, AK hai đường cao tam giác AMN, nên D trực tâm tam giác AMN O M' N c) Biết AM.AN = 3R2 AN = R AM = R = AN suy tam giác AMN cân A Trong tam giác vng ABN có AN = R ; AB = 2R AMN = 60o (cùng chắn cung AN) B sin ABN AN AB ABN = 60o Vậy tam giác AMN cân có góc 60o tam giác cạnh R 3R Diện tích AMN = (đvdt)