Tim gia tri lon nhat gia tri nho nhat cua bieu thuc

I) Các tập tìm giá trị nhỏ Bài tập1: Cho biểu thức A = a3 +b3 + c3+a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b) Cho a+b+c = Hãy tìm giá trị nhỏ A Giải: Ta có : A = a3 +b3 + c3+a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b) = a2(a+b+c) + b2(a+b+c)+c2(a+b+c) = (a+b+c)(a2+b2+c2) V ới a+b+c = th ì A = a2+b2+c2 Ta c ó a2+b2 2ab 2 a+c 2ac 2 b +c 2bc 2 2(a + b +c ) 2(ab + bc + ac) (1) Cộng thêm vào hai vế (1) với a2 + b2 + c2 ⇔ 3(a2 + b2 + c2) (a+b+c)2 ⇔ 3A ⇔ A Dấu “ = ” xảy a= b =c Mà a+b+c = nên a =b=c = Do A đạt giá trị nhỏ a =b=c = Bài 2: Cho x+y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x2+y2 Giải: Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski : (ac+bd)2 (a2 + b2)(c2+d2) dÊu = x¶y ⇔ a = b (*) c d Chän a = x ; c=1 ; b=y d =1 Ta cã : (x.1+y.1)2 (x2+y2)(1+1) (x+y) (x2+y2)(1+1) (x2+y2).2 (x2+y2) VËy B DÊu “= ’’xÈy x=y = VËy Min B = x = y =1 C¸ch 2: Ta cã : x+y =2 ⇔ y =2- x Do ®ã: B = x2 + (2-x)2 = x2 +x2- 4x + = 2x2 – 4x + = 2(x2 – 2x+1 +1) = 2(x-1)2 +2 VËy Min B = x-1 =0 hay x= ; y =1 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức C = x2 + 2y2 – 2xy – 4y + Giải: Ta có : C = (x2 - 2xy + y2) + ( y2 – 4y+4)+1 = (x –y)2 + (y -2)2 + Vì (x – y)2 ; (y-2)2 Do vậy: C với x;y Dấu “ = ” Xảy x-y = y-2 =0 ⇔ x=y =2 Vậy: Min C = x = y =2 Bài 4: Tìm giá trị nhỏ cuả biểu thức D = 2x2 – 2xy +5y2 + Giải: Ta có : D = x2 – 4xy + 4y2 + x2 +2xy +y2 +5 D = (x - 2y)2 + (x+y)2 + Ta thấy : (x-2y)2 ; (x+y)2 Nên: D Dấu “ = ” Xảy : x – 2y = x+ y = ⇔ x=y=0 Vậy Min D = x = y =0 Bài 5: Tim giá trị nhỏ biểu thức E = 5x2 +8xy + 5y2 – 2x + 2y Giải: Ta có : E = (4x2 + 8xy +4y2 )+(x2 - 2x +1) + (y2 +2y +1) – E = (2x +2y)2 +(x- 1)2 +( y+1)2 - Do E -2 Dấu “ = ” xảy ¿ x +2 y=0 x − 1=0 y +1=0 ⇔ ¿ x=1 y =−1 ¿{{ ¿ Vậy Min B = -2 x =1 y =-1 Bài 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức F = a3 + b3 + ab ; Cho a + b = Giải: Ta có : F = (a+b)(a –ab+b2) +ab Thay a+ b =1 vào F ta F = a2 – ab +b2 + ab F = a2 +b2 F = (a+b)2 – 2ab F = – 2ab Do a+b =1 ⇔ a = 1-b thay vào F ta có : F = 1- 2(1-b)b F = -2b+2b2 1 F = 2(b2 – b+ ) + 1 F = 2(b - )2 + 1 Với b Dấu “ = ” xảy : b - = ⇔ b = a = 1 Vậy Min F = Khi a =b = Bài : Tìm giá trị nhỏ : G (x) = x + x cho x > Giải: Ta có: G = x + x = x −1 ¿2 + x ¿ x +1 ¿ = 4x x − x +1+4 x =¿ 4x x −1 ¿ ¿ = 1+ ¿ ¿ V ì x > Nên G 2 Vậy giá trị nhỏ G : x −1 ¿ ¿ ¿ ¿ = ⇔ (2x -1)2 = ⇔ x = Bài 8: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: H = x(x+1)(x+2)(x+3) Giải: Ta có: H = x(x+3)(x+1)(x+2) H = (x2+ 3x)(x2 + 3x +2) H = (x2+3x)2 + 2(x2+3x) H = (x2+3x)2 + 2(x2+3x)+1 – H = (x2 + 3x +1)2 – − ±√5 - , Dấu ‘ = ’ xảy x2 + 3x +1 = ⇔ x = ⇔ H Vậy giá trị nhỏ H -1 x = − ±√ Bài 9: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : I(x) = x −1 x 2+1 Giải : Ta có : I(x) = x −1 = 1- 2 x +1 x +1 Do vậy, I(x) đạt giá trị nhỏ biểu thức nghĩa x2 + đạt giá trị nhỏ Ta có : x2 + 1 Với x  Min (x + 1) = x =  Min I(x) = 1- = -1 Vậy Min I(x) = -1 x = x +1 đạt giá trị lớn Bài 10: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : J = 3( x2 + y2 + z2 + t2) – 2(xy + yz + zt + tx) – ( x + y + z + t ) + 10 Giải : Ta có : J = ( x2 – 2xy + y2 ) + ( y2 – 2yz + z2 ) + (z2 – 2zt + t2 ) + ( t2 – 2tx + x2 ) 1 1 + ( x2 – x + ) + ( y2 – y + ) + ( z – z + ) + ( t – t + ) + 1 = ( x – y)2 + ( y – z )2 + ( z – t)2 + (t – x)2 + (x – )2 + (y – )2 + (z – )2 + (t – )2 + Do J Với x ; y ; z ; t Dấu “ = ” xảy x = y = z = t = Vậy giá trị nhỏ J x = y = z = t = Bài 11: Cho biểu thức : K = x2 + y2 + 2z2 + t2 Với x ; y ; z ; t số nguyên khơng âm Tìm giá trị nhỏ K giá trị tương ứng x ; y ;z t , biết : x2 – y2 + t2 = 21 Giải: x2 + 3y2 + 4z2 = 101 Theo giả thiết , ta có : x2 – y2 + t2 = 21 x2 + 3y2 + 4z2 = 101  x2 – y2 + t2 + x2 + 3y2 + 4z2 = 122  2x2 + 2y2 + 4z2 + t2 = 122  2K – t2 = 122  2K = 122 + t2 Do : 2K 122 ⇔ K 61 Dấu “ = ” xảy t = Vậy K đạt giá trị nhỏ 61 t = Ta có : x2 – y2 + t2 = 21 (1) 2 x + 3y + 4z = 101 (2) Vì x ; y N nên từ (1) => x > y  x+y x – y > Do : (x + y)( x – y) = 21 1= ¿ x+ y=21 => x − y=1 ¿{ ¿ ⇔ x=11 y=10 ¿{ ¿ x + y=7 x − y=3 ¿{ ¿ ⇔ ¿ x=5 y=2 ¿{ ¿ Từ (2) => 3y2 101 => y2 33 => y Ta chọn x = ; y = (2) => z = Vậy Min K =61 x = ; y = ; z = ; t = II) Các tập tìm giá trị lớn Bài 1: Tìm giá trị lớn biểu thức A = 3xy – x2 – y2 BiÕt x; y lµ nghiƯm cđa phơng trình 5x+2y = 10 Giải: Từ : 5x +2y = 10 ⇔ y = 10 −5 x Thay y vµo biĨu thøc A ta cã: 10 −5 x 10 −5 x 2 x – ( ) 2 60 x −30 x − x −100+100 x − 252 A= A = (-59x2 +160x-100) A = 59 ( -x2 + 160 x − 100 ¿ 59 59 A = 59 −(x −2 x 80 ⋅ + 6400 )− 5900 + 6400 59 3481 3481 3481 80 500 x − ¿2 + 59 3481 A= −¿ 59 ¿ 80 x− ¿ 125 59 A= 125 59 59 − ¿ 59 VËy Max A = 125 Khi x = 80 vµ y = 10 −5 x 59 59 A = 3x [ ] = 95 59 Bµi 2: Cho biĨu thøc B = - a2 b2 +ab +2a+2b B đạt giá trị lớn nào? Giải: Ta cã B = - a2 – b2 +ab +2a+2b 2B = -2a2 – 2b2 +2ab +4a+4b ⇔ = - (a2 - 2ab +b2) –( a2- 4a +4) – (b2 -4b +4) + = – (a-b)2 – (a-2)2 – (b -2 )2 ⇔ 2B ⇔ B DÊu ‘ = ’ x¶y a = b =2 Vậy B đạt giá trị lớn a = b =2 Bài 3: Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc C = - 5y2 – 5x2 + 8x – 6y – Gi¶i: C = - (5x2 – 8x ) – (5y2 + 6y) – C = - 5( x2 - x+ 16 ¿ - 5( y2 +2 y + ¿ + C= 4- 5 25 y+ ¿ x− ¿ +¿ ¿ ¿ Do ®ã ta cã : C DÊu ‘ = ’ x¶y ⇔ 25 y+ ¿ x − ¿ 2+ ¿ ¿ ¿ x= =0 vµ y = − x= Vậy giá trị lớn C y = Bài 4: Tìm giá trị lớn biểu thøc D = - 5x2 – 2xy – 2y2 + 14x + 10y -1 Gi¶i: Ta cã D = - 5x2 – 2xy – 2y2 + 14x + 10y -1 49 = - ( x2 +2xy + y2) – (4x2 - 14x + = y −5 ¿ x − ¿2 − ¿ x+ y ¿ −¿ 145 −¿ 145 D DÊu ‘ = xảy x+ y=0 x − =0 y − 5=0 ⇔ ¿ x=− y x= y=5 ¿{{ ¿ ( không thỏa mÃn ) Vậy giá trị lớn D không tồn Bài 5: Tìm giá trị lín nhÊt cđa hµm sè y = √ x −2+ √4 − x Gi¶i: ) – (y2 - 10 y +25) + 49 +25 – Sư dơng bÊt đẳng thức Bunhiacôpski : (a2 + b2)(c2+d2) dấu = xảy ⇔ Chän: √ x −2=a ; c =1 √ − x=b ; d =1 §KX§ : x [( x −2)+( − x )] (1+1) ta cã y2 = ( √ x −2+ √4 − x )2 (ac+bd)2 ⇔ a b = c d (*) | y| Vì y > nên ta cã < y DÊu ‘ = ’ x¶y √ x −2=√ − x ⇔ x -2 = –x ⇔ x =3 ( tháa m·n ĐKXĐ) Vậy : Giá trị lớn hàm số y x = y2