PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ

Tìm tọa độ các giao điểm của các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y=x+2005..[r]

(1)

Vấn đề 5: Khảo sát hàm số I/ Khảo sát hàm đa thức hàm phân thức

1 Kiến thức trọng tâm 1 Các bước khảo sát hàm số:

B1: Tìm TXĐ

B2: Xét biến thiên (đồng biến, nghịch biến) hàm số

điểm cực trị (cực đại, cực tiểu)

B3:  Tính giới hạn đặc biệt (tại mút TXĐ)

 Tìm tiệm cận (Đối với hàm phân thức hữu tỉ B4: Xét tính lồi, lõm tìm điểm uốn (Đối với hàm đa thức)

B5: Lập bảng biến thiên

B6: Đồ thị:

+ Tìm giao điểm với trục Ox, Oy (nếu được)

+ Lập bảng giá trị cần (khi tìm giao với Ox khơng được…) + Vẽ đồ thị

+ Nhận xét: Nêu tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có) đồ thị

2 Khảo sát số hàm số thường gặp a) Hàm đa thức

 y = ax2 + bx + c (a 0)

 y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0)

 y = ax4 + bx2 + c (a 0)

b) Hàm phân thức hữu tỉ

 y =

ax b cx d



 (c 0, D = ad – bc 0)

2 Bài tập áp dụng: a Hàm bậc ba:

1 y = x3 + 3x + ( a < y’= có nghiệm phân biệt)

2 y = x3 + 4x2 + 4x (a > y’= có nghiệm phân biệt)

3 y = x3 + x2+9x (a > y’= vô nghiệm)

4 y = -x3+x2-9x (a < y’= vô nghiệm)

(2)

6 y = x3 + 3x2 + 3x 1 (a > y’= có nghiệm kép)

b Hàm trùng phương

1

2

x

y  x 

(a > y’=0 có nghiệm phân biệt)

2 y = x4 + 2x2 + (a < y’=0 có nghiệm phân biệt) 3

4

2

x

y  x 

(a < y’= có nghiệm)

4 y= x4 +2x2+1 (a>0 y’=0 có nghiệm)

c Hàm số:

ax b y cx d    x y x  

 (y’<0)

2 2 x y x  

 (y’>0) Bài tập đề nghị;

Bài : Khảo sát hàm số sau:

1/ y = x3 – 3x2 2/ y=  x3 + 3x – 3/ y = x3 + 3x2 + 4x  8

4/ y = x4 – 6x2 + 5/ y = 

1

4x4 + 2x2 +

9

4 6/ y = x4 + 2x2

x y x  

 8 y = x4 – 2x2 + 1 y=-x3+3x2-2

10 y = 2x3 + 3x2 1 11

3 x y x  

 12 y= x4 -2x2+1

13 Cho hàm số y= x3 – 3m x2 + 4m3 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m=1.

14 Cho hàm số y= x4 – m x2 + 4m  11 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m

=

Vấn đề 6: Các toán liên quan đến khảo sát hàm số * Bài toán 1: Vị trí tương đối hai đồ thị

1 Tìm số giao điểm hai đường:

Giả sử hàm số y = f(x)có đồ thị (C1) hàm số y = g(x) có đồ thị (C2)

* Hồnh độ giao điểm (nếu có nghiệm phương trình f(x)=g(x) (*)

Nếu x0, x1, x2, x3,… nghiệm phương trình (*) điểm M0(x0;f(x0)),

M1(x1; f(x1)),… giao điểm (C1) (C2)

+ Đặc biệt: ' '

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x g x

C C

f x g x

 

 

 

tiếp xúc

có nghiệm

(3)

đường thẳng (d) qua A(xA; yA): y = k(x xA) + yA

Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d) : y = k(x xA) + yA (*)

a) Nếu phương trình (*) bậc hai: ax2 + bx + c = 0

Tính xét dấu số giao điểm (C) (d)

b Nếu phương trình (* bậc ba phân tích thành:

2

(1)

( )( )

0 (2)

x giao diem

x ax bx c

ax bx c 

   

     

   

- Giải biện luận (2)

- Số giao điểm (1) (2) số giao điểm (C) (d)

Ví dụ: Chứng minh với giá trị m, đường thẳng y=2x+m cắt đồ thị (C) hàm số

3 x y

x  

 hai điểm phân biệt

3 Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình f(x,m.=0 (1

B1: Từ phương trình f(x,m.=0 <-> f(x.=g(m., Số nghiệm phương trình (1 với số giao điểm hai đồ thị: y f x( ) ( )C y=g(m (d

B2: Dựa vào đồ thị để kết luận số giao điểm

( * Chú ý: biện luận dựa vào đồ thị ta dựa vào ycđ yct hàm số

Ví dụ: Cho hàm số y=  x3 + 3x

Khảo sát vẽ đồ thị (C)

Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x3

-3x+m=0

* Bài toán 2: Tiếp tuyến với đồ thị

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) trường hợp sau:

1/ Tại điểm có toạ độ (x0;y0):

B1: Tìm f ’(x) f ’(x0)

B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) điểm (x0; y0)là: y  y0 =

/

f (x )(x–x

0)  y =

/

f (x )(x – x

0) + y0

2/ Tại điểm đồ thị (C) có hồnh độ x0 :

B1: Tìm f ’(x)  f ’(x0) ; y0

B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) điểm có hồnh độ x0 là:

y - y0=

/

f (x )(x–x

0  y =

/

f (x )(x – x

0) + y0

3/ Tại điểm đồ thị (C) có tung độ y0 :

B1: Tìm f ’(x)

(4)

B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) điểm có tung độ y0 là: y - y0 =

/

f (x )(x–x

0)

 y = f (x )/ (x – x0) + y0

4/ Biết hệ số góc tiếp tuyến k: B1: Gọi M0(x0; y0) tiếp điểm

B2: Hệ số góc tiếp tuyến k nên : f (x0)=k (*)

B3: Giải phương trình (*) tìm x0  f(x0)  phương trình tiếp tuyến

Chú ý:

- Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b có f/(x 0)=a

- Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b có f/(x

0).a = 

5/ Biết tiếp tuyến qua điểm A(x1;y1): ( Chương trình nâng cao)

B1:Phương trình đường thẳng d qua A(x1; y1) có hệ số góc k là: y = k(x x1) + y1

(x1)

B2: d tiếp tuyến (C)  hệ phương trình sau có nghiệm :

  

 

 

 k x f

y x x k x f

) (

)

( 1 1

B3: Giải hệ ta tìm k hệ số góc tiếp tuyến vào (1  phương

trình tiếp tuyến

*Bài tốn 3: Tìm đồ thị (C): y=f(x) có tọa độ nguyên:

B1: chia đa thức: y= thương (nguyên) + dư/mẫu số B2: Với x nguyên, để y nguyên dư ước mẫu số B3: Giải mẫu số x=  y= , kết luận

Ví dụ: Tìm điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị (C) hàm số

2 2 4

x x

y

x

  

Bài tập đề nghị:

Câu 1: Cho hàm số y x 3 3x ( )C

1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) M  o 2; 4

3 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

24 2008 ( ) y x d .

4 Viết phương trình tt với (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng:

1

2008 ( ')

y x d

5 Viết phương trình tt với (C) giao điểm đồ thị với trục tung Biện luận số nghiệm phương trình: x3 3x6m 0 theo m

7 Biện luận số nghiệm phương trình: |x3  3x |m theo m (tham khảo.

Câu 2: Cho hàm số

4

1

2 ( )

2

(5)

1. Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) 2 Viết pt tt với đồ thị (C) điểm

5 2;

2 M  

 

3 Biện luận số nghiệm pt:

4

1

2

m x  x   

Câu 3:1 Khảo sát vẽ đồ thị  C hàm số y x33x2.

2 Dựa vào đồ thị  C , biện luận theo m số nghiệm phương trình:

3 3 0

x x m

   

Câu 4: Cho hàm số y2x33x21.

1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

2 Biện luận theo m số nghiệm thực phương trình 2x33x2 1 m Câu 5: Cho hàm số yx42x23 có đồ thị  C

1 Khảo sát hàm số

2 Dựa vào  C , tìm m để phương trình: x4 2x2m0 có nghiệm phân biệt. Câu 6: Cho hàm số y x 4 2x21, gọi đồ thị hàm số  C .

1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C điểm cực đại  C

Câu 7: Cho hàm số:

3

1

y x  x

có đồ thị  C Khảo sát hàm số

2 Cho điểm M C có hồnh độ x 2 Viết phương trình đường thẳng d qua M tiếp tuyến  C

Câu 8: Cho hàm số y x 3 3mx24m3 có đồ thị Cm, m tham số

1 Khảo sát vẽ đồ  C1 hàm số m=1

2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C1 điểm có hồnh độ x 1

Câu 9:

1 Khảo sát vẽ đồ thị  C hàm số y x 3 6x29 x

2 Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ nghiệm phương trình y/=0.

Câu 10: Cho hàm số y= x3 - 3x2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với

(C)

a/ Tại giao điểm với trục hồnh b/ Tại điểm có hồnh độ =

c/ Biết tiếp tuyến có hệ số góc k=  d/ Biết tiếp tuyến song song với đường

thẳng

y= 9x + 2005

e/ Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y=

1

3x + 2006

(6)

Câu 11 Cho hàm số y x 4 2x2, khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương

trình tiếp tuyến (C)

a Tại điểm có hồnh độ x  b Tại điểm có tung độ y = 3.

c Tiếp tuyến song song với đường thẳng: 1242008dyx

d Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng:  2

1

2008 24

d y  x

Câu 12 Cho (C) : y = x3 – 6x2 + 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến (C):

a) Tại điểm có tung độ 

b) Song song với đường thẳng d1 : y = 9x –

c) Vng góc với đường thẳng d2 : x + 24y =

Câu 13 Cho (C) : y = x −2x+2 Viết phương trình tiếp tuyến (C): a) Tại giao điểm (C) với trục Ox

b) Song song với đường thẳng d1 : y = 4x –

c) Vng góc với đường thẳng d2: y = -x

d) Tại giao điểm hai tiệm cận

Câu 14 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C).

a y = x3 – 3x + qua điểm A(1 ; 0)

b y = 12 x4− x2+3

2 qua điểm A(0 ; 2¿

c y = x −2x+2 qua điểm A(-6 ; d y = x2−4 x+5

x − 2 qua điểm A(2 ;

Câu 15: (ĐH -KA –2002 (C): y  x3 3mx2 3(1 m x m2)   m2

a- Khảo sát vẽ đồ thị hàm số ( C m =1

b- Tìm k để pt :  x33x2k3 0 Có nghiệm phân biệt

Câu 16: Cho (C) : y = f(x) = x4  2x2.

a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)

b Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) > c Viết phương trình tiếp tuyến (C):

* Tại điểm có hồnh độ

* Tại điểm có tung độ

* Biết tiếp tuyến song song với d1 : y = 24x+2007

* Biết tiếp tuyến vng góc với d2 : y =

10 x 24

1 

(7)

Câu 17: Cho hs : ( C

2

1

x y

x

 

 a-Khảo sát vẽ đồ thị ( C

b-CMR: Đường thẳng y =2x+m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A;B với m Xác định m để AB ngắn (Nâng cao)

Câu 18: - Cho hs : (C)

2 1

x y

x

 



a - Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

b -Tìm m đường thẳng y = mx + m + cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt

c- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm đồ thị hàm số với trục tung d- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành

e- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

1

2007

y x

Câu 19: Cho HS ( C) y = x3 - 6x2 +9x-1

a- Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

b- Đường thẳng (d qua A(2;1) có hệ số góc m Tìm m để (d cắt (C) điểm phân biệt

Câu 20: Cho hàm số y x  2x2 1, gọi đồ thị (C) a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

b.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm cực đại (C)

Câu 21: Cho hàm số

2

( ) x

y C

x  



a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

b Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tt song song với đường thẳng y = 4x -2

Câu 22 Cho hàmm số y = -x3 + 3x + 1.

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

b Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm PT: x3 – 3x + m = 0.

c.Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hịanh độ x0 =

Câu 23 Cho hm số y = x3 – 6x2 + 9x + 1

b Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường

thẳng y = 24

1   x

c Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số

(8)

b Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

y = - 9x +

c Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt

Câu 25 Cho hàm số y = 13 x3− x2+1

b Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(1 ; 0)

Câu 26 Cho hàm số y = 13 x3− x2+x +1

b Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục hoành

Câu 27 Cho hàm số y = x3 + x

b Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung

Câu 28.Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 1

b Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x4 – 2x2 + – m = 0.

c Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hịanh độ x = √2 Câu 29 Cho hàm số y = - x4 + 2x2 + 2.

b Tìm m để phương trình x4 – 2x2 + m = có bốn nghiệm phân biệt.

c Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm cực tiểu đồ thị hàm số

Câu 30 Cho hàm số y = x4 −3 x

2

+3

b Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x4 – 6x2 + – m = 0.

c Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(0 ; 32¿

Câu 31 Cho hàm số y = 14x4− x2−1

b Tìm m để phương trình : x4 – 8x2 – + m = có nghiệm phân biệt.

c Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung

Câu 32.Cho hàm số y = x −1x+1

(9)

c Viết phương trình tiếp tuyến (H biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -2x +

Câu 33 Cho hàm số y = 2 x +1x +1

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H hàm số

b Viết phương trình tiếp tuyến (H điểm có hịanh độ x = -2

c Viết phương trình tiếp tuyến (H biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng

y = -x +

Câu 34 Cho hàm số y = 1 − x2 x (H

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H hàm số b Tìm (H điểm có tọa độ số nguyên

c Viết phương trình tiếp tuyến (H giao điểm (H với trục tung

Câu 35 Cho hàm số y = x −1x

b Viết phương trình tiếp tuyến (H giao điểm (H với trục hịanh c Tìm m để đường thẳng y = x + m cắt (H hai điểm phân biệt

Câu 36 Cho hàm số y = x − 44

b Một đường thẳng (d qua A(-4 ; có hệ số góc m Tìm m để (d cắt (H hai điểm phân biệt

c Viết phương trình tiếp tuyến (H biết tiếp tuyến qua điểm A(4 ;

Câu 37 Cho hàm số

2

2 7 5

2

x x

y

x

 



 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị song

song với đường thẳng y=x+4

Câu 38 Cho hàm số

2 3 3

2

x x

y

x

 



 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết

tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x-3y-6=0

Câu 39 Cho hàm số:

1 3 x y

x  

 (C)

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	567,68 KB