Cơ học môi trường liên tụ

Dương Văn Thứ (chủ biên) Nguyễn Ngọc Oanh CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC NHÀ XUẤT BẢN TỪ ĐIỂN BÁCH KHOA HÀ NỘI – 2007 MỤC LỤC MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG I NHỮNG KHÁI NIỆM BAN ĐẦU 1.1 NHIỆM VỤ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA MÔN CHMTLT 1.2 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.2.1 Môi trường liên tục phần tử vật chất 1.2.2 Mật độ khối lượng (ρ) 1.2.3 Tác dụng 1.2.4 Nội lực, ứng suất, phương pháp mặt cắt 1.2.5 Biến dạng chuyển vị, vận tốc, gia tốc chuyển động biến dạng 10 1.2.6 Các giả thiết ký hiệu 11 1.3 VÀI KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH VÉC TƠ 13 1.3.1 Véc tơ thành phần véc tơ 13 1.3.2 Sự biến đổi thành phần véc tơ xoay hệ trục toạ độ - 14 1.3.3 Một số phép tính véc tơ 15 1.3.4 Trường vô hướng trường véc tơ 15 1.4 VÀI KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH TEN XƠ 16 1.4.1 Khái niệm tenxơ 16 1.4.2 Các phép tính tenxơ 16 1.4.3 Ten xơ hạng hai đối xứng Giá trị chính, phương bất biến 17 CHƯƠNG II LÝ THUYẾT VỀ BIẾN DẠNG VÀ CHUYỂN VỊ 19 2.1 HỆ TOẠ ĐỘ VÀ CÁCH MÔ TẢ CHUYỂN ĐỘNG 19 2.1.1 Mô tả chuyển động theo Lagrange 19 2.1.2 Mô tả chuyển động theo Euler 20 2.1.3 Đạo hàm vật chất 21 2.1.4 Vận tốc gia tốc chuyển động theo biến Lagrange biến Euler 22 2.1.5 Quĩ đạo đường dòng 26 2.2 TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG TẠI MỘT ĐIỂM - TEN XƠ BIẾN DẠNG TRONG HỆ TOẠ ĐỘ DESCARTES VNG GĨC 27 2.2.1 Trạng thái biến dạng điểm 27 2.2.2 Tenxơ biến dạng mô tả Lagrange - ten xơ biến dạng hữu hạn Green- 27 2.2.3 Ten xơ biến dạng mô tả Euler - ten xơ biến dạng hữu hạn Almansi- 28 2.2.4 Mối quan hệ ten xơ biến dạng hữu hạn véc tơ chuyển vị 30 2.3 TRƯỜNG HỢP BIẾN DẠNG BÉ 31 2.3.1 Ten xơ biến dạng bé – phương trình hình học Cauchy 31 2.3.2 Ý nghĩa vật lý thành phần ten xơ biến dạng 32 2.3.3 Biến dạng chính, phương bất biến trạng thái biến dạng điểm 35 2.3.4 Ten xơ cầu ten xơ lệch biến dạng 38 2.3.5 Ten xơ quay tuyến tính 38 2.3.6 Điều kiện tương thích biến dạng – Phương trình liên tục Saint Venant 41 2.4 TEN XƠ TỐC ĐỘ BIẾN DẠNG – TEN XƠ VẬN TỐC XOÁY 42 BÀI TẬP CHƯƠNG 44 CHƯƠNG III LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT 45 3.1 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT TẠI MỘT ĐIỂM – TEN XƠ ỨNG SUẤT 45 3.1.1 Ký hiệu ứng suất qui ước dấu 45 3.1.2 Trạng thái ứng suất điểm - Ten xơ ứng suất 46 3.1.3 Ứng suất mặt nghiêng 47 3.1.4 Ứng suất chính, phương bất biến trạng thái ứng suất điểm 49 3.1.5 Ten xơ cầu ten xơ lệch ứng suất 50 3.1.6 Ứng suất tiếp 50 3.1.7 Biểu diễn trạng thái ứng suất điểm vòng tròn Mohr 52 3.2 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC - PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG 57 3.2.1 Xét cân phân tố hình hộp – Phương trình vi phân cân Navier - Stokes 57 3.2.2 Xét cân phân tố tứ diện biên – Phương trình điều kiện biên lực 60 BÀI TẬP CHƯƠNG 60 CHƯƠNG IV CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC VÀ CÁC MÔ HÌNH MƠI TRƯỜNG LIÊN TỤC 62 4.1 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN KHỐI LƯỢNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC CỦA KHỐI LƯỢNG 62 4.2 ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG 63 4.3 ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MÔ MEN ĐỘNG LƯỢNG 63 4.4 ĐỊNH LUẬT BẢO TỒN NĂNG LƯỢNG - PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯỢNG 64 4.4.1 Định luật bảo toàn lượng học 64 4.4.2 Định luật bảo toàn lượng - nhiệt 66 4.4.3 Định luật nhiệt động lực học thứ hai Bất đẳng thức Clausius – Hàm hao tán 69 4.5 HỆ CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC 71 4.6 MÔI TRƯỜNG CHẤT LỎNG 73 4.6.1 Chất lỏng lý tưởng 74 4.6.2 Chất lỏng nhớt tuyến tính Newton 75 4.6.3 Khái niệm dòng chảy dừng, dòng chảy khơng xốy dịng chảy 76 4.7 MÔI TRƯỜNG CHẤT RẮN 77 4.7.1 Lý thuyết đàn hồi 78 4.7.2 Lý thuyết dẻo - điều kiện dẻo – phương trình vật liệu 78 CHƯƠNG V LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 81 5.1THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI RIÊNG VÀ THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI BÙ RIÊNG 81 5.1.1 Thế biến dạng đàn hồi riêng trường hợp tổng quát – Công thức Green 81 5.1.2 Thế biến dạng đàn hồi bù riêng trường hợp tổng quát – Công thức Castigliano 81 5.1.3 Trường hợp vật liệu đàn hồi tuyến tính 82 5.2 MỐI QUAN HỆ GIỮA TEN XƠ ỨNG SUẤT VÀ TEN XƠ BIẾN DẠNG BÉ – ĐỊNH LUẬT HOOKE 83 5.2.1 Vật thể dị hướng 83 5.2.2 Vật thể trực hướng 84 5.2.3 Vật thể đàn hồi tuyến tính, đồng nhất, đẳng hướng 86 5.3 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA BÀI TỐN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH ĐẲNG HƯỚNG BIẾN DẠNG BÉ 89 5.4 CÁC CÁCH GIẢI BÀI TỐN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 89 5.4.1 Cách giải theo chuyển vị - Phương trình Lamé 90 5.4.2 Cách giải theo ứng suất – Phương trình Beltrami - Michell 91 5.5 ĐIỀU KIỆN BIÊN – NGUYÊN LÝ SAINT-VENANT - ĐIỀU KIỆN ĐẦU 92 5.5.1 Điều kiện biên 92 5.5.2 Nguyên lý Saint – Venant 92 5.5.3 Điều kiện đầu 93 5.6 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CƠ BẢN CỦA BÀI TỐN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH ĐẲNG HƯỚNG 93 5.6.1 Phương pháp giải thuận 93 5.6.2 Phương pháp giải ngược 93 5.6.3 Phương pháp giải nửa ngược Saint – Venant 94 5.6.4 Các phương pháp giải số 94 5.7 ĐỊNH LÝ KIRCHHOFF VỀ SỰ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN ĐÀN HỒI 94 5.8 CÁC NGUYÊN LÝ VỀ CÔNG VÀ NĂNG LƯỢNG 95 5.8.1 Công công bù 95 5.8.2 Nguyên lý chuyển vị 95 5.8.3 Nguyên lý lực 96 5.8.4 Các nguyên lý cực trị vật thể đàn hồi tuyến tính 96 BÀI TẬP CHƯƠNG 97 CHƯƠNG VI BÀI TỐN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH PHẲNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES 99 6.1 KHÁI NIỆM VỀ BÀI TOÁN PHẲNG VÀ PHÂN LOẠI 99 6.1.1 Bài toán ứng suất phẳng 99 6.1.2 Bài toán biến dạng phẳng 99 6.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 100 GIẢI BÀI TOÁN PHẲNG THEO ỨNG SUẤT – HÀM ỨNG SUẤT AIRY( 1862) 103 HÀM ỨNG SUẤT DƯỚI DẠNG ĐA THỨC 106 6.4.1 Bài toán dầm công son chịu lực tập trung đầu tự 106 6.4.2 Bài toán đập( hay tường chắn) mặt cắt tam giác chịu áp lực thủy tĩnh - Lời giải Le’vy 1898) 110 6.4.2 Bài toán đập (hay tường chắn) mặt cắt chữ nhật chịu áp lực thủy tĩnh 112 6.5 HÀM ỨNG SUẤT DƯỚI DẠNG CHUỖI LƯỢNG GIÁC 116 CHƯƠNG VII BÀI TỐN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH PHẲNG TRONG HỆ TOẠ ĐỘ CỰC 121 7.1 HỆ TOẠ ĐỘ CỰC VÀ KÝ HIỆU 121 7.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 123 7.2.1 Phương trình vi phân cân 123 7.2.2 Phương trình hình học 124 7.2.3 Phương trình vật liệu (vật lý) - định luật Hooke 126 7.3 GIẢI BÀI TOÁN PHẲNG THEO ỨNG SUẤT TRONG HỆ TOẠ ĐỘ CỰC 126 7.4 BÀI TOÁN KHƠNG PHỤ THUỘC GĨC CỰC 128 7.4.1 Lời giải tổng qt tốn ứng suất khơng phụ thuộc góc cực 128 7.3.2 Bài toán đối xứng trục (Lamé 1852) 130 7.4.3 Bài toán cong chịu uốn tuý (Golovin 1881) 136 7.5 ỨNG SUẤT CỤC BỘ QUANH LỖ KHOÉT TRÒN NHỎ ( KIRSCH 1898) 137 7.6 NÊM PHẲNG CỬA VÔ HẠN CHỊU LỰC TRÊN BIÊN 141 7.7 LÁT PHẲNG NỬA VÔ HẠN CHỊU LỰC TRÊN BIÊN 144 BÀI TẬP CHƯƠNG 148 TÀI LIỆU THAM KHẢO 150 LỜI NÓI ĐẦU Hiện náy, trường đại học kỹ thuật, sinh viên thường học nhiều môn học liên quan tới lĩnh vực học như: Sức bền vật liệu, Cơ học kết cấu, Lý thuyết đàn hồi, Cơ học đất, Cơ học chất lỏng, Cơ học chất khí, … , mà đối tượng nghiên cứu chúng (chất rắn, chất lỏng, hay chất khí) có cấu tạo vật chất liên tục Việc nghiên cứu riêng rẽ môn học vậy, dẫn đến trùng lặp nhiều nội dung, nữa, không nêu quan điểm qui luật chung tổng quát mặt học, vật lý học đối tượng nghiên cứu Nhằm khắc phục nhược điểm trên, nhiều nước đưa vào chương trình giảng dạy mơn học Cơ học mơi trường liên tục, giúp trang bị cho người học nguyên lý qui luật chung, phương pháp chung tổng quát để thiết lập giải toán học, đồng thời cho cách nhìn tổng quát quán mối quan hệ chặt chẽ môn học nêu trên, tránh trùng lặp kiến thức đào tạo Trong xu đổi mới, phát triển hội nhập, nhằm nâng cao trình độ đào tạo kỹ sư ngang tầm với khu vực giới, năm gần đây, số trường đại học Việt Nam Đại học quốc gia Hà Nội, Đại học Xây dựng, Đại học Thủy lợi… bắt đầu đưa nội dung môn Cơ học môi trường liên tục vào chương trình đào tạo Các tài liệu học tập liên quan tới môn học nước ta cịn ít, đặc biệt cho khối trường kỹ thuật Chúng tơi biên soạn giáo trình nhằm phục vụ công tác giảng dạy học tập cho sinh viên trường Đại học Thủy lợi Sách phục vụ cho sinh viên trường đại học kỹ thuật khác tài liệu tham khảo cho người quan tâm tới Cơ học môi trường liên tục Nội dung sách phân thành hai phần: phần đầu (gồm chương 1, 2, 3, 4) trình bày khái niệm, phương trình, định luật tổng quát Cơ học môi trường liên tục mơ hình mơi trường liên tục; phần sau (gồm chương 5, 6, 7) có tính chất ứng dụng Do đối tượng phục vụ giáo trình sinh viên ngành kỹ thuật cơng trình Xây dựng cơng trình thủy lợi, thủy điện, xây dựng dân dụng công nghiệp, cầu, đường, hầm khí v v nên phần ứng dụng chủ yếu đề cập tới toán liên quan tới vật rắn đàn hồi Cuối chương có số tập vận dụng nhằm giúp người đọc hiểu sâu nội dung trình bày sách Việc biên soạn phân công sau: PGS.TS Dương Văn Thứ - chủ biên viết chương 1, 2, 3, 4, 5, PGS.TS Nguyễn Ngọc Oanh - viết chương Trong trình biên soạn, trình độ, kinh nghiệm thời gian hạn chế nên khó tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận nhiều ý kiến đóng góp sinh viên, đồng nghiệp người quan tâm tới môn học này, nhằm giúp chúng tơi hồn thiện cho lần xuất sau Chúng chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp môn Sức bền vật liệu Cơ học kết cấu trường Đại học Thủy lợi Hà Nội luôn đông viên có nhiều ý kiến đóng góp q báu giúp chúng tơi hồn thành thảo Cảm ơn đồng nghiệp trẻ Lê Thu Mai giúp đỡ trình chế sách CÁC TÁC GIẢ CHƯƠNG I NHỮNG KHÁI NIỆM BAN ĐẦU 1.1 NHIỆM VỤ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA MƠN CHMTLT Cơ học mơi trường liên tục [CHMTLT] môn khoa học nghiên cứu chuyển động vĩ mô môi trường liên tục [MTLT] MTLT mơi trường có cấu tạo vật chất liên tục như: vật thể rắn, khối chất lỏng, hay chất khí CHMTLT nghiên cứu môi trường đặc biệt - phi vật chất - trường điện từ, trường nhiệt, trường xạ, từ trường v v Nhiệm vụ môn học xây dựng hàm đặc trưng cho môi trường Các hàm xác định trạng thái bên môi trường chuyển động, tương tác phần tử môi trường Nghiên cứu thiết lập quan hệ bản, tổng quát, mô tả tính chất vật lý mơi trường, qui luật biến đổi (như bảo toàn khối lượng, xung lượng, lượng….) CHMTLT phát triển song song với học lý thuyết, thừa hưởng ý tưởng kết nghiên cứu Cơ học lý thuyết, song có hệ tiên đề riêng Các phương pháp CHMTLT cho phép đốn nhận với độ xác cao tượng vĩ mơ thiên nhiên, giúp phân tích lựa chọn tham số thiết kế kết cấu cơng trình, máy móc q trình Đây mơn khoa học rộng nhiều phân nhánh như: Lý thuyết đàn hồi, đàn nhớt, nhiệt đàn hồi, thủy-khí đàn hồi, dẻo, đàn-dẻo, từ biến, thủy khí động lực, động lực học mơi trường với q trình khơng cân bằng, thay đổi cấu trúc, phá hủy v v 1.2 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.2.1 Môi trường liên tục phần tử vật chất MTLT môi trường gồm có phần tử vật chất xếp liên tục khơng gian đó, chuyển động so với có tác động bên ngồi Để đơn giản trình bày, ta đồng khái niệm phần tử vật chất điểm vật chất, số lượng vật chất phân tố thể tích dV nhỏ tùy ý, tách điểm xét MTLT Điểm vật chất hoàn toàn khác với khái niệm điểm hình học khơng gian tính toán 1.2.2 Mật độ khối lượng (ρ) Mật độ khối lượng (còn gọi khối lượng riêng hay tỷ khối) đại lượng đặc trưng cho độ đậm đặc vật chất môi trường, số đo lượng vật chất có đơn vị thể tích mơi trường ρ= dm dV (1-1) Trong đó: dm khối lượng vật chất có phân tố thể tích dv điểm xét Nếu mật độ khối lượng điểm ta có mơi trường đồng 1.2.3 Tác dụng Tác dụng tác động bên ngồi vào mơi trường xét, bao gồm tác dụng lực: ta gọi ngoại lực, tác dụng lực như: tác dụng nhiệt, điện từ… Ngoại lực phân thành hai loại: Lực khối lực tác dụng bên môi trường như; trọng lực, lực quán tính… đặc ur trưng cường độ lực thể tích, ký hiệu P , giá trị lực tác dụng đơn vị thể tích Lực khối có thứ ngun [Lực]/[Chiều dài]3 Lực mặt lực tác dụng bề mặt bao xung quanh mơi trường, kết tác dụng tương hỗ môi trường bao quanh lên môi trường xét: lực tiếp xúc, áp uur suất v v… Lực mặt đặc trưng cường độ lực mặt, ký hiệu q n , giá trị lực tác dụng r đơn vị diện tích bề mặt điểm xét có pháp tuyến ngồi n (H.1-1) Lực mặt có thứ ngun [Lực]/[Chiều dài]2 qn n P Hình.1-1 1.2.4 Nội lực, ứng suất, phương pháp mặt cắt Khi chịu tác dụng ngồi đó, mơi trường chuyển động biến dạng, phần tử vật chất dịch chuyển, lực tương tác phần tử thay đổi Lượng thay đổi lực tương tác phần tử gọi nội lực Để xác định nội lực điểm M trạng thái biến dạng mơi trường, ta dùng phương pháp mặt cắt sau: tưởng tượng cắt môi trường thành hai phần riêng biệt mặt phẳng n qua M(Từ tên mặt phẳng gọi tên pháp tuyến ngồi nó) (Hình.12a) dPn n M dF n n M (a) Hình.1-2 (b) Lực tác dụng tương hỗ hai phần môi trường mặt cắt n phân chia, nội lực tác dụng mặt cắt Nội lực hệ lực phân bố bề mặt, đặc trưng cường độ uur Cường độ nội lực điểm M, ký hiệu Pn , tính sau: uur uur dP pn = n dF (1-2) uur Trong đó: dPn hợp nội lực tác dụng vi phân diện tích dF bao quanh điểm M (H.12b) (Xét trường hợp phi mômen, nghĩa dời hệ nội lực phân bố diện tích dF đặt M véc tơ mơmen khơng) uur p n gọi ứng suất toàn phần điểm M tương ứng với mặt cắt n qua điểm xét Ứng suất đại lượng véc tơ có thứ nguyên [Lực]/[Chiều dài]2 uur Rõ ràng, véc tơ ứng suất p n khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M, mà phụ thuộc vào phương pháp tuyến mặt cắt chưa biết trước phương 1.2.5 Biến dạng chuyển vị, vận tốc, gia tốc chuyển động biến dạng Xét MTLT tích V, bề mặt bao quanh S, chiếm miền khơng gian Euclide ba chiều Hình thái MTLT (bao gồm hình thái học, hình học, lượng ….) thời điểm t coi xác định, ta tương ứng phần tử thể tích mơi trường với điểm không gian chúng chiếm chỗ Biến dạng mơi trường thay đổi hình dáng, kích thước hình học ban đầu chuyển từ trạng thái ban đầu sang trạng thái biến dạng Nghiên cứu biến dạng khơng cần xét q trình trung gian, nhiên nghiên cứu chảy trình biến đổi trạng thái quan trọng Để xác định biến dạng điểm mơi trường, xuất phát từ phân tích hình học, ta xác định thay đổi số yếu tố hình học là: chiều dài, góc, thể tích điểm Q trình biến đổi trạng thái MTLT, phần tử vật chất chuyển dịch Sự thay đổi vị trí phần tử vật chất gọi chuyển vị đặc trưng véc tơ chuyển vị, véc tơ nối vị trí phần tử thời điểm ban đầu to so với vị trí thời điểm t xét Xét điểm M thuộc MTLT khơng gian tính toán, hai điểm N, P lân cận M, đồng thời MN vng góc với MP Khi biến dạng, điểm M, N, P dịch chuyển tới M1, N1, P1 (Hình.1-3) r uuuuur Như vậy, véc tơ u = MM1 véc tơ chuyển vị điểm M Phương chuyển vị u chưa biết, nên tính tốn, ta phân tích thành ba thành phần biết trước phương (trong không gian ba chiều) hai thành N1 P1 M1 N M P Hình.1-3 phần (trong khơng gian hai chiều) Tương tự có véc tơ chuyển vị điểm N, điểm P, v v… Tỷ số lượng thay đổi chiều dài (do biến dạng) chiều dài ban đầu đoạn phân tố vật chất MN, gọi biến dạng dài tỷ đối theo phương MN, ký hiệu εn εn = Δ MN M1 N1 − MN = MN MN (1-3) ... Hiện náy, trường đại học kỹ thuật, sinh viên thường học nhiều môn học liên quan tới lĩnh vực học như: Sức bền vật liệu, Cơ học kết cấu, Lý thuyết đàn hồi, Cơ học đất, Cơ học chất lỏng, Cơ học chất... tới Cơ học môi trường liên tục Nội dung sách phân thành hai phần: phần đầu (gồm chương 1, 2, 3, 4) trình bày khái niệm, phương trình, định luật tổng quát Cơ học môi trường liên tục mơ hình mơi trường. .. NGHIÊN CỨU CỦA MƠN CHMTLT Cơ học mơi trường liên tục [CHMTLT] môn khoa học nghiên cứu chuyển động vĩ mô môi trường liên tục [MTLT] MTLT mơi trường có cấu tạo vật chất liên tục như: vật thể rắn, khối