Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Mơn thi: TỐN; Khối: B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC 2009 MƠN TỐN – KHỐI B Câu I
(2,0 điểm)
I.1 Đề bài: Lời giải:
• TXĐ: D R≡ • Sự biến thiên
Ta có: ' 8 8 0
1 x
y x x
x = ⎡ = − = ⇔ ⎢
= ± ⎣ Bảng biến thiên:
x −∞ -1 +∞ y' − + − +
y +∞ +∞ -2 -2
Đồ thị đồng biến khoảng (-1; 0) (1;+∞); nghịch biến khoảng (−∞ −; 1) ( )0;1 Hàm số đạt cực tiểu x = -1 x = 1; yCT = −2; đạt cực đại x = 0; yCD =0
• Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình
• Nhận xét: đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung Oy, cắt trục hoành điểm (± 2;0) I.2 Đề bài:
Lời giải:
• Số nghiệm phương trình x x2| 2− = ⇔2 | m 2x4−4x2 =2m số giao điểm đồ thị hàm số y= 2x4−4x2 đường thẳng y=2m
• Vì
( )
4 4
4
2x 4x ; 2x 4x
2x 4x
2x 4x ; 2x 4x
⎧ − − ≥
⎪ − = ⎨
− − − <
⎪⎩ nên vẽ đồ thị hàm số
4
2x 4x
y= −
sau:
-Giữ nguyên phần đồ thị hàm số (C) trục hoành -Lấy đối xứng phần đồ thị nằm trục hồnh
• Từ suy pt cho có nghiệm phân biệt ⇔ <0 2m< ⇔ < <2 m Câu II
(2,0 điểm)
II.1 Đề bài: Lời giải:
(2)2
(1) sin sin sin cos3 2cos 3sin sin
2
x x x x
x + x x −
⇔ + + = +
sin 3 cos3 2cos cos cos
6
x x x ⎛ x π ⎞ x
⇔ + = ⇔ ⎜ − ⎟=
⎝ ⎠
3
6 (k )
3
6
x x k
Z
x x k
π π
π π
⎡ − = − ⎢
⇔⎢ ∈
⎢ − = − − ⎢⎣
( )
2
2
24
x k
k Z k
x
π π
π π
⎡ = − + ⎢
⇔⎢ ∈
⎢ = + ⎢⎣
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
x= − +π kπ;
24
k
x= π + π (k ∈ Z) II.2 Đề bài:
Lời giải:
( )
2 2 2
1
1
1 13 13
x y y
xy x y
x y xy y x y xy y
⎧ + = −
+ + =
⎧⎪ ⇔⎪
⎨ ⎨
+ + =
⎪ ⎪ + + =
⎩ ⎩
Từ phương trình ta suy ra: 1 y x
y − =
+ (y≠-1), thay vào phương trình sau ta
2
7 1 13
1
y y
y y y
y y
⎛ − ⎞ +⎛ − ⎞ + = ⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )( )( )
4 2
36 33 1 12
1 3
1 1
3
y y y y y y y y
y x
x y
⇔ − − + + = ⇔ − − + + =
=
⎡ ⎡ =
⎢
⇔⎢ ⇒ ⎢ =
= ⎣
⎣
Vậy hệ có nghiệm: (x ; y) = {(1 ;
3) ; (3 ; 1)} Câu III
(1,0 điểm)
Đề bài: Lời giải:
3 3
2
1 1
3 3
1 1
3 3
1 1
3 ln ln ( )
( 1) ( 1)
3 1
ln (ln )
1 1
3 1 3
ln ln ln ln
4 ( 1) 4 4
x dx
I dx xd
x x x
d x
x x x
dx
dx dx
x x x x
+
= = −
+ + +
−
= − +
+ + +
= − + = − + − = + −
+ +
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
Câu IV (1,0 điểm)
Đề bài: Lời giải:
Gọi G trọng tâm tam giác ABC, M trung điểm AB G hình chiếu B’ lên (ABC) (giả thiết cho)
( )
(B B ABC' , ) (B B BG' , ) B BG'
⇒ = =
0
' 60
B BG
(3)3 '
B GB
Δ có
0 12
60
3
' '
2
BG a
B
BB a B G a
⎧ = ⎪ ⎫⎪ ⎪
= ⇒
⎬ ⎨ = ⎪⎭ ⎪ =
⎪⎩
(*)
Tính SABC theo a? Đặt AB = 2x
3
AC CM MA MB x
BC x
= = = =
⎧⎪ ⇒ ⎨
= ⎪⎩
3
x
GM CM
⇒ = =
Xét ΔGMB có GMB=2CAB=1200, theo định lí hàm số cosin ta có:
2 2 2. . cos1200
GB =GM +MB − GM MB
=
2
2 2.1 . 13
3
GB =⎜⎛ x⎞⎟ +x − x x⎛⎜− ⎞⎟= x
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Từ (*)
2
2
1 13
2a x x 13a
⎛ ⎞
⇒⎜ ⎟ = ⇔ =
⎝ ⎠ Vậy AC = x =
2 13a; BC =
3 3
2 13
x= a
2
1 3
2 2 13 13 104
ABC
S = AC CB= ⎜⎛ a⎟⎜⎞⎛⎜ a⎞⎟⎟= a
⎝ ⎠⎝ ⎠ (đvdd)
Do ABCA’B’C’ hình trụ nên (ABC) // (A’B’C’)
( )
( ', ) ( ',( )) '
2 d A ABC =d B ABC =B G= a
( )
( )
' 13 ', 2089
A ABC ABC
V S d A ABC a
⇒ = =
Câu V (1,0 điểm)
Đề bài: Lời giải:
Ta có: A=3(x4+y4+x y2 2) 2(− x2+y2) 1+
= 3(x2+y2 2) −2(x2+y2) 3− x y2 2+1 9( 2 2) 2( 2) 1
4 x y x y
≥ + − + +
( Vì: ( 2 2) 4 2 3( 2) 3 2
x + y ≥ x y ⇒ x +y ≥ x y ) Vì: 4xy≤(x y+ )2 nên từ giả thiết
2
1 (x y) (x y)
⇒ ≤ + + + ⇒(x y+ −1) (⎡ x y+ )2+2(x y+ ) 2+ ⎤≥0
⎣ ⎦
2 2 ( ) 1
2
x y
x y x y +
⇒ + ≥ ⇒ + ≥ ≥
Do vậy: 4A=9(x2+y2) 8(− x2+y2) 4+ = ⎡8(x2+y2 2) +2⎤−8(x2+y2) (+ x2+y2 2) +2
⎣ ⎦
2 2 2
2(2( ) 1) ( )
4
x y x y
= + − + + − ≥ + =
a
M A
C
B
A’
B’
(4)4 Dấu “=” xảy
2 x= =y Vậy:
16
A= , đạt x= =y Câu Via
(2,0 điểm)
VIa.1 Đề bài: Lời giải:
Giả sử ( , ) ( ) ( 2)2 4(1) K a b ∈ C ⇒ a− +b = ( 1)C tiếp xúc với Δ1, Δ2, ta có:
2
2 50
2
a b
a b a b
R b
a = ⎡
− − ⎢
= = ⇒
⎢ = − ⎣
2 4
1: ,(1) (2 2)
5 5
8 4
( ; );
5 5
TH a b b b b a
K R
= ⇒ − + = ⇒ = ⇒ =
⇒ =
2
2 : ,(4) ( 2)
2
b b
TH a= − ⇒ − − +b = ⇒ vô nghiệm Vậy ( ; );8 4
5 5
K R=
VIa.2 Đề bài: Lời giải:
Giả sử véc tơ pháp tuyến (P) ( , , )Δ a b c ; (a2+b2+c2>0) ( ) : (P a x 1) b y( 2) c z( 1) 0(1)
⇒ − + − + − =
( )
ax by cz a b c ⇒ + + − + + =
( 2,1,3) ( ) 0(2)
B − ∈ P ⇒ − − +a b c=
Khoảng cách từ C, D tới (P):
2 2 2
2
2
0
a b
a b c a b c b c a b c b
a b c a b c
= − + − − − = + − − − ⎡
⇒ ⎢ =
+ + + + ⎣
1
7 : ,(2)
2 b
TH a= b ⇒ =c ⇒phương trình ( ) : 4P x+2y+7z−15 0=
2
3 : 0,(2)
2 a
TH b= ⇒ =c ⇒phương trình ( ) : 2P x+3z− =5 Câu VIIa
(1,0 điểm)
Đề bài: Lời giải:
Giả sử z = a +bi, (a,b ∈R ) ⇒ z = −a bi Từ giả thiết suy ra:
( ) (2 )2 2
2 10
25
a b
a b
⎧ − + − =
⎪ ⎨
+ =
⎪⎩ ⇔ 2
2 10
25 a b a b
+ = ⎧
⎨
(5)5
⇔ 2 10 2
(10 20) 25
b a
a = − ⎧
⎨ + − =
⎩ ⇔
10
8 15 25
b a
a a
= − ⎧
⎨ − + = ⎩
5 a b
= ⎧ ⇔ ⎨ =
⎩
Vậy:
4 a b
= ⎧ ⎨ = ⎩
Vậy số phức z cần tìm là: z = z = + 4i Câu VIb
(2,0 điểm)
2 điểm VIb.1 Đề bài: Lời giải:
Gọi AH ⊥ Δ ⇒( ) phương trình đường thẳng (AH) có dạng: 1.(x+ +1) 1.(y−4) 0= hay 0x y+ − =
Tọa độ H nghiệm hệ:
7
3 2
4
2 x x y
x y y
⎧ = ⎪ + − =
⎧ ⇒⎪
⎨ − − = ⎨
⎩ ⎪ = −
⎪⎩ Đỉnh B∈ Δ ⇒( ) B t t( ; −4)
ABC
Δ cân đỉnh A 2. 2 ( 7)2 ( 7)2 2 2
2 2
BC BH t t t
⇒ = = − + − = −
2
1 7
2.( ) 2 18
2 2 2
ABC
SΔ = AH BC= t− = t− =
11
7 2
2
3
2 t t
t ⎡ = ⎢ ⇒ − = ⇒ ⎢
⎢ = − ⎢⎣
Do 11 3; 3;
2 2
B⎛⎜ ⎞⎟⇒C⎛⎜ − ⎞⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 11 17
; ;
2 2
B⎛⎜− − ⎞⎟⇒C⎛⎜ ⎞⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
VIb.2 Đề bài: Lời giải:
Xét đường thẳng qua d song song (P)
( ),( )
d Q Q
⇒ ⊂ qua A ( ) / /( )Q P
Xét phương trình (Q) ⇒na/ /n( )P =(1, 2, 2)− , Q qua A (-3,0,1)
( )Q
⇒ (x+ −3) 2(y− +0) 2(7 1) 0− = ⇔ −x 2y+2z+ =1
Đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đường thẳng qua hình chiếu B lên (Q)
Ta tìm hình chiếu B0 B (Q)
Xét đường thẳng (Δ) ( )⊥ Q véc tơ phương (Δ) là: (1, 2, 2)uΔ − ⇒ Δ có phương trình:
1
x t
y t
z t
= + ⎧
⎪ = − − ⎨
⎪ = + ⎩
⇒ B0 giao (Δ) ( )Q (1⇒ + − − −t) 2( ) 2(3 ) 0t + + t + = t 4t 0t
(6)6 10
9 10
9
t t
⇒ − − = −
1 11 26 11
( ; ; ) ( ; ; )
9 9 9
B AB
⇒ − ⇒ = − ⇒ phương trình (AB)
26 11
x+ = y = z− − Câu VIIb
(1,0 điểm)
Đề bài: Lời giải:
Xét phương trình hồnh độ giao điểm:
2 1
x x m
x − − + =
⇔f(x) = 2x2 – mx – = (với x≠0)
Vì Δ =m2+ >8 ∀m f(0)≠0 nên f(x) = ln có hai nghiệm phân biệt Đường thẳng y = m – x cắt đồ thị hàm số y x2
x −
= hai điểm phân biệt A(x1 ; y1) ; B(x2 ; y2)
y1 = m – x1 ; y2 = m – x2 Theo định lí Vi-ét
1
1 2 m x x x x ⎧ + = ⎪⎪
⎨
⎪ = − ⎪⎩
Ta có: AB =
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2
2
2
16
4 8
2
x x y y x x
m
x x x x
m
⇔ − + − = ⇔ − =
⎛ ⎞
⇔ + − = ⇔⎜ ⎟ + =
⎝ ⎠ ⇔ = ±
Vậy m= ±2 giá trị cần tìm