[r]
(1)Phòng Giáo dục đề thi chọn học sinh giỏi
HuyÖn kinh môn Môn: toán toán toán toán học học học häc - Líp - Thêi gian lµm bài: 150 phút
-Câu ( 1,5 ®iĨm )
Cho biĨu thøc A= x2 −3x y +2y , víi y ≥0 a) Phân tích A thành nhân tử
b) Tính giá trị A biết : 1 ; 1
5 2 9 4 5
x= y=
− +
C©u ( 1,5 điểm )
Tìm số thực x , y , z tháa m/n :
2005 2006 2007
2005 2006 2007
y
x z
x y z
− −
− − − −
+ +
− − − =
3
Câu ( điểm )
Cho hàm số y = 2x + ( m - ) Tìm m để đồ thị hàm số đ/ cho cắt hệ trục tọa độ Oxy tạo thành tam giác có diện tích ( đơn vị diện tích )
C©u ( điểm )
Cho đờng tròn tâm O với đờng kính AB , CD không vuông gãc víi Qua C kỴ tiÕp tun d với đờng tròn Gọi E , F lần lợt chân đờng vuông góc kẻ từ A , B xuống d Gọi H hình chiếu C trªn AB
a) Chøng minh CH2 = AE BF
b) Gäi I K lần lợt giao điểm EO víi AC vµ AD Chøng minh : OI KE = OK IE
Bài 5( điểm ) Cho ∆ABC vng A có số đo độ dài cạnh huyền BC số hữu tỉ Về phía ngồi tam giác dựng hình chữ nhật BCDE cho
2
BC
CD= Gäi M N theo thứ tự giao điểm AD, AE víi BC Chøng minh 2
BM +CN
một số hữu tỉ
Câu ( điểm )
(2)Đáp án chấm toán huyện Kinh môn Câu - 1,5 ®iÓm
a) - 0,5 ®iÓm
2
3 2
A=x − x y+ y=x − x y−x y+ y Cho 0,25 ®iĨm
( ) ( ) ( )( )
x x y y x y x y x y
= − − − = − − Cho 0,25 ®iĨm
b) 5
5
x= = + = +
− − Cho 0,25®iĨm
9 ( 2)
9 (9 5).(9 5)
y= = − = − = −
+ + − Cho 0,25 ®iĨm
2
( 2 ( 2) ).( ( 2) )
A= + − − + − − Cho 0,25 ®iĨm
= 24- Cho 0,25 điểm
Câu - 1,5 điểm
ĐK : x>2005;y>2006;z>2007 Cho 0,25 điểm
Đặt x2005=a0; y2006=b0; z2007 =c0 Cho 0,25 ®iĨm
Khi đẳng thức đ/ cho trở thành : 21 21 21
4
a b c
a b c
− − −
+ + = Cho 0,25 ®iĨm
( 12 1) (12 1) (12 1)
4 4
a a b b c c
⇒ − + + − + + − + = Cho 0,25 ®iĨm
1 1 1
( ) ( ) ( )
2 2
a b c
⇒ − + − + − = Cho 0,25 ®iĨm
2009 2010 2011 a x b y c z = = ⇒ = ⇒ = = =
Cho 0,25 điểm Câu - điểm
* Đồ thị hàm số đ/ cho cắt trục tung A Cho 0,25 điểm
Xét x= nªn y =m-3 VËy A(0; m-3 )
* Đồ thị hàm số đ/ cho cắt trục hoành B Cho 0,25 điểm Xét y=0 nên x= -(m-3)/2 VËy B(-(m-3)/2;0)
Mµ ( )
2 2
AOB
m
S = ⇔ OA OB= ⇔ m− − − = Cho 0,25 ®iĨm
2 2
( 3)
4 ( 3)
2 3 2
m m m m = + − = ⇔ − = ⇔ = −
(3)C©u - ®iĨm a) - ®iĨm
Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn cã
CE= CH ; CF = CH - 0,25 ® Tam giác ACE = tam giác ACH - 0,25 đ Tam gi¸c BCF = tam gi¸c BCH - 0,25 ® nªn AE=AH ; BF = BH
XÐt tam giác ACB có góc ACB =900
nên CH2=AH.BH
nên CH2=AE.BF - 0,25 đ
b) - điểm
Vì CD đờng kính đờng tròn nên góc CAD =900 - 0,25 đ
Lại có góc EAC = góc CAH AC vuông góc với AD nên AK phân giác A tam giác AOE - 0,25 đ
Xét tam giác AOE có AI AK lần lợt phân giác phân giác A Nên AE IE KE OI KE OK IE
AO IO KO
= = = - 0,5 đ
Câu - ®iĨm
N M
B
Q
P E D
C B
A
* Kéo dài AB AC cắt ED lần lợt P , Q - 0,25 đ
H d
K D
I
E
F C
B
(4)*Theo định lý Pi -ta - go cho tam giác vuông CDP , CAP ,BEQ,BAQ , ta có : * CD2 + DP2 = PC2 = AC2 + AP2 - 0,25 đ
* BE2 + EQ2 = BQ2 = AB2 + AQ2 - 0,25 ®
* Cộng vế với vế hai đẳng thức ta có :
2CD2 + DP2 + EQ2 = BC2 +AP2 +AQ2 - 0,25 ®
* Theo Pi- ta - go cho tam giác APQ giả thiết BC2 = 2CD2 , ta cã :
PD2 +EQ2 = PQ2 (1) - 0,25 ®
* Vì BC //PQ theo định lý Ta -let ta có : 2 2 2 2 2
2 2 2
BM CN BC PD QE PQ
BM CN BC BM CN PD EQ PQ PD EQ
= =
+
⇒ = = =
+
(2) - 0,5 ®
* Tõ (1) , (2) 2 2
BM CN BC BM CN BC
⇒ + = ⇒ + = - lµ sè hữu tỉ - 0,25 đ
Câu - điểm
Đặt P= 3a+2 a+1+ 3b+2 b+1+ 3c+2 c+1
Xét x; y; z > đặt m = x+ y + z , ta có : - 0,25 đ
2
( ) 2
( ) ( ) ( ) 3( )
x y z x y z xy yz zx x y z x y y z z x x y z m
+ + = + + + + + ≤
≤ + + + + + + + + = + + = - 0,25 ®
Khi đặt x=3a+2 a+1;y=3b+2 b+1;z=3c+2 c+1 - 0,25 đ
2 ( )2 3.( ) 9( ) 6( ) 9
P x y z x y z a b c a b c
⇒ = + + ≤ + + = + + + + + + - 0,25 ®
=9.12+9+6( a+ b+ c) - 0,25 đ
Mặt khác : a+ b+ c≤ 3(a b+ +c) = 36=6 - 0,25 ®
VËy 9.12 9 6.6 153 9.17 3 17
P ≤ + + = = ⇒P≤ - 0,25 ®