Cho tam giác ABC, lấy điểm C1 thuộc cạnh AB, A1 thuộc cạnh BC, B1 thuộc cạnh CA.[r]
(1)Së Gd&§t NghƯ an kú thi chän học sinh giỏi tỉnh lớp thcs năm học 2008 - 2009
M«n thi: Toán - Bảng A
Thi gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Câu (4,5 điểm)
a) Cho A = k4 + 2k3 16k2 2k + 15 với kZ Tìm điều kiện k để A chia hết cho 16
b) Cho số tự nhiên a v b Chà ứng minh tích a.b l sà ố chẵn ln ln tìm số ngun c cho a2 + b2 + c2 l sà ố phương
Câu (5,5 điểm)
a) Giải phương trình: x2 x 16x 2
b) Cho x, y thoả mãn:
3
2 2
x 2y 4y
x x y 2y
Tính Q = x2 + y2. Câu (3,0 điểm).
Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
1 1 1
P (3 )(3 )(3 )
a b b c c a
Trong số dương a, b, c thoả mãn điều kiện
3 a +b +c
2
Câu (5,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB v CD vng góc ới E
một điểm cung nhỏ AD (E không trùng với A v D) Nà ối EC cắt OA M; nối EB cắt OD N
a) Chứng minh rằng: AM.ED = 2OM.EA b) Xác định vị trí điểm E để tổng
OM ON
AMDN đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC, lấy điểm C1 thuộc cạnh AB, A1 thuộc cạnh BC, B1 thuộc cạnh CA Biết độ d i đoạn thẳng AA1, BB1, CC1 không lớn
Chứng minh rằng: ABC S
3
(SABC l dià ện tích tam giác ABC) - - - HÕt
-Hä vµ tên thí sinh: Số báo danh: Sở Gd&Đt NghƯ an Kú thi chän häc sinh giái tØnh líp THCS
Năm học 2008 - 2009
(2)(Hớng dẫn biểu điểm chấm gồm 04 trang) Môn: toán - bảng A
-CâuNội dungĐiểm14,5a/
2,5Cho A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 víi k Z V× k Z ta xét trờng hợp:
TH1: k ch½n A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 số lẻ A kh«ng chia hÕt cho
A kh«ng chia hết cho 16 (loại) (1)
1,0 TH2: k lẻ, ta cã:
A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 = (k2 - 1)(k2 + 2k - 15) = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5)
Do k lẻ k - 1; k + 1; k - 3; k + chẵn
A = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) 2.2.2.2 = 16 (tho¶ m·n) (2)
Tõ (1) vµ (2) víi k Z mà k lẻ A chia hết cho 161,0
0,5b/Do tích a.b chẵn nên ta xét trờng hợp sau:
2,0TH1: Trong số a, b có số chẵn số lẻ Không tính tổng quát, giả sử a chẵn, b lẻ
a2 4; b2 chia cho d a2 + b2 chia cho d 1 a2 + b2 = 4m + (m N)
Chän c = 2m a2 + b2 + c2 = 4m2 + 4m + = (2m + 1)2 (tho¶ m·n) (1)1,0TH2: C¶ sè a, b cïng ch½n
a2 + b2 a2 + b2 = 4n (n N)
Chän c = n - a2 + b2 + c2 = n2 + 2n + = (n + 1)2 (thoả mÃn) (2)
(3)3,0/Giải phơng tr×nh x2 - x - 2 16x 2 §KX§:
1 x
16
Khi phơng trình x2 - x = 2( 16x 1) Đặt: 16x 2y (
1 y
2
)
+ 16x = 4y2 -4y + 1 4y2 - 4y = 16x y2 - y = 4x (*)
2
y y 4x
(x y)(x y 3)
x x 4y
x y
1
x y (loại x - y )
16
Víi x = y thay vµo (*) x2 - x = 4x x2 - 5x = x(x - 5) = 0
x (thoả mÃn) x (loại)
Vậy phơng trình có nghiệm là: x = 0,25
2,25
0,5
b/
2,5Cho x, y tho¶ m·n:
3
2 2
x 2y 4y (1) x x y 2xy (2)
(4)Tõ (2) x2(y2 + 1) = 2y x2 =
2y
y víi y
x2 x -1 x (**) Từ (*) (**) x = -1 thay vào (2) ta đợc:
y2 - 2y + = (y - 1)2 = y = 1 (x; y) = (-1; 1) (tho¶ m·n)
Q = x2 + y2 = (-1)2 + 12 = 2
1,0
1,0
0,533,0Đặt
1 x
a b ; 1
y
b c ; 1
z
c a (x, y, z > 0)
P = (3 + x)(3 + y)(3 + z)
= 27 + 3(xy+ yz + zx) + 9(x + y+ z) + xyz
≥ 279 (xyz)3 27 xyz3 xyz (*)
L¹i cã:
1 1 1 xyz
a b b c c a abc
(v× a, b, c > 0)
mµ
3
3
a b c abc abc 2
1
abc 64 xyz 64
8 abc abc
Thay vào (*) ta đợc:
2
3
P279 64 27 64 64
= 27 + 144 + 108 + 64 = 343
DÊu = cã a = b = c =
1
2 Pmin = 343 Khi a = b = c =
1,5
0,75
0,5
N M
D C
O
B A
E
(5)0,25 45,5a/
3,0XÐt COM vµ CED cã:
ˆ ˆ O E 90
ˆ
C chung
COM CED (g-g)
CO OM CE ED (1)
Do AB, CD đờng kính vng
gãc víi 1
ˆ ˆ E A 45
XÐt AMC vµ EAC cã:
1
ˆ ˆ E A 45
ˆ
C chung
AMC EAC (g-g)
AC AM CE AE
mà AC CO (do ACO vuông cân O)
AM CO OM
AE CE ED (do (1))
AM.ED = OM.AE (§PCM) 1,0
1,0 S
(6)2,5Tơng tự câu a ta có:
BON BEA
BO ON BE EA
BND BDE
DN BD 2BO DE BE BE
DN ON DE EA
ON DN ON EA
EA DE DN DE
Tõ c©u a ta cã: AM.ED = 2.OM.AE
OM ED
AM 2 EA
nªn suy
OM ON
AM DN
mµ
OM ON OM ON
2 2
AM DN AM DN
DÊu = xÈy vµ chØ khi:
OM ON ED EA
ED EA
AM DN 2EA 2ED
E điểm cung nhỏ AD
Vậy giá trị nhỏ
OM ON AM DN
E điểm chÝnh gi÷a cđa cung nhá AD 1,0 S
(7)0,5
1,051,5Không tính tổng quát, giả sö
ˆ ˆ ˆ ˆ A B C A 60
TH1: 600 Aˆ900
kỴ CH AB; BK AC
ABC
1
S CH.AB
2
mµ CH CC1 ta cã:
1
0
BB
BK 1
AB
SinA SinA SinA Sin60
ABC
1
S
2 3
(1)
TH2: Aˆ900 AB BB1 1, CH CC1
ABC
1 1
S 1.1
2
(2)
Tõ (1) vµ (2)
ABC
1 S
3
0,5
0,5
0,5
K H
A
B A1 C