Tính xác suất để lấy được 5 bông hồng trong đó có ít nhất 3 bông hồng nhung?.. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm..[r]
(1)THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2009-2010 MƠN TỐN ( Thời gian 180 phút)
ĐỀ CHÍNH THỨC I.Phần chung (7 điểm) :dành cho tất thí sinh
Câu I(2 điểm) :Cho hàm sốy x 32mx2 (m 3)x 4 có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C1) hàm số m =
2) Cho E(1; 3) đường thẳng () có phương trình x-y + = Tìm m để () cắt (Cm) ba điểm phân biệt A, B, C ( với xA = 0) cho tam giác EBC có diện tích
Câu II (2 điểm):a.Giải phương trình:
3 sin
1 2cos sin tanx
x
x x .
b.Giải hệ phương trình :
3
4 2
x y x xy
x x y x y
Câu III (1 điểm) Tính tính phân sau:
π
2
dx I
cos x 3cos x
Câu IV (1 điểm): Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy tam giác cạnh / / / a, cạnh bên 2a Gọi E trung điểm BB Xác định vị trí điểm F đoạn / AA cho khoảng cách từ F đến C/ /E nhỏ nhất. Câu V (1 điểm):Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn:
1 1
a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2
b c c a a b T
a b c
II Phần riêng (3 điểm): Thí sinh làm hai phần (Phần phần 2) Phần 1: Theo chương trình chuẩn
Câu VIa: ( điểm)
1/.ChoABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: 2x y 1 0 phân giác CD:
x y Viết phương trình đường thẳng BC.
2/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) đường thẳng d :
x 2t
y t
z 3t
Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn Câu VIIa:( điểm)
Cho m hồng trắng n hồng nhung khác Tính xác suất để lấy bơng hồng có bơng hồng nhung? Biết m, n nghiệm hệ sau:
2
3
1
9 19
2
720
m
m n m
n
C C A
P
Phần 2: Theo chương trình nâng cao Câu VIb:( điểm)
1/ Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC với đỉnh: A(-2;3), B( 14;0¿,C(2;0) 2/.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4;5;6) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A; cắt trục tọa độ I; J; K mà A trực tâm tam giác IJK
Câu VII:( điểm)
Giải hệ phương trình :
2
3
2
2
log log
4
y x y x x xy y
x y
Hết
(2)ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu ĐÁP ÁN Điểm
Ia -Tập xác định , tính y/ -Nghiệm y/ lim -Bảng biến thiên -Đồ thị
0,25 0,25 0,25 0,25 Ib PT hoành độ giao điểm :x3 2mx2 (m 3)x x
(1)
2
x(x 2mx m 2)
2 x
g(x) x 2mx m (2)
(d) cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C phương trình (2) có nghiệm phân biệt khác
/ m2 m 0 m 1 m 2
(a)
m
g(0) m
Δ
Diên tích
S BC.d(E, BC)
Khoảng cách d(E, BC) Suy BC =
2
B C B C
(x x ) 4x x 16
4m 4(m 2) 16
Giải pt m = 3, m = -2 (loại)
0,25
0,25 0,25 0,25 II a
Đk: x k 2
Phương trình cho tương đương với:
3
1
2 tan x sin 2x cot x
2
2
2(sin cos )
3
sin cos
3
tan cot
tan tan
x x
x x
x x
x x
3
3
3 6
tan tan
x x k
x
x k
,kZ
KL: So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm :
x k
; kZ
0,25
0,25
0,25
0,25 IIb.
Hệ tương đương :
2
x y x(y x)
[x(y x)] x y
Đặt u x y, v x(y x)
Hệ trở thành
2
u v
u v
Giải hệ
u
v
,
u
v
Với
u
v
giải hệ
x
y
0,25
0,25
(3)Với
u
v
giải hệ (vô nghiệm)
Nghiệm hệ :
x y
,
x
y
0,25
III π π
2
0
1
I dx dx
1 cos x cos x
Tính
π π
2
0 2
dx dx
1 x cos x 2cos
2
Tính
2
π π
2
0 2
x tan
dx 2 dx
x cos x 3 tan
2
Đặt
2
x x
tan tan t (1 tan )dx (1 tan t).dt
2
x = => t = x =
π
2 => t = π
π π
2
0 2
x tan
dx 2 dx
x cos x 3 tan
2
= π
dt 3 =
π 3
Vây
π π
2
0
1
I dx dx
1 cos x cos x
= - 3 3π
0,25
0,25
0,25
0,25
IV + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho AºO; BOy; A/Oz Khi đó: A(0;0;0), B(0;a;0); A/ (0;0;2a),,
/ 3; ;2
2
a a
C a
và E(0;a;a) F di động AA/, tọa độ F(0;0;t) với t [0;2a]
Vì C/E có độ dài khơng đổi nên d(F,C/E ) nhỏ SΔFC E/
nhỏ Ta có : /
/
1 ,
FC E
S EC EF
Ta có:
/ 3; ;
2
EF 0; ;
a a
EC a
a t a
/,
EC EF ( ; 3( ); 3)
a
t a t a a
/, ( 3 )2 3( )2 3
2
a
EC EF t a t a a
/
2
2
ΔFC E a
4t 12at 15a
1 a
S 4t 12at 15a 2
Giá trị nhỏ củaSFC E/ tùy thuộc vào giá trị tham số t
Xét f(t) = 4t2 12at + 15a
f(t) = 4t2 12at + 15a2 (t [0;2a]) f '(t) = 8t 12a
0,25
0,25
0,25 z
x C
C / F
A A /
B /
(4)3 '( )
2 a f t t
/ FC E S
nhỏ f(t) nhỏ
2
a
t
F(0;0;t) , hay FA=3FA/ ( giải pp hình học túy )
0,25
V
Đặt x
a
, y
b
, z
c
.vì
1 1
a b c nên x +y +z = 1 Và
2(1 1) 2(1 1) 2(1 1)
T x y z
y z z x x y +) Aùp dụng BĐT C.S ta có:
(x y z)
2
x y z
y z z x x y
y z z x x y
2 2 2
x y z x y z
(2x 2y 2z) 2( )
y z z x x y y z z x x y
+) Ta có:
2
2(1 1) 1 1
x x
x y z
y z y z y z y z
Tương tự
Do
2 2
x y z
T
y z z x x y
2
Đẳng thức xảy
1 x y z
hay a b c 3
0,25
0,25
0,25
0,25 VIa:1 ChoABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM:
2x y 1 0 phân giác CD:
x y Viết phương trình đường thẳng BC. Điểm C CD x y : 1 0 C t ;1 t
Suy trung điểm M AC
1 ;
2
t t
M
.
Điểm
1
: 2 7;8
2
t t
MBM x y t C
Từ A(1;2), kẻ AK CD x y: 1 I (điểm K BC ). Suy AK:x1 y 2 0 x y 1
Tọa độ điểm I thỏa hệ:
0;1
x y
I x y
Tam giác ACK cân C nên I trung điểm AK tọa độ K1;0. Đường thẳng BC qua C, K nên có phương trình:
1
4
7
x y
x y
0,25
0,25
0,25
0,25 VIa:2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) đường thẳng d có phương
trình
x 2t y t z 3t
Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách
từ d tới (P) lớn
Gọi H hình chiếu A d, mặt phẳng (P) qua A (P)//d, khoảng cách d (P) khoảng cách từ H đến (P)
Giả sử điểm I hình chiếu H lên (P), ta có AH≥HI => HI lớn A ≡ I
Vậy (P) cần tìm mặt phẳng qua A nhận AH làm véc tơ pháp tuyến
0,25
(5)H∈d⇒H(1+2t ;t ;1+3t) H hình chiếu A d nên u=(2;1;3) AH⊥d⇒AH u=0¿ véc tơ phương d) ⇒H(3;1;4)⇒AH(−7;−1;5) Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) =
7x + y -5z -77 =
0,25
0,25 VIIa Cho m hồng trắng n bơng hồng nhung khác Tính xác suất để lấy bơng
hồng có bơng hồng nhung? Biết m, n nghiệm hệ sau:
2
3
1
9 19
2
720
m
m n m
n
C C A
P
<=>
¿
Cmm −2
+cn2+3+9 2<
19 Am
1
Pn −1=720
¿{
¿
Từ (2): (n −1)!=720=6!⇔n −1=6⇔n=7 Thay n = vào (1)
m(m 1) 19
45 m
2 2
2
m m 90 19m
m2 20m 99 0 ⇔9<m<11 m∈Ζ⇒m=10
Vậy m = 10, n = Vậy ta có 10 bơng hồng trắng bơng hồng nhung, để lấy bơng hồng nhung bơng hồng ta có TH sau:
TH1: hồng nhung, hồng trắng có: C7
.C10
=1575 cách TH2: hồng nhung, hồng trắng có: C74.C101 =350 cách
TH3: bơng hồng nhung có: C75=21 cách
⇒ có 1575 + 350 + 21 = 1946 cách Số cách lấy hồng thường
C175 =6188
⇒P=1946
6188 ≈31,45 %
0,25
0,25
0,25
0,25
VIb1 Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC với đỉnh: A(-2;3),B(
4;0¿,C(2;0)
Điểm D(d;0) thuộc đoạn BC chân đường phân giác góc A
( ) ( )
2
2
2
9
1 3
4
2 4 3
81 225
9 3
16 16 4 1 3 1.
4
16 25
d DB AB
DC AC d
d d d
ỉư÷
ỗ ữ+
-ỗ
- ỗố ứữ
= Û = =
- +
-+
= = Þ - = - Þ =
+
Đường thẳng AD có phương trình:
2
3
3
x y
x y x y
+ = - Û - - = - Û =
,
và đường thẳng AC:
2
3 12
4
x y
x y x y
+
-= Û - - = - Û + - =
-Giả sử tâm I đường tròn nội tiếp có tung độ b Khi hồnh độ 1- b bán kính b Vì khoảng cách từ I tới AC phải b nên ta có:
0,25
(6)
( )
2
3
3 ;
3
4
) ;
3
)
2 b b
b b b
a b b b
b b b b
- +
-= Û - =
+
- = Þ
= == Þ =
Rõ ràng có giá trị b=
hợp lý Vậy, phương trình đường trịn
nội tiếp VABC là:
2
1 1
2
x y
ỉ ư÷ ỉ ư÷
ỗ - ữ+ -ỗ ữ=
ỗ ữữ ỗ ữữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ .
0,25
0,25
VIb2 2/.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4;5;6) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A; cắt trục tọa độ I; J; K mà A trực tâm tam giác IJK Ta có I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) ( ) :
x y z P
a b c
Ta có
(4 ;5;6), (4;5 ;6) (0; ; ), ( ;0; )
IA a JA b
JK b c IK a c
Ta có:
4
5
4
a b c b c a c
77 77
5 77
6 a b c
ptmp(P)
0,25
0,25 0,25
KL: 0,25
VII b
Giải hệ phương trình :
2
3
2
2
log log *
4
y x y x x xy y
x y
Điều kiện : x > ; y > Ta có : x2−xy+y2=(x − y 2)
2
+3 y
2
>0 ∀x , y >0
Xét x > y
3
2
VT(*)
log log
VP(*)
x y
(*) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm
Xét x < y
3
2
VT(*)
log log
VP(*)
x y
(*) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm.
Khi x = y hệ cho ta 2 0
2x 2y
⇔ x = y = √2 ( x, y > 0). Vậy hệ có nghiệm x y; 2; 2
0,25
0,25 0,25