Gà Lương Phượng

Tính xác suất để lớp học đủ ánh sáng..[r]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG MÔN TỐN 11

Câu 1: Giải phương trình a

2

2cos 3cos

5

x x

 

b

2 2

sin sin sin sin

x x x x

Câu 2: Tìm tất nghiệm thuộc đoạn 0;1 phương trình: (2x x21)(8x4 8x21) 1 .

Câu 3: Tính giới hạn sau:

1 1

lim n m

x

ax bx

A

x



    

  

  với ab0, m n,  . Câu 4: Cho tứ diện ABCD vuông D Gọi   , , góc

đường cao DH với cạnh DA, DB, DC Chứng minh rằng:

2

cos cos cos cos cos cos

6

cos cos cos

     

  

  

  

Câu 5: Chứng minh tan , tan , tan2 2

A B C

theo thứ tự lập thành cấp số cộng cos ,cos ,cosA B C theo thứ tự lập thành cấp số cộng

Câu 6: Trong lớp học có bóng đèn, bóng có xác suất bị cháy

1

ĐÁP ÁN

Câu 1: a) Giải:

6

(1) cos 3cos

5 x x     Đặt x t

phương trình cho tương đương với (1) cos3 t3cos 2t

 (cost1)(4cos2t 2cost 5) 0

+)

2

cos ( )

5

x

t   t k   x k  k 

+)

2 21

4cos 2cos cos

4

t t   t 

5 21

arccos ( )

2

x  k  k 

b)

2

2 2

sin

(2) (sin ) sin (1 sin )

2

x

x x x

     2 sin sin sin

x x x         sin sin x x       

Câu 2: Do x0;1 Đặt xcos 0;          

2

2

2

(1) 8cos (2cos 1)(8cos 8cos 1) 8cos cos 2(2cos 1) 1

8cos cos cos 1 8cos cos cos

                                  

Ta thấy 0,

    

nghiệm Do

(1) 4.2sin cos cos cos sin 2

7

sin sin

2 9 k k                                           

Nghiệm phương trình

2

cos , cos , cos

7

x  x  x 

Câu 3:

1 1 1

lim

n m m m

x

ax bx bx bx

0

1 1

lim 1m n lim m

x x

ax bx

A bx

x x

a b

A

n m

 

             

   

 

Câu 4: Đặt 2

cos cos cos cos cos cos

cos cos cos

T      

  

  

  

Và xcos , ycos , zcos, ta có , ,

DH DH DH

x y z

DA DB DC

  

Ta x2 y2 z2 1.

(Vì tứ diện ABCD vng D nên ta có hệ thức 2 2

1 1

DH DA DB DC )

Trong 0x y z, , 1 góc   , , nhọn Ta có

2 2

2 2

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

18

x y x z z y

x y z T x y z

z y x

y z y x x z y z y x x z

x z y x z y

         

     

     



Mặt khác, ta có 0   x y z 3(x2y2z2)

Do T 6 3 Đẳng thức xãy  x  y z Tứ diện ABCD vuông cân

ở D

Câu 5: Theo giả thuyết ta có tan tan 2 tan

A C B

  

sin sin

2 2.

cos cos cos

2 2

A C B

A C B

 

2

cos 2sin cos cos

2 2

1 cos 2sin (cos cos )

2 2

B B A C

B A C A C

B

 

 

   

2

2sin cos cos

2 2

1 cos cos cos 2cos cos cos

B A C A C

B A C

B A C

 

 

   

Câu 6: Gọi A, B, C, D, E tương ứng biến cố “Lớp có bóng đèn sáng”, “Lớp có bóng đèn sáng”, “Lớp có bóng đèn sáng”, “Lớp có bóng đèn sáng”, “Lớp có bóng đèn sáng” Mỗi bóng đèn có xác sáng

3 4

Theo quy tắc nhân quy tắc cộng, ta có

8 4

3 ( ) ( )

4 ( ) ( )

4 ( ) ( ) ( )

4 ( ) ( ) ( )

4 ( ) ( ) ( )

4

P A P B P C P D P E











Biến cố A B C  DE biến cố “Lớp học có đủ ánh sáng” Vì A,

B, C, D, E rời đơi nên ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )