2020

Tìm ñöôïc giaù trò cuûa m roài keát luaän ngöôïc laïi.. Tìm ñöôïc giaù trò cuûa m roài keát luaän ngöôïc laïi..[r]

BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH GVBM :ĐOÀN NGỌC DŨNG

C BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

BÀI 20 : Giải bất phương trình sau :

1) –5x2 + 4x + 12 < 2) 16x2 + 40x + 25 < 3) 3x2 – 4x +  4) x2 – x – 

5)

4 x x

14 x x

2

  



 6)

1 10 x x

7 x x

2

   

 

 7)

0 ) 30 x x )( x

(  2   8) x4 – 3x2 ÑS : 1) x < –6/5  x > 2; 2) x ; 3) x  R; 4) –2 ≤ x ≤ 3; 5) (x < 1)  (2 < x < 4)  (x > 7); 6) (x < –2)  (1 ≤ x ≤ 3)  (x > 5); 7) (–6 ≤ x ≤ –1/2)  (x ≥ 5); 8)  3x 3;

BÀI 21 : Giải bất phương trình sau :

1)

6 x x

x x

2

  

 S



3;2







1;1



2) x2 15x4  x2 71x10 S

    

1;2  3;4  5;



3) x2 x4 6x22

x x

  

  ÑS : S = ( ; 3]  [1 ; 0)  (0 ; 1]  [3 ; )

BÀI 22 : Tìm tập xác định hàm số sau : 1) y



2x5



12x



2)

1 x x

4 x x

y 2

2

 

 

 3) y x2 3x4 x8

4)

2 x x

1 x x y

2

  

 

 5)

5 x x

1

x x

1

y 2 2

    

 6) y x25x14x3

ÑS : 1) D = [–5/2 ;–2] ; 2) D = (– ; –4]  [–1/2 ; +); 3) D = R ; 4) D = (– ; –1/3)  (3 ; +) ;

5) 

  

       

  

 ;0

2 29

29 ;

D ; 6) D = (– ;–2]  [23 ; +)

BÀI 23 : Tìm a cho với x, ta ln có : x x

a x x

1 2

2

  

  

 ÑS : a

3

  

BAØI 24 : Giải hệ bất phương trình sau : 1)

  

  

  

0 x x

0 x x

2

2)

  

   

   

0 10 x x

0 x x

2

3)

  

  

  

0 x x

0 x x

2

4)

  

   

 

0 ) x x )( x (

0 x

2

ÑS : 1)–1 < x < 2; 2) 

  

       



   

 ;2

4 57

57 ;

S ; 3) 

  

  

 ;2

4 137

S ; 4) ;



1;3



3

S 

  

  

BÀI 25 : Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm :

  

 

  

3 x ) m (

0 15 x x2

ÑS : m

5

m  

D DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

BAØI 26 : Tìm giá trị m để biểu thức sau dương với x  R :

1) (m2 + 2)x2 – 2(m + 1)x + ÑS : m <

2 1

2) f(x) = (m + 4)x2 – (3m + 1)x + 3m + ÑS :

3 m 

BÀI 27 : Tìm giá trị m để biểu thức sau âm với x  R :

1) –x2 +

x m

2 – 2m2 – ÑS : m  R

2) (m – 2)x2 – 2(m – 3)x + m – ĐS : m 

BÀI 28 : Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm : 1) (m – 5)x2 – 4mx + m – =

3) x2 + (m – 2)x – 2m + =

ÑS : m

3 10

m   ; 2)

2 17 m

17

1    

 ; 3)









3 m

m    

BÀI 29 : Chứng minh phương trình sau vô nghiệm dù m lấy giá trị : 1) x2 – 2(m + 1)x + 2m2 + m + =

2) (m2 + 1)x2 + 2(m + 2)x + =

BÀI 30 : Tìm tất giá trị m để biểu thức :

1) f(x) = (m – 1)x2 (m  1)x + 2m + không âm với x  R ĐS : m 

2) f(x) = (m – 2)x2 + 2(m – 2)x – không dương với x  R ĐS : 4  m 

BAØI 31 : Cho f(x) = (m + 2)x2

– 2mx + 3m a) Tìm để bất phương trình f(x)  vơ nghiệm b) Tìm để bất phương trình f(x) > có nghiệm

BÀI 32 : Tìm tất giá trị m làm cho bất phương trình :

1) (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + 3(m – 2) > nghiệm với x  R ĐS : m >

2) mx2 + 6mx + 8m – 10  vô nghiệm ĐS : –10 < m 

3) (m + 1)x2 – 2(m – 1)x + 2m – < có nghiệm ĐS : m <

4) (m + 1)x2 – 2(m – 1)x + 3m –  có nghiệm ĐS : m 2

HẾT PHẦN

HƯỚNG DẪN GIẢI C BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

BÀI 20 : Giải bất phương trình sau :

1) –5x2 + 4x + 12 < 2) 16x2 + 40x + 25 < 3) 3x2 – 4x +  4) x2 – x – 

5)

4 x x

14 x x

2

  



 6)

1 10 x x

7 x x

2

   

 

 7)

0 ) 30 x x )( x

(  2   8) x4 – 3x2 ÑS : 1) x < –6/5  x > 2; 2) x ; 3) x  R; 4) –2 ≤ x ≤ 3; 5) (x < 1)  (2 < x < 4)  (x > 7); 6) (x < –2)  (1 ≤ x ≤ 3)  (x > 5); 7) (–6 ≤ x ≤ –1/2)  (x ≥ 5); 8)  3x 3;

 Hướng dẫn :

1)

5x2 4x120 

5

x x2

Tập nghiệm bất phương trình : 









 



 

 2;

5 ;

S

2)

16x240x250



4x5



2 0 : vô nghiệm Tập nghiệm bất phương trình : S

3)

3x24x40 nghiệm với xR tam thức bậc hai 3x24x4 có '4120

3

a  Tập nghiệm bất phương trình SR

4)

x2x602x3

Vậy tập nghiệm bất phương trình : S



2;3



5)

4 x x

14 x x

2

  

 

x  +

14 x

x2    0   0 

4 x

x2   0  0  

 

x

f     

Vaäy tập nghiệm bất phương trình S



;1

 

 2;4

 

 7;



6)

10 x x

3 x x

1 10 x x

7 x x

10 x x

7 x x

2 2

2

2

  

       

       

  

x  2 

3 x x

4 2 

     

10 x

x2   0    0 

10 x x

3 x x

2

 

  

    

Vậy tập nghiệm bất phương trình S



;2





  

1;3  5;



7)

(2x1)(x2x30)0 Ta coù : f

  

x  2x1





x2 x30



0

x  6

2

 

1 x

2     

30 x

x2   0   0 

 

x

f    

Vậy tập nghiệm bất phương trình   



5;



2 ;

S

Ta coù : x4 3x2 0x2



x23



0x2 30 x  3x



 3; 3



Vaäy S



 3; 3



BÀI 21 : Giải bất phương trình sau :

1)

6 x x

x x

2

  

 S



3;2







1;1



2) x2 15x4  x2 71x10 S

    

1;2  3;4  5;



3) x2 x4 6x22

x x

  

  ĐS : S = ( ; 3]  [1 ; 0)  (0 ; 1]  [3 ; )  Hướng dẫn :

1)

6 x x

x x

2

  



Ta coù :





6 x x

1 x

6 x x

1 x x x x

x x

2 2

2 2

2

  

 

  

 

  





vìx2 0



 

1

Xét dấu f

 

x (vế trái bất phương trình (1))

x  3 2 1 

1

x2    0  0 

6 x

x2   0  0   

 

x

f     

Tập nghiệm bất phương trình S



3;2







1;1



2)

10 x x

1

x x

1

2

2      S

    

1;2  3;4  5;



Ta coù :







10 x x x x

6 x

10 x x

1

x x

1 10

x x

1

x x

1

2

2

2

2     

  

          



 

i

* Xét dấu f

 

x (vế trái bất phương trình (i))

x  

6 x

2 

      

4 x

x2   0    0  

10 x

x2     0    0 

 

x

f      

Tập nghiệm bất phương trình S

  

1;2  3;4

 

 5;



3)

x2 x4 6x22

x x

  

  ÑS : S = ( ; 3]  [1 ; 0)  (0 ; 1]  [3 ; )

Đặt

x x

t   Ta : (4)  + t  t2 t2 – t –   t 1 (loại) hay t  (nhận)

     

  

  

   

  

    

 

           

3 x

1 x

0 x

3 x

x

1 x 0 x x

0 x x

9 x x x

3 x

2 2

4

2

Tập nghiệm bất phương trình : S = ( ; 3]  [1 ; 0)  (0 ; 1]  [3 ; )

BAØI 22 : Tìm tập xác định hàm số sau :

1)

y



2x5



12x



xác định chæ : (2x + 5)(1 – 2x)  

2 x

5  

 Vậy txđ  

2)

x x x x

y 22

 

 

 xác định :













2x

4 x x x x x x x x x 2              

 vaø x 1

 x 4 hay

2 x

Vậy tập xác định :







          ; ; D

3)

y x2 3x4 x8

Điều kiện xác định hàm số : x2 3x4 x80 x23x4 x8 * Xét dấu x2 3x4

x





4

1



4 x

x2 



0



0



                     x x x x x x x x x

2  x4 x1 xD1 



;4

 

1;



 x x D



4;1



2 x x 12 x x x x x x x 2

2       

                              

Kết luận : Tập xác định hàm số DD1D2 R

4)

x x x x y      

Điều kiện xác định hàm số x x x x2     



 

1

Mà x2x10, xR (vì x2x1 có 0 a0)

Nên bất phương trình

 

1  2x1x20  2x1x2

 

2

 x

3 x x x x 2 x                   x x x x x 2 x                      

Vaäy hàm số xác định 

3

x x3

Tập xác định hàm số 









 



 

 3;

3 ;

D

5)

Hàm số

5 x x x x

y 2 2

    

 xác định :

5 x x x x

2      









x 7x 5



x 2x 5



x x x x x x x x x 2 2 2                   29 x

0   hay

2 29 x 

Vậy tập xác định : 

                 ; 29 29 ; D

6)

y x2 5x14x3

Điều kiện xác định hàm số : x25x14x30 x2 5x14 x3

 

1

x  21 

1 x

x





2

3

7



14 x

x2 



0





0



3

x





0





 Khi x2

 

1  Khi x7

 





x 23 x 23

7 x x 14 x x x

1 2 2  

              

Vậy tập xác định hàm số D



;2

 

 23;



BÀI 23 : Tìm giá trị a cho với x, ta ln có x x a x x

1 22 

 

  

 (1), x  R

Tam thức 2x2 – 3x + có

        a

neân 2x2 – 3x + > 0, x  R

Do : (1) 2x2 + 3x –  x2 + 5x + a < 14x2 – 21x + 14, x  R

 

 

             b 14 a x 26 x 13 a a x x 2

, x  R

 

 









a

3 a a a 14 13 169 b ' a a '                         

 Vaäy a

3 5 



BÀI 24 : Giải hệ bất phương trình sau : 1)          x x x x 2 2)            10 x x x x 2 3)          x x x x 2 4)          ) x x )( x ( x 2

ÑS : 1)–1 < x < 2; 2) 

               

 ;2

4 57 57 ;

S ; 3) 

  

  

 ;2

4 137

S ; 4) ;



1;3



3 S       

 Hướng dẫn :

Giải bất phương trình hệ tìm phần giao hai tập nghiệm hai bất phương trình thuộc hệ

1)

x

2 x x x x x x x 2                          

Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình S



1;2



2)

x x x x x 12 x x x 2                           

Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình       ; S

3)

x

4 137 x 137 x hay 137 x x x x x 2                             

Vaäy 

      

 ;2

4 137

S

4)

 









 

          x x x x 2

 Giải x2 – < Bằng cách lập bảng xét dấu, ta : x2 – < 3 < x <  Giải (x – 1)(3x2 + 7x + 4)   x

3

4  

 hay x 

Do đó, ta có: x 1hay1 x

3 x hay x x                   

Vaäy ;



1;3



4

BÀI 25 : Tìm giá trị m để hệ bất phương trình sau có nghiệm :





  

 

  

3 x m

0 15 x x2

 Hướng dẫn :

 Giaûi BPT : x2 + 2x – 15 < 5 < x <  Ta coù : (m + 1)x 

 Nếu m = 1 (m + 1)x   0x  : vô nghiệm  hệ vô nghiệm, nên loại m = 1

 Neáu m > 1





1 m

3 x x m

    

 Hệ có nghiệm m

1 m

3   



 (thỏa m > 1)

 Nếu m 1





1 m

3 x x m

    

 Hệ có nghiệm

5 m m 5 m

3      



 (thoûa m < 1)

Tóm lại hệ có nghiệm :

5

m hay m >

D DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

BÀI 26 : Tìm giá trị m để biểu thức sau dương với x  R :

1) (m2 + 2)x2 – 2(m + 1)x + ÑS : m <

2 1

2) f(x) = (m + 4)x2 – (3m + 1)x + 3m + ÑS :

3 m

 Hướng dẫn :

Nhớ : ax2 bxc0,

  

     

0 a

0 R

x

1)

Đặt f(x) =



m22



x22



m1



x10,xR 









2 m m 2 m m

'        



2)

Đặt f(x) = (m + 4)x2 – (3m + 1)x + 3m +

 TH1 : a = m + =  m = 

Khi : f(x) = 11x – 11 >  x >  x > (không thỏa với x)  m =  (loại)

 TH2 : a   m 

f(x) > 0, x  R 



















 



 

  

 

   

    

 

 



0 15 m m

4 m

4 m m m

0 m

0 a

2

3 m m 15 m

4 m

   

  

    

  

Vậy m thỏa yêu cầu toán 

3 m 

BÀI 27 : Tìm giá trị m để biểu thức sau âm với x  R :

1) –x2 +

x m

2 – 2m2 – ÑS : m  R

2) (m – 2)x2 – 2(m – 3)x + m – ÑS : m 

 Hướng dẫn :

1)

Đặt f(x) = –x2 +

x m

2 – 2m2 – 1, ta coù : f(x) <

2)

Ñaët f(x) =



m2



x22



m3



xm10, xR

 TH1 : a = m – =  m =

Khi : f(x) = –10x + <  x > 1/10  m =  (loại không thỏa với x)

 TH2 : a   m 

f(x) < 0, x  R



 





   

   

 



     

     

 

    

2

m

7 m

m

0 m m m m '

2 m

0

'

: vơ lí Vậy khơng có giá trị m để đề thỏa mãn

BÀI 28 : Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm : 1) (m – 5)x2 – 4mx + m – =

2) (m + 1)x2 + 2(m – 1)x + 2m – =

3) x2 + (m – 2)x – 2m + =

ÑS : m

3 10

m   ; 2)

2 17 m

17

1    

 ; 3)









3 m

m    

 Hướng dẫn :

1)

(m – 5)x2 – 4mx + m – = (1)

 m – =  m = : phương trình (1) trở thành 20x + = 

20

x tức phương trình (1) có nghiệm,

nên nhận m = (a)

 m –  : phương trình (1) có ’ = (2m)2 – (m – 5)(m – 2) = 3m2 + 7m – 10

(1) có nghiệm ’   3m2 + 7m – 10  

3 10

m hay m  (m  5) (b) (a) (b) cho : phương trình (1) có nghiệm

3 10

m hay m 

2)

(m + 1)x2 + 2(m – 1)x + 2m – = (1)

 m + =  m = 1 : phương trình (1) trở thành 4x – = 

4

x tức phương trình (1) có nghiệm,

nên nhận m = 1 (a)

 m +   m 1 : phương trình (1) có ’ = (m – 1)2 – (m + 1)(2m – 3) = m2 – m +

(1) có nghiệm ’  m2 – m +  

2 17 m

17

1    

 vaø m 1 (b)

(a) (b) cho : phương trình (1) có nghiệm

2 17 m

17

1    



3)

x2 + (m – 2)x – 2m + = (1)

Phương trình (1) có  = (m – 2)2 – 4(–2m + 3) = m2 + 4m –

(1) có nghiệm   m2 + 4m –  









3 m

m    

BAØI 29 : Chứng minh phương trình sau vơ nghiệm dù m lấy giá trị : 1) x2 – 2(m + 1)x + 2m2 + m + = 2) (m2 + 1)x2 + 2(m + 2)x + =

 Hướng dẫn :

1)

x2 – 2(m + 1)x + 2m2 + m + = (1)

’ = (m + 1)2 – (2m2 + m + 3) = m2 + m –

Tam thức ’ có :

  

  

     

0 a

0

nên ’ < 0, m

Vậy phương trình (1) vô nghiệm dù m lấy giá trị

 Chú ý : m m (m m 2) m 1 m m 0, m

2

2

2   

  

      



   

      



    

2)

(m2 + 1)x2 + 2(m + 2)x + =

’ = (m + 2)2 – 6(m2 + 1) = 5m2 + 4m –

Tam thức ’ có :

  

  

     

0 a

0 10 '

neân ’ < 0, m Vậy phương trình (2) vô nghiệm dù m lấy giá trị

BÀI 30 : Tìm tất giá trị m để biểu thức :

1) f(x) = (m – 1)x2 (m  1)x + 2m + không âm với x  R ĐS : m 

2) f(x) = (m – 2)x2 + 2(m – 2)x – không dương với x  R ĐS : 4  m 

 Hướng dẫn :

1)

f(x) = (m – 1)x2 (m  1)x + 2m + không âm với x  R ĐS : m 

 TH1 : a =  m = Khi : f(x) =  0, x  m = (nhận)  TH2 : a   m 

f(x)  0, x  R















      

 

   

  

 

  

    

 

 

 

1 m m

1 m x m

1 m m m m

1 m 0 a

2

2  m >

Vậy m thỏa yêu cầu toán  m 

2)

f(x) = (m – 2)x2 + 2(m – 2)x – không dương với x  R ĐS : 4  m 

 TH1 : a =  m =

Khi đó, f(x) = 0x – < x  R  m = (nhận)

 TH2 : a   m 

f(x)  0, x  R 















  

  

 

  

  

 

   

   

 

 



0 m

2 m

4 m m

2 m

2 m m

0 m

' a

2 4  m <

Vậy m thỏa yêu cầu toán   m 

BAØI 31 : Cho f(x) = (m + 2)x2

– 2mx + 3m

a) Tìm để bất phương trình f(x)  vơ nghiệm b) Tìm để bất phương trình f(x) > cĩ nghiệm  Hướng dẫn :

a) Tìm để bất phương trình f(x)  vơ nghiệm Ta có f(x)  vô nghiệm  f(x) > 0, x  R

 TH1 : a =  m = –2 : (1)  4x – > 

2

x  m = –2 không thỏa

 TH2 : a   m  –2 : f(x) > 0, x  R





m

3 m

0 m

2 m

m m

2 m m m

2 m

2 m m m

0 m

' a

2

2  

       

      

 

 

   

 

  

   

 

  

   

 

 

 

Vậy với m > f(x)  vơ nghiệm

b) Tìm để bất phương trình f(x) > có nghiệm Ta có f(x) > vô nghiệm  f(x)  0, x  R

 TH1 : a =  m = –2 : (1)  4x –  

2

x  m = –2 không thỏa

 TH2 : a   m  –2 : f(x)  0, x  R





m

3 m

0 m

2 m

m m

2 m

2 m m m

0 m

' a

2

2  

       

      

 

 

   

 

  

   

 

 

 

BAØI 32 : Định m để bất phương trình :

1) (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + 3(m – 2) > nghiệm với x  R ĐS : m >

2) mx2 + 6mx + 8m – 10  vô nghiệm ĐS : –10 < m 

3) (m + 1)x2 – 2(m – 1)x + 2m – < có nghiệm ĐS :

2 17 m  

4) (m + 1)x2 – 2(m – 1)x + 3m –  có nghiệm ĐS : m 2

 Chú ý :

1) f(x) < nghiệm với x  R    

 



0 a

2) f(x) > nghiệm với x  R    

 



0 a 3) f(x) > vô nghiệm  f(x)  0, x  R 4) f(x)  vô nghiệm  f(x) > 0, x  R 5) Tìm m để f(x) < có nghiệm

Ta giải f(x) < vô nghiệm  f(x)  0, x  R Tìm giá trị m kết luận ngược lại 6) Tìm m để f(x)  có nghiệm

Ta giải f(x)  vơ nghiệm  f(x) < 0, x  R Tìm giá trị m kết luận ngược lại

 Chú ý : hệ số a có chứa tham số cần xét hai trường hợp a = a 

1)

(m – 1)x2 + 2(m + 1)x + 3m – > nghiệm với x  R ĐS : m >

Đặt f(x) = (m – 1)x2 + 2(m + 1)x + 3m –

 TH1 : a =  m = : (1)  4x – > 

4

x  m = không thỏa

 TH2 : a   m  : (1) nghiệm với x  R



 





  

  

 

   

 

 

 

0 m m m

0 m

' a

2

5 m m m

1 m

5 m 11 m

1 m

2  

   

     

 

   

 

Kết luận : (1) thỏa x  R  m >

2)

mx2 + 6mx + 8m – 10  vô nghiệm ĐS : –10 < m 

Đặt f(x) = mx2 + 6mx + 8m – 10, ta có f(x)  vô nghiệm  f(x) < 0, x  R

 TH1 : a =  m = : f(x) = 10 < 0, x  R  m = (thoûa)  TH2 : a   m 

f(x) < 0, x  R 10 m

0 m 10

0 m m 10 m

0 m

) 10 m ( m m

0 m

' a

2

2   

  

  

  

 

    

 

  

  

 

 

 

Kết luận : m thỏa yêu cầu toán  –10 < m 

3)

(m + 1)x2 – 2(m – 1)x + 2m – < có nghiệm ĐS :

2 17 m   Đặt f(x) = (m + 1)x2 – 2(m – 1)x + 2m – Ta coù f(x) < vô nghiệm  f(x)  0, x  R

 TH1 : a =  m = 1 : f(x) = 4x –  

4

x  m = 1 (không thỏa)

 TH2 : a   m 1 : f(x)  0, x  R



 









   

   

 

  

 

   

 

 

 

0 m m

1 m m m m

1 m '

0 a

2



1,56



2 17 m

17 m

17 m

1 m

 

   

  

      

  

Do

2 17

m  điều kiện để f(x) < vô nghiệm Suy f(x) < có nghiệm

4)

(m + 1)x2 – 2(m – 1)x + 3m –  có nghiệm ĐS : m 2

Đặt f(x) = (m + 1)x2 – 2(m – 1)x + 3m – Ta có f(x)  vô nghieäm  f(x) < 0, x  R

 TH1 : a =  m = 1 : f(x) = 4x – < 

2

x  m = 1 (không thỏa)

 TH2 : a   m 1 : f(x) < 0, x  R



 





  

  

 

   

 

 

 

0 m m m

1 m

' a

2

2 m m m

1 m

2 m m

1 m

4 m m

1 m

2

2  

  

   

   

 

  

   

 

   

  

Do m < –2 điều kiện để f(x) ≥ vô nghiệm Suy f(x) ≥ có nghiệm m ≥ –2

Ghi : Bài tập phần đăng vào đầu tuần sau

Các em xem làm ví dụ trước làm tập

Sau xem giải