Nhaân vaø chia vôùi bieåu thöùc lieân hôïp (neáu coù bieåu thöùc chöùa bieán soá döôùi daáu caên thöùc) hoaëc quy ñoàng maãu ñeå ñöa veà cuøng moät phaân thöùc (neáu chöùa nhieàu phaân [r]
(1)GIỚI HẠN HAØM SỐ GVBM : ĐOAØN NGỌC DŨNG B GIỚI HẠN MỘT BÊN
1) Giới hạn hữu hạn
Định nghĩa : Giả sử hàm số f xác định khoảng (x0 ; b) (x0 R) Ta nói hàm số f có giới hạn bên
phải số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0) với dãy số (xn) khoảng (x0 ; b) mà limxn
= x0, ta có limf(xn) = L Khi ta viết : lim f x L
0
x x
hay f(x) L x x0
+
Định nghĩa giới hạn bên trái hàm số phát biểu tương tự
Định nghĩa : Giả sử hàm số f xác định khoảng (a ; x0) (x0 R) Ta nói hàm số f có giới hạn bên
trái số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0) với dãy số (xn) khoảng (a ; x0) mà limxn
= x0, ta có limf(xn) = L Khi ta viết : lim f x L
0
x x
hay f(x) L x x0
–
Định lý : lim f x L lim f x lim f x L
0
0 x x x x
x
x
2) Giới hạn vô cực
Các giới hạn :
f x
lim
0
x x
;
f x
lim
0
x x
;
f x
lim
0
x x
vaø
f x
lim
0
x x
định nghĩa tương tự
Phương pháp tìm giới hạn bên hàm số :
Chuù yù raèng : x x0
nghóa xx0 x > x0 Khi x x0
nghóa xx0 x < x0
xlim f xx L
0
0
x x x x
x x x x
lim f x ; lim f x
lim f x ; lim f x L
tồn
Ví dụ : Tìm :
x
x lim
x
x > 2, ta coù : x – > x – 2 = x – Vaäy
x x
x x
lim lim
x x
Ví dụ : Tìm :
x
x lim
x
x < 2, ta coù : x – < x – 2 = –(x – 2) Vaäy
x x
x (x 2)
lim lim
x x
Ví dụ : Tìm :
x
x lim
x
x > 2, ta có : x – > x – 2 = x – Do :
x x
x x
lim lim
x x
x < 2, ta có : x – < x – 2 = –(x – 2) Do :
x x
x (x 2)
lim lim
x x
Vì
x
x lim
x
x
x lim
x
neân x
x lim
x
không tồn
Ví dụ : Tìm :
x
x lim
2
x
Với x < (2 x) x
x
x ) x )( x ( x
x
4
Vaäy
0 x ) x ( lim x
x lim
2 x 2
x
Ví dụ : Tìm :
4 ) (
x x x
2 x x lim
(2)Với x > –1 2 2 2
4
x x ) x ( )
1 x ( x
1 x ) x )( x ( x x
) x )( x ( x x
2 x
x
Vaäy
x x ) x ( lim x
x
2 x x
lim 2
) ( x ) ( x
Hoặc :
x x ) x ( lim )
1 x ( x
1 x ) x )( x ( lim
x x
) x )( x ( lim x
x
2 x x
lim 2
) ( x
) ( x
) ( x ) ( x
Ví dụ : Tìm :
1 x
x ) x (
lim 2
) (
x
0 x
) x ( x ) x x ( lim ) x )( x (
) x ( x ) x x ( lim ) x )( x (
x )
1 x x )( x ( lim x
x ) x (
lim
) ( x 2
) ( x
) ( x
) (
x
BÀI : Tìm giới hạn sau : (Giới hạn bên) 1)
x
x lim
x
ÑS : 2) x
x lim
x
ÑS : –1 3) x
x lim
x
ĐS: không tồn
4)
x
x lim
2
x
ÑS : 5)
2 ) (
x x x
2 x x lim
ÑS : 6) x x
x x lim
0
x
ÑS : –2
7)
2
x 9 x
12 x x lim
ÑS : 6
6 8)
1 x
x ) x (
lim 2
) (
x ÑS : 9) x 2
2 x lim
) (
x
ÑS :
10)
x ( 1)
x 3x
lim
x
ÑS : –1 11) x
1
lim
x x
ÑS : –1 12) x 3
x 27
x lim
ÑS :
13)
x x
x
x lim
1
x
ÑS : 2
1 14)
3
x x x
1 x x lim
ÑS : 15)
1
x x
1 x
1
lim ÑS : +
16)
x 4
1 x
1
lim 2
2
x ÑS : – 17)
2 ) (
x (x 3)
3 x x lim
ÑS : – 18) x 2x
8 x lim 2
3 x
ÑS : +
19)
x x
1 x lim 2
1
x
ÑS : + 20)
2
x x
x x x lim
ÑS : + 21) x 4x 3
1 x lim 2
4 ) (
x
ÑS : +
22)
4 x
2 x x
lim 2
2
x
ÑS : + 23)
4 x x
2 x x lim 2
2
x
ÑS : + 24)
1 x
x 1 x lim
2
x
ÑS :
1 Tìm giới hạn hàm số được cho hai cơng thức
Tìm giới hạn bên trái, bên phải giới hạn (nếu có) hàm số f(x) :
1) f(x) =
2 x hi k 2x
2 x
x
2 Tìm xlim(2) f(x) ; xlim(2) f(x) xlim2 f(x) (nếu có)
x < –2 x = –x, ta có : lim f(x) lim (2 x 1) 2
) ( x )
2 ( x
x > –2, ta coù : lim f(x) lim 2x lim 2( 2)2
) ( x
) ( x )
2 ( x
Vì lim f(x)
) (
x =
) x ( f lim
) (
x neân
) x ( f lim
2
x =
BÀI : Tìm giới hạn bên trái, bên phải giới hạn (nếu có) hàm số f(x) : 1) f(x) =
2 x hi k 2x
2 x
x
2 Tìm xlim(2) f(x);xlim(2) f(x) xlim2f(x) ĐS : 2) f(x) =
2 x hi k
x
2 x x x2
Tìm lim f(x)
2
x ;
) x ( f lim
2
x vaø
) x ( f lim
2
(3)3) f(x) =
3 x hi k x
3 x hi k
3 x x
9
2
Tìm lim f(x)
3
x ; xlim3 f(x) vaø
) x ( f lim
3
x (nếu có)
BÀI 10 :
1) Tìm m để hàm số f(x) =
1 x hi k m x x m
1 x
x x
2
3
có giới hạn x = –1 ĐS : m = m = –2
2) Tìm m để hàm số
1 x
mx
1 x x
3 x
1 x
f có giới hạn x ĐS : m = 1
Dạng : Dạng vô định
0
của hàm số lượng giác Ví dụ : Tìm:
x cos x sin
x cos x sin lim
0
x
2 x cos x sin x sin
2 x cos x sin x sin lim x cos x sin 2 x sin
2 x cos x sin 2 x sin lim x sin ) x cos (
x sin ) x cos ( lim x cos x sin
x cos x sin lim
0 x
2
0 x
x
x
1
1 x cos x sin
2 x cos x sin lim
0
x
Ví dụ : Tìm :
1 x sin x sin
1 x sin x sin
lim 2
2
x
3 x sin
1 x sin lim ) x sin )( x (sin
) x sin )( x (sin lim x sin x sin
1 x sin x sin lim
6 x
x
2 x
BÀI 11 : Tìm giới hạn sau : (Giới hạn dạng hàm số lượng giác) 1)
x cos x sin
x cos x sin lim
0
x
ÑS : –1 2) 2sin x 3sinx 1
1 x sin x sin lim 2
2
x
ÑS : –3 3) tanx
x cos lim
4 x
ÑS :
4)
x cos
x sin 1 lim
0
x
ÑS : 5) cosx
1 x sin x cos lim
2 x
ÑS : 6)
x tan x cos
1 lim
2 x
ÑS : 7)
x cos
x cos x cos lim
0
x
ÑS : 8) sin4x
1 x cos lim
0 x
ÑS : 9) tanx 1
x sin x tan lim
4
x
ÑS : 10)
x cos x sin
x sin lim
0
x ÑS : –1 11) 2sinx sin2x
x sin x cos lim
0
x
ÑS : 2
1 12)
x tan
x cos x sin lim
4
x
ÑS :–
2
13)
x sin x cos
x sin x sin
lim 2
0
x
ÑS : 14) sin2x cos2x 1
x cos x cos lim
0
x
ÑS : 15) tanx 1
1 x tan lim
3
4
x
ÑS :
B GIỚI HẠN HAØM SỐ CỦA DẠNG VÔ ĐỊNH
,
– , 0.
Nhớ :
1) limx a a
x ; xlimx ; xlimx ; x lim
(4)2)
2
xlim x vaø xlim x
3)
3
xlim x vaø xlim x
Ví dụ : Tìm : lim(3x3 5x2 7)
x
3 x
3
x x
7 x x lim ) x x ( lim
Vì
3
xlim x vaø x
7 x
lim 3
x
neân lim(3x 5x 7)
2 x
BÀI 12 : Tìm giới hạn sau : (Giới hạn vô cực) 1) lim(3x3 5x2 7)
x ÑS : – 2) lim 2x 3x 12
4
x ÑS : + 3) lim 2x 3x 12
4
x ĐS : +
Dạng : Dạng vô định
Cách giải : Để khử dạng vô định
ta chia tử mẫu cho xn với n số mũ bậc cao biến số x
(hay phân tích tử mẫu thành tích chứa nhân tử xn giản ước)
v(x)
) x ( u lim
x
mẫu bậc lớn tử bậc
mẫu bậc nhỏ tử bậc
mẫu bậc tử bậc số)
laø
(C C
Ví dụ : Tìm :
1 x x
4 x x
lim 3 2
3
x
(Giới hạn dạng vô định
)
2 x
1 x 1
x x
3 lim x
1 x 1 x
x x
3 x lim x x
4 x x lim
3 x
3
3
x
3
x
hay coù thể trình bày sau :
x x 1
x x
3 lim x x
4 x x lim
3 x
2 3
x
Ví dụ : Tìm : 22 22
x (2 x)(3 x) (4 x)
) x ( ) x )( x ( lim
(Giới hạn dạng vô định
)
1 ) (
1 ) ( x x x
1 x x 1 x lim
x x x x x x
1 x x x x x x lim )
x ( ) x )( x (
) x ( ) x )( x (
lim 2 2
2
x 2
2
2
2
x 2
2
x
Ví dụ : Tìm :
3
3
x (2x 1)(x x)
1 x x lim
(Giới hạn dạng vô định
)
1 2 x
1 x
1
x x
1 lim ) x x )( x (
1 x x
lim
3
2
5 x
3
3
3
x
BÀI 13 : Tìm giới hạn sau : (Giới hạn dạng vô định
(5)1)
1 x x
4 x x
lim 3 2
3
x
ÑS : –2 2) x 6x 1
8 x x lim 4
2
x
ÑS : 3) 2x 3
1 x x lim
2
x
ÑS : +
4)
2 x x
7 x x lim 23
x
ÑS : 5)
3
x x
15 x x
lim
ÑS : 6) x x 2
x x lim 2
x ÑS :
7) 22 22
x (2 x)(3 x) (4 x)
) x ( ) x )( x ( lim
ÑS : 8) 3x
2 x x
lim
x
ÑS : 9) (x 1)(x 2)(x 3)
1 x x lim
3
x
ÑS :
10)
2
x 8x x 3
x x lim
ÑS : 2
1 11)
3
3
3
x (2x 1)(x x)
1 x x lim
ÑS : 12) x 1
5 x lim 2
3
x
ÑS : +
13) 3
x 9 3x
10 x x lim
ÑS : 14) 2x 7
11 x x lim
3
x
ÑS : + 15) 2 x 1
2 x x lim
2
x
ÑS : +
16)
1 x x
4 x x
lim 3 2
3
x
ÑS : –2 17) (2x 1)(x 1)
) x )( x (
lim 3
2
x
ÑS : 18) (3x 4) (5x 1)
) x ( ) x (
lim 2 2
3
x
ĐS:+
BÀI 14 : Tìm giới hạn sau : Ví dụ : Tìm
3 x
1 x x x lim
2
x
3 x
x x x 1 x lim
x
1 x x x lim
2 x
2
x
2
1 x
3
x x 1 lim x
3 x
x x x 1 x lim
2 x
2
x
Ví dụ : Tìm
3
2 x
1 x x
3 x x lim
3
3
2 x
3
3
2
x
3
2 x
x x
1 x
x x x lim x
1 x
1 x
x x x lim
x x
3 x x lim
Khi x +, ta coù :
x x
1
x x lim x
1 x
1 x
x x x lim x
1 x
1 x
x x x lim
3
3
2 x
3
3
2 x
3
3
2
x
Khi x –, ta coù :
x x
1
x x lim x
1 x
1 x
x x x lim x
1 x
1 x
x x x lim
3
3
2 x
3
3
2 x
3
3
2
x
BÀI 14 : Tìm giới hạn sau : 1)
3 x
1 x x x lim
2
x
ÑS : 2
1 2)
3
2 x
1 x x
3 x x lim
ÑS :1 ;–1 3) 3x
2 x x x lim
x
ÑS :–3
1
4) 3 3
x 2x 3 3 2x x
3 x x lim
ÑS : + 5)
5 x x
3 x lim
2
x
ÑS : 6) x 4
x x lim
4
x
ÑS : –
7)
17 x
12 x x lim
2
x
ÑS : 3
2 8)
3
2
x x 2x
x x x lim
ÑS : 9) 1 2x
x x lim
4
x
(6)10)
10 x
x x x lim
2
x
ÑS : –2 11) 1 2x
1 x x lim
2
x
ÑS : – 12) 2x 1
5 x x lim
2
x
ÑS : 2
1
13)
1 x
1 x x x x
lim 2
x
ÑS : 1 14) x 1 3x
5 x x lim
2
x
ÑS : +
Giới hạn dạng vơ định
Ví dụ : Tìm lim 4x2 x 2x
x
xlim 4x x 2x
2
2
x x
(4x x) 4x x
lim lim
1
4x x 2x x 4 2x
x
1 x
1 lim x x x
x lim
x
x
Ví dụ : Tìm
x x x
lim
x
x x
1 x 1 x
x x lim x x x
x x x lim x x x lim
2 x
2
2
x
x
Khi x –, ta coù :
x x x
lim
x
Khi x +, ta coù :
2 3 x
1 x 1
x lim
3 x x
1 x 1 x
x x lim
2 x
2
x
BÀI 15 : Tìm giới hạn sau : (Giới hạn dạng vô định ) 1) lim 4x2 x 2x
x ÑS : 4
1 2)
x x x
lim
x ÑS :2
7;+ 3)
x x lim
x ÑS :
4) 2
xlim x x x ÑS : 5) lim 4x 4x 2x 1
2
x ÑS : 6)
3
xlimx1 x 2x ÑS : 1/3
7) lim2x 4x2 4x 3
x ÑS :–2;– 8)
3 3
xlim x 5x x 8x ÑS: 9)
3
xlim4x 3x 64x ÑS :
1
10) lim3 x3 3x2 x2 2x
x ÑS : 11) lim2 4x 3x x x x 3
2
3
2
x ÑS :
3
Giới hạn dạng vơ định .0
Ví dụ : Tìm lim[(x 3)( x2 x)]
x
Vì
(x 3)
lim
x vaø
1 x
4
x lim
x x
x x lim ) x x ( lim
2 x
2
2
x
x
dạng .0 x + Khử dạng vơ định .0 sau :
Ta có :
1 x
4
x lim x x
4 x
x x lim x
4 x
) x x )( x ( lim )] x x )( x [( lim
2 x
2 x
2
2
x
x
Ví dụ : Tìm
4 x
x ) x (
lim 2
2
x
(Chuyển dạng 0
(7)Ta coù :
) x )( x (
) x ( x lim
4 x
x ) x ( lim
2
x
2
x
(Có dạng 0
0)
0
x ) x ( x lim
2 x
BAØI 16 : Tìm giới hạn sau : (Giới hạn dạng vô định .0)
1) lim(x 3) x2 x
x ÑS : 2) x 4
x ) x (
lim 2
2
x
ÑS : 3) 2 1
2
lim
4
2
x
x x x x
x ÑS : 2
1
4)
1 x x
x )
1 x (
lim 4 2
x ÑS : 5)x 2x x3
x 5 x lim
ÑS : 6)x
x lim (x 2)
x x
ÑS :
7) lim x x2 x
x ÑS :
3
8)
1
1 lim 2 2
0x x
x ÑS : –1 9) lim xx x 1
2
x ÑS : –2
1
10)
4 x
1 x x x
1
lim
x
ÑS :
2 11) lim x x2 2x x 2 x2 x
x ÑS : –4
1
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1) Phương pháp dùng định lý hàm số kẹp hai hàm số
Đôi ta phải sử dụng định lý kẹp để tìm giới hạn hàm số Định lý : (Định lý kẹp giới hạn hàm số)
Cho khoảng K chứa điểm x0 ba hàm số f(x), u(x) v(x) Nếu u(x) f(x) v(x) với x K\x0
neáu : limu x lim v x L
0
0 x x
x
x xlimx0f x L
Ví dụ : Tìm
x cos x lim
0 x
Với x 0, ta có : –1 x
cos –x2 x2 x
cos x2
Mặt khác : lim( x ) limx2
0 x
x neân x
1 cos x lim
0
x =
BAØI 17 : Tìm giới hạn sau : (Giới hạn dạng hàm số lượng giác) 1)
x cos x lim
0
x ÑS : 2) x x 1
x cos x sin
lim 2
x
ÑS : 3) x
1 sin x lim
0
x ÑS :
2) Phương pháp dùng định lý x
x sin lim
0
x .
Heä quaû : ) x ( u
) x ( u sin lim
a
x ; sinx
x lim
0
x ; x
x tan lim
0
x
Ví dụ : Tìm
x x sin lim
0 x
3 x
x sin lim x
x sin lim
0 x
x
Ví dụ : Tìm 2
0
x x
x cos lim
2)
2 25
25
x
2 x sin lim x
x cos
lim 2
2
0 x
0
x
BÀI 18 : Tìm giới hạn sau : 1)
x x sin lim
0
x ÑS : 2) x x2
x cos lim
ÑS : 2
25 3)
1 x
x sin lim
0
(8)4)
x sin
x cos x sin lim
3 x
ÑS :
2
5) 22
0
x x
x cos x
lim
ÑS : 6) sin x
x cos
lim 2
0 x
ÑS :
7)
x
x sin lim
0
x ÑS : 2
5 8)
x cos
x sin x lim
0
x ÑS : 9) x x3
x sin x tan
lim
ÑS :2
1
MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO
BÀI 19 : Tìm giới hạn sau : Ví dụ : Tìm
x
x x
lim
x
(DBÑH 2002) ÑS :
6
x
x x
lim
x
(DBÑH 2002) ÑS :
6
Ta coù :
x x lim x
1 x lim x
1 x x
lim
0 x
x
0 x
2 1 x
1 lim
1 x x
1 x 1 x lim x
1 x lim
0 x
x
x
1 x x
1 lim
1 x x x
1 x lim
x x lim
3
3 x
3
3 x
0
x
Vaäy
6 x
1 x x
lim
0
x
Cách khác : Xét f x x13 x1 ; f(0) =
'f x
0 f x f lim x
1 x x lim L
6 'f ; x
1
x
1 x
'f
0 x
0 x
3
BÀI 19 : Tìm giới hạn sau :
1)
x
x x
lim
x
(DBÑH 2002) ÑS :
6 2) cosx
1 x x
lim3 2
0
x
(DBÑH 2002) ÑS :
5
3)
6 x
x 6x
lim
x
(DBÑH 2002) ÑS : 15 4)
3 2
xlim x 3x x x ÑS :
3
Các em xem làm ví dụ trước làm tập Sau xem giải
(9)HƯỚNG DẪN GIẢI
Giới hạn bên
BAØI : Tìm giới hạn sau : (Giới hạn bên)
1)
x
x lim
x
x > 2, ta coù : x – > x – 2 = x – Vaäy x x
x x
lim lim
x x
2)
x
x lim
x
x < 2, ta coù : x – < x – 2 = –(x – 2) Vaäy x x
x (x 2)
lim lim
x x
3)
x
x lim
x
x > 2, ta có : x – > x – 2 = x – Do :
x x
x x
lim lim
x x
x < 2, ta có : x – < x – 2 = –(x – 2) Do :
x x
x (x 2)
lim lim
x x
Vì
x
x lim
x
x
x lim
x
neân x
x lim
x
không tồn
4)
x
x lim
2
x
Với x < (2 x) x
x
x ) x )( x ( x
x
4
Vaäy lim(2 x) x
x
x lim
2 x 2
x
5)
4 ) (
x x x
2 x x lim
Với x > –1 2 2 2
4
x x ) x ( )
1 x ( x
1 x ) x )( x ( x x
) x )( x ( x x
2 x
x
Vaäy
x x ) x ( lim x
x
2 x x
lim 2
) ( x ) ( x
Hoặc :
x x ) x ( lim )
1 x ( x
1 x ) x )( x ( lim
x x
) x )( x ( lim x
x
2 x x
lim 2
) ( x
) ( x
) ( x ) ( x
6)
x x
x x lim
0
x
Với x >
1 x
2 x x x
2 x x x
x x x2
Vaäy
2 x
2 x lim x
x x x lim
0 x
x
7)
6 x
x lim ) x )( x (
) x )( x ( lim ) x )( x (
) x )( x ( lim x
9
12 x x lim
3 x
x
x
2 x
8)
1 x
) x ( x ) x x ( lim ) x )( x (
) x ( x ) x x ( lim ) x )( x (
x )
1 x x )( x ( lim x
x ) x (
lim
) ( x 2
) ( x
) ( x ) (
x
9)
2 x
2 x lim
x x
) x ( lim
2 x x
4 x lim
2 x
2 x lim
) ( x )
2 ( x )
2 ( x )
2 (
x
10) lim ( x 2)
) x (
) x )( x ( lim
x x x lim
) ( x )
1 ( x
) ( x
(10)11) 1 x
1 lim )
1 x ( x
) x ( lim
1 x
1 x lim
0 x
x
x
13)
2 x
x lim ) x ( x
x x
lim x x
x x
lim
1 x
x
x
15)
x x
2 x x x
1 lim x
1 1 x
1
lim 22
1 x
x
0vaøx 0, x
4 x x
2 x x lim , x lim
Vì 22
1 x
x
16)
(x 2)(x 2)
1 x lim ) x )( x (
1 ) x ( lim
x x
1 lim
2 x
x
2
x (Daïng – )
Ta coù :
) ; ( x , ) x )( x (
0 ) x )( x ( lim
0 ) x ( lim
2 x
2 x
x 4
1 x
1
lim 2
2 x
17)
3 x
1 x lim )
3 x (
) x )( x ( lim )
3 x (
3 x x lim
) ( x
) ( x 2 ) (
x
Ta coù :
0 x x
0 ) x ( lim
0 ) x ( lim
) ( x
) ( x
2 ) (
x (x 3)
3 x x lim
20)
x x x
1 lim
) x x x ( x
x ) x x ( lim x
x x x lim
2 x
2
x
2 x
22)
x x
1 x lim
2 x x
1 x x lim
x
2 x x lim
2 x
x
2 x
23)
1 x x 4
x lim x
4 x
x x lim
x x
2 x x lim
x x
2 x x lim
1 x
x
x
2 x
Tìm giới hạn hàm số được cho hai cơng thức
BÀI : Tìm giới hạn bên trái, bên phải giới hạn (nếu có) hàm số f(x) :
1) f(x) =
2 x hi k 2x
2 x
x
2 Tìm xlim(2) f(x) ; lim f(x)
) (
x vaø
) x ( f lim
2
x (nếu có)
x < –2 x = –x, ta coù : lim f(x) lim (2 x 1) 2
) ( x )
2 ( x
x > –2, ta coù : lim f(x) lim 2x lim 2( 2)2
) ( x
) ( x )
2 ( x
Vì lim f(x)
) (
x =xlim(2) f(x) neân xlim2 f(x) =
2) f(x) =
2 x hi k
x
2 x x
x2 Tìm
) x ( f lim
2
x ;
) x ( f lim
2
x vaø
) x ( f lim
2
x (neáu coù)
x < 2, ta coù : lim f(x) lim (x2 2x 3)
2 x
x
x > 2, ta coù : lim f(x) lim (4x 3)
2 x
x
Vì lim f(x)
2
x
) x ( f lim
2
x neân
) x ( f lim
2
(11)3) f(x) =
3 x hi k x
3 x hi k
3 x x
9
2
Tìm lim f(x)
3 x
; lim f(x)
3 x
lim f(x)
3
x (nếu có)
Khi x > 3, ta coù : lim f(x) lim x2
3 x
x
Khi –3 x < 3, ta coù : lim f(x) lim x2
3 x
x
Vì lim f(x)
3 x
= lim f(x)
3 x
neân lim f(x)
3
x =
BAØI 10 :
1) Tìm m để hàm số f(x) =
1 x hi k m x x m
1 x
x x
2
3
có giới hạn x = –1
Khi x < –1, ta coù : lim (x x 1)
1 x
1 x lim ) x ( f
lim
1 x
1 x
x
Khi x –1, ta coù : lim f(x) lim (mx2 x m2) m2 m
1 x
x
Hàm số có giới hạn x = –1 lim f(x) lim f(x)
1 x
x
= m2 + m + m2 + m – = m = m = –2
2) Tìm m để hàm số
1 x
mx
1 x x
3 x
1 x
f có giới hạn x ĐS : m = 1
Giới hạn bên phải :
1 x x
2 x lim
x x x lim
x x
1 lim x f
lim 2
1 x
2 x
1 x
x
Giới hạn bên trái : limf x limmx 2 m
x
x
Ta có : limf x
x tồn taïi xlim1f x xlim1f x m + = m = 1
Daïng : Dạng vô định
0
0của hàm số lượng giác
BÀI 11 : Tìm giới hạn sau : (Giới hạn dạng hàm số lượng giác)
1)
2 x cos x sin x sin
2 x cos x sin x sin lim x cos x sin 2 x sin
2 x cos x sin 2 x sin lim x sin ) x cos (
x sin ) x cos ( lim x cos x sin
x cos x sin lim
0 x
2
0 x
x
x
1
1 x cos x sin
2 x cos x sin lim
0
x
2)
1 x sin
1 x sin lim ) x sin )( x (sin
) x sin )( x (sin lim x sin x sin
1 x sin x sin lim
6 x
x
2 x
3) limcosx(cosx sinx)
x cos
x sin x cos
) x sin x )(cos x sin x (cos lim x
cos x sin
x sin x cos lim tgx
x cos lim
4 x
x 2
4 x
x
4)
x cos
x sin 1 lim
0
x
Ta coù : 1 cosx
) x sin ( x sin x
cos
x sin x sin x cos
x sin x
cos
x sin 1 x cos
x sin
1
(12)(3 4sin x) cosx x
cos
x cos ) x sin (
2
2
Do : lim 4sin2x cosx
x cos
x sin 1 lim
0 x
x
5) lim2(cosx sinx) 2(0 1)
x cos
x cos x sin x cos lim x
cos
x sin ) x cos ( lim x
cos
1 x sin x cos lim
2 x
2 x
x
x
6)
x sin
x cos lim x sin x cos
x cos lim
x sin x cos
x sin lim x
cos x sin lim x
tan x cos
1 lim
2 x
2 x
2 x
x
x
B GIỚI HẠN HÀM SỐ CỦA DẠNG VƠ ĐỊNH
,
– , 0.
Nhớ :
1) limx a a
x ; xlimx ; xlimx ; x lim
x
2)
2
xlim x vaø xlim x
3)
3
xlim x vaø xlim x
BÀI 12 : Tìm giới hạn sau : (Giới hạn vô cực)
1)
3 x
3
x x
7 x x lim ) x x ( lim
Vì
3
xlim x vaø x
7 x
lim 3
x
neân lim(3x 5x 7)
2 x
2) 3 4
x
x x
12 x
3 x lim 12 x x
lim
Vì
2
xlim x vaø x
12 x
3
lim 3 4
x
neân lim 2x 3x12
4 x
3) lim x2 3x 5x 1
x ÑS :
Ta coù :
x
1 x
1 x x lim
x x
1 x x lim x x x
lim 2
x
x
x
x
1 x
1 x lim x
lim
Vì 2
x
x
Dạng : Dạng vô ñònh
Cách giải : Để khử dạng vô định
ta chia tử mẫu cho xn với n số mũ bậc cao biến số x
(hay phân tích tử mẫu thành tích chứa nhân tử xn giản ước)
v(x)
) x ( u lim
x
mẫu bậc lớn tử bậc
mẫu bậc nhỏ tử bậc
mẫu bậc tử bậc số)
laø
(C C
BÀI 13 : Tìm giới hạn sau : (Giới hạn dạng vô định
(13)1) x
1 x 1
x x
3 lim x
1 x 1 x
x x
3 x lim x x
4 x x lim
3 x
3
3
x
3
x
hay trình bày sau :
x x 1
x x
3 lim x x
4 x x lim
3 x
2 3
x
2)
x x
6
x x
3 x
1 lim x x
8 x x lim
4
4 x
2
x
3)
2 x
2 x
x x
x x lim
x
1 x x lim
Maø :
0 x , x
3 x
0 x
3 x lim
0 x
1 x lim
2 x
2 x
2x 3
1 x x lim
2 x
Caùch khaùc :
x
x x x lim x
3 x
x x x lim
x
1 x x
lim
x 2
x
x
2
1 x
x x lim x
lim Vì
2 x
x
4)
2 x x
7 x x lim 23
x
ÑS :
Ta coù :
3
3 x
3
3
x
3 x
x x
3 x
x x
2 lim x
2 x
3 x x
x x
2 x lim
x x
7 x x lim
Maø :
0 x , x
2 x x x
2 x
3 x
0 x
2 x
3 x lim
0 x
7 x
2 lim
0
3
3 x
3 x
2 x x
7 x x lim 23
x
=
(14)Ta coù :
2 x
2
3
x
3 x
x x
x x
2 x lim x
2 x x
x x
2 x lim
x x
7 x x lim
x x
x x
2 lim x
lim Vì
2 x
x vaø
7)
1 ) (
1 ) ( x x x
1 x x 1 x lim
x x x x x x
1 x x x x x x lim )
x ( ) x )( x (
) x ( ) x )( x (
lim 2 2
2
x 2
2
2
2
x 2
2
x
8)
x
x x x lim x
2 x
x x x lim
x
2 x x
lim
x 2
x
x
4 x
2
x x lim vaø x
lim
Vì
x x
11)
2 x
1 x
1
x x
1 lim ) x x )( x (
1 x x
lim
3
2
5 x
3
3
3
x
Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến x dấu thức, đưa xk ngồi dấu (với k số mũ bậc cao
nhất x dấu căn), trước chia tử mẫu cho lũy thừa x BAØI 14 : Tìm giới hạn sau :
1)
3 x
x x x 1 x lim
x
1 x x x lim
2 x
2
x
2
1 x
3
x x 1 lim x
3 x
x x x 1 x lim
2 x
2
x
2)
3
3
2 x
3
3
2
x
3
2 x
x x
1 x
x x x lim x
1 x
1 x
x x x lim
x x
3 x x lim
Khi x +, ta coù :
x x
1
x x lim x
1 x
1 x
x x x lim x
1 x
1 x
x x x lim
3
3
2 x
3
3
2 x
3
3
2
x
Khi x –, ta coù :
x x
1
x x lim x
1 x
1 x
x x x lim x
1 x
1 x
x x x lim
3
3
2 x
3
3
2 x
3
3
2
x
(15)3)
3
1
x
4 x
2 x
1 x lim
x x
x x
1 x x lim x
3
2 x x x
lim
x
x
x
4)
3
2
x 2x 3 3 2x x
3 x x lim
ĐS : +
Ta có :
3
2
2
2 x
3
2
2
x
3
2
x
1 x
2 x
3 x x
x x
1 x lim x
2 x
3 x x
3 x x
1 x lim x
x 3 x
3 x x lim
3
2
2
x
1 x
2 x
3 x
x x
1 x lim
1 x
2 x
3 x
x x
1 lim vaø x
lim Vì
3
2
2
x x
7)
3 x
17
x 12 x lim x
17 x
x 12 x x lim 17
x
x 12 x x lim 17
x
12 x x lim
2 x
2 x
2
x
x
8)
3
2 x
3
2 x
3
2 x
x x
1 x lim x
2 x x
1 x x lim x
2 x
x x x lim
x 0vớimọi x
2 x x
2 x vaø x
2 x lim ; x lim
Vì
2
2
2 x
x
9)
x x
1 x
1 lim x
2
x 1 x lim x
2
x 1 x lim x
2
x x lim
2 x
3
x
x
x
Ta coù :
0 x x x
1
0 x x
1 lim
0 x
1 lim
2 x
3 x
1 2x
x x lim
4 x
13)
1 x
1 x x x x
lim 2
x
(16) x :
x 1 x
x x x
1 x x lim
x
1 x x x x
lim 2
x
2 x
1 x
1
x x x
1 x
lim 2
x
x :
x 1 x
x x x
1 x x lim
x
1 x x x x
lim 2
x
2 x
1 x
1
x x x
1 x
lim 2
x
14)
3 x
1
x x x lim
x 1 x
x x x lim x x
5 x x lim
2 x
2 2
x
2 x
1 x
1
x x lim vaø x
lim Vì
2 x
x
Dạng : Dạng vô định ( – ) , 0.
Nhân chia với biểu thức liên hợp (nếu có biểu thức chứa biến số dấu thức) quy đồng mẫu để đưa phân thức (nếu chứa nhiều phân thức) Thông thường, phép biến đổi cho phép khử dạng vô định ( – ), 0. chuyển dạng vô định
,
0 0
BÀI 15 : Tìm giới hạn sau : (Giới hạn dạng vô định )
1)
xlim 4x x 2x
2
2
x x
(4x x) 4x x
lim lim
1
4x x 2x x 4 2x
x
1 x
1 lim x x x
x lim
x
x
2)
x x
1 x 1 x
x x lim x x x
x x x lim x x x lim
2 x
2
2
x
x
Khi x –, ta coù :
x x x
lim
x
Khi x +, ta coù :
2 3 x
1 x 1
x lim
3 x x
1 x 1 x
x x lim
2 x
2
x
4)
1 x x
1 x x
1
x lim
x x x
x lim
x x x lim
2
x 2
x x
(17)Ta coù :
( x)
lim
x vaø x 1
1 x
1 x x
1
lim 2 2
x
neân
1 x x
1 x x
1
x lim
2
x
Vaäy
2 xlim x x x
Chú ý : Khi x – u(x) = 4x2 x + v(x) = 2x – nên ta có dạng vô định – Nếu
xét lim 4x2 x 2x
x ta khơng gặp dạng vơ định – u(x) = 4x x
2 + v(x) =
2x +, lim 4x2 x 2x
x = +
5)
2
4 x
3 x 4
x lim
1 x x x
x x x lim x x x lim
2 x
2
2
x
x
6) 3 2
xlimx1 x 2x ÑS : +
x x 1
2 lim
1 x x x x x x
x x x lim
x x x
lim 2
3
x
3
3
2
2 3 x
3
x
1
2
9) 3
xlim4x 3x 64x
3 2 3
2
x 3 2 3 3 2 3
4x 3x 64x
lim
4x 4x 3x 64x 3x 64x
16
1 64
x 64 x 16 x
x
lim 2
3
2
2
x
10) lim3 x3 3x2 x2 2x
x ÑS :
x 3x x 2x lim x 3x x x x 2x
lim 3 2
x
3
x
x x 2x
x x x x x x x x x
x x x
lim 22
2
3
2
3
3 x
2 1 x 1 x
x
x x
3 x
x lim
3
2
2
x
11) lim2 4x2 3x 33 x3 x x2 3
x ÑS :
3
2 4x 3x x x x 3 lim2 4x 3x 2x 3 x x x 7 x x
lim 3
x
3
2
x
Ta coù :
*
2 x
6 lim
x x x
x
2 lim x
2 x x
x x x lim x x x lim
x x
2
2
x
x
*
1 x 1 x
1 x
x
lim x
x x x x x
x x x
lim x x x lim
3
2 x
2
3
2
3
3
x
3
(18)0 x 1 x
1
1 x
3 lim
3
x
*
1 x
3 x lim
3
lim x
3 x lim
x x
lim x x lim
2 x
x
x
2
x
x
Vaäy
2 3 x x x x x
lim 3
x
BÀI 16 : Tìm giới hạn sau : (Giới hạn dạng vô định .0)
1) lim[(x 3)( x2 x)]
x
Vì
(x 3)
lim
x vaø
1 x
4
x lim
x x
x x lim ) x x ( lim
2 x
2
2
x
x
dạng .0 x + Khử dạng vơ định .0 sau :
Ta có :
1 x
4
x lim x x
4 x
x x lim x
4 x
) x x )( x ( lim )] x x )( x [( lim
2 x
2 x
2
2
x
x
2)
4 x
x ) x (
lim 2
2
x
(Chuyển dạng 0
0)
Ta có :
) x )( x (
) x ( x lim
4 x
x ) x ( lim
2
x
2
x
(Có dạng 0
0)
0
x ) x ( x lim
2 x
3)
1
2
lim
4
2
x
x x x x
x (Chuyển dạng
)
Ta coù : 2
4 x
4
x (2x 1)(x x)
2 x x lim
1 x
2 x x x x
1 lim
(Daïng
)
2 x
1 x
x x 1 lim
x 1 x x x
x x 1 x
lim 2
5 x
2
5
x
4)
x x
1
x 1 x lim
x x
) x ( x lim
x x
x )
1 x ( lim
4
2 x
2
2 x
2
x
5) 3
x
5 x lim x
4 2x x
x x
3
3
3
5 5
x 1
1
x x
lim x lim x
4
4 x 1
x
x x
x x
1 1 1 x
2 x
4 x x
5 lim
2
x
(19)
x x
3 x
3 x
lim x
x x
3 x
lim x
3 x
x x x lim x x x lim
2 x
2 x
2 2
x
x
9) lim xx x2 1
x =
2 x
1 1
1 lim
1 x x
1 x x x lim x x x lim
2 x
2 2 x
2
x
11) lim x x2 2x x2 x x
x ÑS :
1
x 2x x x x lim x x 2x x 2 x x x
x
lim 2
x
2
x
x 2x x x x x x x x x x lim x
x x
x x
x x
x x
lim 22 22
x
2
x
1 x x x x x 1 x
x lim
2
x
C.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HAØM SỐ
1) Phương pháp dùng định lý hàm số kẹp hai hàm số Đôi ta phải sử dụng định lý kẹp để tìm giới hạn hàm số Định lý : (Định lý kẹp giới hạn hàm số)
Cho khoảng K chứa điểm x0 ba hàm số f(x), u(x) v(x) Nếu u(x) f(x) v(x) với x K\x0
neáu : limu x lim v x L
0
0 x x
x
x xlimx0f x L
BÀI 17 : Tìm giới hạn sau : (Giới hạn dạng hàm số lượng giác)
1) Tìm
x cos x lim
0 x
Với x 0, ta có : –1 x
cos –x2 x2 x
cos x2
Mặt khác : lim( x ) limx2
0 x
x neân x
1 cos x lim
0
x =
2) Tìm
1 x x
x cos x sin
lim 2
x
ta có : x2 + x + > 0, sin2x 1, cosx 1, :
1 x x
3
x x
x cos x sin x x
3
2
2
Vì
1 x x
3 lim
1 x x
3
lim 2
x
x
neân x x 1
x cos x sin
lim 2
x
2) Phương pháp dùng định lý : x
x sin lim
0
x .
Heä quaû : ) x ( u
) x ( u sin lim
a
x (neáu limxau(x)0) ; sinx
x lim
0
x ; x
x tan lim
0
x
BAØI 18 : Tìm giới hạn sau :
1) 3.1
x
x sin lim x
x sin lim
0 x
x
2)
2 25
25
x
2 x sin lim x
x cos
lim 2
2
0 x
0
x
(20)3) 2( x 1) x
2 x sin lim
1 x
) 1 x ( x sin lim 1 x
x sin lim
0 x
x
x
4)
3 x
3 x sin
3 x
3 x sin lim
x x sin
3 x
3 x sin lim x
3 sin
3 x sin lim x
3 sin
x cos
3 x sin 2 lim x
3 sin
x cos x sin lim
3 x
x
x
x
x
5) 2
2
0 x
2
2
0 x x
2
x
2
x
2 x
2 x sin lim )
1 x ( x
) x )( x ( lim x
x cos lim x
1 x lim x
x cos x
1 lim
1 2 1 x
1 lim
2
x
MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO
BÀI 19 : Tìm giới hạn sau :
1)
x
x x
lim
x
(DBÑH 2002) ÑS :
6
Ta coù :
x x lim x
1 x lim x
1 x x
lim
0 x
x
0 x
2 1 x
1 lim
1 x x
1 x 1 x lim x
1 x lim
0 x
x
x
1 x x
1 lim
1 x x x
1 x lim
x x lim
3
3 x
3
3 x
0
x
Vaäy
6 x
1 x x
lim
0
x
Cách khác : Xét f x x13 x1 ; f(0) =
'f x
0 f x f lim x
1 x x lim L
6 'f ; x
1
x
1 x
'f
0 x
0 x
3
2)
x cos
1 x x
lim3 2
0
x
(DBÑH 2002) ÑS :
5
Ta coù :
3 2
3 2
x x 2
3x 1 2x 1
3x 2x
lim lim x
1 cosx 2sin
2
Tính
3 2
x 2 x 2 2 3 2
3
3x 1 3x 1
lim x lim
x
2sin 2 2sin 3x 3x 1
2
2
2
x 3 2 3 2
x
1
2
lim6 x
3
sin 3x 3x 1
2
Tính
2
x 2 x 2 2
2x 1 2x
lim x lim x
2
2sin 2sin 2x 1
2
(21)Vaäy 2 x
3x 2x
lim
1 cosx
Caùch khaùc :
2
2
3
0 x
3
0 x
x x cos
x
1 x x lim x
cos
1 x x
lim
2
2 x x sin lim x
x cos lim
2
0 x
0
x
t
1 t t x
1 x x lim
3
2
3
0 x
'f 0 2
t f t f lim
0
t
với f t 3t 2t
3
Vaäy 2
x
3x 2x
lim
1 cosx
3)
6 x
x 6x
lim
x
(DBĐH 2002) ĐS : 15
Ta có :
5
6
2
x x
x x x x x x
x 6x
lim lim
x x
2 4 3 2
2 x
x x 2x 3x 4x
lim 15
x
4) 3 2
xlim x 3x x x ÑS :
3
Ta coù L lim3 x3 3x2 x x2 x x x
5 Xét giới hạn :
1
x x
3
3 lim
x x x x x x
x lim
x x x lim A
3
2 x
2
3
3 2
2 x
3
x
2 1 x
1 x 1
x 1 lim
x x x
1 x lim
x x x lim B
2 x
2 x
2
x
Do L5 = A – B =