2020

Chöùng minh phöông trình f(x) = g(x) coù nghieäm laø moät öùng duïng raát quan troïng cuûa haøm soá lieân tuïc treân ñoaïn... Vaäy phöông trình coù ít nhaát moät nghieäm thuoäc khoaûng [r]

CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

1 TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC

 Định lý : (Định lý giá trị trung gian hàm số liên tục)

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a ; b] Nếu f(a)  f(b) với số thực M nằm f(a) (b), tồn điểm c  (a ; b) cho f(c) = M  Ý nghĩa hình học định lý :

Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a ; b] M số thực nằm f(a) f(b) đường thẳng y = M cắt đồ thị hàm số y = f(x) điểm có hồnh độ c  (a ; b)

 Hệ : Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a ; b] f(a).f(b) < tồn điểm c  (a ; b) cho f(c) =

 Hệ : Cho hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a ; b] f(a).f(b) < Khi phương trình f(x) = có nghiệm khoảng (a ; b)

 Ý nghóa hình học hệ :

Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a ; b] f(a).f(b) < đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ c  (a ; b)

2 PHƯƠNG PHÁP

Chứng minh phương trình f(x) = g(x) có nghiệm ứng dụng quan trọng hàm số liên tục đoạn

 Cần nhớ : Để chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm khoảng (a ; b), ta thực bước sau :  Chứng minh hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a ; b]

 Chứng minh f(a).f(b) <

 Phương pháp chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm

1) Chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm, ta thực bước sau : Bước : biến đổi phương trình thành dạng f(x) =

Bước : Tìm hai số a, b cho f(a).f(b) <

Bước : Chứng minh hàm số f liên tục đoạn [a ; b]

Bước : Kết luận phương trình f(x) = có nghiệm x0 (a ; b)

2) Chứng minh phương trình f(x) = có n nghiệm, ta thực bước sau : Bước : biến đổi phương trình thành dạng f(x) =

Bước : Tìm n cặp số ai, bi cho khoảng (ai ; bi) rời f(ai).f(bi) < 0, với I = 1, 2, … , n

Bước : Chứng minh hàm số f liên tục đoạn [a ; b]

Bước : Kết luận phương trình f(x) = có nghiệm xi (ai ; bi)

 Chú ý :

Khi phương trình f(x) = có chứa tham số cần chọn a, b cho :

 f(a), f(b) khơng cịn chứa tham số chứa tham số dấu không đổi (hoặc dương âm)  Hoặc f(a), f(b) chứa tham số tích f(a).f(b) ln âm

 Chú ý :

 Nếu f(a).f(b)  phương trình có nghiệm thuộc [a ; b]

 Để tìm f(a) f(b) thỏa f(a).f(b)  0, dùng kết sau : + Trong bốn số thỏa f(a)f(b)f(c)f(d)  có hai số có tích 

+ Trong ba số thỏa f(a) + f(b) + f(c) = có hai số có tích 

 Có thể thay f(a) hay f(b) giới hạn f(x) x  Khi đó, ta có : + Nếu f liên tục [a ; ) có f a.lim f x

x  phương trình f(x) = có nghiệm thuộc (a ; )

 Nếu f liên tục ( ; a] vaø f a.lim f x

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 3 CÁC VÍ DỤ

Ví dụ : Chứng minh phương trình 2x5 + 3x + = có nghiệm

 Hướng dẫn :

Đặt f(x) = 2x5 + 3x +

Ta có f(x) hàm đa thức nên liên tục R Mặt khác:

f(–1) = 3 < f(0) = >  f   1.f 0

x0 (–1 ; 0) cho f(x0) =

Vậy phương trình có nghiệm thuộc khoảng (–1 ; 0)

Ví dụ : Chứng minh phương trình x 199 4 x 2003 2x 399

   

 có nghiệm thực

 Hướng dẫn :

Đặt f  x x 199 4 x 2003 2x 399

  





Hàm số f hàm đa thức xác định R nên liên tục R  hàm số f liên tục 199,200

Ta coù :      

  200 200 199  200 200 2.200 399 f     199 f 200 1.1 f 399 199 200 199 199 199 199 f 4                       

 phương trình f x 0 có nghiệm thuộc 199;200 Vậy phương trình x 199 4 x 2003 2x 399

   

 có nghiệm thực

Ví dụ : Chứng minh phương trình : 2x3 – 6x + = có nghiệm khoảng (–2 ; 2)

 Hướng dẫn :

Hàm số f x 2x36x1 liên tục đoạn 2;2 Ta có :

 2

f    ; f 0 10 ; f 1 30 ; f 2 50

   2 f 0

f  

 nên phương trình có nghiệm 2;0  f   0.f1 0 nên phương trình có nghiệm  0 ;1  f   1.f 0 nên phương trình có nghiệm  1;2

Vậy phương trình cho có nghiệm khoảng (–2 ; 2)

Ví dụ : Chứng minh : phương trình x32x23x7 có nghiệm lớn

 Hướng dẫn :

Đặt f x x32x23x7

Ta có : hàm số f hàm đa thức xác định R nên liên tục R  1 Ta có :

                                      11 3 3 f 259 , 10 21 10 21 10 21 10 21 f 3

 3 0,259.11 2,849 f

10 21

f    

    

  2

Từ  1  2 suy phương trình f x 0 có nghiệm thuộc       ; 10 21 Vậy phương trình : x32x23x70 có nghiệm lớn

Ví dụ : Chứng minh phương trình x2cosx + xsinx + = có nghiệm thuộc (0 ; )

 Hướng dẫn :

Đặt f(x) = x2cosx + xsinx +

Mặt khác : f(0) = >

f() = 2cos + sin + = – 2 <

 f(0).f() = – 2 < (2)

Từ (1) (2) suy phương trình cho có nghiệm thuộc (0 ; )

Ví dụ : Chứng minh phương trình x3 + 2020x2 + 0,1 = có nghiệm âm

 Hướng dẫn :

Hàm số f(x) = x3 + 2020x2 + 0,1 hàm đa thức nên liên tục R

Ta coù:

f(0) = 0,1 >

Vì  

  f x

lim

x nên tồn số thực a cho f(a) <

Vì f(0).f(a) < nên theo hệ định lí giá trị trung gian hàm số liên tục, tồn số thực c  (a ; 0) cho f(c) =

 x = c nghiệm âm phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm âm  Cách khác :

Hàm số f(x) = x3 + 2018x2 + 0,1 hàm đa thức nên liên tục R

Ta coù:

f(0) = 0,1 >

f(–2222) = –997331367,9 <

 f(0).f(–2222) < nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng (–2222 ; 0) Vậy phương trình cho có nghiệm âm

Ví dụ : Chứng minh phương trình :

3

b cx bx ax

x4  2    ln có nghiệm  Hướng dẫn :

Xét hàm số

3

b cx bx

ax x ) x (

f  4 3 2   hàm đa thức nên liên tục R

 

3 c b a

f     

 

3

b

f  

3 c b a ) (

f    

 f(–1) + f(0) + f(1) =  ba số f(0), f(1), f(1) phải có hai số có tích   phương trình cho có nghiệm

Ví dụ : Chứng minh phương trình m(x – 1)(x + 2) + 2x + = ln ln có nghiệm m R  Hướng dẫn :

Đặt f(x) = m(x – 1)(x + 2) + 2x + hàm đa thức nên liên tục R Mặt khác :

f(1) = f(–2) = –3

 f(1).f(–2) = 3.(–3) < 0, m R

 phương trình cho có nghiệm thuộc khoảng (–2 ; 1) Vậy phương trình cho ln ln có nghiệm m R

Ví dụ : Cho phương trình (m + 1)(x2

+ m)x2 – (4x – 3)(m2 + 4m + 3) = (1) với m tham số Chứng minh rằng với m  R, phương trình (1) ln có nghiệm x

 Hướng dẫn

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

 f(1).f(3) = –108(m + 1) ≤ (a) + f hàm số liên tục đoạn [1; 3] (b)

Từ (a) (b) suy phương trình f(x) = có nghiệm x  [1; 3],  m  R Do phương trình (1) ln có nghiệm x

Ví dụ 10 : Chứng minh m phương trình m x sin

1 x cos

1   có nghiệm

 Hướng dẫn : Điều kiện :

2 k

x , k  Z

1

m sin x cos x m.sin x.cos x cos xsin x     

Xét hàm số f x sinxcosxm.sinx.cosx liên tục đoạn  

2 ;

0 Ta coù :

 

  f f f

0 f

        

            

  

 phương trình f x 0 có nghiệm thuộc     

 

2 ;

Vậy phương trình ln có nghiệm thuộc khoảng    



 

2 ;

0

Ví dụ 11 : Chứng minh phương trình (1 – m2)(x + 1)3 + x2 – x – = ln ln có nghiệm m R

 Hướng dẫn :

Đặt f(x) = (1 – m2)(x + 1)3 + x2 – x –

Haøm số f(x) xác định R nên liên tục R Ta coù :

 1 f   

 2 m 0, m

f   2   f   1.f 2 0 nên phương trình có nghiệm 2;1 Vậy phương trình cho ln ln có nghiệm m R

Ví dụ 12 : Chứng minh phương trình: (m2 + 1)x3 – 2m2x2 – 4x + m2 + = có nghiệm phân biệt m R  Hướng dẫn :

Xét hàm số f(x) = (m2 + 1)x3 – 2m2x2 – 4x + m2 + hàm đa thức nên liên tục R Ta có :

f(3) = 44m2 – 14 < 0, m

f(0) = m2 + > 0, m

f(1) = 2 < 0, m f(2) = m2 + > 0, m

Do đó, ta có : f(3).f(0) < ; f(0).f(1) < f(1).f(2) < với m f liên tục đoạn [3 ; 0], [0 ; 1] [1 ; 2]

Do tồn x1 ; x2 ; x3 cho 3 < x1 < < x2 < < x3 < cho f(x1) = f(x2) = f(x3) =

Suy phương trình cho có ba nghiệm : x1 ; x2 ; x3

Ví dụ 13 : Chứng minh phương trình:  x13 mxm1 ln có nghiệm lớn  Hướng dẫn :

Đặt t x1, điều kiện: t 

Khi đó, phương trình có dạng: f(t) = t3 + mt2 – t = hàm đa thức nên liên tục R

Xét hàm số y = f(t) liên tục [0 ; ) Ta có: f(0) = 1 <

Mặt khác:  

  f t

lim

t tồn c > để f(c) >

Vậy với m phương trình ln có nghiệm lớn

Ví dụ 14 : Chứng minh phương trình mx4 + 2x2 – x – m = ln ln có nghiệm m R

 Hướng dẫn :

 Xét m = Phương trình trở thành : 2x2 – x =  x =  x =

2

1 : phương trình có nghiệm

 Xét m  Phương trình trở thành : x m

1 x m

2

x4 2  

Đặt f(x) = x

m x m

2

x4  

Hàm số f(x) xác định R nên liên tục R Ta có :

 

  f x

lim

x nên tồn số âm a cho f(a) >

 

  f x

lim

x nên tồn số dương b cho f(b) > f(0) = –1 <

 f(a) f(0) < f(0) f(b) <

Vậy phương trình cho ln ln có nghiệm m R Ví dụ 15 : Chứng minh phương trình 2

1 

 

  x

mx

x x ln có nghiệm dương với m  R  Hướng dẫn

Xét hàm số

1

0



 

  x

mx

x x có tập xác định R (vì x

2 + x + > 0, x)

Hàm số f(x) xác định R nên liên tục R f(0) = –1

5 5

3

2

x x x

2 1

x x m

lim f (x) lim mx lim x

1

x x 1 x

x x

  

  

 

  

       

 

     

 

 tồn số a cho f(a) >  f(0).f(a) <

 phương trình có nghiệm x0 (0 ; a)  x0 >

Vậy phương trình ln có nghiệm dương với m  R

Ví dụ 16 : Chứng minh phương trình : acos4x + bcos3x – 2c.cosx = 2asin3x ln có nghiệm với a, b, c

 Hướng dẫn :

Xét hàm số f(x) = acos4x + bcos3x – 2c.cosx  2asin3x treân

  

 

2 ;

2 , ta có :

 f liên tục

  

 

2 ;

   2a 2a 4a

2 f

f     

              

Vậy phương trình f(x) có nghiệm  

2 ;

x , (1) có nghiệm với a, b, c Ví dụ 17 : Chứng minh phương trình x2017 x2018

a  b  c , (a, b, c  R) thỏa a b c, , 0 bc ac 2ab0 có nghiệm thuộc khoảng (0 ; 1)

 Hướng dẫn Đặt

2017 2018

( ) x x

f x

a b c

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

Hàm số f(x) xác định R nên liên tục R

(0) f

c 

1 1 (1)

f

a b c

  

1 bc ac 2ab

f (0) f (1)

a b c abc abc

 

       

Do c  nên f(0)0 nên f(0) (1)v f hai số trái dấu x0 (0 ; 1) cho f(x0) =

Vậy phương trình có nghiệm thuộc khoảng (0 ; 1)

Ví dụ 18 : Cho hàm số

( ) ( 1)

f x ax  b x x  xc a) Tính ( 2) (0)f   f 4 (1)f theo a, b, c

b) Chứng minh phương trình f(x) = ln có nghiệm thực với số thực a, b, c thỏa5a b 2c0 c0  Hướng dẫn

a) Tính f(–2) + 3f(0) + 4f(1) theo a, b, c

( 2) 16

f   a b c

(0)

f c

(1)

f   a b c

( 2) (0) (1) 16 4( ) 20

f   f  f  a b c  c a b c   a b c

b) Chứng minh phương trình f(x) = ln có nghiệm thực với số thực a, b, c thỏa 5a – b + 2c = c  Ta có: f( 2) (0) (1)  f  f 4(5a b 2 )c 0 f(0) c

Nên: có hai ba giá trị f( 2) , (0)f (1)f trái dấu  f( 2) (0) f 0 f( 2) (1) f 0 f(0) (1)f 0

Mà hàm số f x( ) hàm số xác định, liên tục R Nên phương trình f x( )0 ln có nghiệm

Ví dụ 19 : Chứng minh phương trình : a.sin3x + b.cos2x + c.cosx + sinx = ln có nghiệm  Hướng dẫn :

Đặt f(x) = a.sin3x + b.cos2x + c.cosx + sinx Hàm số f(x) xác định R nên liên tục R Ta coù : f 0 bc ; a b

2

f   

   

  ;  

c b

f    ; a b

2

f   

     

neân 0, a,b,c

2 f ) ( f f ) (

f  

                

Do tồn giá trị

   



    

2 ; ; ; q ,

p thoûa f(p).(q) 

Vậy phương trình cho ln ln có nghiệm m R

Ví dụ 20 : Chứng minh phương trình : ab(x – a)(x – b) + bc(x – b)(x – c) + ca(x – c)(x – a) = ln có nghiệm

 Hướng dẫn :

Xeùt f(x) = ab(x – a)(x – b) + bc(x – b)(x – c) + ca(x – c)(x – a) liên tục R, ta có : f(a) = bc(a – b)(a – c)

f(b) = ca(b – c)(b – a) f(c) = ab(c – a)(c – b)

 f(0).f(a).f(b).f(c) = –a2b2c2(a – b)2(b – c)2(c – a)2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = M

 Nếu M = phương trình có nghiệm 0, a, hay b, hay c

4 BÀI TẬP

BÀI : Chứng minh phương trình :

1) 2x5 + 3x + = có nghiệm

2) 3x44x36x212x200 có nghiệm

3) x5 + 2x4 – 3x – = có nghiệm

4) x199 4 x20032x3990 có nghiệm thực

5) 4x4 + 2x2 + x – = có hai nghiệm thuoäc (1 ; 1)

6) x4 – 3x2 + 5x – = có nghiệm thuộc (1 ; 2)

7) 2x3 – 6x + = có nghiệm khoảng (–2 ; 2)

8) 2x36x10 vô nghiệm khoảng ;2 2; (tức vô nghiệm x 2)

9) x5 – 3x4 + 5x – = có ba nghiệm khoảng (2 ; 5)

10) x36x120 có nghiệm dương 11) x5 – 5x – = có ba nghiệm

12) 2x3 – 10x – = có nghiệm aâm

13) x3 + x + = có nghiệm âm lớn –1

14) x32x23x7 có nghiệm lớn

15) 100x3 – 10x – = có hai nghiệm âm

16) x5 26x210 có hai nghiệm thuộc khoảng1;1 17) x2cosx + xsinx + = có nghiệm thuộc (0 ; )

18) cosx = x2 + x có nghiệm

19) x5 – 5x3 + x2 + = có nghiệm âm

20) x3 + 2020x2 + 0,1 = có nghiệm âm

21) x3 – 2018x2 – 0,1 = có nghiệm dương

22) x3 + ax2 + bx + c = có nghiệm với a, b, c  R

23)

3

b cx bx ax

x4   2    có nghiệm 24) x3 + 1011x2 + 0,1 = có nghiệm âm

25) x4 – x – = có nghiệm x

0 (1 ; 2) vaø x0712

26) x5 – x – = có nghiệm

0

x 

27) x3 – 3x2 – có nghiệm x

0 (3 ; 4) Khơng tính f 5 36 ; f15 36 Hãy chứng minh 36

x  

28) x3 + x – = coù nghiệm x

0 thỏa mãn

2 x

0  29) ax2 + bx + c = có nghiệm x

0 [0 ; 1] bieát 2a + 2b + 3c =

30) ax2 + bx + c = ln có nghiệm thuộc (0 ; 1) với 2a + 3b + 6c =

31) ax2 + bx + c = (a  0) có nghiệm

   

3 ;

0 thỏa mãn 2a + 6b + 19c = 32) atan2x + btanx + c = thỏa 2a + 3b + 6c = có nghiệm khoảng

   



  k

4 ;

k , k  Z 33) 2x631x 3 có nghiệm thuộc khoảng (–7 ; 9)

BAØI : Chứng minh phương trình :

1) m(x – 1)(x + 2) + 2x + = luôn có nghiệm m R 2) m(x – 1)7(x – 3) + 2x – = luoân có nghiệm m R

3) m(x – 1)2018(x – 3) + 2x – = luoân có nghiệm m R

4) x4 + mx2 – (4m + 1)x + 3m – = ln ln có nghiệm với tham số m

5) m

x sin

1 x cos

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

6) a

x cos

1 x sin

1



 ln có nghiệm khoảng      ;

2 với a

7) cosx + mcos2x = có nghiệm m R

8) 2sinx + cosx + m.cos2x = ln có nghiệm với m

9) (1 – m2)(x + 1)3 + x2 – x – = luôn có nghiệm m R

10) (m2 + 1)(x3 – 1) – = có nghiệm thực với số thực m

11) (m2 + 2m + 3)x4 + 2x – = luôn có nghiệm m R

12) (m2 + m + 3)(x – 2) + = luôn có nghiệm m R

13) 2012x2012 + mx2013 – m2x – 2010 = có nghiệm m R

14) (1 – m2)x5 – 3x – = có nghiệm với m

15) (m2 + 1)x3 – 2m2x2 – 4x + m2 + = có ba nghiệm phân biệt m R

16) x3 + mx2 – = ln có nghiệm dương với m

17) (m2 – m + 3).x2018 – 2x – = ln có nghiệm âm với giá trị tham số m

18)  x13 mxm1 ln có nghiệm lớn

19) x3 – 3x = m có hai nghiệm với giá trị m  (2 ; 2)

20) 1x 12x 13xm với m > tham số, ln ln có nghiệm nghiệm 21) x3 – mx2 + (m + 1)x – = ln có nghiệm phân biệt m R

22) mx4 + 2x2 – x – m = luôn có nghiệm m R

23) x5 + 4mx2 = (2m + 1)x3 + m có hai nghiệm phân biệt m R

BAØI :

1) Chứng minh phương trình : acos4x + bcos3x – 2c.cosx = 2asin3x ln có nghiệm với a, b, c 2) Chứng minh phương trình : a.sin3x + b.cos2x + c.cosx + sinx = ln có nghiệm

3) Chứng minh phương trình : ab(x – a)(x – b) + bc(x – b)(x – c) + ca(x – c)(x – a) = ln có nghiệm

4) Chứng minh phương trình : a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = ln có nghiệm

5) Cho hàm số f(x) = m x 32

3

x3  2  (m tham số) Chứng minh : m < –2 hay m > phương trình f(x) = có nghiệm phân biệt x1, x2, x3 thỏa điều kiện x1 < < x2 < x3

6) Cho f(x) = ax2 + bx + c (1) cho m > thỏa 0

m c m

b m

a

   

 Chứng minh phương trình f(x) =

có nghiệm (0 ; 1)

7) Giả sử hai hàm số y = f(x) y =       

2 x

f liên tục [0 ; 1] f(0) = f(1) Chứng minh

phương trình :  

2 x f x

f 

     

 luoân có nghiệm

   

2 ;

BAØI : Cho f hàm số liên tục [a ; b] m, n hai số dương tùy ý

Chứng minh phương trình       n m

b nf a mf x f

 

 có nghiệm thuộc [a ; b]

BAØI : Cho hàm số f(x) liên tục đồng biến đoạn [a ; b]

Chứng minh với dãy hữu hạn số c1, c2, c3, …, cn thuộc đoạn [a ; b] phương trình :

       

f c1 f c2 f c3 f cn  n

1 ) x (

f     ln có nghiệm đoạn [a ; b]

BAØI : Cho f hàm số liên tục [a ; b] Chứng minh với cách chọn xi  [a ; b],

i = 1, … , n tồn c  [a ; b] cho :         n

x f x f x f c

f     n