Bien NN roi rac chuong5

Thống kê xã hội học Khoa CTXH & PTCð Chương BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Biến NN rời rạc PPXS Biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất biến NN rời rạc Trung bình biến NN rời rạc ðộ lệch chuẩn biến NN rời rạc Giai thừa tổ hợp Phân phối xác suất nhị thức Phân phối xác suất Poisson 1 Biến ngẫu nhiên • Ví dụ Bảng sau trình bày tần suất phân phối tần suất tương ñối số lượng phương tiện ñi lại ñược sở hữu tất 2000 gia đình thành phố nhỏ Giả sử chọn ngẫu nhiên gia đình từ tổng thể Quá trình chọn ngẫu nhiên gia đình gọi phép thử ngẫu nhiên Gọi x số phương tiện lại gia đình ñược chọn Trị x năm giá trị có Trị x phụ thuộc vào gia đình chọn Như trị x phụ thuộc vào kết phép thử ngẫu nhiên Biến x ñược gọi biến ngẫu nhiên Số lượng phương tiện ñi lại Tần suất Tần suất tương ñối 30 30/2000 = 0,015 470 470/2000 = 0,235 850 850/2000 = 0,425 490 490/2000 = 0,245 160 160/2000 = 0,080 N = 2000 Tổng = 1,000 • Biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên biến mà giá trị ñược xác ñịnh kết phép thử ngẫu nhiên • Biến ngẫu nhiên rời rạc BNN rời rạc biến ngẫu nhiên mà mang giá trị ta đếm • Ví dụ Số lượng phương tiện lại mà gia đình sở hữu BNN rời rạc ta đếm giá trị nó: 0, 1, 2, (năm giá trị) • Biến ngẫu nhiên liên tục BNN liên tục biến ngẫu nhiên mà mang giá trị thuộc vào nhiều khoảng • Ví dụ Chọn ngẫu nhiên sinh viên từ tổng thể sinh viên xem chiều cao sinh viên bao nhiêu? Chiều cao sinh viên biến ngẫu nhiên liên tục mang giá trị nằm khoảng từ 1m ñến 2m chẳng hạn Biến NN rời rạc PPXS Biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất biến NN rời rạc Trung bình biến NN rời rạc ðộ lệch chuẩn biến NN rời rạc Giai thừa tổ hợp Phân phối xác suất nhị thức Phân phối xác suất Poisson Phân phối xác suất biến NN rời rạc • Phân phối xác suất BNN rời rạc liệt kê tất giá trị mà BNN mang xác suất tương ứng chúng • Trong chương ta biết tần suất tương ñối thu ñược từ phép thử mẫu dùng xấp xỉ xác suất • Ví dụ Ta có phân phối xác suất BNN rời rạc x số lượng phương tiện lại mà gia đình sở hữu sau Phân phối xác suất số lượng phương tiện lại mà gia đình sở hữu Số lượng phương tiện ñi lại (x) Xác suất P(x) 0,015 0,235 0,425 0,245 0,080 Σ P(x) = 1,000 • Tính chất phân phối xác suất ≤ P(x) ≤ với giá trị x ∑ P(x) = • Ví dụ Từ bảng phân phối xác suất ta biết xác suất mà gia đình chọn ngẫu nhiên thành phố sở hữu phương tiện ñi lại là: P(x=2) = 0,425 P(2) = 0,425 Xác suất mà gia ñình ñược chọn ngẫu nhiên sở hữu nhiều phương tiện ñi lại là: P(x>2) = P(x=3) + P(x=4) = 0,245 + 0,080 = 0,325 10 • Phân phối xác suất BNN rời rạc biểu diễn dạng cơng thức tốn học dạng bảng dạng đồ thị • Biểu diễn dạng ñồ thị (ñồ thị hình thanh) P(x) 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 x 11 • Ví dụ Theo điều tra khảo sát có ñến 60% sinh viên trường ñại học có nỗi lo âu mơn Tốn Hai sinh viên chọn ngẫu nhiên từ trường ñại học Gọi x số sinh viên mẫu có nỗi lo âu mơn Tốn Tính phân phối xác suất x Ta ký hiệu hai biến cố sau: M = sinh viên chọn lo âu mơn Tốn N = sinh viên chọn khơng lo âu mơn Tốn Từ phép thử chọn hai sinh viên ta có bốn kết xảy NN, NM, MN MM 12 13 Gọi x số sinh viên mẫu chọn có nỗi lo âu mơn Tốn Biến x BNN rời rạc Biến x mang giá trị 0, 1, P(x = 0) = P(NN) = 0,16 P(x = 1) = P(NM MN) = P(NM) + P(MN) = 0,48 P(x = 2) = P(MM) = 0,36 Phân phối xác suất biến x sau: x P(x) 0,16 0,48 0,36 ∑ P(x) = 14 Biến NN rời rạc PPXS Biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất biến NN rời rạc Trung bình biến NN rời rạc ðộ lệch chuẩn biến NN rời rạc Giai thừa tổ hợp Phân phối xác suất nhị thức Phân phối xác suất Poisson 15 Trung bình biến NN rời rạc • Nếu phép thử lặp lặp lại nhiều lần giá trị trung bình BNN rời rạc x giá trị mà ta hy vọng trung bình xảy mi ln lp ã Ký hiu l trung bỡnh BNN rời rạc x, µ tính cơng thc = x P(x) ã Trung bỡnh ca BNN rời rạc x cịn ký hiệu E(x) Khi ta có E(x) = ∑ x P(x) 16 • Ví dụ Dựa liệu q khứ, bảng sau trình bày phân phối xác suất số lần ngưng hoạt ñộng tuần máy khí Số lần ngưng hoạt động tuần (x) Xác suất P(x) 0,15 0,20 0,35 0,30 Trung bình BNN rời rạc x µ = ∑ x P(x) = 1,80 17 Ý nghĩa số trung bình hiểu sau: Nếu máy ñược sử dụng nhiều tuần lễ có tuần máy hoạt động liên tục khơng ngưng lần cả, có tuần máy ngưng hoạt ñộng lần tuần, có tuần máy ngưng hoạt động hai ba lần tuần Tuy nhiên, số trung bình ngưng hoạt ñộng máy tuần ñược cho 1,80 tính tồn thời gian máy ñược sử dụng 18 Biến NN rời rạc PPXS Biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất biến NN rời rạc Trung bình biến NN rời rạc ðộ lệch chuẩn biến NN rời rạc Giai thừa tổ hợp Phân phối xác suất nhị thức Phân phối xác suất Poisson 19 ðộ lệch chuẩn biến NN rời rạc • ðộ lệch chuẩn BNN rời rạc, ký hiệu σ, ño lường ñộ phân tán phân phối xác suất BNN rời rạc • ðộ lệch chuẩn BNN rời rạc x tính cơng thức σ= ∑ x P( x) − µ 2 20 10 • Ví dụ Baier cơng ty sản xuất linh kiện dùng máy tính Cơng ty có hai chun viên kiểm sốt chất lượng linh kiện làm để xem chúng có lỗi hay khơng trước gửi chúng đến cơng ty lắp ráp máy tính Mặc dù có hai chun viên kiểm sốt có số linh kiện bị lỗi lọt qua ñược kiểm tra mà chun viên khơng phát Gọi x số linh kiện bị lỗi ñược gởi ñi kiện hàng đóng gói kiện 400 linh kiện Bảng sau cho thấy phân phối xác suất BNN x 21 x P(x) 0,02 0,20 0,30 0,30 0,10 0,08 Tính độ lệch chuẩn BNN x Trung bình BNN x µ = Σ x P(x) = 2,50 ðộ lệch chuẩn BNN x σ = 1,204 Như với kiện hàng đóng gói gồm 400 linh kiện kỳ vọng kiện chứa trung bình 2,50 linh kiện bị lỗi với ñộ lệch chuẩn 1,204 22 11 • Giải thích độ lệch chuẩn ðộ lệch chuẩn BNN rời rạc giải thích dùng tương tự ñộ lệch chuẩn tập liệu Theo định lý Chebyshev, [1 – (1/k2)] x 100% giá trị liệu nằm khoảng k độ lệch chuẩn so với trung bình (trong k ngun lớn 1) Ví dụ với k = có 75% kiện hàng (mỗi kiện chứa 400 linh kiện) kỳ vọng chứa từ 0,092 ñến 4,908 linh kiện bị lỗi kiện µ - σ = 2,50 – 2(1,204) = 0,092 µ + σ = 2,50 + 2(1,204) = 4,908 23 Biến NN rời rạc PPXS Biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất biến NN rời rạc Trung bình biến NN rời rạc ðộ lệch chuẩn biến NN rời rạc Giai thừa tổ hợp Phân phối xác suất nhị thức Phân phối xác suất Poisson 24 12 Giai thừa tổ hợp • Giai thừa Cho n số nguyên dương, ký hiệu n! biểu diễn tích từ n, n! = … (n-1) n ðịnh nghĩa 0! = • Ví dụ 7! = = 5040 (5 – 5)! = 0! = (12 – 4)! = 8! = = (7!) = 40302 25 • Tổ hợp Giả sử kỳ thi vấn đáp có câu hỏi khác Thí sinh phải chọn ngẫu nhiên câu hỏi Hỏi có cách rút câu từ câu ñã cho? Ta có tất cách chọn (1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4) (3 4) Mỗi cách chọn cách chọn xảy gọi tổ hợp Chú ý vấn đề thứ tự khơng có ý nghĩa đây, tức (1 2) (2 1) ñược xem tổ hợp mà thơi Tính số tổ hợp? 26 13 • Số tổ hợp việc chọn ngẫu nhiên k phần tử từ n phần tử khác tính cơng thức C nk = n! k!(n − k )! • Ví dụ Một lố kem gồm có kem có mùi vị khác Bạn A muốn mua kem Nếu bạn A chọn ngẫu nhiên từ lố kem Hỏi có tổ hợp thảy? C(6, 2) = 6! / [2! (6-2)!] = 15 27 Biến NN rời rạc PPXS Biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất biến NN rời rạc Trung bình biến NN rời rạc ðộ lệch chuẩn biến NN rời rạc Giai thừa tổ hợp Phân phối xác suất nhị thức Phân phối xác suất Poisson 28 14 Phân phối xác suất nhị thức • Phép thử nhị thức Phép thử thỏa mãn ñiều kiện sau ñây ñược gọi phép thử nhị thức: - Có n lần thử - Mỗi lần thử có hai kết xảy - XS hai kết lần thử - Các lần thử độc lập, khơng ảnh hưởng 29 • Ví dụ Coi phép thử tung 10 lần đồng xu Phép thử có phải phép thử nhị thức hay không? - Phép thử có 10 lần thử Các lần tung đồng xu thực ñiều kiện - Mỗi lần tung ñồng xu cho kết xấp ngửa - Xác suất ñạt mặt sấp 1/2, đạt mặt ngửa 1/2 Xác suất khơng ñổi lần tung ñồng xu - Các lần tung đồng xu độc lập Lần tung khơng ảnh hưởng đến kết lần tung khác Vậy phép thử phép thử nhị thức 30 15 • Phân phối xác suất nhị thức Trong phép thử nhị thức, lần thử cho hai kết có Người ta thường gọi kết thành công kết thất bại Ví dụ phép thử tung 10 lần đồng xu, ta gọi mặt ngửa thành công, mặt sấp thất bại Coi BNN x biểu diễn số lần thành công n lần thử phép thử ngẫu nhiên, x ñược gọi BNN nhị thức Phân phối xác suất BNN x ñược gọi phân phối xác suất nhị thức hay gọi vắn tắt phân phối nhị thức (binomial distribution) 31 • ðối với phép thử nhị thức, xác suất ñể xảy k lần thành cơng n phép thử tính cơng thức P ( x = k ) = Cnk p k q n −k Trong đó: • n số lần thử • p xác suất thành cơng • q = – p xác suất thất bại • k số lần thành cơng n lần thử 32 16 • Ví dụ Một cơng ty sản xuất đầu máy DVD Có 5% tất đầu máy cơng ty sản xuất bị lỗi Một chuyên viên kiểm soát chất lượng chọn ngẫu nhiên ñầu máy từ dây chuyền sản xuất Xác suất để ba đầu có lỗi bao nhiêu? Chọn ngẫu nhiên ñầu máy phép thử ngẫu nhiên có số lần thử ðây phép thử nhị thức Gọi kết đầu máy chọn có lỗi thành cơng, khơng có lỗi thất bại p = P(thành cơng) = 0,05 q = P(thất bại) = – 0,05 = 0,95 33 Gọi x BNN biểu diễn số lần có lỗi (thành cơng) lần thử BNN x BNN nhị thức Xác suất ñể ñúng ba đầu máy chọn ngẫu nhiên có lỗi P(x = 1) = C(3, 1) p1 q2 = (3)(0,05)(0,9025) = 0,1354 (có thể tra bảng xác suất nhị thức) • Trung bình độ lệch chuẩn phân phối nhị thức µ = np σ = npq Trong n số lần thử, p xác suất thành công q xác suất thất bại (p + q = 1) 34 17 Biến NN rời rạc PPXS Biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất biến NN rời rạc Trung bình biến NN rời rạc ðộ lệch chuẩn biến NN rời rạc Giai thừa tổ hợp Phân phối xác suất nhị thức Phân phối xác suất Poisson 35 Phân phối xác suất Poisson • Ví dụ Trong tiệm giặt ủi, máy giặt bị hư trung bình lần tháng Hỏi xác suất ñể máy giặt hư ñúng hai lần tháng tới bao nhiêu? ðây ví dụ tốn phân phối xác suất Poisson (Simeon D Poisson nhà Tốn học Pháp) • Theo thuật ngữ phân phối xác suất Poisson, lần hư ñược gọi việc xảy Phân phối xác suất Poisson áp dụng cho phép thử có việc xảy mang tính ngẫu nhiên độc lập 36 18 • Việc xảy ngẫu nhiên theo nghĩa chúng xảy không theo khuôn mẫu Do chúng khơng thể đốn trước • Việc xảy độc lập theo nghĩa việc xảy (hoặc khơng xảy ra) biến cố khơng ảnh hưởng ñến việc xảy (hoặc không xảy ra) lần • Việc xảy xem xét ứng với khoảng (ví dụ tháng) Số lần xảy thực khoảng ngẫu nhiên độc lập 37 • Gọi x số lần thực xảy khoảng đó, x biến ngẫu nhiên rời rạc • Tóm lại, phân phối xác suất Poisson áp dụng cho phép thử thỏa ñiều kiện sau: - x biến ngẫu nhiên rời rạc - Các việc xảy ngẫu nhiên - Các việc xảy ñộc lập - Các việc xảy ñược xét khoảng 38 19 • Phân phối xác suất Poisson, gọi tắt phân phối Poisson, ñể BNN x xảy ñúng k lần khoảng ñược tính cơng thức P( x = k ) = λk e − λ k! Trong đó: • λ số trung bình xảy khoảng • e xấp xỉ 2,71828 39 • Ví dụ Trong tiệm giặt ủi, máy giặt bị hư trung bình lần tháng Hỏi xác suất ñể máy giặt hư ñúng hai lần tháng tới bao nhiêu? Gọi x số lần hư xảy máy giặt tháng, x biến ngẫu nhiên rời rạc Ta có λ = Xác suất cần tìm = P(x = 2) = (λ2 e-λ)/2! = 0,2240 (có thể tra bảng xác suất Poisson) • Trung bình ñộ lệch chuẩn phân phối Poisson µ =λ σ= λ 40 20 Tóm lại, tìm hiểu … Biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất biến NN rời rạc Trung bình biến NN rời rạc ðộ lệch chuẩn biến NN rời rạc Giai thừa tổ hợp Phân phối xác suất nhị thức Phân phối xác suất Poisson 41 Cám ơn ! 42 21 ... nằm khoảng từ 1m ñến 2m chẳng hạn Biến NN rời rạc PPXS Biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất biến NN rời rạc Trung bình biến NN rời rạc ðộ lệch chuẩn biến NN rời rạc Giai thừa tổ hợp Phân phối xác... x P(x) 0,16 0,48 0,36 ∑ P(x) = 14 Biến NN rời rạc PPXS Biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất biến NN rời rạc Trung bình biến NN rời rạc ðộ lệch chuẩn biến NN rời rạc Giai thừa tổ hợp Phân phối xác... tồn thời gian máy ñược sử dụng 18 Biến NN rời rạc PPXS Biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất biến NN rời rạc Trung bình biến NN rời rạc ðộ lệch chuẩn biến NN rời rạc Giai thừa tổ hợp Phân phối xác