Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Đáp án Kiểm tra cuối kỳ môn Hàm suy rộng Lớp K49A1T Hàmf :R→R xác định
f(x) =
1 −1< x≤0, −1 nếu0< x < 1, nếu1≤ |x| (i) Có hai cách để chứng minh câu
Cách Ta coif phiếm hàm xác định trênD(R) f :ϕ∈D(R)7→ hf, ϕi=
Z
R
f(x)ϕ(x)dx,
råi tÝnh tuyÕn tính, liên tục chứng minhsuppf tập compact
Chú ý, để chứng minhsuppf tập compact ta cần chứng minh bị chặn, cụ thể nằm trong[−1,1].Khi đó, tính đóng giá ta có ngaysuppf compact
C¸ch B»ng c¸ch coif phiếm hàm trênE(R) f :E(R)7 hf, i=
Z
−1
f(x)ϕ(x)dx,
rồi chứng minh tính tuyến tính, liên tục (ii) Dùng định nghĩa có
hDf, ϕi=ϕ(1) +ϕ(−1)−2ϕ(0) = hδ(−1) +δ(1)−2δ, i
nênDf =(1) +(1)2 (iii) CóF(Df)() = (i)Ff(), màf ∈E0(
R)nªn
Ff(ξ) =hf, e−ixξi= Z
−1
f(x)e−ixξdx= 2(cosξ−1) iξ
do đóF(Df)(ξ) = 2(1−cosξ)
(iv) Gợi ý: trước hết ta đoán xem nguyên hàm suy rộngF củaf có dạng cách tìm ngun hàm thơng thường
Nguyªn hàm khoảng
f(x) =
(2)cã d¹ng
F(x) =
x+C1 nÕu −1< x < 0, −x+C2 nÕu0< x < 1, C3 nÕux <−1, C4 nÕu1< x
Ta cần thống cácC1, C2, C3, C4.Ngun hàm thơng thường có tính liên tục nên C1 =C2 =C3+ =C4+
do
F(x) =
(
−|x|+ +C nÕu|x| ≤1, C nÕu|x| ≥1
Ta kiÓm tra xemF có nguyên hàm suy rộng củaf cách kiểm tra phiếm hàm D(R)
Z
−1
(−|x|+ 1)ϕ(x)dx cã tun tÝnh, liªn tơc không (nghĩa có hàm suy rộng không)?
và đạo hàm suy rộng phiếm hàm có phảif không? Nghĩa kiểm tra đẳng thức sau −
Z
−1
(−|x|+ 1)Dϕ(x)dx=
Z
1
f(x)(x)dx?
Như vậy, nguyên hàm suy rộng củaf hàm liên tục F
(v) Do giá hàm liên tục giá hàm suy rộng ứng với hàm liên tục nên
suppF =
(
[−1,1] nÕuC = 0, R nÕuC 6=
(vi) Bằng định nghĩa dễ dàng kiểm tra cấp củaF trên(−1,1)bằng0 (vii) Có(Df)∗F =f ∗(DF) =f ∗f mà f ∈L1(
R)nªn f ∗f(x) =
Z
R
f(x−y)f(y)dy=
Z
−1
f(x−y)dy−
Z
0
f(xy)dy
Bằng cách chia thành khoảng nhỏ|x| ≥2,−2≤x≤ −1,−1≤x≤0,0≤x≤1,1≤ x≤2víi chó ý
f(x−y) =
1 nÕux < y ≤x+ 1, −1 nÕux−1< y < x, nếu1 |xy|, ta tính
f f(x) =
(3)Ta làm cách khác với chó ý(δ(x0)∗F)(x) =F(x−x0)nªn
((Df)∗F)(x) = ((δ(1) +δ(−1)−2δ)∗F)(x) =F(x−1) +F(x+ 1)−2F(x) (viii) VíiC = cã
F(x) =
(
−|x|+ nÕu |x| ≤1, nÕu |x| nênF L2(
R) Lại có
DF(x) = f(x)
1 nÕu −1< x≤0, −1 nÕu0< x <1, nếu|x| 1, nênf L2(
R),và
D2F =Df =(1) +δ(−1)−2δ 6∈L2(R) Nh vËy,F ∈Wl(R), l∈Zkhi vµ chØ khil ≤1
KhiC 6= 0cã
FF(ξ) = C(2π)1/2δ+2(cosξ−1) ξ2 kh«ng hàm đo nênF 6Wl(
R),l Z (ix) Cã
fk(x) = kf(x−k) =
k nÕuk−1< x≤k, −k nÕuk < x < k+ 1, nÕu|x−k| ≥1, nªn|fk(x)| ≤(1 +|x|),vµsuppfk = [k−1, k+ 1]
Do
D0 − lim
k→∞fk =S − lim
k→∞fk= trongE0 dÃy{f
k}k=1 không hội tụ (x) Cã
gk(x) = k X
j=1
(f(x−j) +f(x+j)) =
1 nÕu −k−1< x≤ −k hc0< x≤1, −1 nÕuk < x < k+ hc −1< x <0, nếu|x| k+ 1hoặc|x|< k1, nên|gk(x)| 1,và suppgk = [k1,k][k, k+ 1]∪[−1,1]
Do
D0 − lim
k→∞gk =S − lim
k→∞gk=−f vµ trongE0 d·y{g