Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI TẬP GIỮA KỲ - LỚP TOÁN LIÊN THÔNG ĐHSP HUẾ1. Cho A, B là tập hợp con của không gian vecto Euclide V.[r]
(1)BÀI TẬP GIỮA KỲ - LỚP TOÁN LIÊN THÔNG ĐHSP HUẾ
1 Cho ánh xạ f:U →V , chứng minh điều kiện sau i)f(u1+u2)=f(u1)+f (u2) ∀u1,u2∈U
ii)f(α u)=α f(u) ∀α∈K , u∈U
tương đương với: f(α u1+u2)=α f(u1)+f(u2) ∀α∈K , ∀u1,u2∈U
2 Định lý số chiều: Cho f axtt từ KGVT n chiều U vào V, chứng minh dim(Imf)+dim(kerf)=dim U=n
3 Cho f∈L(V) tự đồng cấu không gian hữu hạn chiều V Chứng minh
mệnh đề sau tương tương a) Imf2
=Imf
b) Imf+ker f=V
c) Imf ∩ kerf={0}
4 Cho p(x) đa thức tối tiểu ánh xạ tuyến tính f, nghĩa p(x) khác có bậc nhỏ thỏa p(f)=0 Chứng minh đa thức g(x) thỏa g(f)=0 g(x) chia hết cho p(x)
5 Cho f∈L(V), chứng minh không gian: Imf , Kerf , E(λ)={v∈V:f(v)=λv} không gian f-ổn định V
6 Chứng minh cấu trúc kgvt V cho không gian Euclide V=Mn(R) không gian ma trận vuông thực cấp n,
∀A , B∈V ,⟨A , B⟩=trace(ABt
) ,
trong trace(A) vết ma trận A tổng phần tử đường chéo 2)V={∑
n=0
+∞
xn: xn∈R và∑
n=0
+∞
xn2 h iộ tụ},⟨∑
n=0
+∞
xn,∑
n=0
+∞
yn⟩=∑
n=0
+∞
λnxnyn , {λn} là dãy số thực dương bị chặn cho trước.
3) Xác định a, b, c, d cho
⟨x , y⟩=a x1y1+b x2y2+cx1y2+d x2y1,∀x=(x1, x2), y=(y1,y2)∈R2 tích vơ hướng R2 .
7 Cho A, B tập hợp không gian vecto Euclide V CMR:
1) Tập hợp AL (phần bù trực giao A) không gian vecto V 2) Nếu A⊂B AL⊃BL.
3) A ∩ AL⊂
{0}.