(3 điểm) Một sợi dây chiều dài đơn vị có dao động tuân theo phương trình truyền sóng với tốc độ lan truyền 1.. Nếu đặt hệ tọa độ sao cho một đầu tại gốc còn đầu kia tại x = 1 thì đầu tại[r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————-ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ I NĂM HỌC 2020-2021
——oOo——-Mơn thi: Phương trình vi phân đạo hàm riêng Mã mơn học:MAT2313TNT Số tín chỉ:4 Đề số:1 Dành cho sinh viên khoá: K63 Ngành học:Tài Toán
Thời gian làm bài120 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1. (3 điểm) Một sợi dây chiều dài đơn vị có dao động tn theo phương trình truyền sóng với tốc độ lan truyền1.Nếu đặt hệ tọa độ cho đầu gốc cịn đầu tạix=1 thì đầu gốc cố định đầu tự Sợi dây trạng thái cân vận tốc ban đầug(x).
(a) Thiết lập toán cho hàm biên độ dao độngu(x,t)của sợi dây. (b) Chứng minh khiT ≥1ta có
Z
|g(x)|2dx≤
Z T
|ux(0,t)|2dt.
(c) Vớig(x) =1,dùng sóng tiến - lùi vẽu(x,t)tại thời điểmt= 12, 1, 2. Câu 2. (3 điểm) Xét toán biên hỗn hợp
ut(x,t) =−uxxx(x,t) +ux(x,t),x>0,t>0, uxx(0,t) =0,t≥0,
u(x, 0) =u0(x),x >0.
(a) Xác định quan hệ địa phương quan hệ tán sắcω =ω(k)cho toán.
(b) Xác định quan hệ toàn cục Dùng đối xứng quan hệ tán sắc để giải nghiệmu(x,t). Câu 3. (2 điểm) Xét tốn biên cho phương trình Laplace quạt
uxx(x,y) +uyy(x,y) = 0,Q={(x,y)|1< x2+y2 <4,x >y>0},
với điều kiện biên ∂νu(x,y) = 0 khi hoặc (x−y)y = 0 hoặc x2+y2 = 1, và ∂νu(x,y) =
ax2+1khix2+y2=4,trong đóνlà pháp tuyến ngồi đơn vị biên củaQ. (a) Tìmađể tốn có nghiệm.
(b) Bằng phương pháp tách biến tìm nghiệm tốn trên. Câu 4. (1.5 điểm) Xét toán biên hỗn hợp
ut(x,t) = 4uxx(x,t),x >0,t>0, ux(0,t) = 0,t ≥0,
u(x, 0) = χ[1,2](x),x >0.
(a) Dùng công thức Poisson tính nghiệm tốn cho. (b) Chứng minh rằng0<u(x,t) <1khix>0,t>0.