Nếu đặt hệ trục tọa độ sao cho một đầu đoạn dây ở gốc còn đầu kia có tọa độ x = 1 thì đầu tại gốc tự do còn đầu kia cố định.[r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————-ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2019-2020
——oOo——-Mơn thi: Phương trình vi phân đạo hàm riêng Mã mơn học:MAT2306 Số tín chỉ:3 Đề số:1 Dành cho sinh viên lớp:Lớp MAT2306 2 Ngành học:Toán học
Thời gian làm bài50 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. Xét phương trình sau:
sin2(x)uxx(x,y)−2ysin(x)uxy(x,y) +y2uyy(x,y) +sin(x)(cos(x) +1)ux(x,y) = y3, 0 <x <π. (a) Xác định dạng chuyển dạng tắc phương trình cho.
(b) Tìm nghiệm tổng quát phương trình cho.
(c) Xác định a,bđể phương trình cho có nghiệm thỏa mãn u(0,y) = ay3+by+1.Khi đó viết hai nghiệm kiểm tra lại chúng.
Câu 2. Một đoạn dây chiều dài đơn vị dao động xung quanh vị trí cân với tốc độ lan truyền2.Nếu đặt hệ trục tọa độ cho đầu đoạn dây gốc cịn đầu có tọa độx=1 thì đầu gốc tự đầu cố định Sợi dây trạng thái nghỉ trạng thái ban đầu f(x) = 1−x.
(a) Thiết lập toán biên hỗn hợp cho hàm dao động u(x,t) của đoạn dây quanh vị trí cân bằng.
(b) Xác định sóng tiến - sóng lùi Vẽ đồ thị hàm dao động u(x,t) tại thời điểm
t =1/4, 1/2, 1.
Câu 3. ChoΩlà tập mở trongRn,n≥2, và hàmψ∈ C(Ω).Ký hiệuE(x)là nghiệm bản của toán tử Laplace trongRn.Chứng minh rằng:
lim r→0+
Z
∂Br(x)
ψ(y)∂νy(E(x−y))dSy =ψ(x),x ∈Ω.