Chứng minh rằng ánh xạ này là ánh xạ tuyến tính liên tục từ S 0 ( R ) vào chính nó.. Không được sử dụng tài liệu của thí sinh khác..[r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————-ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ II NĂM HỌC 2013-2014
——oOo——-Môn thi: Hàm suy rộng
Mã môn học:MAT3014 Số tín chỉ:2 Đề số:1
Dành cho sinh viên khoá:Lớp K55A1T-Học lại Ngành học:Toán học Thời gian làm bài90 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1. (a) (3 điểm) Xét ánh xạ T2014 : ϕ(x) 7→ ϕ(x−2014),ϕ ∈ D(R) Chứng minh T2014 ánh xạ tuyến tính liên tục từ D(R) vào Từ đó, với f ∈ D0(R), chứng minh phiếm hàmT2014f : D(R) →Cxác định
hT2014f,ϕ(x)i =hf,ϕ(x−2014)i,ϕ∈ D(R) hàm suy rộng trênR, nghĩa f ∈ D0(R)
(b) (4 điểm) Xét ánh xạ f 7→ T2014f, f ∈S0(R).Chứng minh ánh xạ ánh xạ tuyến tính liên tục từ S0(R) vào Từ tính biến đổi Fourier củaT2014δ vớiδ hàm Dirac trênR
Câu 2. Chog1: R→Rxác định g1(x) =
(
ex khix <0,
0 khix ≥0
(a) (3 điểm) Đặtgn =gn−1∗g1,n =2, 3, Bằng quy nạp, tínhgn giá suppgn,n≥2 (b) (2 điểm) Tính biến đổi Fourier F(gn),n = 1, 2, Từ tìm tất số thực s để g2014 ∈Ws(R)
(2)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————–
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ II, NĂM HỌC 2013-2014 Môn thi: Hàm suy rộng
Mã môn học:MAT3014 Số tín chỉ:2 Đề số:1
Dành cho sinh viên khoá:Lớp K55A1T-Học lại Ngành học:Toán học
Lời giải 1 [7điểm]
(a) Lấyϕ∈ D(R)có
- suppϕ(x−2014) =suppϕ+2014,
-Dkϕ(x−2014) = (Dkϕ)(x−2014)
nênT2014ϕ∈ D(R) 1
Kiểm tra tính tuyến tính củaT2014
Kiểm tra tính liên tục dãy gốc, nghĩa với dãy cóD− lim
n→∞ϕn =0cần D− lim
n→∞T2014ϕn=0
1.5
Kiểm tra tính tuyến tính củaT2014f
Kiểm tra tính liên tục dãy gốc củaT2014f, nghĩa với dãy cóD− lim
n→∞ϕn=0cần
lim
n→∞hT2014f,ϕni=0
0.5
(b) Lấy f ∈S0(R).CóT2014f ∈ D0(R), theo câu (a)
Chỉ raC>0vàm∈Nđể có
|hT2014f,ϕi| ≤Csup
x∈R
(1+|x|2)m ∑m k=0
|Dkϕ(x)|,∀ϕ∈ D(R)
1
Kiểm tra tính tuyến tính, nghĩa làT2014(αf+βg) =αT2014f+βT2014g
Kiểm tra tính liên tục dãy, nghĩa với dãy cóS0− lim
n→∞fn =0cần
-D0
−nlim→∞T2014fn=0, - cóC>0,m∈Nđể
|hT2014fn,ϕi| ≤Csup
x∈R
(1+|x|2)m m ∑ k=0
|Dkϕ(x)|,∀ϕ∈ D(R),∀n∈N.
1.5
Cóδ∈S0(R)nênT2014δ∈ S0(R).Do đó, vớiϕ∈S(R)có
hF(T2014δ),ϕi=hT2014δ,Fϕ(x)i=hδ,Fϕ(x−2014)i= Fϕ(−2014)
Khi đóF(T2014δ)(ξ) = (2π)
−1/2e2014iξ.
1.5
(3)Lời giải 2 [5điểm] (a) Dog1 ∈ L1(R)nên
g2(x) =g1∗g1(x) =
0 khix>0,
0
R x
ex−yeydy=−xex khix≤0
Dog2là hàm liên tục nên suppg2 = (−∞, 0]
2
Bằng quy nạp, vớin>2,có
gn(x) =gn−1∗g1(x) =
0 khix>0,
0
R x
ex−y((n−−y)2n−)!2eydy= (−x) n−1
(n−1)!e
x khix≤0.
Dogn,n≥2,là hàm liên tục nên suppgn= (−∞, 0]
1
Dog1 ∈ L1(R)nênFg1(ξ) = (2π)−1/2R
R
e−ixξg
1(x)dx =
(2π)−1/2
1−iξ 1
Bằng quy nạp có
F(gn)(ξ) = (2π)(n−1)/2(Fg1(ξ))n= (2π) −n/2
(1−iξ)n
0.5
Khi Z
R
(1+|ξ|2)s|F(g2014)(ξ)|2dξ = (2π)2014
Z
R
(1+|ξ|2)s−2014dξ
Do đóg2014 ∈Ws(R)khi khis<2014−1/2
0.5
Hà nội, ngày 23 tháng 04 năm 2014 NGƯỜI LÀM ĐÁP ÁN
(ký ghi rõ họ tên)
TS Đặng Anh Tuấn