Đề thi – Đáp án cuối kỳ môn Hàm suy rộng lớp K55A1-học lại

3 12 0
Đề thi – Đáp án cuối kỳ môn Hàm suy rộng lớp K55A1-học lại

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

Chứng minh rằng ánh xạ này là ánh xạ tuyến tính liên tục từ S 0 ( R ) vào chính nó.. Không được sử dụng tài liệu của thí sinh khác..[r]

(1)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

————-ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ II NĂM HỌC 2013-2014

——oOo——-Môn thi: Hàm suy rộng

Mã môn học:MAT3014 Số tín chỉ:2 Đề số:1

Dành cho sinh viên khoá:Lớp K55A1T-Học lại Ngành học:Toán học Thời gian làm bài90 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (a) (3 điểm) Xét ánh xạ T2014 : ϕ(x) 7→ ϕ(x−2014),ϕ ∈ D(R) Chứng minh T2014 ánh xạ tuyến tính liên tục từ D(R) vào Từ đó, với f ∈ D0(R), chứng minh phiếm hàmT2014f : D(R) →Cxác định

hT2014f,ϕ(x)i =hf,ϕ(x−2014)i,ϕ∈ D(R) hàm suy rộng trênR, nghĩa f ∈ D0(R)

(b) (4 điểm) Xét ánh xạ f 7→ T2014f, f ∈S0(R).Chứng minh ánh xạ ánh xạ tuyến tính liên tục từ S0(R) vào Từ tính biến đổi Fourier củaT2014δ vớiδ hàm Dirac trênR

Câu 2. Chog1: RRxác định g1(x) =

(

ex khix <0,

0 khix ≥0

(a) (3 điểm) Đặtgn =gn−1∗g1,n =2, 3, Bằng quy nạp, tínhgn giá suppgn,n≥2 (b) (2 điểm) Tính biến đổi Fourier F(gn),n = 1, 2, Từ tìm tất số thực s để g2014 ∈Ws(R)

(2)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

———————–

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ II, NĂM HỌC 2013-2014 Môn thi: Hàm suy rộng

Mã môn học:MAT3014 Số tín chỉ:2 Đề số:1

Dành cho sinh viên khoá:Lớp K55A1T-Học lại Ngành học:Toán học

Lời giải 1 [7điểm]

(a) Lấyϕ∈ D(R)có

- suppϕ(x−2014) =suppϕ+2014,

-Dkϕ(x−2014) = (Dkϕ)(x−2014)

nênT2014ϕ∈ D(R) 1

Kiểm tra tính tuyến tính củaT2014

Kiểm tra tính liên tục dãy gốc, nghĩa với dãy cóD− lim

n→∞ϕn =0cần D− lim

n→∞T2014ϕn=0

1.5

Kiểm tra tính tuyến tính củaT2014f

Kiểm tra tính liên tục dãy gốc củaT2014f, nghĩa với dãy cóD− lim

n→∞ϕn=0cần

lim

n→∞hT2014f,ϕni=0

0.5

(b) Lấy f ∈S0(R).CóT2014f ∈ D0(R), theo câu (a)

Chỉ raC>0vàm∈Nđể có

|hT2014f,ϕi| ≤Csup

x∈R

(1+|x|2)m ∑m k=0

|Dkϕ(x)|,∀ϕ∈ D(R)

1

Kiểm tra tính tuyến tính, nghĩa làT2014(αf+βg) =αT2014f+βT2014g

Kiểm tra tính liên tục dãy, nghĩa với dãy cóS0− lim

n→∞fn =0cần

-D0

−nlim→∞T2014fn=0, - cóC>0,m∈Nđể

|hT2014fn,ϕi| ≤Csup

x∈R

(1+|x|2)m m ∑ k=0

|Dkϕ(x)|,∀ϕ∈ D(R),∀n∈N.

1.5

δ∈S0(R)nênT2014δ∈ S0(R).Do đó, vớiϕ∈S(R)có

hF(T2014δ),ϕi=hT2014δ,Fϕ(x)i=hδ,Fϕ(x−2014)i= Fϕ(−2014)

Khi đóF(T2014δ)(ξ) = (2π)

−1/2e2014iξ.

1.5

(3)

Lời giải 2 [5điểm] (a) Dog1 ∈ L1(R)nên

g2(x) =g1∗g1(x) =

    

0 khix>0,

0

R x

ex−yeydy=−xex khix≤0

Dog2là hàm liên tục nên suppg2 = (−∞, 0]

2

Bằng quy nạp, vớin>2,có

gn(x) =gn−1∗g1(x) =

    

0 khix>0,

0

R x

ex−y((n−−y)2n−)!2eydy= (−x) n−1

(n−1)!e

x khix≤0.

Dogn,n≥2,là hàm liên tục nên suppgn= (−∞, 0]

1

Dog1 ∈ L1(R)nênFg1(ξ) = (2π)−1/2R

R

e−ixξg

1(x)dx =

(2π)−1/2

1−iξ 1

Bằng quy nạp có

F(gn)(ξ) = (2π)(n−1)/2(Fg1(ξ))n= (2π) −n/2

(1−iξ)n

0.5

Khi Z

R

(1+|ξ|2)s|F(g2014)(ξ)|2dξ = (2π)2014

Z

R

(1+|ξ|2)s−2014dξ

Do đóg2014 ∈Ws(R)khi khis<2014−1/2

0.5

Hà nội, ngày 23 tháng 04 năm 2014 NGƯỜI LÀM ĐÁP ÁN

(ký ghi rõ họ tên)

TS Đặng Anh Tuấn

Ngày đăng: 04/04/2021, 00:35

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan