[r]
(1)ĐỀ ĐẠI SỐ 2005
ĐỀ THI CAO HỌC TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI I
Câu
Cho X vành, ký hiệu DX tập hợp tự đồng cấu (X,+) CMR:
a) DX vành cóđơn vị với phép cộng phép nhân xác định sau:
(f+g)=f(x)+g(x)
(f.g)(x)=f(g(x)), ∀f, g∈DX, x∈X
b) Nếu X có đơn vị DX chứa vành đẳng cấu với X
Câu
Giả sử (G,+) nhóm; A, B hai nhóm chuẩn tắc G CMR: a) A+B nhóm chuẩn tắc G
b) A+B=B+A
c) Giả sử G=A+B A∩B=0 a+b=b+a, ∀a∈A, b∈B, ∀x∈G biểu diễn dạng x=a+b, ∀a∈A, bB
Câu
Cho f tựđồng cấu R4 màđối với sở tắc f có ma trận:
1 1 1 1 1 1 1 1
A
=
a) Tính đa thức đặc trưng f từđó suy f có hai giá trị riêng λ1=-2,λ2 =2
b) Tìm khơng gian riêng P2, P2ứng với giá trị riêng nói
c) Tìm ma trận khả nghịch C∈Mat(4,R) cho A’=C-1AC có dạng chéo viết ma trận chéo A’
Câu
a) Cho A, B ∈Mat(m, n, R) CMR: hạng (A+B)≥|hạng A-hạng B|
b) CMR: Không tồn ma trận A, B, C, D ∈Mat(n, R) với n≥1, cho:
n
A C B D I
C A B D
+ =
+ =
( với In ma trận đơn vị)
-Hết -