Đang tải... (xem toàn văn)
*Yêu cầu: + Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng công thức + Áp dụng đúng công thức không nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót + Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng côn[r]
(1)Giáo viên: Vũ Hùng Cường Trường THCS Hải Thanh N¨m 2010 Chương trình ôn thi vào lớp 10 N¨m häc: 2010-2011 Chuyên đề i: thức bậc hai- bậc ba Các phép biến đổi thức bậc hai- bậc ba A Những công thức biến đổi thức: 1) A2 A 2) AB 3) A B 4) A B A B (víi B ) A B ( víi A vµ B ) A ( víi A vµ B > ) B A B ( víi A vµ B ) 5) A B A B A B ( víi A < vµ B ) 6) 7) 8) 9) A B A B AB ( víi AB vµ B ) B A B ( víi B > ) B C AB C ( A B) ( Víi A vµ A B2 ) A B2 C A B C( A B ) ( víi A 0, B vµ A B A B B Bµi tËp c¬ b¶n: Bµi 1: T×m §KX§ cña c¸c biÓu thøc sau: a) 2x 3 2x b) HD: a) x b) x c) x 1 x c) x 1 2x d) d) x Bµi 2: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö ( víi x ) a) b) x2 – c) x - HD: a) b) x x c) Bài 3: Đưa các biểu thức sau dạng bình phương a) 2 b) c) HD: a) b) Bµi 4: Rót gän c¸c biÓu thøc sau: a) 4 17 b) 14 28 x 2 x 2 c) c) 2 x2 x (víi x 5) Lop10.com d) x x d) x 1x d) 23 d) d) x x 1 x 1 x 1 ( víi x 0, x ) (2) Giáo viên: Vũ Hùng Cường Trường THCS Hải Thanh N¨m 2010 c) x d) x x Bài 5: Tìm giá trị x Z để các biểu thức sau có giá trị nguyên HD: a) 17 x 5 a) x5 0) b) HD: a) x = 14 b) x b) ( víi x x 2 ( víi x x 2 x 1 x 2 HD: a) x b) x 0;1;9 c) x 0;1;9;16;36 Bài 6: Giải các phương trình, bất phương trình sau: a) ( víi x b) 2x c) 0) x 3 x 3 c) 2 d) d) x 16 c) x = 81 C Bµi tËp tæng hîp: x x 1 x 1 x 1 x 1 a)T×m §KX§ vµ rót gän A b) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A x = c) Tìm tất các giá trị x để A < x HD: a) §KX§ lµ: , rót gän biÓu thøc ta cã: A = x Bµi 1: Cho biÓu thøc: A = x x 1 th× A = c) x b) x = 25 x x4 x 2 x 2 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức B b) Tìm x để B = x x HD: a) §iÒu kiÖn: , rót gän biÓu thøc ta cã: B = x 2 x c) B = x = 16 1 a 1 a 2 : Bµi 3: Cho biÓu thøc: C = a a 2 a a 1 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức C b) Tìm giá trị a để C dương a a 2 HD: a) §iÒu kiÖn: a , rót gän biÓu thøc ta cã: C = a a b) C dương a > x x x4 Bµi 4: Cho biÓu thøc D = x x x 2 Bµi 2: Cho biÓu thøc: B = x 1 x Lop10.com x 1 1 vµ x 4) (3) Giáo viên: Vũ Hùng Cường Trường THCS Hải Thanh a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức D b) TÝnh gi¸ trÞ cña D x = x HD: a) §iÒu kiÖn: , rót gän biÓu thøc ta cã: D = x b) D = x 1 3 x x 1 x 1 x 1 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức E b) Tìm x để E = -1 x 3 HD: a) §iÒu kiÖn: ,rót gän biÓu thøc ta cã: E = 1 x x Bµi 5: Cho biÓu thøc E = x x c) x = Bµi 6: Cho biÓu thøc: F = x 2 x4 x 4 x 2 a) Tìm TXĐ rút gọn biểu thức F b) Tính giá trị biểu thức F x=3 + ; c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức F có giá trị nguyên ? x HD: a) §KX§: ,rót gän biÓu thøc ta cã: F = x b) x = 3+ 2 1 x 2 x 2 A = 2 1 c) BiÓu thøc A nguyªn khi: x 4;2;1 x = {0; 1; 9; 16; 36} D Bµi tËp luyÖn tËp: Bµi1: Cho biÓu thøc : a 2 a 3 a a 6 2 a a) T×n §KX§ vµ rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi: a = c) Tìm giá trị a để P < 1 a 1 a 2 : Bµi2 : Cho biÓu thøc: Q= a a 2 a a 1 a Rót gän Q b Tìm giá trị a để Q dương P Bµi3: Cho biÓu thøc: A = x 9 x 3 x 1 x5 x 6 x 2 3 x a, T×m §KX§ vµ rót gän biÓu thøc A b, Tìm các giá trị x để A > c, Tìm các giá trị x Z để A Z Bµi4 : Cho biÓu thøc: C = x 1 x x 1 x x 1 Lop10.com N¨m 2010 (4) Giáo viên: Vũ Hùng Cường Trường THCS Hải Thanh N¨m 2010 a, T×m §KX§ vµ rót gän biÓu thøc C b, Tìm các giá trị x để C = x 2 x (1 x) Bµi5: Cho biÓu thøc: M = x x x 1 a) Rót gän M b) Tìm các giá trị x để M dương c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña M x : Bµi6: Cho biÓu thøc: P = x 1 x x x 1 x 1 a) T×m §KX§ vµ rót gän P b) Tìm các giá trị x để P > c) Tìm x để P = Chuyên đề II PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH (Bậc nhất) A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Phương trình bậc ẩn -Quy đồng khử mẫu -Đưa dạng ax + b = (a ≠ 0) -Nghiệm là x b a 2.Phương trình chứa ẩn mẫu -Tìm ĐKXĐ phương trình -Quy đồng và khử mẫu -Giải phương trình vừa tìm -So sánh giá trị vừa tìm với ĐKXĐ kết luận 3.Phương trình tích Để giái phương trình tích ta cần giải các phương trình thành phần nó Chẳng hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) = A x B x C x 4.Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình) Dạng phương trình này sau biến đổi có dạng ax + b = Song giá trị cụ thể a, b ta không biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm phương trình -Nếu a ≠ thì phương trình có nghiệm x b a -Nếu a = và b = thì phương trình có vô số nghiệm -Nếu a = và b ≠ thì phương trình vô nghiệm 5.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối Cần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối biểu thức A A A A A Lop10.com (5) Giáo viên: Vũ Hùng Cường Trường THCS Hải Thanh N¨m 2010 6.Hệ phương trình bậc Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số và Chú ý phương pháp đặt ẩn phụ số trường hợp xuất các biểu thức giống hai phương trình 7.Bất phương trình bậc Với bất phương trình bậc thì việc biến đổi tương tự với phương trình bậc Tuy nhiên cần chú ý nhân và hai vế với cùng số âm thì phải đổi chiều bất phương trình B.MỘT SỐ VÍ DỤ VD1.Giải các phương trình sau a) x 3 x 1 c) Giải b) 13 2x x 21 2x x 7x 20x 1,5 x d) x x 10 (*) a) x 3 x 1 2x 2x 5 7 (Vô lý) Vậy phương trình vô nghệm b) 7x 20x 1,5 x 21x 120x 1080 80x 179x 1074 x Vậy phương trình có nghiệm x = c) 13 13 2x x 21 2x x x 32x 2x x 3x 3 ĐKXĐ: x 3; x 13 x 3 x 3x 3 2x 13x 39 x 12x 42 x DKXD x x 12 x 3x x 4 DKXD Vậy phương trình có nghiệm x = - d) Lập bảng xét dấu x x–3 x-7 -Xét x < 3: - + - - + + (*) x 7 x 10 24 4x 10 4x 14 x -Xét x : (loại) (*) x 7 x 10 2x 18 10 2x 8 x (t/mãn) -Xét x : (*) x x 10 4x 24 10 4x 34 x Lop10.com 17 (loại) (6) Giáo viên: Vũ Hùng Cường Trường THCS Hải Thanh N¨m 2010 Vậy phương trình có nghiệm x = VD2.Giải và biện luận phương trình sau x a b x b a b2 a a) (1) a b ab a x 1 ax b) (2) x 1 x 1 x2 1 Giải a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ (1) b x a b a x b a b a bx ab b ax ab a b a b a x b a b a -Nếu b – a ≠ b a thì x b a b a b a ba -Nếu b – a = b a thì phương trình có vô số nghiệm Vậy: -Với b ≠ a, phương trình có nghiệm x = 2(b + a) -Với b = a, phương trình có vô số nghiệm b) ĐKXĐ: x 1 (2) ax-1x 1 x 1 a x 1 ax ax x 2x ax a a 1x a -Nếu a + ≠ a 1 thì x a 3 a 1 -Nếu a + = a 1 thì phương trình vô nghiệm Vậy: -Với a ≠ -1 và a ≠ -2 thì phương trình có nghiệm x a 3 a 1 -Với a = -1 a = -2 thì phương trình vô nghiệm VD3.Giải các hệ phương trình sau x 5y a) 3x 2y x y x y b) 3 x y x y Giải Lop10.com x 2y 3z c) x 3y z x 5y (7) Giáo viên: Vũ Hùng Cường Trường THCS Hải Thanh N¨m 2010 x 5y x 5y x 5y x 5y x a) 3x 2y 3 7 5y 2y 21 17y y y x 5y 3x 15y 21 17y 17 y 3x 2y 3x 2y 3x 2y x b) ĐK: x y đặt 1 u; v xy xy 2v u v v Khi đó, có hệ 5 u v u v u 8 x y x Thay trở lại, ta được: x y y x 2y 3z x 5y x 5y x c) x 3y z 1 5y 2y 3z 7y 3z y x 5y 1 5y 3y z 2y z z C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN 1.Giải các phương trình sau x 17 3x 2 x 1 x 7x d) x x x2 a) x x 3x 1 82 b) x 1 x x x 65 64 63 62 x2 e) x x x x c) f) x 3 5 g) 3x 2x h) x 2x i) 3x x 3 3x 1x k) 2.Giải và biện luận các phương trình sau xa xb b a a b b) a x 1 3a x a) ax-1 x a a c) a+1 a a a a 1 a 1 d) x a x 1 x a x 1 Lop10.com 4x x 2x x (8) Giáo viên: Vũ Hùng Cường Trường THCS Hải Thanh N¨m 2010 3.Giải các hệ phương trình sau x y 24 a) x y 3x 4y b) 2x 5y 12 2u v c) 2 u 2v 66 m n p 21 n p q 24 d) p q m 23 q m n 22 m 1x y 4.Cho hệ phương trình mx y m a) Giải hệ với m = - b) Tìm m để hệ có nghiệm cho x + y dương Chuyên đề iii Hàm số và đồ thị i.KiÕn thøc c¬ b¶n 1.Hµm sè a Kh¸i niÖm hµm sè - Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x cho với giá trị x ta luôn xác định giá trị tương ứng y thì y gọi là hàm số tương ứng x và x gọi là biÕn sè - Hµm sè cã thÓ cho bëi b¶ng hoÆc c«ng thøc b §å thÞ hµm sè - Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất điểm M mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn phương trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ) c Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến * Cho hàm số y = f(x) xác định với giá trị x thuộc R - Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R - NÕu x1 < x2 mµ f(x1) > f(x2) th× hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn trªn R 1.1Hµm sè bËc nhÊt a Kh¸i niÖm hµm sè bËc nhÊt - Hàm số bậc là hàm số cho công thức y = ax + b Trong đó a, b là các số cho trước và a 0 b TÝnh chÊt Hàm số bậc y = ax + b xác định với giá trị x thuộc R và có tính chất sau: - §ång biÕn trªn R a > - NghÞch biÕn trªn R a < c §å thÞ cña hµm sè y = ax + b (a 0) §å thÞ cña hµm sè y = ax + b (a 0) lµ mét ®êng th¼ng - Cắt trục tung điểm có tung độ b - Song song víi ®êng th¼ng y = ax, nÕu b 0, trïng víi ®êng th¼ng y = ax, nÕu b = * Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) Bước Cho x = thì y = b ta điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy Cho y = th× x = -b/a ta ®îc ®iÓm Q(-b/a; 0) thuéc trôc hoµnh Bước Vẽ đường thẳng qua hai điểm P và Q ta đồ thị hàm số y = ax + b d Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’ 0) Khi đó a a ' + d // d ' b b ' Lop10.com (9) Giáo viên: Vũ Hùng Cường Trường THCS Hải Thanh N¨m 2010 + d ' d ' A a a ' a a ' + d d' b b ' + d d ' a.a ' 1 e HÖ sè gãc cña ®êng th¼ng y = ax + b (a 0) Gãc t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b vµ trôc Ox - Góc tạo đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo tia Ax và tia AT, đó A là giao điểm đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng y = ax + b và có tung độ dương HÖ sè gãc cña ®êng th¼ng y = ax + b - Hệ số a phương trình y = ax + b gọi là hệ số góc đường thẳng y = ax +b f Một số phương trình đường thẳng - §êng th¼ng ®i qua ®iÓm M0(x0;y0)cã hÖ sè gãc k: y = k(x – x0) + y0 x y 1 - §êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(x0, 0) vµ B(0; y0) víi x0.y0 lµ x0 y0 1.2 Hµm sè bËc hai a §Þnh nghÜa - Hµm sè cã d¹ng y = ax2 (a 0) b TÝnh chÊt - Hµm sè y = ax2 (a 0) x¸c ®inh víi mäi gi¸ trÞ cña c thuéc R vµ: + Nếu a > thì hàm số nghịch biến x < 0, đồng biến x > + Nếu a < thì hàm số đồng biến x < 0, nghịch biến x > c §å thÞ cña hµm sè y = ax2 (a 0) - Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là Parabol qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng + Nếu a > thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp đồ thị + Nếu a < thì đồ thị nằm phía dười trục hoành, O là điểm cao đồ thị 2.KiÕn thøc bæ xung 2.1 Công thức tính toạ độ trung điểm đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2) Khi đó - §é dµi ®o¹n th¼ng AB ®îc tÝnh bëi c«ng thøc AB ( xB x A ) ( yB y A ) - Tọa độ trung điểm M AB tính công thức x xB y yB xM A ; yM A 2 2.2 Quan hÖ gi÷a Parabol y = ax (a 0) vµ ®êng th¼ng y = mx + n (m 0) Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đường thẳng (d): y = mx + n Khi đó - Tọa độ giao điểm (P) và (d) là nghiệm hệ phương trình y ax y mx n - Hoành độ giao điểm (P) và (d) là nghiệm phương trình ax2= mx + n (*) - Số giao điểm (P) và (d) là số nghiệm phương trình (*) + NÕu (*) v« nghiÖm th× (P) vµ (d) kh«ng cã ®iÓm chung + NÕu (*) cã nghiÖm kÐp th× (P) vµ (d) tiÕp xóc + NÕu (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt th× (P) vµ (d) c¾t t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt II Bµi tËp mÉu: Bµi 1: Cho hµm sè: y = (m + 4)x – m + (d) a Tìm các giá trị m để hàm số đồng biến, nghịch biến Lop10.com (10) Giáo viên: Vũ Hùng Cường Trường THCS Hải Thanh N¨m 2010 b Tìm các giá trị m, biết đường thẳng (d) qua điểm A(-1; 2) Vẽ đồ thị hàm số với gi¸ trÞ t×m ®îc cña m c Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ d Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ e Chứng minh m thay đổi thì các đường thẳng (d) luôn luôn qua điểm cố định Bµi 2: Cho hai ®êng th¼ng: y = (k – 3)x – 3k + (d1) vµ y = (2k + 1)x + k + (d2) Tìm các giá trị k để: a (d1) vµ (d2) c¾t b (d1) vµ (d2) c¾t t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung c (d1) vµ (d2) song song víi d (d1) vµ (d2) vu«ng gãc víi e (d1) vµ (d2) trïng Bài 3: Cho hàm số: y = (2m-5)x+3 với m ≠ có đồ thị là đường thẳng d Tìm giá trị m để : a Góc tạo (d) và trục Ox là góc nhọn, góc tù ( hàm số đồng biến , nghịch biến) b (d) ®i qua ®iÓm (2;-1) c (d)// víi ®êng th¼ng y =3x-4 d (d) // víi ®êng th¼ng 3x+2y = e (d) lu«n c¾t ®êng th¼ng 2x-4y-3 =0 f (d) cắt đường thẳng 2x+ y = -3 điểm có hoành độ -2 g Chứng tỏ (d) luôn qua điểm cố định trên trục tung Bài 4: cho (p) y = 2x2 và đường thẳng (d) y = (2m-1)x – m2-9 Tìm m để : a §êng th¼ng(d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt b (d) tiÕp xóc víi (P) c (d) vµ (P) kh«ng giao Bài 5: Cho hàm số: y = x có đồ thị (P) a) Tìm các điểm A, B thuộc (P) có hoành độ –1 và b) Viết phương trình đường thẳng AB c) Viết phương trình đường thẳng song song với AB và tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm Bài 6: Cho hàm số: y = (m + 1)x2 có đồ thị (P) a) Tìm m để hàm số đồng biến x > b) Với m = – Tìm toạ độ giao điểm (P) với đường thẳng (d): y = 2x – c) Tìm m để (P) tiếp xúc với (d): y = 2x – Tìm tọa độ tiếp điểm Bài 7: Chứng tỏ đường thẳng (d) luôn tiếp xúc với Parabol (P) biết: a) (d): y = 4x – 4; (P): y = x2 b) (d): y = 2x – 1; (P): y = x2 Bài 8: 8.1)Chứng tỏ đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) điểm phân biệt: a) (d): y = –3x + 4; (P): y = x2 b) (d): y = – 4x + 3; (P): y = 4x2 8.2)Tìm tọa độ giao điểm (d) và (P) các trường hợp trên Bài 9: Cho Parabol (P) có phương trình: y = ax2 và hai đường thẳng sau: (d1): y x 1 (d2): 4x + 5y – 11 = a) Tìm a biết (P), (d1), (d2) đồng quy 10 Lop10.com (11) Giáo viên: Vũ Hùng Cường Trường THCS Hải Thanh N¨m 2010 b) Vẽ (P), (d1), (d2) trên cùng hệ trục tọa độ với a vừa tìm c) Tìm tọa độ giao điểm còn lại (P) và (d2) d) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và vuông góc với (d1) Bài 10: Cho Parabol (P): y x và đường thẳng (d): y = 2x + m + a) Tìm m để (d) qua điểm A thuộc (P) có hoành độ – b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm c) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm có hoành độ cùng dương d) Tìm m cho (d) cắt đồ thị (P) hai điểm có hoành độ x1 x2 thỏa mãn: 1 x12 x22 Bài 11: Cho hàm số: y = ax2 có đồ thị (P) và hàm số: y = mx + 2m + 1có đồ thị (d) a) Chứng minh (d) luôn qua điểm M cố định b) Tìm a để (P) qua điểm cố định đó c) Viết phương trình đường thẳng qua M và tiếp xúc với Parabol (P) Chuyên đề iv: phương trình bậc hai PHẦN II KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG Công thức nghiệm: Phương trình ax2+bx+c = (a 0) có = b2- 4ac +Nếu < thì phương trình vô nghiệm +Nếu = thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = b 2a +Nếu > thì phương trình có nghiệm phân biệt: b b ; x2 = 2a 2a Công thức nghiệm thu gọn: Phương trình ax2+bx+c = (a 0) có ’=b’ 2- ac ( b =2b’ ) +Nếu ’ < thì phương trình vô nghiệm b +Nếu ’= thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = a +Nếu ’> thì phương trình có nghiệm phân biệt: x1 = b ' b ' x1 = ; x2 = a a Hệ thức Vi-ét a) Định lí Vi-ét: Nếu x1; x2 là nghiệm phương trình ax2+bx+c = (a0) b c thì : S = x1+x2 = ; P = x1.x2 = a a b) Ứng dụng: +Hệ 1: Nếu phương trình ax2+bx+c = (a 0) có: a+b+c = thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = +Hệ 2: 11 Lop10.com c a (12) Giáo viên: Vũ Hùng Cường Trường THCS Hải Thanh N¨m 2010 Nếu phương trình ax2+bx+c = (a 0) có: a- b+c = thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = c a c) Định lí: (đảo Vi-ét) Nếu hai số x1; x2 có x1+x2= S ; x1.x2 = P thì x1; x2 là nghiệm phương trình : x2- S x+P = (x1 ; x2 tồn S2 – 4P 0) Chú ý: + Định lí Vi-ét áp dụng phương trình có nghiệm (tức là ≥ 0) + Nếu a và c trái dấu thì phương trình luôn có nghiệm trái dấu PHẦN II BÀI TẬP RÈN LUYỆN I TOÁN TRẮC NGHIỆM (Mục đích: Củng cố, khắc sâu lí thuyết) Bài 1: Điền vào chỗ để có mệnh đề đúng a) Phương trình mx2+nx+p = (m 0) có = Nếu thì phương trình vô nghiệm Nếu thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = Nếu thì phương trình có nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = b) Phương trình px2+qx+k = (p 0) có ’= .(với q = 2q’ ) Nếu ’ thì phương trình vô nghiệm Nếu ’ thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = Nếu ’ thì phương trình có nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = Bài 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai A Nếu x1; x2 là nghiệm phương trình ax2+ bx + c = (a 0) b c thì: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = a a B Nếu x1; x2 là nghiệm phương trình ax2+ bx + c = (a 0) c b thì: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = a a c a c D Nếu phương trình ax2+bx+c = (a 0) có: a-b+c = thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = a c E Nếu phương trình ax2+bx+c = (a 0) có: a- b+c = thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = a c F Nếu phương trình ax2+bx+c = (a 0) có: a+b+c = thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = a G Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm phương trình : x - S x+P = H Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm phương trình : x2- P x+S = Bài 3: Ba bạn Hùng, Hải, Tuấn cùng tranh luận các mệnh đề sau: c A.Nếu phương trình ax2+bx+c = có a+b+c = thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = a C Nếu phương trình ax2+bx+c = (a 0) có a+b+c = thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = 12 Lop10.com (13) Giáo viên: Vũ Hùng Cường Trường THCS Hải Thanh N¨m 2010 B.Nếu phương trình ax2+bx+c = có: a-b+c = thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = c a b c và tích hai nghiệm là a a D.Phương trình 2x2-x+3 = có tổng hai nghiệm là và tích hai nghiệm là 2 Hùng nói: bốn mệnh đề đúng Hải nói: bốn mệnh đề sai Tuấn nói: A, B, C đúng còn D sai Theo em đúng, sai? giải thích rõ vì sao? GV:cần khắc sâu a và sử dụng ĐL viet thì phải có ĐK: ≥ 0) II TOÁN TỰ LUẬN C.Phương trình ax2+bx+c=0 có tổng hai nghiệm là LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG ÁP DỤNG CÔNG THỨC VÀO TÍNH TOÁN Bài 1: Giải phương trình a) x2 - 49x - 50 = b) (2- )x2 + x – – = Giải: a) Giải phương trình x2 - 49x - 50 = + Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm (a = 1; b = - 49; c = 50) = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601; = 51 Do > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: (49) 51 (49) 51 x1 1 ; x2 50 2 + Lời giải 2: Ứng dụng định lí Viet Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 50 50 Nên phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = + Lời giải 3: = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601 Theo định lí Viet ta có : x1 x2 49 (1) 50 x 1 x1.x2 49 50 (1).50 x2 50 50 50 Vậy phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = b) Giải phương trình (2- )x2 + x – – = Giải: + Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm (a = 2- ; b = ; c = – – ) = (2 )2- 4(2- )(– – ) = 16; =4 Do > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 2 34 2 34 ; x2 (7 ) 2(2 ) 2(2 ) + Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn 13 Lop10.com (14) Giáo viên: Vũ Hùng Cường (a = 2- ; b’ = Trường THCS Hải Thanh 3;c=–2– 3) ’ = ( )2- (2- )(– – ) = 4; =2 Do ’ > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: 32 32 ; x2 (7 ) 2 2 + Lời giải 3: Ứng dụng định lí Viet x1 Do a + b + c = 2- + + (- Nên phương trình có nghiệm: x1 = 1; x1 = 3)=0 2 (7 ) 2 *Yêu cầu: + Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng công thức + Áp dụng đúng công thức (không nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót) + Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận áp dụng công thức và tính toán * Bài tương tự: Giải các phương trình sau: 3x – 7x - 10 = x2 – (1+ )x + = x2 – 3x + = x2 – (1- )x – = x2 – 4x – = 7.(2+ )x2 - x – + = 3x2 – x – = Bài 2: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441 Giải Du u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm phương trình x2 – 42x + 441 = (*) Ta có: ’ = (- 21)2- 441 = Phương trình (*) có nghiệm x1 = x2 = 21 Vậy u = v = 21 *Bài tương tự: Tìm hai số u và v biết: a) u+v = -42 và u.v = - 400 b) u - v = và u.v = 24 c) u+v = và u.v = - d) u - v = -5 và u.v = -10 Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi 22m và diện tích 30m2 Bài 3: Giải các phương trình sau (phương trình quy phương trình bậc hai) a) x3 + 3x2 – 2x – = b) 2x x2 x x ( x 1)( x 4) c) 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 d) 3(x2+x) – (x2+x) – = Giải a) Giải phương trình x3 + 3x2 – 2x – = (1) (1) (x2 - 2)(x + 3) = (x + x=- 2;x= )(x - )(x + 3) = 2;x=-3 Vậy phương trình (1) có nghiệm x = - ; x = 14 Lop10.com 2;x=-3 N¨m 2010 (15) Giáo viên: Vũ Hùng Cường b) Giải phương trình Trường THCS Hải Thanh N¨m 2010 2x x2 x (2) x ( x 1)( x 4) Với ĐK: x≠ -1; x≠ thì (2) 2x(x- 4) = x2 – x + x2 – 7x – = (*) Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = nên phương trình (*) có nghiệm x1 = -1(không thoả mãn ĐK) ; x2 = (thoả mãn ĐK) Vậy phương trình (2) có nghiệm x = c) Giải phương trình 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 (3) Ta có: (3) 5x4 – 3x2 – 26 = Đặt x2 = t (t 0) thì (3) 5t2 – 3t – 26 = Xét = (-3)2 – 4.5.(-26) = 529 = 23 (3) 23 13 (thoả mãn t 0) ; Nên: t1 = 2.5 (3) 23 2 (loại) t2 = 2.5 Với t = 13 13 13 x2 = x= 5 13 ; x2 = d) Giải phương trình 3(x2+x) – (x2+x) – = (4) Đặt x2+x = t Khi đó (4) 3t2 – 2t – = Vậy phương trình (3) có nghiệm x1 = 13 Do a + b + c = + (- 2) + (- 1) = Nên t1 = 1; t2 = t1 = 1 x2+x = 1 x2 + x – = 1 = 12 - 4.1.(-1) = > Nên x1 = 1 1 ; x2 = 2 1 t2 = x2+x = 3x2 + 3x + = (*) 3 2 = - 4.3.1 = -3 < Nên (*) vô nghiệm Vậy phương trình (4) có nghiệm x1 = * Bài tương tự: Giải các phương trình sau: x3+3x2+3x+2 = (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - x + 5)2 x4 – 5x2 + = 0,3 x4 + 1,8x2 + 1,5 = x3 + x2 – (x - 3)2 = (x-1)(x2-2 x x 1 10 3 x 1 x Bài 4: 1 1 ; x2 = 2 (x2 – 4x + 2)2 + x2 - 4x - = 1 1 x 4 x x x x2 3 x5 2 x Cho phương trình x2 + x - = có nghiệm là x1 và x2 Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức sau: 15 Lop10.com (16) Giáo viên: Vũ Hùng Cường A= 1 ; x2 x2 B = x12 + x22 ; C= Trường THCS Hải Thanh 1 2; x2 x2 N¨m 2010 D = x13 + x23 Giải Do phương trình có nghiệm là x1 và x2 nên theo định lí Viet ta có: x1 + x2 = ; A= x1.x2 = x x2 1 x2 x2 x1 x 15 ; B = x12 + x22 = (x1+x2)2- 2x1x2= ( ) 2( ) C= x12 x 22 (3 ) ; x12 x 22 ( ) D = (x1+x2)( x12- x1x2 + x22) = ( )[3 ( )] (3 15 ) * Bài tương tự: Cho phương trình x2 + 2x - = có nghiệm là x1 và x2 Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức sau: 1 2; x2 x2 A= 1 ; x2 x2 E= x12 10 x1 x x 22 x12 x1 x x 22 ; F = x1 x 23 x13 x x1 x 22 x12 x B = x12 + x22 ; C= D = x13 + x23 LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG SUY LUẬN (Phương trình bậc hai chứa tham số) Bài 1: (Bài toán tổng quát) Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = (a 0) có: Có nghiệm (có hai nghiệm) Vô nghiệm < Nghiệm (nghiệm kép, hai nghiệm nhau) = Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > Hai nghiệm cùng dấu và P > Hai nghiệm trái dấu > và P < a.c < Hai nghiệm dương(lớn 0) 0; S > và P > Hai nghiệm âm(nhỏ 0) 0; S < và P > Hai nghiệm đối và S = 10.Hai nghiệm nghịch đảo và P = 11 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn a.c < và S < 12 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn a.c < và S > b c (ở đó: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = ) a a * Giáo viên cần cho học sinh tự suy luận tìm điều kiện tổng quát, giúp học sinh chủ động giải loại toán này Bài 2: Giải phương trình (giải và biện luận): x2- 2x+k = ( tham số k) Giải ’ = (-1)2- 1.k = – k 16 Lop10.com (17) Giáo viên: Vũ Hùng Cường Trường THCS Hải Thanh Nếu ’< 1- k < k > phương trình vô nghiệm Nếu ’= 1- k = k = phương trình có nghiệm kép x1= x2=1 Nếu ’> 1- k > k < phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 1- k ; x2 = 1+ k Kết luận: Nếu k > thì phương trình vô nghiệm Nếu k = thì phương trình có nghiệm x=1 Nếu k < thì phương trình có nghiệm x1 = 1- k ; x2 = 1+ k Bài 3: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - = (1) (tham số m) a) Tìm m để (1) có nghiệm b) Tìm m để (1) có nghiệm nhất? tìm nghiệm đó? c) Tìm m để (1) có nghiệm 2? đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)? Giải a) + Nếu m-1 = m = thì (1) có dạng 2x - = x = (là nghiệm) + Nếu m ≠ Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’=12- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm ’ = 3m-2 m + Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m thì phương trình có nghiệm 3 b) + Nếu m-1 = m = thì (1) có dạng 2x - = x = (là nghiệm) + Nếu m ≠ Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm ’ = 3m-2 = m = (thoả mãn m ≠ 1) 1 Khi đó x = 3 m 1 1 3 +Vậy với m = thì phương trình có nghiệm x = 2 với m = thì phương trình có nghiệm x = 3 c) Do phương trình có nghiệm x1 = nên ta có: (m-1)22 + 2.2 - = 4m – = m = Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 = -1= ≠ 0) 4 3 3 12 x Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 = m 1 Vậy m = và nghiệm còn lại là x2 = 17 Lop10.com N¨m 2010 (18) Giáo viên: Vũ Hùng Cường Trường THCS Hải Thanh N¨m 2010 * Giáo viên cần khắc sâu trường hợp hệ số a có chứa tham số (khi đó bài toán trở nên phức tạp vàhọc sinh thường hay sai sót) Bài 4: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – – m = ( ẩn số x) a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1, x2 với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm d) Tìm m cho nghiệm số x1, x2 phương trình thoả mãn x12+x22 10 e) Tìm hệ thức liên hệ x1 và x2 không phụ thuộc vào m f) Hãy biểu thị x1 qua x2 Giải a) Ta có: ’ = (m-1)2 15 – (– – m ) = m 2 15 1 > với m Do m với m; 2 Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm) b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu a.c < – – m < m > -3 Vậy m > -3 c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3) Khi đó phương trình có hai nghiệm âm S < và P > 2(m 1) m m 3 (m 3) m 3 Vậy m < -3 d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3) Khi đó A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 Theo bài A 10 4m2 – 6m 2m(2m-3) m 2 m m 2m m m 3 m m m m m e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm x1 x 2(m 1) x x 2m Theo định lí Viet ta có: x1 x (m 3) 2 x1 x 2m x1 + x2+2x1x2 = - Vậy x1+x2+2x1x2+ = là hệ thức liên hệ x1 và x2 không phụ thuộc m x2 f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - x1(1+2x2) = - ( +x2) x1 x2 Vậy m 18 Lop10.com (19) Giáo viên: Vũ Hùng Cường Vậy x1 x2 x2 Trường THCS Hải Thanh N¨m 2010 ( x2 ) Bài 5: Cho phương trình: x2 + 2x + m-1= ( m là tham số) a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1 c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn y1 x1 ; y x2 với x1; x2 là nghiệm phương trình x2 x1 trên Giải a) Ta có ’ = 12 – (m-1) = – m Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo ' 2 m m m2 m m P Vậy m = b) Ta có ’ = 12 – (m-1) = – m Phương trình có nghiệm – m m (*) Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – (2) Theo bài: 3x1+2x2 = (3) x x 2 2 x1 x2 4 x1 x1 Từ (1) và (3) ta có: 3 x1 x2 3 x1 x2 x1 x2 2 x2 7 Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 m = - 34 (thoả mãn (*)) Vậy m = -34 là giá trị cần tìm d) Với m thì phương trình đã cho có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – (2) Khi đó: y y x1 x2 y y (x 1 x )( x 2 x1 x x1 x2 x2 ) xx xx x1 x2 x1 x2 m 1 2 2 m 1 m 1 2 2m 1 m m (m≠1) m 1 (m≠1) m2 2m y + = (m≠1) m 1 1 m Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = *Yêu cầu: + HS nắm vững phương pháp + HS cẩn thận tính toán và biến đổi + Gv: cần chú ý sửa chữa thiếu sót học sinh, cách trình bày bài và khai thác nhiều cách giải khác * Bài tương tự: 1) Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = ( ẩn x) a) Định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép này b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm 2) Cho phương trình : x2 – 4x + m + = a) Định m để phương trình có nghiệm y1; y2 là nghiệm phương trình: y2 - 19 Lop10.com (20) Giáo viên: Vũ Hùng Cường Trường THCS Hải Thanh N¨m 2010 b) Tìm m cho phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10 3) Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = a) C/m , phương trình luôn luôn có hai nghiệm m thay đổi b) Định m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: < x1 < x2 <6 4) Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x2 – 2mx + 2m – = a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1, x2 với m b) Đặt A = 2(x12 + x22) – 5x1x2 a) C/m A= 8m2 – 18m + b) Tìm m cho A=27 c) Tìm m cho phương trình có nghiệm này lần nghiệm 5) Cho phương trình ; x2 -2(m + 4)x + m2 – = Xác định m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: a) A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt giá trị lớn b) B = x12 + x22 – x1x2 đạt giá trị nhỏ c) Tìm hệ thức x1 , x2 không phụ thuộc vào m 6) Cho phương trình : x2 – 4x – (m2 + 3m) = a) C/m phương trình luông có nghiệm x1, x2 với m b) Xác định m để: x12 + x22 = 4(x1 + x2) c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có nghiệm y1 và y2 thoả mãn: y1 y2 3 y1 + y2 = x1 + x2 và y y1 7) Cho phương trình : x2 + ax + = Xác định a để phương trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn : 2 x1 x > x2 x1 8) Cho phương trình : (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = (1) a) Giải và biện luận phương trình (1) theo m b) Khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2: * Tìm hệ thức x1, x2 độc lập m * Tìm m cho x1 x Dạng 5: Tìm m để phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm x1, x2 thoả mãn đẳng thức cho trước Bài 1: Tìm m để phương trình : x 2( m ) x m m có nghiệm x1,x2 thoả mãn x12 + x22 = Bài 2: Tìm m để phương trình : x ( m ) x m có nghiệm x1,x2 thoả mãn x12 + x22 = 10 Bài 3: Tìm m để phương trình : ( m ) x 2( m ) x m có nghiệm x1,x2 thoả mãn x 12 x 22 x x 16 Bài 4: Tìm m để phương trình : ( m ) x mx m có nghiệm x1,x2 thoả mãn x1 x x x1 Bài 5: Tìm m để phương trình : mx ( m ) x m có nghiệm x1,x2 thoả mãn 2( x 12 x 22 ) x x Bài 6: Tìm m để phương trình : x ( m ) x m có nghiệm x1,x2 thoả mãn x 12 x 22 10 20 Lop10.com (21)