Đang tải... (xem toàn văn)
Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi khó, trung bình, dễ và số câu hỏi dễ k[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP I/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1) Quy tắc cộng: Có n1 cách chọn đối tượng A1 n2 cách chọn đối tượng A2 A1 A = Có n1 + n2 cách chọn các đối tượng A1, A2 2) Quy tắc nhân: Có n1 cách chọn đối tượng A1 Ứng với cách chọn A1, có n2 cách chọn đối tượng A2 Có n1.n2 cách chọn dãy đối tượng A1, A2 3) Hoán vị: Mỗi cách thứ tự n phần tử gọi là hoán vị n phần tử Số hoán vị: Pn = n! 4) Chỉnh hợp: Mỗi cách lấy k phần tử từ n phần tử (0 < k n) và thứ tự chúng gọi là chỉnh hợp chập k n phần tử n! Số các chỉnh hợp: A kn (n k)! 5) Tổ hợp: Mỗi cách lấy k phần tử từ n phần tử (0 k n) gọi là tổ hợp chập k n phần tử n! Số các tổ hợp: Ckn k!(n k)! Hai tính chất Ckn Cnn k Ckn 11 Ckn 1 Ckn 6) Nhị thức Newton n (a b) n Cnk a n k b k k 0 C0n a n C1n a n 1b Cnn b n Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1): Tk 1 Ckn a n k b k Đặc biệt: (1 x) n C0n xC1n x C2n x n Cnn II / MỘT SỐ VÍ DỤ Bài toán đếm 1.1 Đếm các số tự nhiênđược thành lập Ví dụ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số cho a) Các số khác b) Chữ số đầu tiên là c)Các chữ số khác và không tận cùng chữ số Giải a) Mỗi số có chữ số khác thành lập tương ứng với chỉnh hợp chập phần tử Có A 57 = 2520 số b) Gọi số cần thiết lập là abcde Lop10.com (2) Chữ số đàu tiên là a có cách chọn b, c, d, e có cách chọn Có 1.7.7.7.7 = 2401 số c) Gọi số cần thiết lập là abcde Chữ số cuối cùng khác e có cách chọn (trừ số 4) a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn Có 6.6.5.4.3 = 2160 số Ví dụ 2.(ĐH An ninh 97) Từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, thành lập bao nhiêu số chẵn có chữ số khác Giải Gói số cần thiết lập là abcde Xét hai trường hợp + Trường hợp 1: Chọn e = e có cách chọn Khi đó a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn Có 6.5.4.3 = 360 số + Trường hợp 2: Chọn e { 2, 4, } e có cách chọn Khi đó a có cách chọn trừ số và e b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn Có 3.5.5.4.3 = 900 số Vậy có 360 + 900 = 1260 số Ví dụ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập bao nhiêu số có chữ số cho số tạo thành gồm các chữ số khác và thiết có chữ số Giải Cách 1: Thành lập số có chữ số khác và không có mặt chữ số Có A = 120 số Với số vừa thành lập có vị trí để xen số tạo thành số có chữ số khác và có mặt chữ số Có 120.4 = 480 số Cách 2: Số cần tìm có bốn dạng 5bcd, a5bc, ab5d, abc5 Mỗi dạng có 120 số có 480 số Ví dụ 4: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 2008 chữ số cho tổng các chữ số Giải Xét các trường hợp + Trườnghợp 1: Số tạo thành gồm chữ số và 2007 chữ số Lop10.com (3) Chỉ có số 3000…000 (2007 chữ số 0) + Trường hợp 2: Số tạo thành gồm chữ số 1, chữ số và 2006 chữ số Chọn chữ số đầu tiên có cách chọn số Chữ số còn lại có 2007 vị trí để đặt, còn các vị trí khác đặt số Có 2.2007 = 4014 số + Trường hợp 3: Số tạo thành gồm chữ số và 2005 chữ số Chọn chữ số đầu tiên là Chọn 2007 vị trí để đặt chữ số có C 2007 = 2007.1003 = 2013021 Vậy có + 4014 + 2013021 = 2017036 số Ví dụ 5(ĐHQG TPHCM 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số biết chữ số có mặt đúng hai lần, chữ số ba có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá lần Giải + Coi dãy gồm chữ số tương ứng với số gồm chữ số (Kể bắt đầu 0) Khi đó ta thành lập số cách xếp các chữ số vào vị trí Chọn vị trí để xếp chữ số 2: có C7 cách Chọn vị trí còn lại để xếp chữ số 3: có C5 cách Chọn chữ số 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, để đặt vào vị trí còn lại có A8 cách Có C7 C5 A8 = 11 760 cách + Cần phải loại các trường hợp chữ số đứng đầu Lập luận tương tự cho vị trí có C6 C A = 420 số Vậy có 11 760 420 = 11 340 số 1.2 Đếm số phương án Ví dụ 6: (ĐH Thái nguyên 99) Một lớp học có 25 nam và 15 nữ Cần chọn nhóm gồm ba học sinh Hỏi có bao nhiêu cách: a) Chọn học sinh bất kì b) Chọn học sinh gồm nam và nữ c) Chọn học sinh đó có ít nam Giải a) Mỗi cách chọn là tổ hợp chập3 40 Số cách chọn là: C 40 9880 cách b) Chọn nam có C 25 25 cách Chọn nữ có C15 105 cách Có 25.105 = 2625 cách chọn c) Chọn học sinh bất kì có 9880 cách Chọn học sinh nữ có C15 455 cách Có 9880 455 = 9425 cách chọn có ít nam Ví dụ 7: (ĐHSP Quy Nhơn 97) Cho hai đường thẳng song song a và b Trên a lấy 17 điểm phân biệt, trên b lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có các đỉnh là số 37 điểm đã chọn trên Lop10.com (4) Giải Cách Mỗi tam giác hình thành ba điểm không thẳng hàng Số ba điểm từ 37 điểm trên là: C 37 Số ba điểm thẳng hàng trên a là: C 17 Số ba điểm thẳng hàng trên b là: C 20 Vậy số tam giác tạo thành là: C C C = 11 340 tam giác 37 17 20 Cách 2: Mỗi tam giác tạo thành điểm trên đường thẳng này và hai điểm trên đường thẳng Xét trường hợp + TH1: Tam giác tạo thành điểm trên a và điểm trên b: có 17.C 20 + TH2: Tam giác tạo thành điểm trên a và điểm trên b: có 20.C17 2 Số tam giác là: 17.C 20 + 20.C17 = 11 340 Ví dụ 8: (ĐH Cảnh sát nhân dân) Cho tam giác ABC Xét gồm đường thẳng song song với AB, đường thẳng song song với BC và đường thẳng song song với CA đó không có ba đường thẳng nào đồng quy Hỏi các đường thẳng trên tạo bao nhiêu tam giác và bao nhiêu tứ giác (không kể hình bình hành) Giải a) Mỗi tam giác tạo thành ba đường thẳng thuộc ba nhóm khác Số tam giác là 4.5.6 = 120 b) Mỗi hình thang không phải hình bình hành tạo thành hai đường thẳng thuộc nhóm này và đường thẳng thuộc nhóm còn lại Số hình thang là C24 C15 C16 C14 C52 C16 C14 C15 C62 720 hình thang Giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số tổ hợp Ví dụ 1: (CĐSP TPHCM99) Tìm k thỏa mãn: Ck Ck 2 2Ck 1 14 14 14 Giải k N k 12 ĐK Phương trình tương đương với 14! 14! 2.14! k!(14 k)! (k 2)!(12 k)! (k 1)!(13 k)! 1 (14 k)(13 k) (k 2)(k 1) (k 1)(13 k) (k + 2)(k + 1) + (14 k)(13 k) = (k + 2)(14 k) k2 12k + 32 = k = 4, k = (Thỏa mãn) Lop10.com (5) Vậy phương trình có nghiệm: k = 4, k = Ví dụ 2: (ĐH Hàng hải 99) n 3 Giải bất phương trình: Cn 1 A4 n 1 14P Giải ĐK: 4 n+1 n 3, n nguyên dương Cn 3 n 1 14.P Cn 3 A 14.3! n 1! n 1.n.n 1.n n 1 n 1 n 3!2! 14P A4 n 1 n n 42 n .n 7 < n < Kết hợp với Đk n tập nghiệm bất phương trình là: {3, 4, 5} Ví dụ 3: (ĐHBK HN2001) 2.A y 5.C y 90 x x y y 5.A x 2.C x 80 Giải hệ phương trình: Giải ĐK: x, y N*, y x Đạt u A xy , v C xy u, v N* ta có hệ 2.u 5.v 90 u 20 5.u 2.v 80 v 10 x! y Thay vào ta có A x 20 (x y)! y x! C x 10 y! y x! x! (x y)! 20 (x 2)! 20 10 20 y!(x y)! x(x 1) 20 x 5, x 4 y y x Kết hợp điều kiện Hệ phương trình có nghiệm y 3) Xác định số hạng khai triển Newuton Ví dụ 1: (ĐH Kinh tế quốc dân, 1997) 12 1 Tìm số hạng không chứa x khai triển Newton x x Giải k 1 k Số hạng tổng quát Tk 1 C x C12 x12 2k x Số hạng không chứa x tương ứng với 12 2k = k = k 12 12 k Lop10.com (6) Đáp số:số hạng không chứa x phải tìm là: C6 x 12.11.10.9.8.7 924 12 1.2.3.4.5.6 Ví dụ 2:(ĐH và CĐ, khối A, 2003) n Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niutơn x5 , x biết Cn 1 Cn n 3 n 4 n 3 Giải (n 4)! (n 3)! n n Ta có C C n 3 7(n 3) n 4 n 3 (n 1)!.3! (n)!.3! (n 4)(n 3)(n 2) (n 3)(n 2)(n 1) 42(n 3) (n 4)(n 2) (n 2)(n 1) 42 3n = 36 n = 12 12k 5k 363k k Ck x Số hạng tổng quát T Ck x 12 k 1 12 x3 Số hạng chứa x8 tương ứng với 5k 36 3k 11k = 88 k = Đáp số:Hệ số số hạng chứa x8 phải tìm là: C8 495 12 Ví dụ 3: Khai triển đa thức: 12 P(x) = 1 2x thành dạng : P x a a1x a x a12 x12 Tìm max a1 , a , , a12 Giải k Số hạng tổng quát T Ck 2x Ck 2k.x k 12 k 1 12 k k Xét hai hệ số liên tiếp a C và a Ck 1.2k 1 Giả sử ak < ak + Ck 2k Ck 1.2k 1 12 k 12 12 k 1 12 12! 12! k 23 k!.(12 k)! (k 1)!.(11 k)! Vậy a0 < a1 < … < a8 Tương tự trên a8 > a9 > … > a12 Vậy hệ số lớn là: a C8 28 126720 12 4) Tính tổng chứng minh đẳng thức Ví dụ : Chứng minh n, k N* và n ≥ k ≥ thì: Giải Thật n, k N* và n ≥ k ≥ ta có: n! n(n 1)! kCkn k k!(n k)! (k 1)!(n k)! (n 1)! = n = nCnk11 (đpcm) (k 1)!(n k)! Lop10.com kCkn nCkn 11 (7) Lưu ý :(Đây là kết có nhiều ứng dụng các bài tập chứng minh đẳng thức tổ hợp chưa có công cụ đạo hàm và tích phân) Ví dụ : (ĐH Quốc gia Hà Nội, khối D, 1997) 11 Tính tổng S C11 C11 C11 C11 C10 11 C11 Giải Do C C ,C C , nên 11 11 11 11 0 11 (1) S C11 C11 C11 C11 C111 C11 2S C11 C111 C11 C10 11 C11 Áp dụng khai triển Niu tơn x 1 n n C x k 0 1 1 11 k n k với x = 1, n = 11 11 k 11 C11 C11 C111 C11 C10 11 C11 (2) k 0 Từ (1), (2) suy 2S 211 S 210 1024 Đáp số : S 210 1024 Ví dụ : (ĐH Bách Khoa Hà Nội, 1999) Cho n là số tự nhiên lớn 2, tính tổng : S C1n 2.C2n 3.C3n 4.C4n (1)n 1.n.Cnn Giải Cách 1: (Sử dụng kết ví dụ 1) Áp dụng kết ví dụ ta có: C1n n.C0 n 1 2.Cn n.C1 n 1 (1)n 1 n.Cnn (1)n 1 n.Cn 1 n 1 Cộng theo vế các đẳng thức trên ta S = C1n - 2.Cn2 + 3.C3n - 4.Cn4 + + (-1)n-1.n.Cnn n(C0n 1 C1n 1 C2n 1 C3n 1 ,,, (1) n 1 Cnn 11 ) n(1 1) n 1 Cách 2: (Sử dụng đạo hàm) Xét khai triển (1 x) n C0n xC1n x 2C2n x n Cnn n 1 n 1 n n.(1 x) C n 2xC n nx C n n 1 n n Chọn x = n.(1 1) C n 2C n ( 1) nC n Vậy : S = Ví dụ 4: (ĐHDL Duy Tân, khối A, 2001) Tính tổng sau : S 1.C0n C1n C2n C3n Cnn n 1 Giải Cách 1( Sử dụng kết ví dụ 1) Lop10.com (8) Âp dụng kết ví dụ ta có: 1 Ckn Ckn 11 k 1 n 1 kCkn nCkn 11 (k 1)Ckn 11 (n 1)Ckn Thay k = 0, 1, … , n ta có 1 Cn Cn 1 n 1 1 Cn C2n 1 n 1 Cn C3n 1 n 1 1 Cnn Cnn 11 n 1 n 1 1 1 S C0n C1n C2n C3n Cnn n 1 (C1n 1 Cn2 1 C3n 1 Cnn 11 ) n 1 (2n 1 1) n 1 Vậy S (2n 1 1) n 1 Cách 2:(Sử dụng tích phân) Xét khai triển (1 x) n C0n xC1n x 2C2n x 3C3n x n Cnn 1 (1 x) dx (C0n xC1n x 2C2n x 3C3n x n Cnn )dx n 0 Ta có: (1 x) n 1 0 (1 x) dx n n n 1 1 n 1 2n 1 n 1 1 n 1 n 1 x.Cn x Cn x Cn x Cn n x Cn 1 1 C0n C1n C2n C3n Cnn n 1 Vậy Vậy S 1 (2n 1 1) n 1 Ví dụ 5: Chứng minh đẳng thức sau: 26 25 24 23 22 37 27 C C C C C C C 6 6 6 7 Giải Xét khai triển (2 x)6 26 C06 25 xC16 24 x 2C62 23 x 3C36 22 x 4C64 2x 5C56 x 6C66 1 0 (2 x)6 dx (26 C60 25 xC16 24 x 2C62 23 x 3C36 22 x 4C64 2x 5C56 x 6C66 )dx Lop10.com (9) 1 (2 x)7 x2 x3 x4 x5 x6 x7 C6 24 C62 23 C36 22 C64 C56 C66 ) 7 C0 C1 C2 C3 C4 C5 C6 6 6 6 6 7 Vậy C0 C1 C2 C3 C4 C5 C6 (đpcm) 6 6 6 7 (26 C06 x 25 Lop10.com (10) BÀI TÂP T Ự LUYỆN : 1) Có bao nhiêu cách xếp người khách gồm nam và nữ ngồi vào hàng ghế nếu: a) họ ngồi chỗ nào được? b) họ ngồi kề nhau? c) nam ngồi kề nhau, nữ ngồi kề và hai nhóm này có ít ghế trống? 2) Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho người khách a) vào ghế xếp thành dãy b) vào ghế chung quanh bàn tròn, không có phân biệt các ghế này 3) Mười người muốn chụp ảnh chung Họ muốn chụp nhiều ảnh khác cách đổi chỗ đứng lẫn Cho lần đổi chỗ và chụp ảnh phút, hỏi cần bao lâu để có thể chụp tất các ảnh khác nhau? 4) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác và khác biết tổng ba chữ số này 8? 5) Một dãy ghế dành cho nam sinh và nữ sinh Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu: a) họ ngồi chỗ nào b) nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề c) có nữ sinh ngồi kề 6) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác biết tổng ba chữ số này 12? Một phòng khách có chỗ có thể đặt tranh, ảnh tượng Chủ nhà muốn trang trí cách xếp đặt tranh khác vào chỗ, ảnh khác vào chỗ thứ hai và tượng khác vào chỗ còn lại Hỏi có bao nhiêu cách trang trí phòng khách? 7) Ta muốn mời người ngồi vào dãy ghế Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu: a) Có người bọn họ muốn ngồi kề nhau? b) Có người bọn họ không muốn ngồi kề nhau? c) Có người bọn họ không muốn ngồi kề đôi một? 8) Một bàn dài có 12 ghế, bên ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 12 người khách gồm nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu: a) họ ngồi chỗ nào ? b) nam ngồi bên, nữ ngồi bên ? c) nam nữ ngồi đối diện ? d) nam nữ ngồi xen kẽ và đối diện ? 9) Cho các số 0,1,2,3,4,5,6 Có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số khác lấy từ các số đã cho, cho: a) Số đó chẵn b) Số đó chia hết cho c) Luôn có mặt chữ số và 10) Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6,7 Có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số khác lấy từ các chữ số đã cho cho các số lẻ luôn đứng liền 11) Cho các số : 0,1,2,3,4,5,6 a) Có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số lấy từ các số đã cho cho số có mặt lần, các số khác có mặt đúng lần b) Có thể lập bao nhiêu số có chữ số lấy từ các số đã cho cho số có mặt lần, các số khác có mặt vài lần 12) Cho các số: 0,1,2,3,4,5 Có thể lập bao nhiêu số từ số khác lấy từ các số đã cho Sao cho: a) Luôn có mặt chữ số b) Số đó chia hết cho c) Không chữ số 13) Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6 Có thể lập bao nhiêu số có chữ số lấy từ các số đã cho cho: a) Số đầu và số cuối giống nhau, các số khác b) chữ số đầu và chữ số cuối giống 10 Lop10.com (11) 14) Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6,7 a) Có thể lập bao nhiêu số gồm 10 chữ số cho số có mặt lần, số có mặt lần Các số khác có mặt lần b) Có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số cho số có mặt lần, các số khác có mặt vài lần 15) Cho các số: 0,1,2,3,4,5 Có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số cho các số chẵn không đứng liền 16) Một nhóm người thành lập công ty Họ muốn chọn ban điều hành gồm giám đốc,một phó giám đốc và thủ qũy Có 10 người hội đủ điều kiện để chọn Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban điều hành? 17) Huấn luyện viên đội bóng muốn chọn cầu thủ để đá luân lưu 11m Có bao nhiêu cách chọn nếu: a) Cả 11 cầu thủ có khả nhau? ( Kể thủ môn) b) Có cầu thủ bị chấn thương và thiết phải bố trí cầu thủ A đá số và cầu thủ B đá số 4? 18) Một người muốn xếp đặt số tượng vào dãy chỗ trống trên kệ trang trí Có bao nhiêu cách xếp nếu: a) Người đó có tượng khác nhau? b) Người đó có tượng khác nhau? c) Người đó có tượng khác nhau? 19) Với năm số 1,2,3,4,5 có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số đó số có mặt hai lần các số còn lại số có mặt đúng lần? 20) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác biết rằng: a) các số này chia hết cho 5? b) các số này phải có mặt ba chữ số 0,1,2 ? 32) Với sáu số 2,3,5,6,7,8, ta muốn thành lập số gồm bốn chữ số khác a) Có bao nhiêu số nhỏ 5000 ? b) Có bao nhiêu số chẵn nhỏ 7000 ? 21) Một lớp học có 30 học sinh Trong đó có 12 nữ, cần thành lập tổ công tác gồm người Có bao nhiêu cách lập cho tổ có đúng nữ 22) Trong không gian cho tập hợp gồm điểm đó không có điểm nào đồng phẳng Hỏi có thể lập bao nhiêu hình tứ diện với đỉnh thuộc tập hợp đã cho 23) Một đề thi có 15 câu hỏi Mỗi thí sinh phải rút câu (4 câu rút là “ đề thi ” thí sinh này) a) Có bao nhiêu đề thi khác nhau? ( Hai đề thi coi là khác có ít câu khác ) b) Tham gia kỳ thi có 2736 thí sinh Chứng tỏ có ít thí sinh gặp cùng đề thi 24) Một tổ trực gồm nam sinh và nữ sinh Giáo viên trực muốn chọn học sinh để trực thư viện Có bao nhiêu cách chọn nếu: a) Chọn học sinh nào được? b) Có đúng nữ sinh chọn? c) Có ít nữ sinh chọn? 25) Một họ n đường thẳng song song cắt họ m đường thẳng song song Hỏi có bao nhiêu hình bình hành tạo thành 26) Cho tập X = {a, b, c, d } Có bao nhiêu tạp X a) Không chứa phần tử a? b) Chứa phần tử a? 27) Một bình đựng viên bi xanh, viên bi đỏ, chúng khác màu Lấy hai viên a) Có bao nhiêu kết khác nhau? b) Có bao nhiêu cách lấy viên bi xanh?, hai viên bi đỏ? Hai viên bi khác màu? 11 Lop10.com (12) 28) Giáo viên hướng dẫn lao động muốn chia học sinh làm nhóm gồm 4, 3, và học sinh Có bao nhiêu cách chia? 29) Cho đa giác lồi có n đỉnh ( n ) a) Tính số đường chéo đa giác này; b) Biết ba đường chéo không cùng qua đỉnh thì không đồng quy, hãy tính số các giao điểm ( không phải là đỉnh ) các đường chéo 30) Một tổ trực gồm nam sinh và nữ sinh Giáo viên trực muốn chọn nhóm học sinh Có bao nhiêu cách chọn nhóm này phải có ít nữ sinh? 31) Giám đốc công ty muốn chọn nhóm người vào hội đồng tư vấn Trong công ty có 12 người hội đủ điều kiện để chọn, đó có hai cặp vợ chồng Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu: a) Hội đồng này có đúng cặp vợ chồng? b) Hội đồng này không thể gồm vợ lẫn chồng ( có )? 32) Tính số đường chéo đa giác lồi có n cạnh Tìm đa giác có số cạnh số đường chéo 33) (ĐH-B-2002) Cho đa giác A1 A2 A2 n (n 2, n Z ) nội tiếp đường tròn (O) Biết số tam giác có các đỉnh là 2n điểm A1 , A2 , , A2 n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 2n điểm A1 , A2 , , A2 n , tìm n? 34) (ĐH-B-2004) Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi ( khó, trung bình, dễ ) và số câu hỏi dễ không ít 2? 35) (ĐH-B-2005) Một đội niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội niên tình nguyện đó giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam và nữ? 36) Chứng minh rằng: Cnk 2Cnk 1 Cnk Cnk 2 k n 37) Chứng minh rằng: Cnk 3Cnk 1 3Cnk Cnk 3 Cnk3 3 k n 38) a) Chứng minh : Cnk Cnk 1 Cnk11 b) Chứng minh với k n thì: Cnk 4.Cnk 1 6.Cnk 4.Cnk 3 Cnk Cnk 39) Giải phương trình: 3.Cx21 Ax2 x 40) Giải phương trình: b) Cx21 Ax2 x A21 x a) Ax31 Cxx11 14 x 1; 41) Giải bất phương trình: a) Cx41 Cx31 Ax b) Ax41 14.P3 Cxx13 42) Giải bất phương trình: Cxx12 Cxx11 2000 43) Chứng minh: Ckk Ckk1 Ckk Ckk m 1 Ckkm1 44) Cho m k n Chứng minh: Cm0 Cnk Cm1 Cnk 1 Cm2 Cnk CmmCnk m Cmk n 12 Lop10.com (13) 45) Chứng minh rằng: Cn0 Cn1 Cn2 1 Cnk 1 Cnn k 2n 46) a) Chứng minh: C C C C n 1 n n n n n 1 n n b Chứng minh: C2nn k C2nn k C2nn 47) a) Chứng minh: 2.1.Cn2 3.2.Cn3 n n 1.Cnn n n 1.2n b) Chứng minh: Cn0 Cn1 Cnn C2nn 2 48) Tìm x để khai triển: x lg x 1 12 x có số hạng thứ 200 17 x Tìm số hạng không chứa x khai triển 49) Trong khai triển x 50) (ĐH-D-2004) Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Newton 3 x với x > x 51) Khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức: 11 1 x 1 x 1 x 1 x Ta đa thức: P( x ) A0 A1.x A2 x A11.x11 Tính A7 =? 52) Khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức 1 x x Ta đa thức: Px A0 A1 x A2 x Tính A7 53) (ĐH-A-2004) Tìm hệ số x8 khai triển biểu thức: 1 x 1 x 54) Tìm hệ số x khai triển biểu thức: Px 1 x 1 x 1 x 1 x 55) Trong khai triển: x Tìm số hạng chứa x khai triển đó x 56) (ĐH-A-2003) Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Newton của: n n 1 n x , biết rằng: Cn Cn 3 7(n 3) ( n là số nguyên dương, x > ) x 57) (ĐH-D-2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n 3 là hệ số x 3n 3 khai triển thành đa thức x 1 x Tìm n để a3n 3 26n n n 58) (ĐH-A-2006) Tìm hệ số số hạng chứa x 26 khai triển nhị thức Newton của: n 7 n 20 x , biết rằng: C2 n 1 C2 n 1 C2 n 1 C2 n 1 ( n là số nguyên dương, x > ) x a 59) Trong khai triển: b b a số hạng có số mũ a và b 21 Tìm 13 Lop10.com (14) 60) Tìm giá trị lớn các giá trị: Cn0 , Cn1 , Cn2 , , Cnn 61) Tìm hệ số có giá trị lớn khai triển: a b , biết tổng các hệ số 4096 n 62) (ĐH-A-2008) Cho khai triển: 1 x a0 a1 x an x n Trong đó n N * và các hệ số n a0 , a1, , an thỏa mãn hệ thức: a0 a a1 nn 4096 Tìm số lớn các số: 2 a0 , a1 , , an 63) (ĐH-A-2002) Cho khai triển nhị thức: n n n 1 n 1 n x x x 1 x 1 x 1 x21 3x 3x 0 1 n 1 n 3 2 Cn Cn Cn Cn ( n là số nguyên dương ) Biết khai triển đó Cn 5Cn và số hạng thứ tư 20n, tìm n và x 64) (ĐH-A-2005) Tìm số nguyên dương n cho: C21n 1 2.2C22n 1 3.22 C23n 1 4.23 C24n 1 2n 1.22 n C22nn11 2005 65) (ĐH-B-2003) Cho n là số nguyên dương Tính tổng: 2 1 23 2n 1 n Cn Cn Cn Cn n 1 66) (ĐH-D-2002) Tìm số nguyên dương n cho: Cn0 2Cn1 4Cn2 2n Cnn 243 67) (ĐH-D-2005) Tính giá trị biểu thức: M Cn21 2Cn2 2Cn23 Cn2 149 An41 An3 , biết rằng: n 1! ( n là số nguyên dương ) Các phương pháp giải phương trình lượng giác *Bài toán 1: Giải phương trình lượng giác phương pháp đổi biến Phương pháp 14 Lop10.com (15) Để giải phương trình lượng giác phương pháp đổi biến, ta sử dụng biến t để chuyển phương trình ban đầu chứa các cung t, 2t, 3t,…, kt, sử dụng các công thức góc nhân đôi, nh©n ba,… VÝ dô minh häa: Ví dụ 1: Giải phương trình: sin(2x - §Æt t = x - 2x - ) = 5sin(x - = 2t vµ 3x = 3t + Khi đó (1) sin2t = 5sint + cos(3t + Gi¶i: ) + cos3x (1) ) sin2t = sint - sin3t sin3t + sin2t = 5sint 3sint - 4sin3t + 2sint.cost = 5sint (3 - 4sin2t + 2cost - 5) sint = (2sin2t - cost + 1)sint = (2cos2t + cost - 3) sint = sin t cos t sint = t = k x = k cos t + k , k A Vậy phương trình đã cho có nghiệm 3 x 3x ) = sin( ) (2) Ví dụ 2: Giải phương trình: sin( 10 2 10 Gi¶i 3 x 3x - 3t = §Æt t = 10 10 Khi đó (2) sint = sin( 3t ) 2sint = sin3t 2sint = 3sint - 4sin3t 4sin3t - sint = (4sin2t - 1)sint = (1 - 2cos2t)sint = t k t k sin t 2t k 2 t k cos 2t 3 3 x 10 k x k 2 3 x 4 k x k 2 , k A 10 15 3 x k x 14 k 2 10 15 Vậy phương trình có ba nghiệm x= Ví dụ 3: Giải phương trình sin(3x - ) = sin2x.sin(x + Gi¶i 15 Lop10.com ) (3) (16) x 3t §Æt t = x + suy x 2t Khi đó (2) sin(3t - ) = sin(2t - ).sint - sin3t = - cos2t sint 3sint - 4sin3t = (1 - 2sin2t)sint sin3t - sint = (sin2t - 1)sint = cos2t.sint = cost.sint = k k sin2t = 2t = k t = x+ k x=- ,k A Vậy phương trình có nghiệm Ví dụ 4: Giải phương trình 2cos( x §Æt t = x 3x = 3t - ) = sin3x - cos3x (4) Gi¶i Khi đó (4) 2cost = sin(3t - ) 2 2cost = - cos3t - sin3t 2cost = - (4cos3t - 3cost) - (3sint - 4sin3t) 4cos3t - cost + 3sint - 4sin3t = (5) Ta xét hai trường hợp: TH1: Víi cost = t ) - cos(3t - k , k A Khi đó phương trình có dạng: 3sin( VËy t = k ) - 4sin3( k ) = (V« lý) k không là nghiệm phương trình k , k A Chia hai vế phương trình (5) cho cos3t, ta được: - (1 + tan2t) + 3(1 + tan2t),tant - 4tan3t = tan3t + tan2t -3tant - = (tant + 1)(tan2t - 3) = 5 x k t k x k 4 12 tan t 1 tan t t k x k x k , k A 6 tan t x k t k x k Vậy phương trình có nghiệm Bµi tËp ¸p dông: Bài tập Giải các phương trình sau: TH2: Víi cost ≠ t ≠ a 32cos6(x + ) - sin6x = c sin3x = 2cos( 16 Lop10.com - x) (17) b 8cos3(x + ) = cos3x Bài tập Giải các phương trình sau: 3x 3 x ) a sin( ) = 3sin( 10 10 3x x b sin( ) = 3sin( ) 4 d cos3x = 2sin(x + 5 ) 2 )+2=0 6x 8x d 2cos + = 3cos 5 c cos9x + 2cos(6x + *Bài toán 2: Giải phương trình lượng giác công thức hạ bậc Để giải phương trình lượng giác công thức hạ bậc, ta thực theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa Bước 2: Thực hạ bậc phương trình việc sử dụng các công thức: Hạ bậc đơn: 1 sin2x = (1 - cos2x) cos2x = (1 + cos2x) 2 cos x cos x tan2x = cot2x = cos x cos x 1 sin3x = (3sinx - sin3x) cos3x = (3cosx + cos3x) 4 3sin x sin x 3cos x cos x tan3x = cot3x = 3cos x cos x 3sin x sin x Chó ý: sinx.cosx = sin2x Hạ bậc đối xứng: Giả sử cần biến đổi biểu thức có dạng: A = sin3xcos3x + cos3xsin3x Ta cã thÓ lùa chän hai c¸ch sau C¸ch 1: Ta cã A = sin2x.sinx.cos3x + cos2x.cosx.sin3x = (1 - cos2x).sinx.cos3x + (1 - sin2x).cosx.sin3x = sinx.cos3x + cosx.sin3x - (cosx.cos3x + sinx.sin3x)sinx.cosx = sin4x - cos2x.sin2x = sin4x C¸ch 2: Ta cã 1 A = (3sinx - sin3x)cos3x + (3cosx + cos3x)sin3x 4 3 = (sinx.cos3x + cosx.cos3x) = sin4x 4 21 Ví dụ 1: Giải phương trình sin24x - cos26x = sin(10x + ) (1) Gi¶i cos8 x cos12 x sin(10 x 10 ) Phương trình (1) 2 2cos10x + cos12x + cos8x = 2cos10x + 2cos10x.cos2x = (cos2x + 1)cos10x = 17 Lop10.com (18) x k x k 2 cos x ,k A 10 x k cos10 x x k 20 10 Vậy phương trình có hai nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình sin23x - cos24x = sin25x - cos26x (2) Gi¶i Sö dông c«ng thøc h¹ bËc ta cã: cos x cos8 x cos10 x cos12 x (2) 2 2 (cos12x - cos6x) + (cos10x - cos8x) = - 2sin9x.sin3x - 2sin9x.sinx = - 2sin9x(sin3x + sinx) = - 4sin9x.sin2x.cosx k sin x x sin x ,k A sin x sin x k x cos x Vậy phương trình có hai nghiệm Bình luận: Với phương trình chứa số lẻ các nhân tử bậc cao (giả sử 3) Thông thường ta không hạ bậc tất các nhân tử đó mà chọn hai nhân tử để hạ bậc Cụ thể ta xét ví dụ sau: Ví dụ 3: Giải phương trình sin23x - sin22x - sin2x = (3) Gi¶i cos x cos x sin 2 x (cos6x - cos2x) + 2sin22x = Ta cã (3) 2 -2 sin4x.sin2x + 2sin22x = - 2sin2x(sin4x - sin2x) = k x sin x ,k A sin x sin x x k Vậy phương trình có hai nghiệm Ví dụ 4: Giải phương trình: sin32x cos6x + sin6x cos32x = Gi¶i Ta có thể lựa chọn hai cách sau để biến đổi cho VT: C¸ch 1: Ta cã: VT = sin22x.sin2x.cos6x + sin6x.cos2x.cos22x = (1 - 2cos2x).sin2x.cos6x + sin6x.cos2x.(1 - 2sin22x) = sin2x.cos6x + sin6x.cos2x - cos22x.sin2x.cos6x - sin6x.cos2x.sin22x = sin8x - cos2x.sin2x.(cos2x.cos6x + sin6x.sin2x) = sin8x - sin4x.cos4x = sin8x C¸ch 2: Ta cã: 1 VT = (3sin2x - sin6x)cos6x + (3cos2x + cos6x).sin6x 4 3 = (sin2x.cos6x + cos2x.sin6x) = sin8x 4 Phương trình biến đổi dạng: 18 Lop10.com (19) k x 3 48 ,k A sin8x = sin8x = x 5 k 48 Vậy phương trình có hai nghiệm Bình luận: Việc hạ bậc nhiều trường hợp giúp chúng ta đánh giá đúng đắn mối liên hệ các cung góc phương trình 3x 4x Ví dụ 5: Giải phương trình: 1+ 2cos2 = 3cos (5) 5 Gi¶i 6x 4x 6x 4x Ta cã (5) + + cos = 3cos + cos = 3cos 5 5 2x §Æt t = , phương trình biến đổi dạng: + cos3t = 3cos2t + 4cos3t - 3cost = 3(2cos2t - 1) 4cos3t - 6cos2t - 3cost + = (cost - 1)(4cos2t - 2cost - 5) = cos t 2x x 5k k 21 ,k A cos t x 5 5k 2x k 2 cos t 21 (lo¹i) Vậy phương trình có ba nghiệm Bình luận: Với các phương trình chứa các nhân tử bậc cao ta tiên hành hạ bậc dần bước mét Ví dụ 6: Giải phương trình: sin4x + sin4( x ) + sin4( x ) = 4 Gợi ý: Hạ bậc đưa phương trình dạng: 2cos22x + cos2x - = 2 cos2x = x = k , k A Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm Bµi tËp ¸p dông: Bài tập 1: Giải các phương trình sau 17 a sin22x - cos28x = sin(10x + ) b sin4x + cos4(x + ) = 4 c cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 2 d sin x + sin 3x = cos 2x + cos 4x e sin2x = cos22x + cos23x f sin23x + sin22x + sin2x = Bài tập 2: Giải các phương trình sau a sin3x.sin3x + cos3x.cos3x = b sin3x.sin3x + cos3x.cos3x = cos34x 19 Lop10.com (20) c 4sin3x.cos3x + 4cos3x.sin3x + 3 cos4x = d cos3x.cos3x - sin3x.sin3x = cos34x + Bài tập 3: Giải các phương trình sau 4x a cos2x = cos b 32cos6x = + cos6x 17 c sin22x - cos28x = sin( + 10x) d cos4x - cos2x + 2sin6x = sin10 x cos10 x sin x cos x e cos4x + cos4(x + ) = f 4sin 2 x cos 2 x 4 *Bài toán 3: Biến đổi phương trình lượng giác thành phương trình tích Việc biến đổi phương trình lượng giác phương trình tích phụ thuộc vào các phép biến đổi dạng: Phương pháp biến đổi tổng, hiệu thành tích Phương pháp biến đổi tích thành tổng Lựa chọn phép biến đổi cho cos2x Phương pháp luận hệ số Phương pháp số biến thiên Phương pháp nhân Sử dụng các phép biến đổi hỗn hợp A Ta đưa phương trình cần giải phương trình dạng tích: A.B = B đó các phương trình A = 0, B = là các phương trình có dạng chuẩn Với các bài toán có tham số, để xác định điều kiện cho phương trình có đúng k nghiệm trên miền D, ta cần chú ý tới số nghiệm phương trình thành phần Dạng 1: Phương pháp biến đổi tổng, hiệu thành tích Ví dụ Giải phương trình: + cosx + cos2x + cos3x = (1) Gi¶i Ta cã thÓ lùa chän mét hai c¸ch sau Cách 1: Biến đổi phương trình thành tích (1) (1 + cos2x) + (cosx + cos3x) = 2cos2x + 2cos2x.cosx = 3x x (cos2x + cosx).cosx = 2cos cos cosx = 2 2 3x 3x x k k cos 2 x k 3 cos x x k x k ,k A 2 x k x x x k 2 cos k 2 Vậy phương trình có hai nghiệm Cách 2: Biến đổi phương trình chứa hàm lượng giác (1) + cosx + 2cos2x - + 4cos3x - 3cosx = 4cos3x + 2cos2x - 2cosx = (2cos2x + cosx - cosx).2cosx = x k cos x x k cos x 1 x k 2 ,k A 2 x k 3 x k 2 cos x 20 Lop10.com (21)