Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán lớp 10

Gi¸o viªn: NguyÔn §øc HËu.. Cho tam giác ABC và đường thẳng d..[r]

Trường THPT Đức Thọ Gi¸o viªn: NguyÔn §øc HËu đề thi chọn đội tuyển h.s.g môn toán lớp 10 Thêi gian: 90 phót Bµi 1.(3 ®iÓm) a) Giải phương trình 2( x  1) x  x   x  x  (1)  x  y  x2  y   xy (1  x)(1  y )  12 b) Giải hệ phương trình:  Bµi 2.(2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y = f(x) = 4x2 - 4x - 3|2x - 1| + Bài 3.(3 điểm) Cho tam giác ABC và đường thẳng d Hãy xác định vị trí điểm M trên đường thẳng d cho biểu thức S = MA2 + 2MB2 - MC2 đạt giá trị nhỏ Bµi 4.(2 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã BC = a, AC = b, AB = c vµ diÖn tÝch S  (a  b ) H·y t×m sè ®o c¸c gãc cña tam gi¸c ABC HÕt & Lop10.com Trường THPT Đức Thọ Gi¸o viªn: NguyÔn §øc HËu §¸p ¸n  x  1  Bµi a) (1 ®iÓm) §KX§:  (0,25 ®iÓm) §Æt t  x  x  1; t  Ta có phương trình: t2 - 2(x - 1)t - 4x = <=> t = -2 (loại) t = 2x (0,5 ®iÓm) (0,5 ®iÓm)  x  1  2x   Víi t = 2x, ta cã hÖ   x  x   x v« nghiÖm (0,25 ®iÓm) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm u  v   uv  12 b) §Æt u = x + x2; v = y + y2, ta cã hÖ:  (0,5 ®iÓm) u  u  hoÆc  v  v   x   x x  u   x  3 +/  , ta cã    v  y  y   y    y  2  Gi¶i hÖ trªn ta ®­îc:  (0,25 ®iÓm) (0,25 ®iÓm)  x   x  x  u   x  2 +/  , ta cã    v  y  y   y    y  3  (0,25 ®iÓm) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) = {(2;1);(2;-2);(-3;1);(-3;-2);(1;2);(1;-3);(-2;2);(-2;-3)} (0,25 ®iÓm) 2 Bµi §Æt |2x - 1| = t ( t  ), ta cã hµm sè f(t) = t - 3t + = (t - 3/2) -1/4 (1,0 ®iÓm) => minf(x) = -1/4 t = 3/2 hay |2x - 1| = 3/2  x = 5/4 hoÆc x = -1/4 (1,0 ®iÓm)     Bµi Gäi I lµ t©m tØ cù cña ba ®iÓm A,B,C theo bé sè (1;2;-1), ta cã: IA  IB  IC  vµ I lµ ®iÓm cè   định và AC  IB (1,0 ®iÓm) 2 2 2 Khi đó với điểm M bất kì trên d ta có: S = MA + 2MB - MC = IA + 2IB - IC + 2MI (1,0 điểm) Do IA2 + 2IB2 - IC2 không đổi nên S nhỏ và MI nhỏ => M là hình chiếu I trªn d (1,0 ®iÓm) 2 1 4 sin C   A  B  450 Dấu đẳng thức xẩy và    ab  C  90 Bµi Ta cã: S  ab sin C  ab  (a  b )  S  (a  b ) VËy A =B = 450 vµ C = 900 Lop10.com (1,0 ®iÓm) (1,0 ®iÓm)