1 Tìm m để phương trình 1 có nghiệm và các nghiệm của ptrình có giá trị tuyệt đối bằng nhau 2 Tìm m để phương trình 1 có nghiệm và các nghiệm ấy là số đo của 2 cạnh góc vuông của một tam[r]
(1)ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II I.ĐẠI SỐ CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bất phương trình Khái niệm bất phương trình Nghiệm bất phương trình Bất phương trình tương đương Phép biến đổi tương đương các bất phương trình Dấu nhị thức bậc Dấu nhị thức bậc Hệ bất phương trình bậc ẩn Dấu tam thức bậc hai Dấu tam thức bậc hai Bất phương trình bậc hai Bài tập Xét dấu biểu thức 1 g(x)= x x k(x) = x2 - 8x + 15 f(x) = (2x - 1)(5 -x)(x - 7) h(x) = -3x2 + 2x – Giải bất phương trình a) (5 - x)(x - 7) >0 x 1 3 x d) x 2 g) (2x k) 8)(x2 b) –x2 + 6x - > 0; c) -12x2 + 3x + < 1 f/ x x x x2 x2 e) x x 11x h) x x - 4x + 3) > l) (1 – x )( x2 + x – ) > x 3x 0 x2 x 1 x2 m) x 3x Giải bất phương trình a/ x 1 b/ x 11 c/ x d/ x x e/ x x 4) Giải hệ bất phương trình sau 6 x x a) b) x 2x 15 x x c) x 14 2 x 2x 3 x x x d) 4 x x 19 ( x 2)(3 x) x 1 5) Với giá trị nào m, phương trình sau có nghiệm? a) x2+ (3 - m)x + - 2m = b) (m 1)x2 2(m 3)x m Lop10.com 0 (2) 6) Cho phương trình : (m 5) x 4mx m Với giá nào m thì : a) Phương trình vô nghiệm b) Phương trình có các nghiệm trái dấu 7) Tìm m để bpt sau có tập nghiệm là R: a) 2x (m 9)x m2 3m b) (m 4)x (m 6)x m 8) Xác định giá trị tham số m để phương trình sau vô nghiệm: x2 – (m – ) x – m2 – 3m + = 9) Cho f (x ) = ( m + ) x – ( m +1) x – a) Tìm m để phương trình f (x ) = có nghiệm b) Tìm m để f (x) , x A CHƯƠNG THỐNG KÊ 1.Bảng phân bố tần số - tần suất Biểu đồ Biểu đồ tần số, tần suất hình cột Đường gấp khúc tần số, tần suất Biểu đồ tần suất hình quạt Số trung bình Số trung bình Số trung vị và mốt Phương sai và độ lệch chuẩn dãy số liệu thống kê Bài tập Cho caùc soá lieäu ghi baûng sau Thời gian hoàn thành sản phẩm nhóm công nhân (đơn vị:phút) 42 42 42 42 44 44 44 44 44 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 54 54 54 50 50 50 50 48 48 48 48 48 48 48 48 48 48 50 50 50 50 a/Haõy laäp baûng phaân boá taàn soá ,baûng phaân boá taàn suaát b/Trong 50 công nhân khảo sát ,những công nhân có thời gian hoàn thành sản phẩm từ 45 phút đến 50 phút chiếm bao nhiêu phần trăm? Chiều cao 30 học sinh lớp 10 liệt kê bảng sau (đơn vị cm): 145 158 161 152 152 167 150 160 165 155 155 164 147 170 173 159 162 156 148 148 158 155 149 152 152 150 160 150 163 171 a) Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp với các lớp là: [145; 155); [155; 165); [165; 175) b) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột, đường gấp khúc tần suất Lop10.com (3) c) Phương sai và độ lệch chuẩn Điểm thi học kì II môn Toán tổ học sinh lớp 10A (quy ước điểm kiểm tra học kì có thể làm tròn đến 0,5 điểm) liệt kê sau: ; ; 7,5 ; ; ; ; 6,5 ; ; 4,5 ; 10 a) Tính điểm trung bình 10 học sinh đó (chỉ lấy đến chữ số thập phân sau đã làm tròn) b) Tính số trung vị dãy số liệu trên Cho các số liệu thống kê ghi bảng sau : Thành tích chạy 500m học sinh lớp 10A trường THPT C ( đơn vị : giây ) 6.3 6.2 6.5 6.8 6.9 8.2 8.6 6.6 6.7 7.0 7.1 8.5 7.4 7.3 7.2 7.1 7.0 8.4 8.1 7.1 7.3 7.5 8.7 7.6 7.7 7.8 7.5 7.7 7.8 7.2 7.5 8.3 7.6 a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp : [ 6,0 ; 6,5 ) ; [ 6,5 ; 7,0 ) ; [ 7,0 ; 7,5 ) ; [ 7,5 ; 8,0 ) ; [ 8,0 ; 8,5 ) ; [ 8,5 ; 9,0 ] b) Vẽ biểu đồ tần số hình cột, đường gấp khúc thành tích chạy học sinh c) Tính số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn bảng phân bố Số lượng khách đến tham quan điểm du lịch 12 tháng thống kê bảng sau: Tháng 10 11 12 Số 430 550 430 520 550 515 550 110 520 430 550 880 khách a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất và tìm số trung bình b) Tìm mốt, số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn CHƯƠNG GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Góc và cung lượng giác Độ và rađian, Góc và cung lượng giác Số đo góc và cung lượng giác Đường tròn lượng giác Giá trị lượng giác góc (cung) Giá trị lượng giác sin, côsin, tang, côtang và ý nghĩa hình học Bảng các giá trị lượng giác các góc thường gặp Quan hệ các giá trị lượng giác Công thức lượng giác Công thức cộng Công thức nhân đôi Công thức biến đổi tích thành tổng Công thức biến đổi tổng thành tích Bài tập Lop10.com (4) Đổi số đo các góc sau đây sang ra-đian: 105° ; 108° ; 57°37' Một đường tròn có bán kính 10cm Tìm độ dài các cung trên đường tròn có số đo: a) 7 12 b) 45° ; và a) Cho Tính cosα, tanα, cotα Chứng minh tam giác ABC ta có: a) sin(A + B) = sinC b) Cho tanα = và b) sin cho sinα = 3 Tính sinα, A B C = cos cosα Chứng minh rằng: a) (cotx + tanx)2 - (cotx - tanx)2 = 4; b) cos4x - sin4x = - 2sin2x Tính: cos105°; tan15° Tính sin2a sinα - cosα = 1/5 Chứng minh rằng: cos4x - sin4x = cos2x Hệ phương trình bậc hai ẩn D¹ng ax by c a ' x b ' y c ' Giải hệ phương trình 3 x y 2) x y 5 ( 1) x y 4 x ( 1) y 1) mx (2m 1) y 3m (2m 1) x my 3m 1) mx ny m n nx my 2mn Giải và biện luận hệ phương trình mx y 1) 5 x my 2) (m 5) x y m 2) (m 1) x my 3m Tìm m để hai đường thẳng sau song song x y , (m 1) x ym m Tìm m để hai đường thẳng sau cắt trªn Oy x my 2 m , x (2m 3) y 3m ## Tìm giá trị tham số để hệ phương trình có vô số nghiệm Hệ gồm phương trình bậc vàmột phương trình bậc hai hai ẩn D¹ng ax by c 2 cx dxy ey gx hy k (1) (2) PP gi¶i: Rót x hoÆc y ë (1) råi thÕ vµo (2) Giải hệ phương trình 2 x y 1) 3 x y xy 3( x y ) 5 2) 3 x y y 2 x y 3) 2 2 x xy y 10 x 12 y 100 2 Giải và biện luận hệ phương trình mx y 1) x y mx y 2) 2 x y Tìm m để đường thẳng x 8(m 1) y m cắt parabol x y x hai điểm phân biệt ## 2 Lop10.com (5) Hệ phương trình đối xứng loại I f ( x, y ) ; víi f i ( x, y ) = f i ( y, x) f ( x, y ) x y S PP giải: đặt ; S 4P xy P D¹ng Giải hệ phương trình x y xy 1) 2 x y xy x y xy 19 3) x y x y 931 x y xy 11 2) 2 x y y x 30 1 1 4) x y x y 243 x y 17 ( x y )1 xy 5) 6) x x y y 2 ( x y )1 49 x y Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x y x y x y) 1) 2) x y m ( x 1)( y 1) xy m x y m Cho hệ phương trình 2 x y xy Lop10.com (6) Giả sử x; y là nghiệm hệ Tìm m để biểu thức F= x y xy đạt max, đạt Hệ phương trình đối xứng loại II D¹ng f ( x, y ) f ( x, y ) PP giải: hệ tương đương f ( y, x) f ( x, y ) f ( y , x ) Giải hệ phương trình y y x x x y y xy x 2) x xy y y y x 4) x x y 1) y yx 40 x 3) x xy 40 y Tìm m để hệ phương trình có nghiệm y ( x y ) 2m 1) x ( x y ) 2m y x x mx 2) ## x y y my Hệ phương trình đẳng cấp (cÊp 2) ax bxy cy d (1) 2 a ' x b' xy c' y d ' (2) PP giải: đặt y tx x 2 D¹ng Giải hệ phương trình 2 x xy y 1) x xy y 2 x xy y 13 2) x xy y 3 x xy y 17 x y 1 3) 4) x y 16 7 y xy Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 2 3 x xy y 11 x xy y 1) 2) # x xy y 17 m x xy y m Một số Hệ phương trình khác Giải hệ phương trình x y 1) 2 x xy y xy ( x y ) 3) 3 x y x y 5) x y x y xy 49 2) 2 x y y x 180 2 xy 4) 3 8( x y ) 9( x y ) 2 y ( x y ) x 6) ( x y ) x 10 y Giải hệ phương trình x y x y 1) x y x y x y z 14 3) xz y x y z 2x 2 5 y 3y 2x 2) 3 x y Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung Lop10.com f ( x, y ) f ( y , x ) f ( x, y ) f ( y , x ) hay (7) a) b) x 3m vµ x 4m 12 (m 1) x (m 2) x vµ x 2x m Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x y a ( xy 1) x y xy x y m y x Tìm m, n để hệ phương trình sau có nhiều h¬n nghiÖm ph©n biÖt x nxy y x m( x y ) y x y m ## II.HÌNH HỌC CHƯƠNG II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 1.Tích vô hướng hai vectơ Định nghĩa Tính chất tích vô hướng Biểu thức tọa độ tích vô hướng Độ dài vectơ và khoảng cách hai điểm Các hệ thức lượng tam giác Định lí côsin, định lí sin Độ dài đường trung tuyến tam giác Diện tích tam giác Giải tam giác CHƯƠNG III.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 1.Phương trình đường thẳng Vectơ pháp tuyến đường thẳng Phương trình tổng quát đường thẳng Góc hai vectơ Vectơ phương đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc với Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Góc hai đường thẳng 2.Phương trình đường tròn Phương trình đường tròn với tâm cho trước và bán kính cho trước Nhận dạng phương trình đường tròn Phương trình tiếp tuyến đường tròn Bài tập Bài Cho tam giaùc ABC coù AA 600 , caïnh CA = 8, caïnh AB = 1) Tính caïnh BC 2) Tính dieän tích tam giaùc ABC 3) Xeùt xem goùc B tuø hay nhoïn Lop10.com (8) 4) Tính độ dài đường cao AH 5) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Bài Cho tam giaùc ABC coù a = 13 ; b = 14 ; c = 15 a) Tính dieän tích tam giaùc ABC b) Goùc B nhoïn hay tuø c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp r và bán kính đường tròn ngoại tiếp R tam giaùc d) Tính độ dài đường trung tuyến ma Bài Cho tam giác ABC có a = ; b = và góc C = 600; Tính các góc A, B, bán kính R đường tròn ngoại tiếp và trung tuyến ma Bài Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số đường thẳng trường hợp sau: a) Đi qua A(1;-2) và song song với đường thẳng 2x - 3y - = b) Đi qua hai điểm M(1;-1) và N(3;2) c) Đi qua điểm P(2;1) và vuông góc với đường thẳng x - y + = Bài Cho tam giác ABC biết A(-4;1), B(2;4), C(2;-2) Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB Bài Cho tam giaùc ABC coù: A(3;-5), B(1;-3), C(2;-2).Vieát phöông trình toång quaùt cuûa: a) caïnh AB, AC, BC b) Đường thẳng qua A và song song với BC c) Trung tuyến AM và đường cao AH tam giác ABC d) Đường thẳng qua trọng tâm G tam giác ABC và vuông góc với AC e) Đường trung trực cạnh BC Bài Cho tam giaùc ABC coù: A(1 ; 3), B(5 ; 6), C(7 ; 0).: a) Vieát phöông trình toång quaùt cuûa caïnh AB, AC, BC b) Viết phương trình đường trung bình song song cạnh AB c) Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt hai trục tọa độ M,N cho AM = AN d) Tìm tọa độ điểm A’ là chân đường cao kẻ từ A tam giaùc ABC Bài Viết phương trình đường tròn có tâm I(1; -2) và a) qua điểm A(3;5) b) tiếp xúc với đường thẳng có phương trình x + y = Bài Xác định tâm và bán kính đường tròn có phương trình: x2 + y2 - 4x - 6y + = Bài 10 Cho đường tròn có phương trình: x2 + y2 - 4x + 8y - = Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn điểm A(-1;0) Bài 11 Viết phương trình đường tròn (C) qua A(5 ; 3) và tiếp xúc với (d): x + 3y + = taïi ñieåm B(1 ; –1) Lop10.com (9) Bài 12 : Cho đường thẳng d : x y và điểm A(4;1) a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu A xuống d b) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua d Bài 13 Cho đường thẳng d : x y và điểm M(1;4) a) Tìm tọa độ hình chiếu H M lên d b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua d x 2t y 3t Bài 14 Cho đường thẳng d có phương trình tham số : a) Tìm điểm M trên d cho M cách điểm A(0;1) khoảng b) Tìm giao điểm d và đường thẳng : x y Bài 15 Tính bán kính đường tròn tâm I(3;5) biết đường tròn đó tiếp xúc với đường thẳng : 3x y PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Chuyên đề : Véc tơ và tọa độ véc tơ A tãm t¾t lÝ thuyÕt I Hệ Trục toạ độ II Tọa độ vÐc tơ Định nghĩa u ( x; y ) u xi y j C¸c tÝnh chất Trong mặt phẳng Oxy cho u ( x; y ); v ( x '; y ') , ta cã : a u v ( x x '; y y ') b ku (kx; ky ) c u.v xx ' yy ' 2 d u x x '2 u x x '2 e u v u.v xx ' yy ' x y f u , v cïng phương x' y' x x' g u v y y' VÝ dụ VÝ dụ T×mm tọa độ cña vÐc tơ sau : a i; b j; c 3i j; d ( j i ); e 0,15i 1,3 j; f i (cos 240 ) j 2 VÝ dụ Cho c¸c vÐc tơ : a (2;1); b (3; 4); c (7; 2) a T×m toạ độ vÐc tơ u 2a 3b c b T×m toạ độ vÐc tơ x cho x a b c c T×m c¸c số k , l để c k a lb VÝ dô Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho c¸c vÐc tơ : a (3; 2); b (1;5); c (2 ' 5) a T×m toạ độ cña vÐc tơ sau u 2a b 4c v a 2b 5c ; w 2(a b) 4c b T×m c¸c số x, y cho c xa yb Lop10.com (10) c TÝnh c¸c tÝch v« hướng a.b; b.c; a (b c); b(a c) 1 VÝ dụ Cho u i j; v ki j T×m k để u , v cïng phương III Toạ độ điểm Định nghĩa M ( x; y ) OM ( x; y ) OM xi y j Mối liªn hệ toạ độ điểm và toạ độ vÐc tơ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A( x1 ; y1 ); B ( x2 ; y2 ); C ( x3 ; y3 ) Khi đó: a AB ( x2 x1 ; y2 y1 ) AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) x1 x2 y1 y2 ; ) 2 x x x y y2 y3 ) c Toạ độ trọng t©m G ABC là : G ( ; 3 d Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB, AC cïng phương VÝ dụ VÝ dụ Cho ba điểm A(4;1), B (2; 4), C (2; 2) a Chứng minh ba điểm kh«ng th¼ng hµng b TÝnh chu vi ABC c T×m tọa độ trực t©m H VÝ dụ Cho ba điểm A(3; 4), B (1;1), C (9; 5) a Chứng minh A, B, C th¼ng hàng b T×m toạ độ D cho A là trung điểm BD c T×m toạ độ điÓm E trªn Ox cho A, B, E th¼ng hàng VÝ dụ Cho ba điểm A(4;1), B (2; 4), C (2; 2) a Chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành tam gi¸c b T×m toạ độ trọng t©m ABC c T×m toạ độ điểm E cho ABCE lµ h×nh b×nh hµnh b Toạ độ trung điểm I đoạn AB là : I ( Chuyên đề 1: phương trình đường thẳng A kiÕn thøc c¬ b¶n I Véc tơ phương và véc tơ pháp tuyến đường thẳng 1) VÐc t¬ ph¸p tuyÕn: VÐc t¬ n ®îc gäi lµ vÐc t¬ ph¸p tuyÕn ( vtpt ) cña ®êng th¼ng nÕu nã cã gi¸ 2) Véc tơ phương: Véc tơ u gọi là véc tơ phương( vtcp) đường thẳng nó có gi¸ song song hoÆc trïng víi ®êng th¼ng * Chó ý: - Nếu n; u là véc tơ pháp tuyến và phương đường thẳng thì k các véc tơ k n; ku tương ứng là các véc tơ pháp tuyến và phương đường thẳng - Nếu n (a; b) là véc tơ pháp tuyến đường thẳng thì véc tơ phương là u (b; a ) u (b; a ) - Nếu u (u1 ; u2 ) là véc tơ phương đường thẳng thì véc tơ pháp tuyến là n (u2 ; u1 ) hoÆc n (u2 ; u1 ) 10 Lop10.com (11) II Phương trình tổng quát đường thẳng Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng qua M ( x0 ; y ) và có véc tơ pháp tuyến n (a; b) Khi đó phương trình tổng quát xác định phương trình : a ( x x0 ) b( y y ) (1) ( a b ) III Phương trình tham số đường thẳng Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng qua M ( x0 ; y ) và có véc tơ phương u (u1 ; u ) Khi đó x x0 u1t (2) y y0 u 2t * Chú ý : Nếu đường thẳng có hệ số góc k thì có véc tơ phương là u (1; k ) phương trình tham số xác định phương trình : ( t R ) IV Chuyển đổi phương trình tổng quát và phương trình tham số Nếu đường thẳng có phương trình dạng (1) thì n (a; b) Từ đó đường thẳng có vtcp là u (b; a ) hoÆc u (b; a ) Cho x x0 thay vào phương trình (2) y y Khi đó ptts là : x x bt y y at ( t A ) Nếu đường thẳng có phương trình dạng (2) thì vtcp u (u1 ; u ) Từ đó đường thẳng có vtpt là n (u ;u1 ) n (u ; u1 ) Và phương trình tổng quát xác định : u ( x x0 ) u1 ( y y ) * Chó ý : - NÕu u1 th× pttq cña lµ : x x0 - NÕu u th× pttq cña lµ : y y B bµi tËp c¬ b¶n I Viết phương trình đường thẳng qua M ( x0 ; y0 ) và có vtcp u (u1 ; u2 ) Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau : a §i qua M (1; 2) vµ cã mét vtcp u (2; 1) b §i qua hai ®iÓm A(1; 2) vµ B (3; 4) ; A(1; 2) vµ B (1; 4) ; A(1; 2) vµ B (3; 2) x 2t c §i qua M (3; 2) vµ // d : (t A ) y t d §i qua M (2; 3) vµ d : x y II Viết phương trình đường thẳng qua M ( x0 ; y0 ) và có vtpt n (a; b) Ví dụ : Viết phương trình tổng quát đường thẳng các trường hợp sau : a §i qua M (1; 2) vµ cã mét vtpt n (2; 3) b §i qua A(3; 2) vµ // d : x y x 2t c §i qua B (4; 3) vµ d : (t AR ) y t III Viết phương trình đường thẳng qua M ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k cho trước + Phương trình đường thẳng có dạng y kx m + ¸p dông ®iÒu kiÖn ®i qua M ( x0 ; y0 ) m Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng các trường hợp sau : a §i qua M (1; 2) vµ cã hÖ sè gãc k b Đi qua A(3; 2) và tạo với chiều dương trục Ox góc 450 11 Lop10.com (12) III LuyÖn tËp Viết phương trình đường thẳng các trường hợp sau : a §i qua A(3; 2) vµ B (1; 5) ; M (3;1) vµ N (1; 6) ; b §i qua A vµ cã vtcp u , nÕu: + A(2;3) vµ u (1; 2) + A(1; 4) vµ u (0;1) c §i qua A(3; 1) vµ // d : x y d §i qua M (3; 2) vµ n (2; 2) e §i qua N (1; 2) vµ víi: + Trôc Ox + Trôc Oy f §i qua A(1;1) vµ cã hÖ sè gãc k g Đi qua B (1; 2) và tạo với chiều dương trục Ox góc 600 Viết phương trình các cạnh ABC biết : a A(2;1); B (5;3); C (3; 4) b Trung ®iÓm c¸c c¹nh lµ : M (1; 1); N (1;9); P (9;1) c C (4; 5) vµ hai ®êng cao ( AH ) : x y 0;( BK ) : x y 13 d ( AB ) : x y vµ hai ®êng cao ( AH ) : x y 0;( BK ) : x y 22 e A(1;3) hai trung tuyÕn ( BM ) : x y 0;(CN ) : y f C (4; 1) ®êng cao ( AH ) : x y trung tuyÕn ( BM ) : x y Chuyên đề 2: vị trí tương đối hai đường thẳng A tãm t¾tlÝ thuyÕt I Bài toán: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng 1 ; có phương trình (1 ) : a1 x b1 y c1 0, a12 b12 ( ) : a2 x b2 y c2 0, a22 b22 Hái: Hai ®êng th¼ng trªn c¾t nhau, song song hay rïng ? Trả lời câu hỏi trên chính là bài toán xét vị trí tương đối hai đường thẳng II Phương pháp C¸ch 1: a a NÕu th× hai ®êng th¼ng c¾t b1 b2 a a c NÕu th× hai ®êng th¼ng song song b1 b2 c2 a a c NÕu th× hai ®êng th¼ng trïng b1 b2 c2 C¸ch 2: a x b1 y c1 Xét hệ phương trình (1) a2 x b2 y c2 Nếu hệ (1) có nghiệm thì hai đường thẳng cắt và toạ độ giao điểm là nghiệm hệ NÕu hÖ (1) v« nghiÖm th× hai ®êng th¼ng song song Nếu hệ (1) nghiệm đúng với x; y thì hai đường thẳng trùng * Chú ý: Nếu bài toán không quan tâm đến toạ độ giao điểm, ta nên dùng cách b bµi tËp c¬ b¶n I Xét vị trí tương đối hai đường thẳng Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trường hợp cắt nhau: 12 Lop10.com (13) a) 1 : x y 0; 2 : 2x y x 4t 2 : (t A ) y 2t x 1 5t x 6 5t ' c) 1 : (t A ) 2 : (t ' A ) y 4t y 4t ' II Biện luận theo tham số vị trí tương đối hai đường thẳng VÝ dô 1: Cho hai ®êng th¼ng 1 : (m 3) x y m 0; : x my (m 1) Tìm m để hai đường thẳng cắt VÝ dô 2: Cho hai ®êng th¼ng 1 : mx y m 0; : x my Biện luận theo m vị trí tương đối hai đường thẳng III LuyÖn tËp Bài 1: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trường hợp cắt nhau: a) 1 : x 10 y 12 0; : x y 16 b) 1 : x y 10 0; b) 1 :12 x y 10 0; x 5t 2 : (t A ) y 2t xt x 6 5t ' 2 : (t ' A ) c) 1 : (t A ) y 4t ' y 10 t Bµi 2: BiÖn luËn theo m vÞ trÝ c¸c cÆp ®êng th¼ng sau a) 1 : mx y 2m 0; : x my m b) 1 : mx y 0; : x my m Chuyên đề 3: góc hai đường thẳng A tãm t¾t lÝ thuyÕt I Định nghĩa: Giả sử hai đường thẳng 1 ; cắt Khi đó góc 1 ; là góc nhọn và kí hiệu lµ: 1 , * §Æc biÖt: - NÕu 1 , 90o th× 1 - NÕu 1 , 0o th× 1 // hoÆc 1 II Công thức xác định góc hai đường thẳng mặt phẳng toạ độ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , giả sử đường thẳng 1 ; có phương trình (1 ) : a1 x b1 y c1 0, a12 b12 ( ) : a2 x b2 y c2 0, a22 b22 Khi đó góc hai đường thẳng 1 , xác định theo công thức: a1a2 b1b2 cos 1 , a12 b12 a22 b22 * Nhận xét: Để xác định góc hai đường thẳng ta cần biết véc tơ phương chúng b bµi tËp c¬ b¶n I Xác định góc hai đường thẳng Ví dụ: Xác định góc hai đường thẳng 1 : x y 0; 2 : x y 13 Lop10.com (14) xt 2 : t A y 5t x t' 2 : t ' A y t ' 1 : x y 0; xt 1 : t A y t II Viết phương trình đường thẳng qua điểm cho trước và tạo với đường thẳng cho trước góc cho trước VÝ dô 1: Cho ®êng th¼ng d : x y vµ M 1; Viết phương trình đường thẳng qua M và tạo với d góc 45o Ví dụ 2: Cho ABC cân đỉnh A Biết AB : x y 0; BC : x y Viết phương trình cạnh AC biết nó qua M 1;1 VÝ dô 3: Cho h×nh vu«ng ABCD biÕt A 3; 2 vµ BD : x y 27 Viết phương trình các cạnh và các đường chéo còn lại III LuyÖn tËp Bài 1: Xác định góc các cặp đường thẳng sau a) 1 : x y 0; : 3x y b) 1 : x y 0; 2 : 2x y c) 1 : x y 0; 2 : x y Bµi 2: Cho hai ®êng th¼ng 1 : x y 0; : mx y Tìm m để 1 , 30o Bµi 3: Cho ®êng th¼ng d : x y vµ M 3;1 Viết phương trình đường thẳng qua M và tạo với d góc 45o Bài 4: Cho ABC cân đỉnh A , biết: AB : x y ; AC : 3x y Viết phương trình BC qua M 2; 1 Bµi 5: Cho h×nh vu«ng t©m I 2;3 vµ AB : x y Viết phương trình các cạnh, các đường chéo còn lại Bài 6: Cho ABC cân đỉnh A , biết: AB : x y 13 ; BC : x y Viết phương trình AC qua M 11;0 Bài 7: Cho ABC đều, biết: A 2;6 và Viết phương trình các cạnh còn lại BC : 3x y §êng trßn A Tãm tắt lý thuyết Phương tr×nh chÝnh tắc Trong mặt phẳng Oxy cho đường trßn t©m I (a; b) b¸n kÝnh R Khi đã phương tr×nh chÝnh tắc đường trßn : ( x a ) ( y b) R Phương tr×nh tæng qu¸t Là phương tr×nh cã dạng: x y 2ax 2by c Với A2 B C Khi đó tâm I ( A; B ) , bán kính R A2 B C Bài to¸n viết phương tr×nh đường trßn VÝ dụ Viết phương tr×nh đường trßn đường kÝnh AB , với A(1;1), B (7;5) §¸p số : ( x 4) ( y 3) 13 hay x y x y 12 14 Lop10.com (15) VÝ dụ Viết phương tr×nh đường trßn ngoại tiếp ABC , với A(2; 4), B (5;5), C (6; 2) §¸p số : x y x y 20 VÝ dụ Viết phương trình đường tròn có tâm I (1; 2) và tiếp xóc với đường thẳng : x y §¸p số : ( x 1) ( y 2) VÝ dụ Viết phương tr×nh đường trßn qua A(4; 2) và tiếp xóc với hai trục toạ độ §¸p số : ( x 2) ( y 2) ( x 10) ( y 10) 100 Bài toán tìm tham số để phương trình dạng x y Ax By C là phương trình đường tròn Điều kiện : a b c VÝ dụ Trong c¸c phương tr×nh sau đ©y, phương tr×nh nào là phương tr×nh đường trßn X¸c định t©m và tÝnh b¸n kÝnh a x y x y c x y x y 16 b x y x y d x y x §¸p số : c ) I (3; 4), R d) I ( ;0), R 4 2 VÝ dụ Cho phương tr×nh : x y 6mx 2(m 1) y 11m 2m a T×m điều kiện m để pt trªn là đường trßn b T×m quĩ tÝch t©m đường trßn VÝ dụ Cho phương tr×nh x y (m 15) x (m 5) y m a T×m điều kiện m để pt trªn là đường trßn b T×m quĩ tÝch t©m đường trßn VÝ dụ Cho phương tr×nh (Cm ) : x y 2(m 1) x 2(m 3) y a T×m m để (Cm ) là phương tr×nh đường trßn b T×m m để (Cm ) là đường trßn t©m I (1; 3) Viết phương tr×nh đường trßn này c T×m m để (Cm ) là đường trßn cã b¸n kÝnh R Viết phương tr×nh đường trßn này d T×m tập hợp t©m c¸c đường trßn (Cm ) II BÀI TẬP T×m phương tr×nh đường trßn (C ) biết : a (C ) tiếp xóc với hai trục toạ độ và cã b¸n kÝnh R b (C ) tiếp xóc với Ox A(5;0) và cã b¸n kÝnh R c Tiếp xóc với Oy B (0;5) và qua C (5; 2) T×m phương tr×nh đường trßn (C ) biết : a T×m I (1; 5) và qua gốc toạ độ b Tiếp xóc với trục tung và gốc O và cã R c Ngoại tiếp OAB với A(4;0), B (0; 2) d Tiếp xóc với Ox A(6;0) và qua B (9;3) Cho hai ểm A(1;6), B (5; 2) Lập phương tr×nh đường trßn (C ) , biết : a Đường kÝnh AB b T©m O và qua A ; T ©m O và qua B c (C ) ngoại tiếp OAB Viết phương tr×nh đường trßn qua ba điểm : 15 Lop10.com (16) a A(8;0) , B (9;3) , C (0;6) b A(1; 2) , B (5; 2) , C (1; 3) B Bài tập Viết phương tr×nh đường trßn (C ) cã t©m là điểm I (2;3) và thoả m·n điều kiện sau : a (C ) cã b¸n kÝnh R b (C ) tiếp xóc với Ox c (C ) qua gốc toạ độ O d (C ) tiếp xóc với Oy e (C ) tiếp xóc với đường th¼ng : x y 12 Cho ba điểm A(1; 4) , B (7; 4) , C (2; 5) a Lập phương tr×nh đường trßn (C ) ngoại tiếp ABC b T×m toạ độ t©m và tÝnh b¸n kÝnh Cho đường trßn (C ) qua điểm A(1; 2) , B (2;3) và cã t©m trªn đường thẳng : x y 10 a T×m toạ độ t©m đường trßn (C ) b TÝnh b¸n kÝnh R c Viết phương tr×nh (C ) Lập phương tr×nh đường trßn (C ) qua hai điểm A(1; 2) , B (3; 4) vµ tiếp xóc với đường thẳng : 3x y Lập phương tr×nh đường trßn đường kÝnh AB c¸c trường hợp sau : a A(1;1) , B (5;3) b A(1; 2) , B (2;1) Lập phương tr×nh đường trßn (C ) tiếp xóc với c¸c trục toạ độ vµ qua điểm M (4; 2) T×m tọa độ t©m vµà tÝnh b¸n kÝnh c¸c đường trßn sau : a ( x 4) ( y 2) d x y 10 x 10 y 55 b ( x 5) ( y 7) 15 e x y x y c x y x y 36 f x y x 10 y 15 Viết phương tr×nh đường trßn đường kÝnh AB c¸c trường hợp sau : a A(7; 3) , B (1;7) b A(3; 2) , B (7; 4) Viết phương tr×nh đường trßn ngoại tiếp ABC biết : A(1;3) , B (5;6) , C (7;0) 10 Viết phương tr×nh đường trßn (C ) tiếp xóc với c¸c trục toạ độ và : a Đi qua A(2; 1) b Cã t©m thuộc đường th¼ng : x y 11 Viết phương tr×nh đường trßn (C ) tiếp xóc với trục hoµnh điểm A(6;0) vµà qua điểm B (9;9) 12 Viết phương tr×nh đường trßn (C ) qua hai điÓm A(1;0) , B (1; 2) vµà tiếp xóc với đường thẳng : x y 1 Phương trình bậc hai & hệ thức Vi-ét Bài tập : Định giá trị tham số m để phương trình x m(m 1) x 5m 20 Cã mét nghiÖm x = - T×m nghiÖm Bài tập : Cho phương trình x mx (1) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Với giá trị nào m thì phương trình (1) có nghiệm 1? Tìm nghiệm Bài tập : Cho phương trình x x m (1) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Với giá trị nào m thì phương trình (1) có nghiệm gấp lần nghiệm kia? Tìm các nghiệm phương trình trường hợp này Bài tập : Cho phương trình (m 4) x 2mx m (1) m = ? th× (1) cã nghiÖm lµ x = 2) m = ? th× (1) cã nghiÖm kÐp Bài tập : Cho phương trình x 2(m 1) x m (1) Chøng minh (1) cã hai nghiÖm víi mäi m m =? th× (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu Giả sử x1 , x2 là nghiệm phương trình (1) CMR : M = 1 x2 x1 1 x1 x2 không phụ thuéc m 16 Lop10.com (17) Bài tập : Cho phương trình x 2(m 1) x m (1) Chøng minh (1) cã nghiÖm víi mäi m Đặt M = x12 x22 ( x1 , x2 là nghiệm phương trình (1)) Tìm M Bài tập 7: Cho phương trình x ax b 0(1); x bx c 0(2); x cx a 0(3) Chứng minh phương trình ít phương trình có nghiệm Bài tập 8: Cho phương trình x (a 1) x a a (1) Chøng minh (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊuvíi mäi a x1 , x2 là nghiệm phương trình (1) Tìm B = x12 x22 Bài tập 9: Cho phương trình x 2(a 1) x 2a (1) Chøng minh (1) cã hai nghiÖm víi mäi a a = ? th× (1) cã hai nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n x1 x2 a = ? th× (1) cã hai nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n x12 x22 = Bài tập 10: Cho phương trình x (2m 1) x m (1) m = ? th× (1) cã hai nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n 3x1 x2 11 Chứng minh (1) không có hai nghiệm dương T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 , x2 kh«ng phô thuéc m Gợi ý: Giả sử (1) có hai nghiệm dương -> vô lý Bài tập 11: Cho hai phương trình x (2m n) x 3m 0(1) x (m 3n) x 0(2) Tìm m và n để (1) và (2) tương đương Bài tập 12: Cho phương trình ax bx c 0(a 0) (1) điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có nghiÖm nµy gÊp k lÇn nghiÖm lµ kb (k 1) ac 0(k 0) Bài tập 13: Cho phương trình mx 2(m 4) x m (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 x2 Tìm hệ thức x1 , x2 độc lập với m Bài tập 14: Cho phương trình x (2m 3) x m 3m (1) Chứng minh phương trình có nghiệm với m Tìm m để phưong trình có hai nghiệm đối Tìm hệ thức x1 , x2 độc lập với m Bài tập 15: Cho phương trình (m 2) x 2(m 4) x (m 4)(m 2) (1) Với giá trị nào m thì phương trình (1) có nghiệm kép Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 , x2 Tìm hệ thức x1 , x2 độc lập với m TÝnh theo m biÓu thøc A 1 ; x1 x2 4) Tìm m để A = Bài tập 16: Cho phương trình x mx (1) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A 2( x1 x2 ) x12 x22 Tìm các giá trị m cho hai nghiệm phương trình là nghiệm nguyên Bài tập 17: Với giá trị nào k thì phương trình x kx có hai nghiệm kém đơn vị 17 Lop10.com (18) Bài tập 18: Cho phương trình x (m 2) x m (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Tìm m để phương trình có nghiệm âm Bài tập 19: Cho phương trình x (m 1) x m (1) CMR phương rình (1) luôn có nghiệm phân biệt với m Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phương trình Tính x12 x22 theo m Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 x22 = Bài tập 20: Cho phương trình x (2m 1) x m 3m (1) Giải phương trình (1) với m = -3 Tìm m để phương trình có hai nghiệm và tích hai nghiệm đó Tìm hai nghiệm đó Bài tập 21: Cho phương trình x 12 x m (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 toả mãn x2 x12 Bài tập 22: Cho phương trình (m 2) x 2mx (1) Giải phương trình với m = 2 Tìm m để phương trình có nghiệm Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 1 x1 1 x2 1 Bài tập 23: Cho phương trình x 2(m 1) x m (1) Giải phương trình với m = CMR phương trình (1) luôn có hai nghiêm phân biệt với m TÝnh A = 1 theo m x13 x23 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm đối Bài tập 24: Cho phương trình (m 2) x 2mx m (1) Tìm m để phương trình (1) là phương trình bậc hai Giải phương trình m = Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm Bài tập 25: Cho phương trình x px q (1) Giải phương trình p = ; q = 3 Tìm p , q để phương trình (1) có hai nghiệm : x1 2, x2 CMR : (1) có hai nghiệm dương x1 , x2 thì phương trình qx px có hai nghiệm dương x3 , x4 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 3x1va3x2 ; x x 1 vµ ; vµ 2 x1 x2 x2 x1 Bài tập 26: Cho phương trình x (2m 1) x m (1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiêm phân biệt với m Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn : x1 x2 ; Tìm m để x12 x22 x1 x2 đạt giá trị nhỏ Bài tập 27: Cho phương trình x 2(m 1) x 2m 10 (1) Giải phương trình với m = -6 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 Tìm GTNN biểu thức A x12 x22 10 x1 x2 Bài tập 28: Cho phương trình (m 1) x (2m 3) x m (1) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu 18 Lop10.com (19) Tìm m để (1) có hai nghiệm x1 , x2 Hãy tính nghiệm này theo nghiệm Bài tập 29: Cho phương trình x 2(m 2) x (m 2m 3) (1) Tìm m để (1) có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt thoả mãn 1 x1 x2 x1 x2 Bài tập 30: Cho phương trình x mx n cã m = 16n CMR hai nghiệm phương trình , có nghiệm gấp ba lần nghiệm Bài tập 31 : Gọi x1 , x2 là các nghiệm phương trình x 3x Không giải phương trình , h·y tÝnh : a) 1 ; x1 x2 b) ( x1 x2 ) ; c) x3 x3 d) x1 x2 Bài tập 32 : Lập phương trình bậc hai có các nghiệm : a) vµ ; b) - vµ + Bài tập 33 : CMR tồn phương trình có các hệ số hữu tỷ nhận các nghiệm là : a) 3 ; 3 b) 2 ; 2 c) 2 Bài tập 33 : Lập phương trình bậc hai có các nghiệm : Bình phương các nghiệm phương trình x x ; Nghịch đảo các nghiệm phương trình x mx Bài tập 34 : Xác định các số m và n cho các nghiệm phương trình x mx n còng lµ m vµ n Bài tập 35: Cho phương trình x 2mx (m 1)3 (1) Giải phương trình (1) m = -1 Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt , đó nghiệm bình phu¬ng nghiÖm cßn l¹i Bài tập 36: Cho phương trình x x (1) Tính x1 x2 x2 x1 ( Với x1 , x2 là hai nghiệm phương trình) Bài tập 37: Cho phương trình (2m 1) x 2mx (1) Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( -1; ) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 x22 Bµi tËp 38 : Cho phương trình x2 - (2k - 1)x +2k -2 = (k là tham số) Chứng minh phương trình luôn luôn có nghiệm Tìm các giá rị a để ptrình : (a a 3) x a 2x 3a NhËn x=2 lµ nghiÖm T×m nghiÖm cßn l¹i cña ptr×nh ? Bài tập 40 Xác định giá trị m phương trình bậc hai : x x m để + là nghiệm phương trình Với m vừa tìm được, phương trình đã cho còn Bµi tËp 39: nghiÖm n÷a T×m nghiÖm cßn l¹i Êy? Bài tập 41: Cho phương trình : x 2(m 1) x m (1) , (m lµ tham sè) Giải phương trình (1) với m = -5 Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt m Tìm m để x1 x2 đạt giá trị nhỏ ( x1 , x2 là hai nghiệm phương trình (1) nói phần 2/ ) Bµi tËp 42: Cho phương trình Giải phương trình b= -3 và c=2 Tìm b,c để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích chúng Bµi tËp 43: Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + = với m là tham số và x là ẩn số 19 Lop10.com (20) a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 c) Với điều kiện câu b hãy tìm m để biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ Bài tập 44: Cho phương trình ( ẩn x) : x4 - 2mx2 + m2 – = Giải phương trình với m = Tìm m để phương trình có đúng nghiệm phân biệt Bµi tËp 45: Cho phương trình ( ẩn x) : x2 - 2mx + m2 – =0 (1) 1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm và các nghiệm ptrình có giá trị tuyệt đối 2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm và các nghiệm là số đo cạnh góc vuông tam gi¸c vu«ng cã c¹nh huyÒn b»ng Bài tập 46: Lập phương trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm là: x1 3 vµ x 3 TÝnh : P = 3 3 Bài tập 47: Tìm m để phương trình : x x x m có đúng hai nghiệm phân biệt Bài tập 48: Cho hai phương trình sau : x (2m 3) x 2x2 x m ( x lµ Èn , m lµ tham sè ) Tìm m để hai phương trình đã cho có đúng nghiệm chung Bài tập 49: Cho phương trình : x 2(m 1) x m với x là ẩn , m là tham số cho trước Giải phương trình đã cho kho m = Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm dương x1 , x2 phân biệt thoả mãn điều kiện x12 x22 Bµi tËp 50: Cho phương trình : m x 1 2m x m ( x là ẩn ; m là tham số ) Giải phương trình m = - 2 CMR phương trình đã cho có nghiệm với m Tìm tất các giá trị m cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lÇn nghiÖm Bài tập 52: Cho phương trình x2 + x – = Chứng minh phương trình có hai nghiệm trái dấu Gọi x1 là nghiệm âm phương trình Hãy tính giá trị biểu thức : P x18 10 x1 13 x1 Bài tập 53: Cho phương trình với ẩn số thực x: x2 - 2(m – ) x + m - =0 Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó (1) Bài tập 54: Cho phương trình : x2 + 2(m-1) x +2m - =0 (1) CMR phương trình (1) luôn có nghiệm phân biệt với m Tìm m để nghiệm x1 , x2 (1) thoả mãn : x12 x22 14 Bµi tËp 55: Cho a = 11 , b 11 CMR a, ,b là hai nghiệm phương trình bậc hai với hệ sè nguyªn Cho c 10, d 10 CMR c , d là hai nghiệm phương trình bậc hai với hệ sè nguyªn 20 Lop10.com (21)