B¶n th©n tôi dựa vào nội dung đề thi tốt nghiệp các năm; chuẩn kiến thức của chương trình phổ thông và cấu trúc đề thi tốt nghiệp năm nay có đưa ra một số kiến thức cơ bản, trọng tâm nhấ[r]
(1)HƯỚNG DẪN ÔN TẬP THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN 2009 - 2010 * GV Phïng §øc TiÖp S§T: 0985.873.128 * Trường THPT Lương Tài – T.Bắc Ninh Để tạo điều kiện và giúp học sinh, là đối tượng học sinh yếu, trung bình ôn thi tốt nghiệp cách hiệu B¶n th©n tôi dựa vào nội dung đề thi tốt nghiệp các năm; chuẩn kiến thức chương trình phổ thông và cấu trúc đề thi tốt nghiệp năm có đưa số kiến thức bản, trọng tâm phương pháp ôn luyện để học sinh có thể luyện tập cách tích cực và chủ động Đây là ý kiến chủ quan chúng tôi, đề nghị các thày cô giáo đóng góp, cho ý kiến để công việc ôn tập kết đợt thi tốt nghiệp tới thành công tốt đẹp C¸c d¹ng to¸n thi tèt nghiÖp THPT I Khảo sát và các bài toán liên quan II.Hµm sè, PT, BPT mò vµ logarit III Gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè IV T×m nguyªn hµm vµ tÝch ph©n V Sè phøc VI Phương pháp toạ độ không gian VII H×nh häc kh«ng gian tæng hîp Trang 11 13 20 23 28 Lop10.com (2) I Khảo sát và các bài toán liên quan: 1- Kh¶o s¸t vµ vÏ §THS: 1/ y = ax3+bx2+cx+d; 2/ y = ax4+bx2+c; 3/ y = ax b Ax B §Ò thi tèt nghiÖp c¸c n¨m 2009 2008 PB lÇn Cho hµm sè y = 2x3+3x2-1 a) Khảo sát SBT và vẽ đồ thị a) Khảo sát SBT và vẽ đồ thị hàm số ; (C) hàm số đã cho ; b) BiÖn luËn theo m sè b) Viết PTTT đồ thị (C), nghiệm pt: 2x3+3x2-1 = m biÕt hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn b»ng – 2008 KPB lÇn 2008 KPB lÇn Cho HS y x 3x Cho HS y x 3x Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến Tìm các giá trị m để với đồ thị hàm số điểm có phương trình x 3x m có nghiệm phân biệt hoành độ x= 2007 PB lÇn 2007 KPB lÇn 2 Cho HS y x 3x ( C) Cho HS y x ( H) 2x 1 Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) Viết phương trình tiếp tuyến Kháo sát và vẽ đồ thị (H) với đồ thị điểm uốn ( C) Viết PTTTvới (H) A( 0;3) 2006 PB 2006 KPB Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) Khảo sát và vẽ đồ thị © hàm số y x 3x hàm số y x x x Dựa vào đồ thị ( C), biện Viết Phương trình tiếp tuyến luận theo m số nghiệm PT điểm uốn đồ thị 3 Tìm m để d : y = x+ m2 – m x x m Tính DTHP giới hạn đồ qua trung điểm đoạn thị ( C) và trục ox thẳng nối điểm cực đại và cực tiểu đồ thị ( C) 2004 2002 2x Cho hµm sè y = x2 Cho HS y x x (C) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị 2.Viết phương trình tiếp tuyến ( c) qua điểm A(3; 0) 3.Tính thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng gh (C) và các đường thẳng y = 0; x= 0; x= quay quanh trục oy Cho HS y x x có đồ thị ( C) 1.khảo sát và vẽ đồ thị HS Dựa vào đồ thị ©, T×m m để phương trình x x m có bốn nghiệm phân biệt Lop10.com 2008 PB lÇn Cho HS: y 3x (C) x 1 Kháo sát và vẽ đồ thị Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C) điểm có tung độ -2 2007 PB lÇn Cho HS y x x ( C) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C) điểm cực đại ( C) 2007 K PB lÇn Cho HS y x 3x ( C) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị điểm uốn ( C) 2005 Cho HS y 2x ( C) x 1 1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2.Tính DTHP gh :Ox, Oy,(C) 3.Viết PT tiếp tuyến đồ thị ( C), biết tiếp tuyến đó qua điểm A(-1;3) 2001 Cho HS y x 3x (C) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Cho điểm M thuộc(C) có hoành độ x = Viết PT đường thẳng qua M và là tiếp tuyến ( C) Tính DTHP giới hạn © và tiếp tuyến nó M (3) - Khảo sát các hàm số: +) Giáo viên rèn kĩ phần này để HS làm vµ yªu cÇu häc sinh : Nắm vững các bước bài khảo sát, tránh làm thiếu bước dẫn đến điểm Nắm vững hình dạng loại đồ thị, số điểm đủ để vẽ đồ thị Rèn luyện kĩ tính toán chính xác để vẽ hình chính xác Lưu ý các giao điểm đồ thị với các trục, điểm phụ Lưu ý HS so sánh bảng biến thiên sau vẽ xong đồ thị +) Học sinh thường mắc phải lỗi sau khảo sát : - Làm không đủ các bước ; - Tính giới hạn không đủ, hay tính gộp - Vẽ hình : không cân đối, không điền các số cần thiết trên trục toạ độ, đồ thị và các trục toạ độ kh«ng hîp lÝ, +) Hàm số đơn điệu trên các khoảng Lop10.com (4) 2- C©u hái phô : Bài toán Sự tương giao hai đồ thị Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm phương trình - Phương pháp : * Sử dụng đồ thị đã vẽ phần khảo sát * §a PT vÒ d¹ng mét vÕ lµ hµm sè k/s vµ vÕ bªn lµ h»ng sè cã chøa tham sè m * Số nghiệm phương trình là số giao điểm hai đồ thị VD1 Cho hàm số y=x4-2x2 -3 có đồ thị là (C) ; 1/ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên 2/ Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm phương trình : x4 – 2x2 – m + = (1)? Bµi gi¶i 1/ Tập xác định : D= R Hàm số là hàm chẵn Sự biến thiên : x 1 a) Chiều biến thiên: y’ =4x3-4x , x R ; y’ = x x Trên các khoảng (-1;0) và (1; +) , y’>0 nên hàm số đồng biến Trên các khoảng (-; -1) và (0;1) , y’<0 nên hàm số nghịch biến b) Cực trị : - Hàm số đạt cực tiểu x= , yCT= y(1) = -4 - Hàm số đạt cực đại x=0; yCĐ=y(0) = -3 c) Các giới hạn, tiệm cận : 3 Ta có lim y lim x 1 ; x x x x 3 lim y lim x 1 ; x x x x đồ thị hàm số không có tiệm cận d) Bảng biến thiên: x - y’ -1 - + + - -3 + + + y -4 -4 Đồ thị: - Giao với trục Ox : y=0 x4-2x2 -3 x= - Giao với trục Oy : x=0 y= -3 Hàm số chẵn đó đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối Đồ thị ( Hình vẽ ) 2/ Phương trình (1) x4- 2x2 – = m-4 Số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm đồ thị: (C) vµ ®êng th¼ng (d): y = m-4 +) (2) v« nghiÖm m<0; +) (2) có đúng nghiệm p.biệt m = m>1; +) (2) có đúng nghiệm P.biệt m = 1; +) (2) cã nghiÖm ph©n biÖt 0<m<1; KÕt luËn: … y y=m-4 xứng x Chó ý : Sè giao ®iÓm cña ®êng th¼ng y Lop10.com = mx + n (m 0)với đồ thị hàm số (5) 1/ y = ax3+bx2+cx+d; 2/ y = ax4+bx2+c; 3/ y = ax b Ax B là số nghiệm phương trình hoành độ f(x) = mx + n (f(x) là ba hàm số trên) VD2 Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x c¾t ®êng th¼ng y = x + m t¹i ®iÓm ph©n biÖt x2 Bµi gi¶i 2x = x + m cã nghiÖm ph©n biÖt x2 2x – = x2 + mx + 2x + 2m cã nghiÖm ph©n biÖt kh¸c -2 ; x2 + mx + 2m + = cã nghiÖm ph©n biÖt kh¸c -2 ; YCBT m 8m m m m 4 m 4 KL : NhËn xÐt: Biện luận số nghiệm PT, biện luận số giao điểm đồ thị * Hướng dẫn HS chuyển bài toán đại số bài toán hình học * Hướng dẫn HS sử dụng đồ thị vừa khảo sát * Hướng dẫn HS đưa PT dạng vế là HS khảo sát chiều biến thiên, vế là số chứa tham số *Có thể mở rộng với bài toán so sánh nghiệm phương trình đồ thị * Đưa phương trình bậc hai bậc (chủ yếu bậc với đề thi TN) Bài toán Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Lý thuyÕt : +) TiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm M(x0 ;y0) thuéc ®êng cong (C) : y = f(x) cã hÖ sè gãc lµ: k = f’(x0) PT tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M là : y = f’(x0)(x – x0) + y0 +) Cho d1 : y = k1x + a1 , d2 : y = k2x + a2 d1 d k1 k 1 k k d1 // d a1 a VD1 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3+3x2-9x+5 điểm có hệ số góc k = -12 Bµi gi¶i Ta cã : y’=3x2+6x-9 Hoành độ tiếp điểm là ngiệm phương trình y’=k 3x2+6x-9 = -12 x2+2x+1=0 x=-1 Víi x = -1 th× y = 16 Phương trình tiếp tuyến cần lập là: y = -12(x+1)+16 hay y = -12x+4; Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập là: y = -12x+4 Lop10.com (6) VD2 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x4 – 4x2 + điểm có hoành độ x = Bµi gi¶i Ta cã : y’= 4x3 – 8x; x = th× y = hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn lµ k = y’(2) = 16 Phương trình tiếp tuyến cần lập là: y = 16(x-2) + hay y = 16x – 29 Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập là: y = 16x - 29 VD3 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = Bµi gi¶i Ta cã : y’= = 3x (1) t¹i ®iÓm M(1 ;4) 2x 5 ; (2 x 1) hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn cÇn lËp lµ: k = y’(1) = -5 Phương trình tiếp tuyến là: y = -5(x-1) + hay y = -5x + 9; VËy PTTT cÇn lËp lµ: y = -5x +9 VD4 Lập PTTT đồ thị y = x3 – 3x2 + biết : a) TiÕp tuyÕn song song víi ®êng th¼ng y = 9x + b) TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi ®êng th¼ng y x 2010 NhËn xÐt: Tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị biết hệ số góc TT * Yêu cầu HS nắm vững công thức PTTT tai điểm * Yêu cầu HS nắm vững các yếu tố cần tìm để có thể viết PTTT Bài toán Tính diện tích hình phẳng Hướng dẫn HS sử dụng đồ thị vừa khảo sát để xác định hình dạng hình phẳng Bài toán Một số dạng toán khác Xét tính đồng biến, nghịch biến; tìm điểm cực trị, tìm các tiệm cận; ứng dụng hàm số để giải PT, BPT, chứng minh BĐT… Lop10.com (7) Bài tập áp dụng: Bài 1: Khảo sát các hàm số sau: a/ y = x3 – 3x2 b/ y = - x3 + 3x – c/ y = x3 + 3x2 + 4x - Bài Cho hàm số: y = -2x3 + 3x2 - (C) a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b Viết phương trình tiếm tuyến đồ thị hàm số tai M ( ; -3 ) c Tìm m để phương trình 2x3 - 3x2 +2m -5 = có nghiệm phân biệt Bài Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + 6x + (C) a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b Viết phương trình tiếm tuyến đồ thị hàm số tai M ( -1 ; ) d Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong ( C) và đường thẳng y = 6x +4 Bài 4: a/ Cho hàm số y= x3 – 3m x2 + 4m3 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m=1 b/ Viết pttt với (C) điểm có hoành độ Bài 5: Cho hàm số y = x3 x x có đồ thị ( C ) a/ Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số b/ Viết phương tŕnh tiếp tuyến ( C) : +/ Tại điểm có hoành độ x0 = +/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x – Bài 6: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : a/ y = x4 – 6x2 + x4 d/ y = x 2 b/ y = - x4 + 2x2 + c/ y = x4 + 2x2 e/ y x x Bài Cho hàm số: y = x4 – 3x2 + ( C) a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b Viết phương trình tiếm tuyến đồ thị hàm số tai điểm có hoành độ x=1 c Tìm m để phương trình x4 – 3x2 + 3m -1=0 có nghiệm phân biệt Bài Cho hàm số: y = -2x4 – 4x2 +6 (C) a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b Viết phương trình tiếm tuyến đồ thị hàm số tai M ( -1 ; ) c Dựa vào đồ thị hàm số hãy biện luận số nghiệm pt: 2x4 + 4x2 + 3m – =0 Lop10.com (8) Bài 9: a/ Khảo sát hàm số y= x4 – x2 + b/ Dùng đồ thị (C) hàm số vừa khảo sát biện luận theo m số nghiệm phương tŕnh: x4 – x2 + 5=m Bài 10: khảo sát các hàm số sau: a/ y = x 2x b/ y = Bài 11 Cho hàm số: y = x 1 x 1 c/ y = x4 2x (H) x3 a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H) b Viết phương trình tiếm tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó vuồng góc với đường thẳng y=-2x+3 c Tìm m để đường thẳng y=2x -3m cắt ( H) hai điểm phân Bài 12 Cho hàm số: y = 5 x (H) 2x a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H) b Viết pt tiếm tuyến đồ thị hàm số tai điểm có hoành độ x=-2 c Tìm m để đường thẳng y=2x -3m cắt ( H) hai điểm phân thuộc hai nháng ( H) Bµi 13.Cho (C) : y = x2 x2 a/ Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số b/ Viết phương trình tiếp tuyến (C): +/ Tại giao điểm (C ) với trục Ox +/ Song song với đường thẳng d1 : y = 4x – =========================================== II.Hµm sè, PT, BPT mò vµ logarit Lop10.com (9) §Ò thi tèt nghiÖp c¸c n¨m Gi¶i PT sau: a) TN – THPT 2009: 25x – 6.5x + = b) TN-THPT 2008: 32x+1-9.3x+6=0; lần2: log x 2 log x 2 log c) TN-THPT 2007: log4x+log2(4x)=5; d) TN-THPT 2006: 22x+2-9.2x+2 = lần2: x 2.71 x lần2: x 2.71 x GV nªu c¸ch gi¶i PT vµ BPT mò – logarit a) Phương trình mũ Ta quan tâm đến dạng đưa cùng số và đặt ẩn số phụ sau: VD1 Giải các phương trình sau trên R a) 2x-2+2x-3+2x-4 = 56; b) 2x+8.3x = 8+6x Bµi gi¶i a) PT 2x-4(22+2+1)=56 7.2x-4=56 2x-4=8 x-4 = hay x =7 Vậy nghiệm phương trình là x=7 b) PT (2x-8)(3x-1)=0 x=3 hay x=0 Vậy phương trình có nghiệm là: x=3 và x=0 VD2 Giải phương trình sau trên R a) 9x – 3x+2 + = ; b) 5.9x-8.15x+3.25x=0; c) 3x+1-32-x=6 Bµi gi¶i a) §Æt x = t, §k: t > b) Chia vÕ cho 25x ta ®a vÒ d¹ng c©u a) c) §Æt t = 3x th× 3-x = 1/t víi t > Chú ý: Khi dạy BPT mũ ta đưa các bài tập tương tự các phương trình trên b) Phương trình logarit Với đề thi tốt nghiệp thì PT này cho mức đơn giản sau: VD1 Giải phương trình sau: a) log2(3x2-7x+12)=3 b) log3(5x2-2x+5)=log3(9-x) c)log2(3x+1)+2log4(x+5)=3+log23 Bµi gi¶i a) PT 3x2-7x+12=8 3x2-7x+4=0 x=1 hay x=4/3 x 5 x x x 5 x x b) PT x x x KL: c) §K: x > -1/3 x PT log2[(3x+1)(x+5)]=log224 3x +16x-19=0 x 19 KÕt hîp ®k ta ®îc nghiÖm cña PT lµ: x = Lop10.com (10) VD2 Giải các phương trình sau: a) log22x + 5log2x – 14 = b) lg2(2x+1)-lg(2x+1)4+3=0 Bµi gi¶i a) §K: x > §Æt log2x = t, PT trë thµnh: t t2 + 5t – 14 = t 7 Víi: * t = x = *t=-7 x= KL: 128 b) §K: x > -1/2 §Æt t = lg(2x+1), PT trë thµnh: t t2 – 4t +3 = t Víi: * t = 2x+1=10 x=9/2(t/m®k) * t = 2x+1=1000 x = 999/2 (t/m®k) KL: … c) §K: x > PT log43x+8log23x-9=0 §Æt t = log23x, ®k: t PT trë thµnh : t 1(t / m) t2+8t-9=0 t 9(l ) x Víi t = 1, log23x=1 (t/m) KL : x c) log43x+2log23x2-9=0 NHẬN XÉT: Câu này thường điểm - Học sinh trung bính và TB yếu có thể làm * Các bài toán giải PT BPT dạng bản, sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, đưa cùng số ngoài có thể sử dụng phương pháp xét chiều biến thiên, PP mũ hoá logarit hoá (đối với HS khá) *Giáo viên cần hướng dẫn HS nhận xét quan hệ các số, lưu ý HS PT cần có cùng số với BPT thì ngoài cùng số còn phải so sánh số với số * Ngoài các bài toán giải PT và BPT có thể có câu rút gọn, GV cần cho HS nắm vững các công thức biến đổi,các tính chất HS mũ và logarit, là công thức đổi số * Bài toán tính đạo hàm Bài tập áp dụng: Giải các phương trình, bất phương trình mũ và logarit sau: 1 1) 3 3x2 x , 2) x 3 x 16 6) 9x+1 - 8.3x +1=0 1 3) 7 x x 3 7 x 1 4) (1,5) x 7 2 3 x 1 5) log ( x 3) log ( x 5) 7) e x 3e x 7) e x 3e x 8) log2 (x2-3x+2) - log2 (2x-3) = 9) ln x ln( x 3) ln( x 7) 10) log5 x log5 x log5 x 11) log (3 x x 2) log ( x 2) 12) x 3 x 4 13) 9 2 x 3 x 14) x x 1 x 2 x x 1 x 2 15) 16 x x 16) log ( x 1) 2 III Gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè T×m GTLN, GTNN cña hµm sè y = f(x) trªn tËp D Lop10.com (11) * D = (a ;b) thông thường ta dùng đạo hàm và lập BBT * D = [a;b] ta làm theo các bước Lưu ý đến các hàm số lượng giác; đặt t = sinx; t = cosx thì t 1;1 Bµi tËp (§Ò thi TN THPT ) T×m GTLN-GTNN cña hµm sè: a) N¨m 2009: f(x) = x2 – ln(1-2x) trªn ®o¹n [-2;0] b) N¨m 2008 : 1) y = x4 – 2x2 + trªn [0 ;2] ; 3) y = -2x4+4x2+3 trªn [0 ;2] ; cosx trªn [0 ; ]; 4) y = 2x3 – 6x2 + trªn [-1 ;1] c) N¨m 2007 : 1) y = 3x3 – x2 – 7x +1 trªn [0 ;2] ; 2) y = x3-8x2+16x-9 trªn [1 ;3] 2) y = x + VD1 T×m GTLN-GTNN cña hµm sè y = x3+5x2-13x+10 trªn [0 ;2] Bµi gi¶i Ta cã : y’= 3x2+10x-13 y’=0 x = víi x = y = 10; x = y = ; x = y = 12 Max y = 12 t¹i x = 2; Min y = t¹i x = trªn [0 ;2] VD2 T×m GTLN-GTNN cña hµm sè y = x+ trªn [1 ;3] x Hướng dẫn Trªn ®o¹n [1 ;3] ta ®îc : Max y = t¹i x = Min y = t¹i x = x2 VD3 T×m GTLN-GTNN cña hµm sè y = x x2 Bµi gi¶i * TX§ : R x( x x 2) (2 x 1)( x 3) x 2x * y’ = ( x x 2) ( x x 2) y’ = x=-1 hoÆc x = x2 1; * Giíi h¹n : lim x x x * B¶ng biÕn thiªn : x - -1 y’ + y Tõ BBT ta ®îc : + + 6/7 Max y 2, x 1; Min y , R x R Chú ý: Bài tập dạng này thường học sinh không tính giới hạn x tiến vô cực VD4 T×m GTNN cña hµm sè : y = sin2x+cosx+5 Bµi gi¶i Lop10.com (12) * TX§ : R y = -cos2x + cosx + * Đặt t = cosx ; t 1;1 đó : y = -t2 + t + ; y’ = -2t + y’ = t = 1/2 * víi: t = -1th× y = 4; t = 1/2 th× y = 25/4 t = th× y = KL : NHẬN XÉT: Câu này thường điểm - Câu này dành cho HS từ trung bình trở lên * Hướng dẫn HS sử dụng phương pháp lập bảng biến thiên * Nếu câu này nằm sau câu khảo sát nên hướng dẫn HS sử dụng đồ thị * Nếu biểu thức chứa hàm số lượng giác, cần lưu ý HS đặt ẩn phụ và điều kiện ẩn phụ * Đối với bài toán thực tế, GV hướng dẫn HS cách chuyển bài toán toán học, lưu ý điều kiện biến số Bài tập áp dụng: Tìm GTLN và GTNN các hàm số sau: a y x3 x x trên đoạn [-4; 0] b f(x) = x3 x x trªn [-4; 4] c f(x) = x3 x trªn ®o¹n [-3; 1] d f(x) = x x 16 trªn ®o¹n [-1; 3] e f(x) = x3 x x trªn ®o¹n [-4; 3] f f(x) = x trªn nöa kho¶ng (-2; 4] x+2 k f(x) = x - x m trªn kho¶ng (1; +) x- l f(x)= 2sinx - 3cos2x +3 trªn kho¶ng ( ; ) i f(x) = x +2 + y x x n/ f x x ln x trên 1;e w/ y cos x 3cos x z/ f x x trên 1; 2 x2 ============================================ IV T×m nguyªn hµm vµ tÝch ph©n Lop10.com (13) Các bài toán thường đơn giản, áp dụng công thức nguyên hàm các hàm số KiÕn thøc: - Cung cấp cho học sinh bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp - §Æc biÖt c«ng thøc nguyªn hµm: x n 1 n x dx C , n 1 n 1 (*) dx x ln | x | C n 1 áp dụng công thức nguyên hàm hàm số hợp và phương pháp đổi biến số §Ò thi tèt nghiÖp c¸c n¨m 2001 - 2009 2009 I = x(1 cos x)dx a ) KHTN I x (1 x ) dx 1 2008 b) KHXH J (2 x 1) cos xdx c) K (1 e ) xdx d ) BT : M cos x sin xdx x xdx 2007 a) TÝnh TP: I I x ln xdx x2 1 1 x dx x 1 I e ln xdx x I b) Cho hình phẳng giới hạn các đường y = sinx , y =0, x = 0, x = Tính thể tích khối tròn xoay sinh (H) quay quanh ox c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đường y x x, y ln 2006 a) TÝnh TP: I ln e x e x dx ex 1 0 I 2 x 1dx I sin x.dx cos x b)Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị các HS y e x ; y= và x =1 2005 I x sin x cosxdx 2003 Tìm nguyên hàm HS sau: f x x 3x 3x x 2x x 10 x 12 và đường thẳng y = x2 2002 Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y x và y=x-1 Tính diện tích hình phắng giới hạn đồ thị HS y 2001 I (sin x sin x 6)dx KiÕn thøc: Lop10.com (14) a/ Bảng nguyên hàm: b/ Các phương pháp tích phân, các loại tích phân thường gặp: - §Æc biÖt c«ng thøc nguyªn hµm: x n 1 u n 1 n n x dx C , n , u du C n 1 n 1 dx du x ln | x | C n 1, u ln u C (*) áp dụng công thức nguyên hàm hàm số hợp và phương pháp đổi biến số 1) Tích phân cách sử dụng bảng nguyên hàm: Công thức Niutơn_lípnít: b f ( x)dx F ( x) b a F (b) F (a ) a Bài tập: Tính các tích phân sau: 1 x 33 x 2 (x ( x 1)dx x 1)( x x 1)dx dx (e x (x x)dx x x )dx e2 x 2x 1 x dx 1 x x dx x 7x dx x 2) Phương pháp đổi biến số: VD1 TÝnh tÝch ph©n sau a) TN-THPT 2008 I = x (1 x ) dx 1 Bµi gi¶i a) §Æt t = 1- x3 víi x = -1, t = x = 1, t = 1 t4 dt x (1 x ) dx dt dt = -3x2dx x dx 3 1 32 Khi đó : I = t dt t 30 15 15 b) §Æt t = b) J x x 16dx x 16 * t = 0, x= * t = 3, x = x2 = t2 – 16 xdx = tdt t 61 J = t dt 34 KL: VËy a) Dạng 1: Đặt u = (x) (biến theo biến cũ) Lop10.com (15) Chú ý: đổi biến thì phải đổi cận Dấu hiệu: Chứa (biểu thức)n Đặt u = biểu thức Chứa Đặt u = Chứa mẫu Đặt u = mẫu Chứa sinx.dx Đặt u = cosx Chứa cosx.dx Đặt u = sinx Chứa dx x Đặt u = lnx Bài tập : Tính các tích phân sau: x x x 1dx x dx e x x dx e x2 x 1 dx x 1 x dx 1 4sin xcosxdx 2x 0 x x dx e 3ln x ln x dx x x 1dx ln x e x ln x dx ln x dx x x sin x 3cosx dx 1 x e sin x e cosxdx x 0 (1 3x ) dx 2 ( x 1) xdx dx x (2 x 1) dx e sin x 1cos xdx e ln x x dx sin x cos 0 ( TN 2005-2006) b) Dạng 2: Đặt x = (t) (biến cũ theo biến mới) Chú ý: đổi biến thì phải đổi cận Dấu hiệu: Đặt x = sint dx 1 x2 Đặt x = a.sint dx a2 x2 Đặt x = tant dx 1 x a 2 dx x2 Đặt x = a.tant Bài tập: Tính các tích phân sau: Lop10.com x dx (16) x dx 1 x2 dx 0 x dx 0 x x dx 2 dx 0 x x dx dx dx 2 x 3) Tích phân phần: b b u.v' dx uv u '.vdx b a a a Dấu hiệu: b b b b b b P( x).sin x.dx P( x) cos x.dx x P( x).e dx P( x) ln x.dx x e cos x.dx Đặt: Đặt : Đặt : Đặt : u P ( x) v' sin x u P( x) v' cos x u P( x) x v' e u ln x v' P( x) Đặt u, v’ = cái nào Từng phần vòng lần a a a a a e x sin x.dx a Bài tập: Tính các tích phân sau: b) x.e3 x dx a) x sin x.dx c) ( x 1) cos xdx 0 d) (2 x) sin 3xdx e) e x sin xdx g) e x ln xdx h) (1 x ) ln x.dx x ln(3 x 2 x cos x ln x.dx e 2 n) l) m) x cos x.dx ).dx k) (x x) sin x.dx p) x ln xdx q) r) e sin xdx xdx x 2 s) b xdx 0 4) Tích phân hàm phân thức hữu tỷ: sin ln(1 x) t) dx x2 u) (x sin x) cos xdx ( TN - 2005) P( x) Q( x)dx a Ghi nhớ: 1 1) ax b dx a ln ax b C 3) ( x a)( x b) dx a b ln x b 1 2) xa C 4) k k ax b dx a ln ax b C u ' ( x) u ( x) dx ln u ( x) C Phép chia đa thức, tách đa thức Phương pháp chung: + Nếu bậc đa thức trên tử bậc đa thức mẫu thì chia đa thức sử dụng các nguyên hàm dạng 1), 2), 3) Lop10.com (17) + Nếu bậc đa thức trên tử < bậc đa thức mẫu thì trước hết xem thử mẫu đạo hàm có xuất tử hay không, có thì sử dụng công thức 4) (hoặc đặt u = mẫu), không thì dùng kỹ thuật tách phân thức p2 đồng hoá để tách phân thức đưa dạng tổng các nguyên hàm dạng 1), 2), 3), 4) Bài tập: Tính các tích phân sau: 1 2x a) dx x 1 2x dx x 3x g) 2x 0 x x 15 dx e) 2x b) dx 3x 0 1 x 3x c) dx x 1 4x3 dx x 2x x3 x n) dx x2 1 x3 x d) dx x 1 2x dx l) dx k) dx m) ( x 4)( x 1) ( x 4)( x 2) x 3x h) 0 2x 9x p) dx 1 x x 2x3 6x 9x q) dx x 3x 1 5) Tích phân hàm lượng giác: Các công thức cần nhớ: sin2x = – cos2x cos2x = – sin2x cos(a b) cos(a b) cosa.cosb = sina.sinb = cos(a b) cos(a b) sin2x = cos x sina.cosb = sin(a b) sin(a b) cos2x = cos x Phương pháp chung: Dấu hiệu Chứa Hướng giải cos(ax).cos(bx) sin(ax).sin(bx) sin(ax).cos(bx) Biến đổi tích thành tổng Chứa mũ lẻ sin, cos Tách hàm chứa mũ lẻ để làm xuất cosx.dx đặt u = sinx, xuất sinx.dx đặt u = cosx Chỉ chứa mũ chẵn sin, cos Sử dụng công thức hạ bậc Bài tập: Tính các tích phân sau: 2 sin x sin xdx cos x cos 3xdx x 0 sin cos xdx sin x cos 3xdx 2 2 sin x cos xdx sin x cos xdx sin x cos xdx sin 2 cos xdx sin xdx cos Lop10.com x cos xdx xdx cos xdx (18) 2 2 2 sin xdx sin xdx 0 2 cos x 0 sin x dx sin x dx sin xdx 0 cos x (sin x cos x)dx cos x cos x)dx sin x 0 cos x dx cos x(sin x sin xdx sin xdx cos x 6) Tích phân chứa giá trị tuyệt đối: Cần nhớ: + |A| = A , A + |A| = - A , A < + Cách xét dấu đa thức, thường là nhị thức, tam thức bậc hai + Cách xét dấu hàm lượng giác ( vào Đường tròn lượng giác) Phương pháp chung: + Xét dấu biểu thức bên dấu giá trị tuyệt đối + Dựa vào bảng xét dấu tách cận tích phân trên miền Cách khác: (dùng biểu thức bên | | khó xét dấu) b Giả sử cần tính tích phân: f ( x) dx a Bước 1: Giải pt: f(x) = tìm nghiệm thuộc a; b Giả sử có nghiệm x1, x2 a; b, (x1<x2) b Bước 2: Khi đó: f ( x) dx = a x1 x2 b a x1 x2 f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx - Trường hợp pt: f(x) = không có nghiệm thuộc a; b thì: b b f ( x) dx = f ( x)dx a a Bài tập: Tính các tích phân sau:a) x 1dx b) x x dx c) x x 1dx 3 e) sin x dx g) 3 2 sin x dx k) 1 s) cos 2x dx 2 t) x x dx u) e ln x dx e sin x dx 2 x dx q) | x | x dx r) | x | ( x 1)dx x 0 2 d) cos x dx l) ( x x )dx m) x dx n) x 3x dx p) 0 cos x dx h) 2 1 v) x dx w) e x 1dx Ứng dụng: 1) Tính diện tích hình phẳng: Lop10.com (19) a) Dạng 1: b) Dạng 2: y f ( x) (H): y 0, (truc hoanh Ox) x a, x b y f ( x) (H): y g ( x) x a, x b Phương pháp: Giải pt: f(x) = tìm nghiệm a; b Giả sử có nghiệm x1, x2 a; b, (x1<x2) x1 S(H) = f ( x)dx a x2 b f ( x)dx x1 f ( x)dx x2 Phương pháp: Giải pt: f(x) – g(x) = tìm nghiệm a; b Giả sử có nghiệm x1, x2 a; b, (x1<x2) x1 x2 b a x1 x2 S(H) = ( f g )dx ( f g )dx ( f g )dx Lưu ý: Trường hợp hình phẳng (H) không Lưu ý: Trường hợp hình phẳng (H) không có các đường: x = a, x = b thì ta giải pt: có các đường: x = a, x = b thì ta giải pt: f(x) = tìm nghiệm, sử dụng các nghiệm f(x) – g(x) = tìm nghiệm, sử dụng các đó làm cận tích phân nghiệm đó làm cận tích phân (Cách khác: xét dấu biểu thức bên dấu | | ) Bài tập 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: a) y x x x và Ox b) y x x và y = x -1 c) y x x ; y = 0; x = -1;x =2 d) y x 18 x 20 và y = 2x + 20 e) y = e2x ; y = 1; x = f) y sin x ; y = 0; x = 0; x g) y x x và y x x h) y = ex, y = e-x, x = i) y ln x ; y = 0; x = 1; x = e x Bài tập 2: Cho y ln x ; y = 0; x = 1; x = e x j) y x 3x (C) x 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn :(C), y = 0, x = 0, x = 2) Tính thể tích vật thể tròn xoay: y f ( x) (H) y 0, (truc Ox) x a, x b b Quay quanh Ox V = [f(x)]2 dx a Bài tập: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn các đường sau quanh trục Ox a) y x x ; y = 0; x = -1;x =2 c) y sin x ; y = 0; x = 0; x b) y x x ; y = d) y ln x ; y = 0; x = 1; x = e x e) y = x.ex, x = 2, y = V Sè phøc(1 - ®iÓm) Lop10.com (20) KiÕn thøc gióp häc sinh hiÓu b¶n chÊt cña tËp sè phøc cïng víi c¸c phÐp to¸n cña sè phøc: c«ng trõ hai sè phøc nhân hai số phức và chia hai số phức Đặc biệt học sinh áp dụng các tính chất số thực vào số phức.Đây là chương trình mới, tưởng khó học sinh với kiến thức thi tốt nghiệp lại đơn giản và học sinh dễ làm ®îc phÇn nµy ë phÇn nµy t«i xin ®a mét sè d¹ng bµi tËp sau ®©y §Ò thi tèt nghiÖp c¸c n¨m Bài TN – THPT 2009 Giải phương trình 8z2 – 4z + = trên tập số phức Bµi TN-THPT PB-2008 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P = (1 3i ) (1 3i ) Bài TN-THPT PB -2007 Giải phương trình trên tập số phức : x2-4x+7=0 Bài TN-THPT PB -2006 Giải phương trình trên tập số phức : 2x2-5x+4=0 I LÝ thuyÕt : 1) Các định nghĩa: * Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo ( i2 = -1), đó: z = a + bi gọi là số phức a: gọi là phần thực b: gọi là phần ảo * Số phức (a - bi) gọi là số phức liên hợp số phức (a + bi) và ngược lại * Mô đun số phức z = a + bi là | z | = a b2 * Biểu diễn hình học số phức: Mỗi số phức z = a + bi biểu diễn điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy 2) Các phép toán và tính chất bản: a c b d * (a + bi) = (c + di) * (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i * (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i * (a + bi).(c + di) = nhân bình thường nhân đa thức * a bi (a bi )(c di ) = … (nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp mẫu) c di (c di )(c di ) 3) Căn bậc hai số thực âm: Lop10.com (21)