Bài 4 Chứng minh rằng tồn tại duy nhất hai số nguyên dương x và y thỏa mãn các tính chất sau : i x và y đều có hai chữ số ii x = 2y iii Một chữ số của y thì bằng tổng hai chữ số của x, c[r]
(1)CÁC ĐỀ THI VAØO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN-TIN TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM Copyright 2006 © www.diendantoanhoc.net www.vnmath.com Lop10.com (2) MỤC LỤC Năm học 1993 – 1994 Năm học 1994 – 1995 Năm học 1995 – 1996 Năm học 1996 – 1997 11 Năm học 1997 – 1998 13 Năm học 1998 – 1999 16 Năm học 1999 – 2000 19 Năm học 2000 – 2001 22 Năm học 2001 – 2002 25 Năm học 2002 – 2003 28 Năm học 2003 – 2004 31 Năm học 2004 – 2005 34 Năm học 2005 – 2006 37 Năm học 2006 – 2007 40 www.vnmath.com Lop10.com (3) Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Năm học 1993 – 1994 Ngày thứ Bài Ta nói số tự nhiên A là số “Pitago” A là tổng bình phương hai số tự nhiên nào đó a) Cho P và Q là hai số “Pitago”, chứng minh P.Q và 2nP là các số “Pitago” b) Tìm các số “Pitago” M và N cho tổng và hiệu chúng không phải là các số “Pitago” Bài a) Giải phương trình thức : − x = 49 − x − 12 x b) Chứng minh đẳng thức 49 + 20 + 49 − 20 = Bài Tám đội bóng tham gia giải vô địch đó hai đội phải gặp đúng lần Biết đến cuối giải không có trận đấu nào kết thúc với tỉ số hòa Chứng minh tám đội nói trên, luôn tìm bốn đội A, B, C, D cho kết các trận đấu họ là A thắng B, C, D; B thắng C, D và C thắng D Bài Bốn học sinh gái Mỹ, Mận, Mai và Mơ phòng kí túc xá Một cô sửa áo, cô chải đầu, cô viết thư và cô đọc sách Biết thêm : Mỹ không sửa áo và không đọc sách Mận không viết thư và không sửa áo Nếu Mỹ không viết thư thì Mơ không sửa áo Mai không đọc sách và không sửa áo Mơ không đọc sách và không viết thư Hãy nói chính xác cô làm gì www.vnmath.com Lop10.com (4) Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Bài Giả sử O là điểm nằm bên tam giác ABC Các đường thẳng AO, BO, CO cắt các cạnh đối diện tam giác các điểm A1,B1,C1 tương ứng Biết : S+ AB O + S+CA O + S+ BC O = S+CB O + S+ BA O + S+ AC O 1 1 1 Chứng minh O nằm trên đường trung tuyến tam giác ABC Ngày thứ hai Bài Chia hai tập hợp số tự nhiên {1,2,…,2n} thành hai tập rời A và B, tập có n phần tử Kí hiệu các phần tử hai tập hợp này theo thứ tự tăng : A = {a1 < a2 < < an −1 < an } và B = {bn < bn −1 < < b2 < b1} Hãy chứng minh đẳng thức : |a1-b1|+|a2-b2|+…+|an-bn|=n2 Bài Cho bảng kích thước 2n x 2n ô vuông Người ta đánh dấu 3n ô bất kì bảng Chứng minh có thể chọn n hàng và n cột bảng cho các ô đánh dấu nằm trên n hàng n cột này Bài Cho hình thang vuông ABCD có AB là cạnh đáy nhỏ, CD là cạnh đáy lớn, M là giao điểm hai đường chéo AC và BD Biết hình thang ABCD ngoại tiếp đường tròn bán kính R Hãy tính diện tích tam giác ADM Bài Một hộp đựng 52 viên bi, đó có 13 viên màu xanh, 13 viên màu đỏ, 13 viên màu vàng và 13 viên màu trắng Cần phải lấy ít bao nhiêu viên bi (mà không nhìn trước) để chắn số đó không có ít viên bi cùng màu Hãy phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát www.vnmath.com Lop10.com (5) Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Bài Một dãy các số và có độ dài 32 gọi là xâu Ta kí hiệu các xâu A,B,C ,… sau : A=(a1,a2,…,a32) B=(b1,b2,…,b32) C=(c1,c2,…,c32) với ai,bi,ci,…= hay 1; i = 1,2,…,32 Giá trị xâu là số các số có xâu Một máy tính có thể xử lý các xâu hai phép biến đổi sau : _ Phép dịch chuyển các phần tử A k vị trí, ≤ k ≤ 32 theo qui tắc : (a1,a2,…,a32) ⇒ (ak,ak+1,…,a31,a32,a1,a2,…,ak-1) _ Phép so sánh hai xâu A và B để xâu C theo qui tắc A&B ⇒ C, với (ai = 1,bi = 0) hay (a1 = b1 = 1) c1 = (ai = 1,b i= 0) hay (a1 = 0,b1 = 1) Cho xâu A có giá trị 16 và B là xâu tùy ý Chứng minh rằng, cách dịch chuyển A k vị trí (thích hợp) và so sánh kết với B, ta xâu C có giá trị không nhỏ 16 www.vnmath.com Lop10.com (6) Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Năm học 1994 – 1995 Ngày thứ Bài Sáu đội bóng A,B,C,D,E và F tham dự giải vô địch Dưới đây là năm khẳng định khác hai đội có mặt trận chung kết : a) A và C b) B và E c) B và F d) A và F e) A và D Biết có bốn khẳng định đúng nửa và khẳng định sai hoàn toàn Hãy cho biết hai đội nào thi đấu trận chung kết Bài a) Trên bảng có viết 1994 số : 1,2,…,1994 Cho phép xóa hai số số trên bảng và viết thêm số tổng hai số đó (Như sau lần xóa thì các số các số viết trên bảng giảm 1) Chứng minh sau 1993 lần xóa, trên bảng còn lại số lẻ b) Nếu thay số 1994 câu a) số 2000 thì sau 1999 lần xóa trên bảng còn lại số chẵn hay số lẻ ? Bài Tìm tất các cặp số tự nhiên (x,y) cho y+1 chia hết cho x và x+1 chia hết cho y Bài a) Cho a < b < c < d là số thực tùy ý Với các giá trị thực nào x thì biểu thức nhận giá trị nhỏ : f(x) = |x – a|+|x – b|+|x – c|+|x – d| b) Hãy phát biểu và giải bài toán tổng quát với n số thực Bài Cho tam giác ABC có hai đường phân giác BD và CE cắt I Biết ID = IE, chứng minh tam giác ABC cân A góc ∠BAC = 600 www.vnmath.com Lop10.com (7) Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Ngày thứ hai Bài ⎧ x − xy + y = 13 ⎪ Giải hệ phương trình ⎨ ⎪ x + xy − y = −6 ⎩ Bài Cho tam giác ABC vuông A, có O, I là tâm các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp Đặt BC = a, CA = b, AB = c a) Tính các độ dài IO, IB theo a,b,c b) Biết tam giác IOB vuông I, chứng minh AB : AC : BC = : : Bài Chứng minh không tồn dãy tăng thực các số nguyên ≥ : a1 , a2 , a3 , cho với số tự nhiên n,m ta có : amn = an + am Bài Chứng minh tồn hai số nguyên dương x và y thỏa mãn các tính chất sau : i) x và y có hai chữ số ii) x = 2y iii) Một chữ số y thì tổng hai chữ số x, còn chữ số thì trị tuyệt đối hiệu hai chữ số x Bài Một tam giác chia thành số hữu hạn các tam giác Chứng minh có ít tam giác có ba góc nhỏ 1200 www.vnmath.com Lop10.com (8) Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Năm học 1995 – 1996 Ngày thứ Bài Trong kì thi trắc nghiệm có câu hỏi, thí sinh dự thi cần trả lời “có” hay “không” cho câu Hãy chứng minh biết các thông tin sau câu trả lời cho câu hỏi : a) Câu số và câu số cần trả lời trái ngược b) Câu số và câu số cần trả lời giống c) Nếu câu số trả lời “có” thì câu số cần trả lời “không” d) Số câu trả lời “không” ít số câu trả lời “có” thì thí sinh có thể trả lời đúng bốn câu hỏi Bài Cho tứ giác lồi ABCD Trên hai cạnh AB và CD lấy hai điểm E và F cho AE = CF Chứng minh đường chéo AC qua trung điểm I BE DF đoạn EF thì AC chia đôi diện tích tứ giác ABCD Bài Hãy tìm tất các số tự nhiên có bốn chữ số A = abcd thỏa điều kiện : i) abd = (b + d − 2a)2 ii) A + 72 là số chính phương Bài a) Chứng minh với giá trị thực x ta luôn có : x + x + 12 + x − 10 x + ≥ b) Giải phương trình : x + x + 12 + x − 10 x + = − x − x Bài Cho tam giác ABC vuông A có đỉnh A,B cố định và C thay đổi trên nửa đường thẳng At vuông góc với AB A Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam www.vnmath.com Lop10.com (9) Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net giác ABC và P, Q, R là các tiếp điểm đường tròn này với các cạnh AC, BC, AB Đường thẳng PQ và AI cắt D a) Chứng minh bốn điểm B, D, Q, R nằm trên đường tròn b) Chứng minh C thay đổi trên At thì PQ luôn qua điểm cố định Ngày thứ hai Bài Cho số tự nhiên n > Chứng minh : a) Nếu n lẻ thì ta không thể n số tự nhiên đầu tiên {1,2,…,n} thành dãy cho với k ≤ n , tổng k số đầu tiên dãy không chia hết cho n b) Nếu n thì ta không thể n số tự nhiên đầu tiên {1,2,…,n} thành dãy cho với k ≤ n , tổng k số đầu tiên dãy không chia hết cho n Bài Giải và biện luận hệ phương trình sau : ⎧ xyz ⎪x + y = m ⎪ ⎪ xyz =1 ⎨ y z + ⎪ ⎪ xyz =2 ⎪ ⎩z + x đó x, y, z là các ẩn số và m là tham số thực Bài Cho a1 , a2 , , a1995 là các số thực dương Gọi A là các số lớn các số trên, hãy chứng minh bất đẳng thức : A(a1 + 2a2 + + 1995a1995 ) > (a1 + + a1995 )2 www.vnmath.com Lop10.com (10) Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Bài Cho tứ giác lồi ABCD a) Chứng minh hai đường tròn đường kính AB và CD tiếp xúc ngoài thì ta luôn có AB + CD ≤ AD + BC b) Chứng minh rằng, hai đường tròn đường kính AB và CD tiếp xúc ngoài với và hai đường tròn đường kính AD và BC tiếp xúc ngoài với thì tứ giác ABCD phải là hình thoi Bài a) Gọi O là điểm tùy ý nằm hình vuông Chứng minh luôn có thể tìm hai đỉnh A và B hình vuông cho : 135o ≤ ∠AOB ≤ 180o b) Gọi O là điểm tùy ý nằm hình đa giác n cạnh ( n ≥ 5) Chứng minh rằng, luôn có thể tìm hai đỉnh A và B đa giác ⎛ 1⎞ cho: ⎜1 − ⎟180o ≤ ∠AOB ≤ 180o ⎝ n⎠ www.vnmath.com 10 Lop10.com (11) Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Năm học 1996 – 1997 Ngày thứ Bài Cho số nguyên k a) Chứng minh k + 5k + chia hết cho 11 và k = 11t + với t là số nguyên b) Chứng minh k + 3k + không chia hết cho 121 Bài Giải phương trình ( x − 2) + ( x − 3) = Bài Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp Gọi C là đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC a) Chứng minh tâm C nằm trên đường thẳng AI b) Chứng minh : Tam giác ABC cân A ⇔ C tiếp xúc với các đường thẳng AB, AC Bài Chứng minh rằng, có thể chia các số 1,2,…,3N (N ≥ 2) thành ba nhóm N số mà tổng các số chứa nhóm Bài Trong giải Euro’96, sau vòng đấu loại, bảng có kết sau : A nhất, B nhì, C ba, D tư Các nhà quan sát nhận xét tính theo luật cũ là thắng điểm (chứ không phải điểm nay), hòa điểm, thua điểm thì thứ tự trên bị đảo lộn thành B nhất, A nhì, D ba , C tư Hãy cho biết điểm thật đội, biết việc thứ hạng, hai đội nhau, đội nào có hiệu số bàn thắng thua lớn hôn xếp trên và trên thực tế bốn đội bóng có hiệu số bàn thắng thua khác www.vnmath.com 11 Lop10.com (12) Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Ngày thứ hai Bài Gọi a,b là hai nghiệm phương trình x + px + = ; c,d là hai nghiệm phương trình y + qy + = Chứng minh hệ thức : (a − c)(a − d )(b − c)(b − d ) = ( p − q ) Bài Cho x, y, z là các số thực thỏa các điều kiện : ⎧x + y + z = ⎨ 2 ⎩x + y + z = Chứng minh : ≤ x, y, z ≤ Bài a) Cho tứ giác lồi ABCD Hãy dựng đường thẳng qua A và chia đôi diện tích tứ giác ABCD b) Cho tam giác ABC và đường thẳng d // BC và nằm khác phía A BC Lấy điểm M lưu động trên d cho ABMC là tứ giác lồi Đưòng thẳng qua A chia đôi diện tích tứ giác ABMC cắt BM CM N Tìm quĩ tích điểm N Bài Chứng minh không tồn số tự nhiên n cho n − + n + là số hữu tỉ Bài a) Chứng minh với N ≥ , luôn luôn có N số chính phương đôi khác cho tổng chúng là số chính phương b) Chứng minh với số nguyên nm ≥ xây dựng bảng chữ nhật gồm m x n số chính phương đôi khác cho tổng dòng là số chính phương và tổng cột là số chính phương www.vnmath.com 12 Lop10.com (13) Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Năm học 1997 – 1998 Ngày thứ Bài Chứng minh rằng, xyz = thì 1 + + =1 + x + xy + y + yz + z + zx Bài Cho phương trình (m + 2) x − (2m − 1) x − + m = a) Chứng minh phương trình có nghiệm với m b) Tìm tất các giá trị m cho phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 Khi đó hãy tìm giá trị m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm Bài Hai thị trấn A và B cùng nằm trên dòng sông, cách D km Thị trấn B có địa cao nên dòng nước luôn chảy từ B đến A với vận tốc d (km/h) không đổi Nếu nước không chảy, tàu Hi vọng có vận tốc x (km/h) không đổi, tàu Tương lai có vận tốc y (km/h) không đổi Vào lúc sáng, tàu Hi vọng xuất phát từ A hướng B và tàu Tương lai xuất phát từ B hướng A Vào lúc 12 trưa hai tàu gặp lần đầu tiên điểm cách A khoảng cách là D Khi đến A tàu Tương lai nghỉ nửa quay B; tương tự đến B tàu Hi vọng nghỉ nửa quay A Hai tàu gặp D Hãy tìm vận lần thứ hai điểm cách B khoảng cách là 27 tốc các tàu Hi vọng và Tương lai biết từ đầu, tàu tăng vận tốc thêm 7,5 km/h thì hai tàu gặp lần đầu vào lúc 11 trưa Bài Hai đường tròn tiếp xúc ngoài với điểm D Từ điểm A nằm trên đường tròn thứ kẻ tiếp tuyến đường tròn thứ cắt đường www.vnmath.com 13 Lop10.com (14) Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net tròn thứ hai hai điểm B và C Chứng minh điểm A cách các đường thẳng BD và CD Bài Số nguyên A tạo thành các chữ viết liền các số nguyên dương từ đến 60 theo thứ tự từ nhỏ đến lớn : A = 12345 585960 a) Hãy cách xóa 100 chữ số A cho số A1 tạo các chữ số còn lại là nhỏ nhất; b) Hãy cách xóa 100 chữ số A cho số A2 tạo các chữ số còn lại là lớn Ngày thứ hai Bài a) Tìm tất các số dương x, y thỏa : ⎧1 ⎪ + ≤3 ⎨x y ⎪x + y = ⎩ b) Tìm tất các số dương x, y, z thỏa : ⎧1 ⎪ + + =3 ⎨x y z ⎪ x + y + z ≤ 12 ⎩ Bài a) Tìm tất các số nguyên dương n cho n2n + 3n chia hết cho b) Tìm tất các số nguyên dương n cho n2n + 3n chia hết cho 25 Bài Một nhóm 21 người đã du lịch đến các nước Anh, Pháp và Ý, đó người đã ít nước và không có người nào đã ba nước Biết : Số người đã hai nước Ý và Anh gâp đôi số người đã i) hai nước Pháp và Ý Còn số người đã hai nước Pháp và Ý lại gấp đôi số người đã hai nước Anh và Pháp www.vnmath.com 14 Lop10.com (15) Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net ii) Số người Ý (mà không Anh, Pháp) số người Anh (mà không Pháp, Ý) là người và với số người đã Pháp a) Hãy tìm số người đúng nước b) Hãy tìm số người ít hai nước Anh, Pháp Bài a) b) Chứng minh hình thang cân ABCD với hai đáy AB//CD , ta có : AC2 + BD2 = AD2 + BC2 + 2AB.CD Chứng minh với tứ giác lồi ABCD với hai đáy ta có: AC2 + BD2 ≤ AD2 + BC2 + 2AB.CD Tìm điều kiện cần và đủ để dấu đẳng thức xảy Bài Cho dãy n số a1, a2, …, an (trong đó các số có thể nhận các giá trị 1) thỏa : (*) Bất kỳ hai số liên tiếp nào lấy từ dãy đã cho không trùng a) Chứng minh n ≤ 36 b) Biết thêm vào cuối dãy số an+1 tùy ý (0 hay 1) thì tính chất (*) không còn đúng Chứng minh số liên tiếp a1, a2, a3, a4 và an-3, an-2, an-1, an trùng www.vnmath.com 15 Lop10.com (16) Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Năm học 1998 – 1999 Ngày thứ Bài − x = 2x − ⎧2 x + y − = b) Giải hệ phương trình ⎨ ⎩3 x + y = a) Giải phương trình Bài a) Chứng minh đẳng thức : (m + m − 1) + 4m + 4m = (m + m + 1) b) Cho phương trình mx − (m + m − 1) x + m + = (1) Tìm điều kiện m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác – Bài a) Giải và biện luận theo m bất phương trình ( x + 2)( x − 3m) > ( x − 3)( x + m − 1) ⎛ a − b3 ⎞ a −2 − b −2 b) Cho A = ⎜ − ab ⎟ : −1 −1 ⎜ a− b ⎟ a −b ⎝ ⎠ Tìm điều kiện a, b để A có nghĩa; rút gọn A Bài Cho hình vuông ABCD có cạnh Lấy điểm M trên cạnh BC Đường thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài P Đường thẳng DM cắt cạnh AB kéo dài Q BP cắt CQ I a) Cho CM = 1, hãy tính BI, CI b) Khi M di động trên đoạn BC, hãy tìm qũy tích điểm I Bài Một giải bóng đá có n đội tham dự Các đội thi đấu vòng tròn lượt Trong trận, đội thắng điểm, đội hòa điểm và đội thua điểm Các đội có cùng số điểm xếp hạng theo các số phụ nào đó www.vnmath.com 16 Lop10.com (17) Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Khi kết thúc giải, đội vô địch điểm, đội xếp thứ nhì điểm và đội xếp thứ điểm Các đội còn lại có số điểm khác Hãy cho biết số đội đã tham dự giải và số điểm các đội còn lại (có giải thích rõ) Ngày thứ hai Bài a) Tìm tất các số nguyên dương cho 2n-1 chia hết cho b) Cho số nguyên tố p ≥ Đặt A = 3p – 2p – Chứng minh A chia hết cho 42p Bài Cho hai số nguyên dương a và b Biết bốn mệnh đề P, Q, R, S đây có mệnh đề sai : P = “a = 2b + 5” Q = “(a + 1) chia hết cho b” R = “(a + b) chia hết cho 3” S = “(a + 7b) là số nguyên tố” a) Hãy mệnh đề nào sai bốn mệnh đề trên (có giải thích) b) Hãy tìm tất các cặp số nguyên dương a, b thỏa ba mệnh đề đúng còn lại Bài a) Trong hình vuông cạnh cho điểm Chứng minh rằng, các điểm đã cho có thể tìm điểm cho khoảng cách chúng không lớn b) Trong hình vuông cạnh cho 33 điểm Chứng minh các điểm đã cho có thể tìm điểm lập thành tam giác có diện tích không lớn 32 Bài Cho x, y, z, p, q, r là các số thực dương thỏa mãn điều kiện : x + y + z = p + q + r = và pqr ≤ www.vnmath.com 17 Lop10.com (18) Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net a) Chứng minh : x+ y b) Chứng minh : px + qy + rz ≥ 8xyz x ≤ y ≤ z thì px + qy + rz ≥ Bài a) Hãy cách số nguyên dương đầu tiên 1, 2,…, thành dãy a1, a2,…, a8 cho với số ai, aj (i < j) thì số dãy a + aj nằm và aj khác i b) Hãy chứng minh với N số nguyên dương đầu tiên 1,2, , N luôn tìm cách thành dãy a1, a2,…, aN cho dãy thỏa mãn điều kiện câu a) www.vnmath.com 18 Lop10.com (19) Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Năm học 1999 – 2000 Ngày thứ Bài Cho f ( x) = x − 2(m + 2) x + 6m + a) Chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm với m b) Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện m để phương trình f(x) = có hai nghiệm lớn Bài a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện x − y + y − x = (1) Chứng minh x + y = (2) b) Từ đẳng thức (2) có suy đẳng thức (1) hay không ? Giải thích rõ câu trả lời Bài a) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện 1 1 x + y + z = 3, + + = x y z Chứng minh ít ba số x, y, z b) Áp dụng câu a), giải hệ phương trình : ⎧x + y + z = ⎪ ⎪1 1 ⎨ + + = ⎪x y z ⎪ y + 2z2 = ⎩ Bài Cho hai đường tròn (C1 ),(C2 ) có bán kính là và tiếp xúc ngoài với Một tiếp tuyến chung ngoài (C1 ),(C2 ) tiếp xúc với (C1 ),(C2 ) A, B Tìm bán kính đường tròn (C) tiếp xúc đồng thời (C1 ),(C2 ) và AB www.vnmath.com 19 Lop10.com (20) Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Bài a) Có n đội bóng thi đấu vòng tròn lượt (n ≥ 3) Chứng minh dù lịch thi đấu nào xếp thì thời điểm nào ta tìm hai đội bóng có số trận đã đấu là b) Giả sử n = và ba đội bóng thi đấu vòng tròn hai lượt Điều khẳng định câu a) còn đúng khônng ? Giải thích rõ câu trả lời Ngày thứ hai Bài a) Biết x1, x2 là hai nghiệm phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = Viết phương trình bậc hai nhận x13 , x23 làm hai nghiệm b) Giải bất phương trình : ( x + x + 10) − 7( x + x + 11) + < Bài a) Khai triển biểu thức n + (n + 1) thành dạng 2k + và phân tích k thành các thừa số b) Cho số nguyên A là tổng bình phương hai số nguyên dương liên tiếp Hãy chứng minh A không thể là tổng lũy thừa bậc hai số nguyên dương liên tiếp Bài Cho tam giác ABC có diện tích S và điểm P nằm tam giác a) Gọi S1, S2, S3 là diện tích tam giác PBC, PCA và PAB Hãy xác định giá trị nhỏ S12 + S22 + S32 b) Gọi P1, P2, P3 là các điểm đối xứng P qua BC, CA và AB Đường thẳng qua P1 và song song BC cắt AB và AC B1 và C1 Đường thẳng qua P2 và song song CA cắt BC và BA C2 và A2 Đường thẳng qua P3 và song song AB cắt CA và BC A3 và B3 Hãy xác định vị trí điểm P để tổng diện tích ba hình thang BCC1B1, CAA2C2 và ABB3A3 đạt giá trị nhỏ và tính giá trị đó B B B www.vnmath.com 20 Lop10.com (21)